精品解析：江西省赣抚吉高中联盟2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷

2026届高中联盟12月高三联考 数学试卷 组织命题：黄冈市文海教科院 考生注意： 1．本试卷满分150分.考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 设是正实数，.若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 5. 已知平面平面，，下列结论中正确的是（ ） A. 若直线平面，； B. 若平面平面，则； C. 若平面直线l，则； D. 若直线直线，则. 6. 已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，，则使得最小时的n是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为锐角 D. 在上的投影向量为 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C. 已知随机变量X服从二项分布，则 D. 在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为______. 13. 已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 14. 正方体的顶点A在平面内，三条棱，，都在平面同侧．若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1． （1）求函数的对称中心； （2）求使成立的x的集合． 16. 如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极小值，求a的值； （3）若，正实数数列满足，，数列的前n项和为．求证：且． 19. 已知抛物线仅经过，，中的一点． （1）求的方程； （2）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限． （i）记和的面积为，求的最小值； （ii）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高中联盟12月高三联考 数学试卷 组织命题：黄冈市文海教科院 考生注意： 1．本试卷满分150分.考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，再利用共轭复数的概念和复数的乘法计算法则即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式得：，则，而，又， 所以. 故选：A 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式即可求解. 【详解】，，， . 故选：C. 4. 设是正实数，.若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算及基本不等式计算可得. 【详解】， ， 即，，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 5. 已知平面平面，，下列结论中正确的是（ ） A. 若直线平面，； B. 若平面平面，则； C. 若平面直线l，则； D. 若直线直线，则. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由平面平面，且， 对于A，若平面，可得或，所以A不正确； 对于B，若平面平面，则或与相交或与重合，所以B不正确； 对于C，若平面，且，所以，所以C正确； 对于D，如图所示，直线直线，则可能与相交或或，所以D不正确. 故选：C. 6. 已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立双曲线与直线方程，根据根的判别式及韦达定理得到不等式，求出，得到虚轴长的取值范围. 【详解】联立与可得 ，设， 需满足， 由于直线恒过双曲线右顶点，故是方程的一个根， 另一根为，要使直线与右支有两个不同交点，需， 由韦达定理知，可得，由得， 又，解得，所以虚轴长. 故选：B 7. 已知数列的前n项和为，，则使得最小时的n是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的通项公式分析数列的性质，即可确定结果. 【详解】根据题意，数列， 当时，有，当时，有. 则当时，最小. 故选：C. 【点睛】 8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】 即 即 又，故， 所以 所以 ， 因为 又因为， ， 所以， 所以，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为锐角 D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确； 因，， 则，故B错误； ，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C. 已知随机变量X服从二项分布，则 D. 在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先排序，再计算对应下四分位数判断即可；对于B，根据正态分布的对称性求解即可判断；对于C，根据二项分布的方差公式得，再求判断；对于D，根据决定系数的定义可判断D. 【详解】对于A，将数据从小到大排序：1，3，5，6，8，9，11，13，由，所以该组数据的下四分位数为，故错误； 对于B，因为随机变量，所以，则，为定值，故B正确. 对于C，随机变量服从二项分布，故， ，故正确； 对于D，在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好，故D 正确； 故选：BCD. 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，又，则，解得． 由题知，，设函数， 则，故在上单调递减，则， 故函数的值域为．而，，故A对B错； 由于，设， 则，故在上单调递减，所以， 故函数的值域为，若，则，故C对，D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定图形求出及的坐标，进而求出离心率. 【详解】依题意，，则椭圆半焦距，短半轴长， 因此该椭圆长半轴长， 所以该椭圆的离心率 故答案为：. 13. 已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在  上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1）  在  上恒成立； （2） 在  上单调递减. 二次函数  开口向下，对称轴为 ， 为使  在  上单调递减，只需； 同时， 在  上恒成立， 由于  时  在  上递减，最小值在  处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 14. 正方体的顶点A在平面内，三条棱，，都在平面同侧．若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，平面的法向量为，分别求出点B，D，到平面的距离，进而求出，利用正方体的体对角线与球的直径的关系，求出球的半径，即可得解. 【详解】 如图所示 ，以为坐标原点，分别以，，所在的直线 为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则有， 所以. 设平面的法向量为， 则点到的距离为①， 点到的距离为②， 点到的距离为③. 设④， 则①②③可化为，即. 将代入可得 ， 又由④可知，所以，即. 设正方体外接球的半径为，则，所以， 所以正方体外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1． （1）求函数的对称中心； （2）求使成立的x的集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式对函数解析式进行化简，然后根据最大值求出，进而根据正弦函数的性质求出对称中心. （2）化简不等式，然后根据正弦函数的性质求出解集即可. 【小问1详解】 化简函数. 因为其最大值为1，而的最大值为1，所以. 解得，所以. 令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 令，即， 由，解得， 所以使成立的的集合为. 16. 如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由中位线关系证明四边形AOMG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）先确定就是二面角的平面角，再建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角确定点，再求出平面的法向量，代入空间线面角公式可得. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 由题意知，，且， 因为是矩形对角线的交点，所以，且， 所以，且，所以四边形AOMG为平行四边形， 所以， 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 在图1中，，且，在图2中，上述关系依然成立， 所以就是二面角的平面角，即， 故以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，垂直平面向上的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则， 因为，， 所以， 即， 又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则 取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极小值，求a的值； （3）若，正实数数列满足，，数列的前n项和为．求证：且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由极值点的定义可得出，可求出的值，可得出函数的解析式，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出实数的值； （3）先构造函数求证当时，，，令，则可求证，进而求出，再利用等比数列的前项和公式求证. 【小问1详解】 当时，， 则，，故， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因，函数在处取得极小值， 则，所以， 此时，， 当时，，所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，则在上单调递增， 则，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. 【小问3详解】 若，则，则， ①先证明：当时，， 令，则，则在上单调递增， 故，即，命题得证； ②证明：当时，， 令，则， 因，则，故，则在上单调递增， 故，即，命题得证； 因，则，即，则， 因在上单调递增，则； 因，，则， 则，得证. 19. 已知抛物线仅经过，，中的一点． （1）求的方程； （2）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限． （i）记和的面积为，求的最小值； （ii）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i） （ii）不存在以为直径的圆与轴相切. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性得到抛物线经过的点，然后求得，即可写出抛物线方程； （2）（i）由（1）得到抛物线方程，由题意可知直线斜率均存在，设直线方程和点坐标，分别联立方程组，整理为一元二次方程后利用韦达定理分别表示出和，然后由面积公式分别表示出，，即可得到表达式，然后利用基本不等式求得最小值； （ii）由直线，得到，得到纵坐标的数量关系.由点写出直线的直线方程，即可求得点坐标，然后由题意假设建立方程，由判别式得到方程是否有解，即可得出判断. 【小问1详解】 由抛物线的对称性可知抛物线经过点，则一定经过点，不合题意舍去. 故由题意可知，抛物线经过点，则，即， ∴抛物线. 【小问2详解】 （i）当直线，中任意一条直线斜率不存在时，另一条直线与抛物线只有一个交点， ∴直线，的斜率一定存在，设，∵，∴， 由（1）可知，则，， 联立方程组得，整理得， 设，则， ∴， ， 联立方程组得，整理得， 设，则， ∴， ， ， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴， 当时，取得最小值. （ii）设， ∵，∴， ，∴ 由对称性可取，则. 由（i）可知，， ∴直线，令，则 同理 ∴直线，令，则 ∴中点为点， ∵直线轴，∴直线到轴的距离为， 要想以为直径的圆与轴相切，则. 当时，即，则， 则，即. 将代入得， 此时，方程无解， 即. ∴不存在以为直径的圆与轴相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $