专题05 探索规律类问题（4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理探索规律类问题的核心知识点，涵盖数列、图形、数表、数式四大题型，用表格归纳等差数列、等比数列等类型特征，按“定义-方法-示例”呈现脉络，清晰展现考点内在联系与重难点分布。 讲义特色是“拆分-归纳-验证”解题法，如数式规律拆分符号、系数、字母部分找规律，培养抽象能力与推理意识。分层练习含典例与拓展题，如图形规律用数形结合分析棋子个数，助力学生发展数学眼光，教师可精准教学，提升复习效率。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题05 探索规律类问题（4大基本题型） 题型1：数式规律 题型2：图形规律 题型3：数表规律 题型4：程序/循环规律 一、探索规律类问题核心知识点 1. 数列规律： (1) 数列是按一定次序排列的一列数，规律通常蕴含在相邻项的差、倍数、符号或分组关系中。 (2) 关键方法： 1 观察相邻项的差（等差数列）、倍数（等比数列）； 2 分析符号变化（如正负交替用(－1)n表示）； 3 将数列分解为多个简单数列（如奇数项、偶数项分开）； 4 用代数式表示第n项，验证规律的普遍性。 2. 图形规律 (1) 图形规律需将图形的数量、位置、形状转化为数学表达式，通常涉及线段、三角形、正方形、火柴棒等元素。 (2) 关键方法： 1 数图形中的基本元素（如线段数、三角形个数）； 2 观察图形变化时的元素增减规律（如每增加一个图形，线段数增加多少）； 3 用代数式表示第n个图形的元素数量，验证是否符合前几个图形的规律。 3. 数表规律 (1) 数表（如日历、杨辉三角、数阵）中的规律通常与行、列的位置相关，需分析数之间的和、差、积、商关系。 (2) 关键方法： 1 观察数表中同行、同列或对角线上的数之和（如日历中9个数之和为中间数的9倍）； 2 分析数表中数的排列规律（如杨辉三角中每个数等于上方两数之和）； 3 用代数式表示数表中第i行第j列的数，验证规律的一致性。 4. 数式规律 (1) 数式规律涉及代数式的排列、运算结果，需观察代数式的系数、次数、符号变化。 (2) 关键方法： 1 观察代数式的系数（如－2x，4x2，－8x3的系数为(－2)n）； 2 分析代数式的次数（如x的次数与序号一致）； 3 用代数式表示第n个代数式，验证是否符合前几个代数式的规律。 二、常见数列类型 1. 等差数列 (1) 定义：相邻两项的差为常数（d）。 (2) 例子： 1 1，3，5，7，9，…（d＝2，第n项为2n－1）； 2 2，4，6，8，10，…（d＝2，第n项为2n）； 3 10，14，18，22，…（d＝4，第n项为4n＋6）。 2. 等比数列 (1) 定义：相邻两项的比值为常数（q）。 (2) 例子： 1 1，2，4，8，16，…（q＝2，第n项为2n－1）； 2 3，－6，12，－24，…（q＝－2，第n项为(－2)n－1×3）； 3 1，，，，…（q＝，第n项为） 3. 平方/立方数列 (1) 定义：项为自然数的平方或立方。 (2) 例子： 1 1，4，9，16，25，…（自然数的平方，第n项为n2）； 2 1，8，27，64，125，…（自然数的立方，第n项为n3）； 3 4，9，16，25，…（从2开始的自然数平方，第n项为(n＋1)2）。 4. 三角形数 (1) 定义：第n个三角形数为前n个自然数的和（形如三角形）。 (2) 例子： 1 1，3，6，10，15，…（第n项为）； 2 2，5，9，14，20，…（从2开始的三角形数，第n项为）。 5. 符号交替数列 (1) 定义：项的符号按一定规律交替变化（如正负交替、奇偶交替）。 (2) 例子： 1 1，－2，3，－4，5，－6，…（符号为(－1)n＋1，第n项为(－1)n＋1n）； 2 －1，2，－4，8，－16，…（符号为(－1)n，第n项为(－1)n2n－1）。 【题型1】数式规律 1. 定义：通过数字、单项式、多项式或等式的排列规律，用含n的代数式表示第n项或通用规律。 2. 常见子题型： (1) 数字规律：如－2，5，－10，17，－26，…（符号＋数字规律）； (2) 单项式规律：如x2，－x4，x6，－x8，…（系数＋次数＋符号规律）； (3) 多项式规律：如－x2y，x3y2，－x4y3，x5y4，…（系数＋字母次数＋符号规律）； (4) 等式规律：如1×3＋1＝22，2×4＋1＝32，3×5＋1＝42，…（等式两边的数字/代数式规律）。 3. 针对性的解题技巧：将数式拆分为符号、系数、字母部分，分别找规律： (1) 符号规律：用(－1)n（奇数项负、偶数项正）或(－1)n＋1（奇数项正、偶数项负）表示； (2) 系数规律：找系数的数字规律（如1，2，3，…为n；1，3，5，…为2n－1；1，－1，，－，…为）； (3) 字母部分：找字母的次数或指数规律（如x2，x4，x6，…为x2n；x2y，x3y2，x4y3，…为xn＋1yn）。 【题型2】图形规律 1. 定义：通过图形的数量（如点、线、面、小图形个数）、位置或形状变化，用含n的代数式表示第n个图形的规律。 2. 常见子题型： (1) 数量规律：如第1个图有4个点，第2个图有8个点，第3个图有13个点，…（点的数量递增规律）； (2) 位置规律：如小棋子按“右→上→左→下”循环移动，求第n次移动后的位置； (3) 形状规律：如分形几何中的树形图，第n行的黑圈数量（形状的递归变化）。 3. 针对性的解题技巧：数形结合法 (1) 数图形：将图形转化为数字（如点的数量、线的数量、面的数量），再用数式规律解决； (2) 图形变换：分析图形的平移、旋转、缩放规律（如小棋子的移动方向、次数）； (3) 补形法：将不规则图形补成规则图形（如正方形、三角形），计算总数量与补形数量的差（如数表中的阴影部分数量）。 【题型3】数表规律 1. 定义：通过数表（如日历、杨辉三角、数阵）中的数字排列，分析行、列或对角线的规律。 2. 常见子题型： (1) 日历规律：如日历中3×3方框内9个数的和是中间数的9倍； (2) 数阵规律：如“从1开始，每隔一数取一个”形成的数阵（第1行：2，6，10，…；第2行：4，12，20，…），求某数的位置； (3) 杨辉三角规律：如杨辉三角中第n行的数字和为2n，或某位置的数与组合数的关系。 3. 针对性的解题技巧：定位法 (1) 确定位置：明确数表中数字的行号i和列号j（如日历中第i行第j列的数为7(i－1)＋j）； (2) 找行/列规律：分析每行或每列的数字规律（如日历中每行的数字是连续的自然数，每列的数字相差7）； (3) 找对角线规律：分析两条对角线的数字规律（如日历中从左上到右下的对角线数字相差8，从右上到左下的对角线数字相差6）。 【题型4】程序/循环规律 1. 定义：通过程序框图或循环操作（如“输入→计算→输出”），分析循环节或输出结果的规律。 2. 常见子题型： (1) 循环输出规律：如输入125，程序按“除以5取余数→商继续”循环，求第2023次输出的结果； (2) 操作循环规律：如“回头差”游戏（每次操作增加的项是“末项减前一项”），求第n次操作后的整式串和。 3. 针对性的解题技巧：循环节 (1) 记录输出序列：将程序的输出结果按顺序记录（如输入125，输出序列为125，25，5，0，0，0，…）； (2) 找循环节：观察输出序列中的重复部分（如0，0，0，…为循环节，长度为1）； (3) 计算循环次数：用总次数减去非循环部分的次数，再除以循环节长度，得到循环的次数和余数（如输入125，非循环部分为125，25，5（3次），循环部分为0（长度1），第2023次输出为0）。 【核心解题思路与步骤】 探索规律类问题的核心逻辑是：观察特殊→归纳一般→验证猜想。以下是通用的解题步骤，适用于所有题型： 1. 第一步：观察与分类 (1) 识别变量：确定问题中的变化量（如数字的位置n、图形的序号n、数表的行i列j）； (2) 分类整理：将变化量按顺序列出（如第1项、第2项、第3项…），或按图形/数表的结构分类（如行、列、对角线）； (3) 标注特征：标记变化量中的不变量（如符号交替中的(－1)n、图形中的固定边数）和变量（如递增的系数、递减的差值）。 2. 第二步：归纳与猜想 (1) 找相邻项的关系：计算相邻项的差（等差数列）、商（等比数列）、和/积（和积规律）； (2) 找结构特征：分析变化量的结构（如单项式的系数、次数；图形的边数、小图形个数）； (3) 用特殊值验证：用前几项（如n＝1，2，3）验证猜想的正确性； 3. 第三步：验证与总结 (1) 数学归纳法验证：用数学归纳法证明猜想对所有正整数n成立； (2) 应用规律解决问题：用猜想的规律解决具体问题； (3) 总结规律：用简洁的语言或代数式总结规律。 【易错点提醒】 1. 符号错误：注意(－1)n＋1与(－1)n的区别（奇数项负用(－1)n，奇数项正用(－1)n＋1）； 2. 项数错误：注意第n项的起始值（如2n－1表示第1项为1，第2项为3，…，第n项为2n－1）； 3. 验证不充分：猜想后一定要用前几项验证（如猜想数字规律为(－1)n(n2＋1)，一定要验证n＝1，2，3，4，5）； 4. 图形计数错误：数图形时要注意不重复、不遗漏（如数点的数量时，要按顺序数，避免漏数或多数）。 【题型1】数式规律 【典例1】观察下列数据：，5，，17，，…，则第12个数是（　　） A．2045 B．﹣2047 C．4095 D．4097 【答案】D 【分析】观察数据，找到规律：第n 个数为，根据规律求出第12个数即可． 此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出数字的变与不变是解题关键． 【详解】解：观察数据，找到规律：第n 个数为， ∴第12个数是． 故选：D． 【练习1】观察下面的几个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据上述规律填空： (1)第5个等式为________，第17个等式为________； (2)用含的代数式表示第个等式：________； (3)． 【答案】(1)， (2) (3)103 【分析】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律可得第5个等式和第17个等式； （2）根据前几个等式可得规律，进而可得第个等式，再按照等式的运算得出结果； （3）根据，再根据解析（2）可得：，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… ∴第5个等式：； 第17个等式：； （2）解：第n个等式：； （3）解： 根据解析（2）可得：， ∴． 【练习2】已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项归纳数列的奇偶项规律是解题的关键． 先计算数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项的规律，再代入（奇数）求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， …， ∴ 当为奇数时，；当为偶数时，； ∵ 是奇数， ∴ ， 故选：A． 6． 7．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到依此类推，则（      ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，该数列经过每次操作后，每三组循环一次，即操作1得，操作2得，操作3得，然后重复，是第507组的第一个数，507能被3整除，故对应操作3的第一个数，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵为， ∴，，，， ∴为， 依此类推，为， 为， …， ∴这些数值组以3次操作为一个循环周期 ∵， ∴是第507组的第一个数， ∵， ∴第507组对应操作3的结果， ∴， 故选：A． 【练习3】（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令， 则， 因此， 所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2；；；（2）；（3） 【分析】本题考查数字类探究问题．根据题意抽象概括出数字规律，熟练掌握给出的运算方法是解题的关键． （1）根据给出的数字，抽象概括出数字规律，进行解答即可； （2）仿照（1）中②的运算方法进行计算即可； （3）利用（1）中②的方法，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵ ∴，； 故答案为： 2；；； （2）令 则 得：，； （3）令 则 ： ∴ ∴ ． 【题型2】图形规律 【典例1】将一些小圆球如图摆放，第9幅图中共有（   ）个小圆球． A．72 B．81 C．90 D．99 【答案】B 【分析】本题考查了数字的规律探究以及连续奇数求和的知识，解题的关键是通过观察前几幅图中小圆球数量的计算式，总结出第​n幅图中小圆球数量为这一规律． 【详解】解：第一幅图：1 个，即​；​ 第二幅图：​个，；​ 第三幅图：​个，；​ 第四幅图：个，．​ 由此可总结规律：第​n幅图中小圆球的数量是从 1 开始的​n个连续奇数的和，且和为． 根据上述规律，第9幅图中小圆球的数量是从 1 开始的9个连续奇数的和，即​ ．​按照规律，其和为．​ 所以，第9幅图中共有 个小圆球． 故选：B． 【练习1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（    ） A．199 B．201 C．290 D．301 【答案】D 【分析】找出五边形数变化的规律，依据规律解答即可． 本题考查了数字类变化规律，根据所给五边形数准确找出数字的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得：第二个五边形数比第一个五边形数多， 第三个五边形数比第二个五边形数多， 第四个五边形数比第三个五边形数多， ， 第101个五边形数比第100个五边形数多 故选：． 【练习2】用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有11个三角形，第④个图案中有15个三角形，此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（　　） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律问题． 找出规律，进而作答即可． 【详解】解：第①个图案中有个三角形， 第②个图案中有个三角形， 第③个图案中有个三角形， 第④个图案中有个三角形， …… 第个图案中有个三角形， 第⑧个图案中三角形的个数为． 故选：B． 【练习3】如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，则第个图中的棋子数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，掌握根据图形得到规律是解题的关键． 根据图形，按规律归纳出第n个图形有枚棋子，然后即可求解第个图中的棋子数． 【详解】解：第1个图中棋子数为， 第2个图中棋子数为， 第3个图中棋子数为， 第4个图中棋子数为， 由此可知，第n个图中棋子数为， 则第个图中的棋子数为． 故选：D． 【题型3】数表规律 【典例1】由，，，，，，，组成的三角形矩阵如图所示，则第50行的第25个数是（　　） A．2025 B．2499 C．2451 D．2501 【答案】B 【分析】本题主要考查归纳推理，首先找出三角形数阵的规律，求出第n行第一个数为即可解答． 【详解】解：第1行的第1个数是1，而； 第2行的第1个数是3，而； 第3行的第1个数是7，而； 第4行的第1个数是13，而； 第5行的第1个数是21，而； …… 第n行的第1个数是， ∴第50行的第1个数是， ∴第50行的第25个数是 故选B． 【练习1】如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 【练习2】把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【答案】(1)5；5 (2)165 (3) 【分析】本题主要考查数字规律和利用规律计算，难度较大，解题的关键是找到对应的规律并利用规律解决计算问题， （1）找出数字“8”和“9”在数表第一次和最后一次的位置，即可求解； （2）根据数表找出第十行的第一个数和总共数字的个数，求和即可解答； （3）利用已知的数表得到，则，那么，，再次利用求和方法即可得到，并得到，计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 数字“8”第一次出现在第四行，且此时数字“8”为该行中的最大数， 数字“8”最后一次出现在第八行，且此时数字“8”为该行中的最小数， 则， 所以数字“8”一共出现了5次； 数字“9”第一次出现在第五行，且此时数字“9”为该行中的倒数第2个数， 数字“9”最后一次出现在第九行，且此时数字“9”为该行中的最小数， 则， 所以数字“9”一共出现了5次； 故答案为：5，5； （2）解：由题知， 第十行有11个数，且该行的第1个数为10，后续数依次增加1， 则… 故答案为：165； （3）解：， ， ， ， 则， ∴， 则， ∵n个数相加的和为， ∴个数相加的和为， 则， 那么，， ∴ ． 【练习3】如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0 (2)，，0 (3)A，的值均为0，见解析；B，的值均为，见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，设，则，代入计算即可；选B时，设，则，，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 设中间的数为a，则，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，则． 所以，， 故答案为：；；； （3）选A．的值均为0；理由： 设，则， ； ∴的值均为0． 选B．的值均为；理由： 设，则， ， ∴的值均为． 【题型4】程序/循环规律 【典例1】我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2025次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的计算与流程图，数字规律的计算，理解流程图的含义，掌握代数式的计算是关键． 根据题意，代入计算，找出规律即可求解． 【详解】解：开始输入的x值为， 第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， …， ∴， ∴第2025次输出的结果为， 故选：A ． 【练习1】如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，……，以此类推，第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律．根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解． 【详解】解：由数据运算程序得，如果开始输入的x的值为10，那么： 第1次输出的结果是5， 第2次输出的结果是16， 第3次输出的结果是8， 第4次输出的结果是4， 第5次输出的结果是2， 第6次输出的结果是1， 第7次输出的结果是4， 综上可得，从第4次开始，每三个一循环， 由可得第2025次输出的结果与第6次输出的结果相等，为1． 故选：A． 【练习2】如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、数字规律等知识点，发现从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1是解题的关键． 根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，据此解答即可． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， 第7次，， ……， 依此类推，从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1， 所以第2025次输出的结果为1． 故选：D． 【练习3】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是______，依次继续下去，，第次输出的结果是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，程序流程图与有理数计算，根据题意，依次求出输出的结果，发现规律输出的结果按，，，，，循环，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵开始输入的值是， ∴第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， ， 由此可见，输出的结果开始按，，，，，循环， 因为，， 所以第次输出的结果是， 故答案为：，． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题05 探索规律类问题（4大基本题型） 题型1：数式规律 题型2：图形规律 题型3：数表规律 题型4：程序/循环规律 一、探索规律类问题核心知识点 1. 数列规律： (1) 数列是按一定次序排列的一列数，规律通常蕴含在相邻项的差、倍数、符号或分组关系中。 (2) 关键方法： 1 观察相邻项的差（等差数列）、倍数（等比数列）； 2 分析符号变化（如正负交替用(－1)n表示）； 3 将数列分解为多个简单数列（如奇数项、偶数项分开）； 4 用代数式表示第n项，验证规律的普遍性。 2. 图形规律 (1) 图形规律需将图形的数量、位置、形状转化为数学表达式，通常涉及线段、三角形、正方形、火柴棒等元素。 (2) 关键方法： 1 数图形中的基本元素（如线段数、三角形个数）； 2 观察图形变化时的元素增减规律（如每增加一个图形，线段数增加多少）； 3 用代数式表示第n个图形的元素数量，验证是否符合前几个图形的规律。 3. 数表规律 (1) 数表（如日历、杨辉三角、数阵）中的规律通常与行、列的位置相关，需分析数之间的和、差、积、商关系。 (2) 关键方法： 1 观察数表中同行、同列或对角线上的数之和（如日历中9个数之和为中间数的9倍）； 2 分析数表中数的排列规律（如杨辉三角中每个数等于上方两数之和）； 3 用代数式表示数表中第i行第j列的数，验证规律的一致性。 4. 数式规律 (1) 数式规律涉及代数式的排列、运算结果，需观察代数式的系数、次数、符号变化。 (2) 关键方法： 1 观察代数式的系数（如－2x，4x2，－8x3的系数为(－2)n）； 2 分析代数式的次数（如x的次数与序号一致）； 3 用代数式表示第n个代数式，验证是否符合前几个代数式的规律。 二、常见数列类型 1. 等差数列 (1) 定义：相邻两项的差为常数（d）。 (2) 例子： 1 1，3，5，7，9，…（d＝2，第n项为2n－1）； 2 2，4，6，8，10，…（d＝2，第n项为2n）； 3 10，14，18，22，…（d＝4，第n项为4n＋6）。 2. 等比数列 (1) 定义：相邻两项的比值为常数（q）。 (2) 例子： 1 1，2，4，8，16，…（q＝2，第n项为2n－1）； 2 3，－6，12，－24，…（q＝－2，第n项为(－2)n－1×3）； 3 1，，，，…（q＝，第n项为） 3. 平方/立方数列 (1) 定义：项为自然数的平方或立方。 (2) 例子： 1 1，4，9，16，25，…（自然数的平方，第n项为n2）； 2 1，8，27，64，125，…（自然数的立方，第n项为n3）； 3 4，9，16，25，…（从2开始的自然数平方，第n项为(n＋1)2）。 4. 三角形数 (1) 定义：第n个三角形数为前n个自然数的和（形如三角形）。 (2) 例子： 1 1，3，6，10，15，…（第n项为）； 2 2，5，9，14，20，…（从2开始的三角形数，第n项为）。 5. 符号交替数列 (1) 定义：项的符号按一定规律交替变化（如正负交替、奇偶交替）。 (2) 例子： 1 1，－2，3，－4，5，－6，…（符号为(－1)n＋1，第n项为(－1)n＋1n）； 2 －1，2，－4，8，－16，…（符号为(－1)n，第n项为(－1)n2n－1）。 【题型1】数式规律 1. 定义：通过数字、单项式、多项式或等式的排列规律，用含n的代数式表示第n项或通用规律。 2. 常见子题型： (1) 数字规律：如－2，5，－10，17，－26，…（符号＋数字规律）； (2) 单项式规律：如x2，－x4，x6，－x8，…（系数＋次数＋符号规律）； (3) 多项式规律：如－x2y，x3y2，－x4y3，x5y4，…（系数＋字母次数＋符号规律）； (4) 等式规律：如1×3＋1＝22，2×4＋1＝32，3×5＋1＝42，…（等式两边的数字/代数式规律）。 3. 针对性的解题技巧：将数式拆分为符号、系数、字母部分，分别找规律： (1) 符号规律：用(－1)n（奇数项负、偶数项正）或(－1)n＋1（奇数项正、偶数项负）表示； (2) 系数规律：找系数的数字规律（如1，2，3，…为n；1，3，5，…为2n－1；1，－1，，－，…为）； (3) 字母部分：找字母的次数或指数规律（如x2，x4，x6，…为x2n；x2y，x3y2，x4y3，…为xn＋1yn）。 【题型2】图形规律 1. 定义：通过图形的数量（如点、线、面、小图形个数）、位置或形状变化，用含n的代数式表示第n个图形的规律。 2. 常见子题型： (1) 数量规律：如第1个图有4个点，第2个图有8个点，第3个图有13个点，…（点的数量递增规律）； (2) 位置规律：如小棋子按“右→上→左→下”循环移动，求第n次移动后的位置； (3) 形状规律：如分形几何中的树形图，第n行的黑圈数量（形状的递归变化）。 3. 针对性的解题技巧：数形结合法 (1) 数图形：将图形转化为数字（如点的数量、线的数量、面的数量），再用数式规律解决； (2) 图形变换：分析图形的平移、旋转、缩放规律（如小棋子的移动方向、次数）； (3) 补形法：将不规则图形补成规则图形（如正方形、三角形），计算总数量与补形数量的差（如数表中的阴影部分数量）。 【题型3】数表规律 1. 定义：通过数表（如日历、杨辉三角、数阵）中的数字排列，分析行、列或对角线的规律。 2. 常见子题型： (1) 日历规律：如日历中3×3方框内9个数的和是中间数的9倍； (2) 数阵规律：如“从1开始，每隔一数取一个”形成的数阵（第1行：2，6，10，…；第2行：4，12，20，…），求某数的位置； (3) 杨辉三角规律：如杨辉三角中第n行的数字和为2n，或某位置的数与组合数的关系。 3. 针对性的解题技巧：定位法 (1) 确定位置：明确数表中数字的行号i和列号j（如日历中第i行第j列的数为7(i－1)＋j）； (2) 找行/列规律：分析每行或每列的数字规律（如日历中每行的数字是连续的自然数，每列的数字相差7）； (3) 找对角线规律：分析两条对角线的数字规律（如日历中从左上到右下的对角线数字相差8，从右上到左下的对角线数字相差6）。 【题型4】程序/循环规律 1. 定义：通过程序框图或循环操作（如“输入→计算→输出”），分析循环节或输出结果的规律。 2. 常见子题型： (1) 循环输出规律：如输入125，程序按“除以5取余数→商继续”循环，求第2023次输出的结果； (2) 操作循环规律：如“回头差”游戏（每次操作增加的项是“末项减前一项”），求第n次操作后的整式串和。 3. 针对性的解题技巧：循环节 (1) 记录输出序列：将程序的输出结果按顺序记录（如输入125，输出序列为125，25，5，0，0，0，…）； (2) 找循环节：观察输出序列中的重复部分（如0，0，0，…为循环节，长度为1）； (3) 计算循环次数：用总次数减去非循环部分的次数，再除以循环节长度，得到循环的次数和余数（如输入125，非循环部分为125，25，5（3次），循环部分为0（长度1），第2023次输出为0）。 【核心解题思路与步骤】 探索规律类问题的核心逻辑是：观察特殊→归纳一般→验证猜想。以下是通用的解题步骤，适用于所有题型： 1. 第一步：观察与分类 (1) 识别变量：确定问题中的变化量（如数字的位置n、图形的序号n、数表的行i列j）； (2) 分类整理：将变化量按顺序列出（如第1项、第2项、第3项…），或按图形/数表的结构分类（如行、列、对角线）； (3) 标注特征：标记变化量中的不变量（如符号交替中的(－1)n、图形中的固定边数）和变量（如递增的系数、递减的差值）。 2. 第二步：归纳与猜想 (1) 找相邻项的关系：计算相邻项的差（等差数列）、商（等比数列）、和/积（和积规律）； (2) 找结构特征：分析变化量的结构（如单项式的系数、次数；图形的边数、小图形个数）； (3) 用特殊值验证：用前几项（如n＝1，2，3）验证猜想的正确性； 3. 第三步：验证与总结 (1) 数学归纳法验证：用数学归纳法证明猜想对所有正整数n成立； (2) 应用规律解决问题：用猜想的规律解决具体问题； (3) 总结规律：用简洁的语言或代数式总结规律。 【易错点提醒】 1. 符号错误：注意(－1)n＋1与(－1)n的区别（奇数项负用(－1)n，奇数项正用(－1)n＋1）； 2. 项数错误：注意第n项的起始值（如2n－1表示第1项为1，第2项为3，…，第n项为2n－1）； 3. 验证不充分：猜想后一定要用前几项验证（如猜想数字规律为(－1)n(n2＋1)，一定要验证n＝1，2，3，4，5）； 4. 图形计数错误：数图形时要注意不重复、不遗漏（如数点的数量时，要按顺序数，避免漏数或多数）。 【题型1】数式规律 【典例1】观察下列数据：，5，，17，，…，则第12个数是（　　） A．2045 B．﹣2047 C．4095 D．4097 【练习1】观察下面的几个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据上述规律填空： (1)第5个等式为________，第17个等式为________； (2)用含的代数式表示第个等式：________； (3)． 【练习2】已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 7．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到依此类推，则（      ） A． B．1 C． D． 【练习3】（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令， 则， 因此， 所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【题型2】图形规律 【典例1】将一些小圆球如图摆放，第9幅图中共有（   ）个小圆球． A．72 B．81 C．90 D．99 【练习1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（    ） A．199 B．201 C．290 D．301 【练习2】用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有11个三角形，第④个图案中有15个三角形，此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（　　） A．27 B．31 C．35 D．39 【练习3】如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，则第个图中的棋子数是（    ） A． B． C． D． 【题型3】数表规律 【典例1】由，，，，，，，组成的三角形矩阵如图所示，则第50行的第25个数是（　　） A．2025 B．2499 C．2451 D．2501 【练习1】如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【练习2】把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【练习3】如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【题型4】程序/循环规律 【典例1】我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2025次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【练习1】如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，……，以此类推，第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【练习2】如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【练习3】在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是______，依次继续下去，，第次输出的结果是______． / 学科网（北京）股份有限公司 $