天津市第二中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026（一)天津二中高三年级第二次月考 数学学科试卷参考答案 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 2 6 8 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 35 10.-1 11.- 12.(x-4)2+y2=4 8 2 13.0.7 0.22 14.-3 [5,17 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(本小题满分14分)在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且 asinA+csin C-bsin B=asin C. (1)求角B的大小： (2)若3a=2b (i)求cosA的值： (ii)求sin(2A+B)的值. 【答案】①B-背 ②)y6,a)25+5 3 6 【详解】(1)由asinA+csinC-bsinB=asinc及正弦定理，可得， a2+c2-b2=ac,由余弦定理可得， cosB=a'+c2-6:1 2ac 2’ 0<B<元B= 3 (2)(i).3a=2b及正弦定理，可得， 3sin4-2sinB sin3 3 因为simA= ,且a<b可得A为锐角， 3 所以cosA=V1-sin2A= (ii)sin24-2sin Acos4=2x2 333 c0s2A=2c0s2A-1= 由()：知B-雪 所以sin(2A+B)=sim2 AcosB+sin B cos2A -2巨x13122+5 32236 17.(本小题满分15分)如图，四边形ABCD是正方形，PDL平面ABCD,PD∥EA, AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点. D (1)求证：FG/平面PDE: (2)求平面FGH与平面PBC夹角的大小： (3)求点E到平面PBC的距离. 【解】(1)由题意F,G分别为BP,BE的中点， 所以FG是△BPE的中位线， 即FGPE, 又FG丈平面PDE,PEC平面PDE, 所以FG//平面PDE: (2)由于四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD, 所以DA,DC,DP两两垂直， 以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,二轴建立空间直角坐标系， 如图所示： D 又AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点， 则P(0,0,2),E(2,0,1),B(2,2,0),C(0,2,0), 所以c2》FaL,01D: c-a2ac-(200(1m-(1a0 设平面PBC的一个法向量m=(:,y1,三)， 则 PC⊥m,PCm=2y-25=0 BC⊥mBCm=-2x=0 解得x=0,令y=1,得=1： 即m=(0,11), 设平面GH的一个法向量为i=(x2,%,2), GFLi 则 G丽i=-+2,=0 F旺⊥元 FH.i=-x2=0 解得x=0,22=0,令y2=1, 即n=(0,1,0): 设平面FGH与平面PBC夹角的大小为O, 所以o0-kos杭训丽2乞 m列1V2 又0e0,2 所以0-子 即平面GH与平面P8C夹角的大小为牙： (3)由(2)平面PBC的一个法向量为m=(0,1,1): 3 又BE=(0,-2,1), 所以点B到与平面PBC的距离距为： BEm1√2 √22 18.(本小题满分15分)已知椭圆G+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,过 点乃的直线1与C交于D,E两点，△DEF2的周长为8，当直线1垂直于x轴时，DE=3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)点P为椭圆C上第一象限不同于顶点的一点，椭圆C右项点为A,若直线AP,F2P与y轴 相交，交点分别为M,N,且OMo州-}求点P的疾坐标 【解】（1)由椭圆定义知△DEF2的周长为4a=8,a=2, a,yst 代入精属方容有号芳-1，广0气-分 所以通径1DE1=2=3,b=5, a 椭圆方程为上+少 43 18 YA M (2)如图 B 法一：设P(,%),其中-2<x。<2且x。≠0， 因为直线AP,FP与y轴相交，所以直线AP,FP斜率都存在，直线AP方程为 ”白-2功，令=0.%= 七-2 直线p方得为y-),令=0，得青 所以 OM]-IONI= 到非时 2y29 又因为季琴=1所以》，术入荒可 26 4+3 9中，可得 3(4-x8) 9 (6。-2)(。-14’ 整理得 20-与2+)3，副203，所以=7孩x=有又因为-2<<2 (-2)(x-1) 。-1 1 x≠0，所以=一 所以点P的横坐标为一亏： 1 法二：由题意直线AP斜率存在，且不为0，设直线AP的方程为y=k(x-2), y=k(x-2) 令=0，得=2，由父+g=1,得(4+3)r-16+162-12=0,易知△>0， 43 设P(%),其中-2<x<2且，≠0，则%=(6-2)，所以2x=16k-12,即 4k2+3 8k2-6 =4k2+3 直线的方程为y=(x-1),令x=0,得 。-1 - (8k2-6-2 yw出 -k(。-2) 气4k2+3 12k x。-1x。-1 8k2-6-1 4k2-9 4k2+3 以epV--2a兰- （舍）或-22 20 441 激中，得5=有满足-2<<2，名0，所以点P的横华标为 代入，=4k+3 1 1 5 19.(本小题15.0分) 己知数列an}的前n项和为S,Sn=n20n∈N),数列bn满足：b乐+1=bn·bm+2(meN), 且a2+1,a4+1分别为数列{bn}第二项和第三项. (1)求数列{an}与数列bn}的通项公式： 32m-2 (②若数列cm=amb+(-1)”·b,-求数列{c3的前2n项和72n: (3)当n≥1时，设集合Mn={b+b,B.2”<b+b<3·2,1≤i<j,i,j∈N},集合Mn中元素的 个数记为d,求数列{dn}的通项公式. 【答案】解：(1)Sn=n(m∈N*), 当n≥2时，an=Sm-Sn-1=n2-(m-1)2=2n-1, 当n=1时，a1=S1=1,满足上式， 所以an=2n-1, 所以b=2+1=4,bg=4+1=8,则g=是=2， 所以bn=2； (②国可得.6a4+(-)6西2-)2+(-1 32n-2 (2n-10(2+1-1) 令A=1×21+3×22+5×23+…+(4n-1)×22m①， 所以2A=1×22+3×23+5×24+…+(4n-1)×22m+1②， ①-②可得，-A=21+2×22+2×23+…+2×22m-(4n-1)×22m+1=2+2× 2-2x2-(4-1）×22+1=(3-4n)×22m+1-6, 1-2 所以A=(4n-3)×22+1+6, 2-12*1-D,n=2k-1,k∈Z 2-32n 1 1 令vn= 2m-1 2+11,n=2k-1,k∈Z (2-12*1,n-2k,k∈Z 32n-2 1 1 2m-i+2+11,n=2k,keZ 令B=V1+V2+V3+V2n, 1 1 1 则B=22+21十2812121+…+21十211=-1+211 则T2m=A+B=(4-3)×22+1+6+(-1)+2a1=7=(4n-3)×22+1+2z1+5: (3)集合Mn中元素个数等价于满足3.2<2+2<3.21的不同解(i,)的个数， 若j<n+2,则2+2≤2+21≤2”+2*1=32，与己知矛盾； 若j>n+2,则2+2y≥2+23>3.2H,与已知矛盾，所以，j=n+2, 又因为(2+2+2）-3·2”=2+2”>0， 所以，3.2”<2+2+2<22+2+2<…<2”+2+2<21+2+2=3.281， 即i=1、2、3、L、n,共n个解(i,j),故dn=n 20.已知函数f(x)=xe,g(x)=血x+x. (1)求函数g(x)在1，g)处的切线方程； 6 (2)若h(x)=f(x)-g(x), (i)当a=1时，求函数h(x)的最小值： (ii)若h(x)=0有两个实根x,x,且≠x2,证明：e2> 【解析】(1)因为g(x)=血x+x,所以g)=上+1， 所以g0+1=2,又g0=1, 所以函数g(x)在(1，g(1)处的切线方程为：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)(i)当a=1时，h(x)=f(x)-g(r)=xe-hx-x,定义域为(0，+o), h()=(x+1)e-1-1=C+e-) 1 令F(x)=xe-1,x∈(0，+oo), 则F'(x)=(x+1)e>0, 所以F(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为F(0)=-1(0,F()=e0, 所以3x。∈(0,1)使得F(x)=0,即x,e=1,① 故当x∈(O,)时，F(x)<0,即(x)<0,此时h(x)在(0，x)上单调递减： 当x∈(x,+∞)时，F(x)>0,即H(x)>0,此时h(x)在(x,+∞)上单调递增， 所以当x=x时，函数h(x)有最小值， 由①可得h(xeo)=l1nl=0,即hnx。+x。=0, 所以函数h(x)的最小值为x,e-lnx,-,=1. (ii)由题意，h(x)=xe-a(hx+x),定义域为(0，+oo), 由题意h(x)=xe-a(lnx+x)=xe-an(xe*)=0有两个不相等的实数根， 令t=xe*,则t'=(x+l)e>0, 所以t=xe*在(0，+o)上递增，所以t>0, 令G(t)=t-alnt(t>0), 所以G(t)有两个不相等的正的零点t,42,且=xe,克2=x,e:, 即-al血4=0 飞-a血，=0'两式分别相加减得， a(t+n)=t+,a(Int2-n)=t. 6bi=经a=品@ a 要证c>,只需证(6e)k,e产)>e, XX2 即证h(xe)+h(x,e)>2,即需证lnt+lht,>2, ②知，血4+a4-5a-hz）上 t2-t t2.-1 t 故只需证)直>2， t2-1 不妨设0<<4，令u=互>1， t 则只需证 +11业>2，即nu>2.21- 2 u-1 +1 u+1 故只需证血u+ 0， 令s四）=nu+4 +12.(u>1) r-a时 >0, 所以s(4)在(1，+o)上单调递增， 所以s()>s(1)=0, 即当>1时，nu+4-2>0成立 u+1 所以血i+n,>2,(e)(se)>e,故 et-2>_12025-2026（一)天津二中高三年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本题共9小题，每小思5分，共45分。 1.已知集合A=x∈Nx<3!,B={-1,0,l,2},则A∩B=( A.{0,1,2} B.{1,2} C.{-1,0,1,2} D.{-11,2 2、若b≠0.则“a,b、a成等比数列”是“b√ac”的() A、充分不必要条件 B.必要不充分条件 C、充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若曲线y=)的部分图象如图所示，则∫(x)的解折式可能为( Aa间 五gf=cf网=e2n.f- 4.已知m,n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则下列说法中正确的是( A.若m/1a,nca,则m∥n B.若m⊥a,mlIB,则a⊥B C。若m⊥a,m⊥n,则n/1la B若m11a,a11p,则m11B 5。有一散点图如图所示，在六组数据(：，)(=1,2，…，6)中去掉B点后重新进行回归分析，则下 列说法正确的是() ●A 0 A.样本数据的两变量x,y正相关B.相关系数r的绝对值更接近于0 C.残差平方和变大 D.变量x与变量y相关性变强 高三数学第1页共4页 6.已知函数f(x)=2+x,g(x)=logx+x,h(x)=x+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小 顺序为() A.a>b>c B.b>c>a C.ic>a>b D.b>a>c 7.若数列{an}相邻两项的和依次构成等差数列，则称{a}是“邻和等差数列”.例如，数列1,2， 4,5,7,8,10为“邻和等差数列”.已知数列{a,}是“邻和等差数列”，Sn是其前n项和，且4=0， 42=1,a3=4,则S200=( A.39700 B.39800 C.39900 D.40000 8.已知函数因=2如0r+引@>0)，则下列结论 @若®=1，则f(x)在0上是单调递增 ®若/任+=（名，则正整数0的最小值为2 ③若0=2，函数y=f(x)的图象向右平移”个单位长度得到g(x)的图象.则g(x)为奇函数 其中判断正确的个数为() 4.0 B.1 C.2 D.3 9.己知双曲线女_上 合京=1(>0，b>0)的左有焦点分别为R,R,过点R的直线 1:x-√3y+2√5=0与双曲线的在右两支分别交于点AB,且AF引=BF,则该双曲线的方 程为( 若若1等苦1c-片1号号-1 66 11 39 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.i为虚数单位，若复数z满足(1+)z=-2i,则z的虚部为 的展开式中含x项的系数为 高数学第2页共4页 12.已知圆心在x轴上的圆C与倾斜角为二的直线相切于点N3,5则圆C的方程为 13.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4，且 甲乙射击互不影响，则无人机被至少一人击中的概率为 一·若无人机恰好被一人击中，则 被击落的概率为0.2：若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为_ 14.如图，在直角梯形ABCD中，已知AB/1DC,∠DAB=90°，AB=2,AD=CD=1,对角线AC交 BD于点O,点M在AB上，且满足OM⊥BD,则AM,D的值为，点P为线段BC上的 动点则1PA+PD1的取值范围为一 15.设函数f(x)=x2-2x-ax-2a,其中a>0,若只存在两个整数x,使得f(x)<0,则a的取 值范围是 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 l6.在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且asin A+csinC-bsinB=asin C. (1)求角B的大小： (2)若3a=2b.(i)求cosA的值；(ii)求sin(2A+B)的值 I7.如图，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为BP,BE,PC的中点. (1)求证：FG/I平面PDE: (2)求平面FGH与平面PBC夹角的大小： (3)求点E到平面PBC的距离 高三数学第3页共4页 18已知椭圆C三+号=a>b>0的左，右焦点分别为R,,过点5的直线1与C交于0， E两点，△DEF2的周长为8，当直线1垂直于x轴时，IDE=3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)点P为椭圆C上不同于顶点的一点，椭圆C右顶点为A,若直线风P,F,P与y轴相交， 交点分别为M,N,且oM]-ON]=?,求点P的横坐标。 19.己知数列faJ的前n项和为S,Sn=nm∈N,，数列满足：=bn·bm2NVn E N,， 且a2+1,a4+1分别为数列bJ第二项和第三项. 求数列{aJ与数列bJ的通项公式： 32n-2 2喏数列6.=ab.+(-1少omn1-求数列c,的前2m项和T2m: (3)当n≥1时，设集合Mn={b+b,3·2”<b,+b<32,1≤i<j,,j∈N},集合Mn中元素的个数 记为dn,求数列{dn}的通项公式. 20.已知函数f(x)=xe,g(x)=nx+x. (1)求函数g(x)在（山，g)处的切线方程； (2)若h(x)=f(x)-ag(x), (i)当a=1时，求函数h(x)的最小值： (ii)若()=0有两个实根x,名，且x≠x,证明：e2>1 2 高三数学第4页共4页