精品解析：河南省平顶山市鲁山县第七教研区2023-2024学年上学期 期末联考九年级数学试卷

2023—2024学年上学期期末联考 九年级数学 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：cos60°=， 故选A. 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 2. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴， 故选：C． 3. 已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案． 【详解】解：解方程组：，得：或， 故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）． 在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能； 在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能； 在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能； 在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质． 4. 如图，在中， 则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，作辅助线，是解题的关键． 过点A作于点D，则得到两个直角三角形，设，则，得，，结合，建立方程，解方程即得． 【详解】解：过点A作于点D， 则， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：C ． 5. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题． 【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（ ）     A. 4 B. 6.25 C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、切线的性质、切线长定理，熟练掌握切线长定理求内切圆半径是解题的关键． 先判断的形状，再利用切线长定理求出内切圆半径，最后计算四边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是内切圆，切点为、、， ∴，，，四边形是正方形， 设内切圆半径为，则， 由切线长定理：， ∴， ∴四边形的面积， 故选：A． 7. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论a>0和a<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系． 【详解】根据题意画出大致图象： 当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确． 当a<0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确． 综上所述只有C正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论． 8. 以坐标原点O为圆心，作半径为2圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ） A ． B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，当直线与圆相切时，A(0， )，B(0，-)，易得D选项正确. 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 10. 如图，点、、、都在上，，为上的一点，，的延长线交于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OB和AC，根据等边对等角可得∠OCD=∠ODC=，从而求出∠COD，然后根据圆的基本性质可得AB=AC，从而得出∠ABC=∠ACB=，从而求出∠BOC，从而得出为等腰直角三角形，然后证出，列出比例式即可求出结论． 【详解】解：连接OA、OB和AC ∵，OC=OD ∴∠OCD=∠ODC= ∴∠COD=180°－∠OCD－∠ODC=45° ∵ ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB= ∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=45° ∴∠BOC=2∠BAC=90° ∵OB=OC， ∴为等腰直角三角形， ∴，= ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】此题考查的是圆的基本性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质，掌握圆的基本性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 二次函数 的图象与x轴有唯一交点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题． 二次函数图象与x轴有唯一交点，判别式为零． 【详解】解：方程的判别式为． ∵二次函数的图象与x轴有唯一交点， ∴令， 得， 解得． 故答案为：． 12. 如图，正六边形 内接于，边长，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，代入弧长公式即可求解，作出辅助线，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，，与交于点E，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键． 证明，得出，证出，得出，因此，在中，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 14. 如图，抛物线 与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．下列结论：①,②,③,④．其中正确的结论是_______．（填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】先结合函数图像获取信息（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点等），并利用特殊点的坐标得到系数关系，进而通过代数变形判断各式符号． 【详解】解：由二次函数的图像可得： ∵抛物线开口向上， ∴； ∵与y轴交于负半轴， ∴时，； ∵对称轴在y轴右侧， ∴， 又， ∴； ∵对称轴在直线左侧， ∴， 又, ∴； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴判别式． ∵将点代入解析式, 得： ∴ ∴． 逐项判断： ∵，，， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故②正确； 由图像可知，当时，抛物线位于轴上方， ∵， 故③正确； ∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴判别式， 故④错误． 综上，正确的结论是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 15. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案． 【详解】如图当、、三点共线，距离最小， ∵，为的中点， ∴，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】2． 【解析】 【分析】先计算绝对值运算、特殊角正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，熟记各运算法则是解题关键． 17. 如图，是的半径，过点作的切线，且，，分别交于点，，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先得出，推出OA=OB，再利用OA-OC=OB-OD得出结果即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的切线， ∴， ∵MA=MB，OM=OM， ∴， ∴OA=OB， ∵OC，OD都是⊙O的半径， ∴OC=OD， ∴OA-OC=OB-OD， 即AC=BD． 【点睛】本题考查了切线的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定． 18. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值； （2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值. 【详解】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13）， ∴，解得， ∴a的值为1，b的值为-4； （2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点， ∴，解得或（舍去） ∴m的值为-1. 【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键. 19. 如图，小岛和都在码头的正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】14.2 km. 【解析】 【分析】根据题意，可求出km,km，则可得km,在中利用三角函数可得，所以km,然后在中，根据三角函数列出关于的方程，解方程即可得出答案. 【详解】解：依题可得，km, 设km，则km, 在中， ， ， ， ， km, km, 在中， ， ， 解得： 即渔船在处时距离码头约14.2km. 【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题目所给的已知条件，先找出要用到的直角三角形，然后再逐一去分析，需要设未知数的一般求谁设谁，或者选择计算量较小的线段设为未知数，注意题目要求的精确度. 20. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大 【解析】 【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案； （2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可； （3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可． 【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克． 设每千克水果售价为元，由题意，得 即 整理，得 配方，得 解得 当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元； 设月销售利润元，每千克水果售价为元， 由题意，得 即 配方，得 ， 当时，有最大值， 当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算． 21. 如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解； (2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长． 【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示： ∵OA=OF， ∴∠A=∠OFA， ∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°， ∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90° 又EC=EF，∴∠C=∠EFC， ∴∠CGF=∠GFE, 又∠CGF=∠AGD， ∴∠GFE=∠AGD ∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是圆O的切线． (2)如下图所示， ∵D是OA的中点，且AB=4， ∴DO=1，BD=BO+DO=3， 又AB=CD=4， ∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=3²+4²=5²， ∴BC=5， 又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B， ∴△ABF∽△CBD， ∴，代入数据后得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键． 22. 如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E． （1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）求证：CD平分∠ACB； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论； （2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论； （3）先判断出，得出DF2＝BF•EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论． 【详解】证明：（1）如图，连接OD，OC， 在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点， ∴OC＝OA＝OB， 在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点， ∴OD＝OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上； （2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， 在Rt中，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠BOC＝60°， 在Rt中，∠DAB＝45°， ∴∠ABD＝45°＝∠DAB， ∴AD＝BD， ∵点O是AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°， ∴∠COD＝150°， ∴∠OCD＝∠ODC＝15°， ∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°， ∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD， ∴CD平分∠ACB； （3）由（2）知，∠BCD＝45°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BEC＝75°， ∴∠AED＝75°， ∵DF∥BC， ∴∠BFD＝∠ABC＝60°， ∵∠ABD＝45°， ∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED， ∵∠DFE＝∠BFD， ∴， ∴， ∴DF2＝BF•EF， 连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD， 在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2， ∴OB2+OF2＝BF•EF， 即BO2+OF2＝EF•BF． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点和点， (1)求抛物线的表达式； (2)如图，线段绕原点逆时针旋转30°得到线段．过点作射线，点是射线上一点(不与点重合)，点关于轴对称点为点，连接 ①请直接写出的形状为__________． ②设的面积为的面积为是，当时，求点的坐标； （3）如图，在（2）的结论下，过点作，交的延长线于点，线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段，过点作轴，交射线于点，的角平分线和的角平分线相交于点，当时，请直接写出点的坐标为__________． 【答案】（1）；（2）①等边三角形；②；（3）（6，） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入点B、C坐标，利用待定系数法解析式可解； （2）①过点D作DH⊥OB于点H ，利用解直角三角形知识，求出，得到，由对称性问题可解； ②在①基础上，分别求出S1、S2面积，求出MN则问题可解； （3）由旋转的性质可知BE=BF，然后根据（2）中的结论可得点E和点F到x轴距离相等，又由于FK ∥x轴，所以点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离，从而确定E、K重合，可得为等边三角形，从而根据题目条件可求点G坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点B（6，0），C（0，-3） ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）①等边三角形 如图 过点D作DH⊥OB于点H， 在中， 在中， ∴ 由轴对称可知，， ∴为等边三角形 故答案为：等边三角形； ②由①，得 设 在中， （3）由题意如图， 在（2）的结论下可知△BMN为等边三角形，M（3，） ∵，交的延长线于点， ∴∠MBE=30°，ER= ∵线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段 ∴点F到x轴的距离= ER= ∵FK ∥x轴， ∴点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离= ER= 又∵点K、E均在射线BE上 ∴K、E两点重合 ∴ ∴为等边三角形 ∴，∠OBG=90° ∵ ∴点G坐标为（6，） 故答案为：（6，） 【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法、旋转的性质、轴对称及等边三角形的性质等知识，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年上学期期末联考 九年级数学 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 3. 已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中， 则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（ ）     A. 4 B. 6.25 C. 9 D. 16 7. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ） A. ． B. C. D. 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 10. 如图，点、、、都在上，，为上的一点，，的延长线交于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 二次函数 的图象与x轴有唯一交点，则_______． 12. 如图，正六边形 内接于，边长，则的长为_______． 13. 如图，在四边形中，，，，与交于点E，，则的值是________． 14. 如图，抛物线 与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．下列结论：①,②,③,④．其中正确的结论是_______．（填序号） 15. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： 17. 如图，是的半径，过点作的切线，且，，分别交于点，，求证： 18. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 19. 如图，小岛和都在码头正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 20. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得月利润最大？ 21. 如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 22. 如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E． （1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）求证：CD平分∠ACB； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点和点， (1)求抛物线表达式； (2)如图，线段绕原点逆时针旋转30°得到线段．过点作射线，点是射线上一点(不与点重合)，点关于轴的对称点为点，连接 ①请直接写出的形状为__________． ②设的面积为的面积为是，当时，求点的坐标； （3）如图，在（2）的结论下，过点作，交的延长线于点，线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段，过点作轴，交射线于点，的角平分线和的角平分线相交于点，当时，请直接写出点的坐标为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $