精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试（12月）数学试题

惠来一中2025~2026学年度第一学期第二次阶段考试 高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与独立 C. 与对立 D. 6. 已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线的准线上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 一般地，设是一个函数，，记，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数.设为自然数，为（十进制）的各数位上数字之和，则（ ） A. 19 B. 11 C. 8 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为使成为一个圆的方程，的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面图形为正六边形 C. 点的轨迹长度为 D. 能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 13. 如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m. 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 16. 已知点和以点为圆心的圆. （1）求出以为直径，点为圆心的圆的方程； （2）设圆与圆相交于，两点，直线，是圆的切线吗?为什么? （3）求直线的方程. 17. 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直. （1）求的标准方程； （2）点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2025~2026学年度第一学期第二次阶段考试 高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】，所以， 故选：C 2. 已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程. 【详解】由题可知，所以， 且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为. 故选：A. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件可求出a的值，再根据a的值判断两直线是否平行，即可得答案. 【详解】当时，，解得或． 当时，与重合，不符合； 当时，与不重合，符合， 故“”是“”的充要条件． 故选：C 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 5. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与独立 C. 与对立 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由互斥事件，对立事件，独立事件的定义判断ABC选项，古典概型计算概率判断选项D. 【详解】根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果， 则随机试验结果的样本空间， ，. 对A，，所以与互斥，故A选项正确； 对B，，，，所以，与不独立，故B选项错误； 对C，，，所以与不对立，故C选项错误； 对D，，故D选项错误. 故选：A. 6. 已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线的准线上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出坐标原点关于准线的对称点的坐标，由，则，根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】解：由题意，抛物线的准线方程为， ∵， ∴点到准线的距离为6，即点的横坐标为4，不妨设点在第一象限， 则点的坐标为， ∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为， ∴， ∴的最小值为. 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为为线段的中点，所以这是一个中点弦问题，采用点差法运算即可. 【详解】如图: ， 由 可得点 的坐标为 ， 则直线 斜率为 ， 直线 斜率为 ， 另一方面， 设 , 则 两式相减得 ， 整理得 , 即 ， 故 故选：C 8. 一般地，设是一个函数，，记，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数.设为自然数，为（十进制）的各数位上数字之和，则（ ） A. 19 B. 11 C. 8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】从开始计算，找到规律即可求解； 【详解】，各位数字之和位19， ，各位数字之和位11， ，各位数字之和位5， ，各位数字之和位8， ，各位数字之和位11， 从开始，结果依次为： 第150次迭代，从开始，操作148次， 余1，所以对应第二个值5， 所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为使成为一个圆的方程，的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程成为圆的条件,然后对各个选项进行判断，从而求解. 【详解】由题意知：表示一个圆， 则：，化简得：， 即：或，解之得：或， 所以：A项和B项不满足要求，故A项和B项错误； 所以：C项和D项满足要求，所以C项和D项正确； 故选：CD. 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据向量平行得到方程，结合三角恒等变换得，，A错误；B选项，由模长公式进行求解；C选项，由向量数量积坐标公式和三角恒等变换得到C正确；D选项，平方得到，从而得到. 【详解】对于A，由，可得，则，故A错误； 对于B，故，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，故，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面图形为正六边形 C. 点的轨迹长度为 D. 能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值. 【详解】A选项，如图所示以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 故. 设平面的法向量为，则， 令得， 易知，故平面，即A正确； B选项，取的中点， 连接， 结合题意可知， 所以四点共面且四点共面，两个平面都过点P， 所以六点共面， 易知， 所以平面截正方体所得的截面为正六边形，B正确； C选项，由上知平面，设垂足为，以为圆心为半径在平面上作圆， 由题意可知Q轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体， 根据正方体的中心对称性可知平分，故半径， 故点Q的轨迹长度为，C错误； D选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点的这一空间几何体的球的半径最大值， 结合A项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心在上， 该球与平面切于点S，与平面、平面、平面都相切， 设球心为，则球半径为， 易知，故， 故球的半径的最大值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：关于立体几何中截面的处理思路有以下方法（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 关于立体几何中求动点轨迹的问题注意利用几何特征，比如动直线与定直线夹角为定值，可以考虑结合圆锥体得出动点轨迹. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有， 即存在唯一的实数，使， 即：，则， 解得：，故. 故答案为：15. 13. 如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m. 【答案】 【解析】 【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小. 【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示： 由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为： ,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得： . 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力. 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）总平均数，总方差 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 16. 已知点和以点为圆心的圆. （1）求出以为直径，点为圆心的圆的方程； （2）设圆与圆相交于，两点，直线，是圆的切线吗?为什么? （3）求直线的方程. 【答案】（1） （2）是，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标，结合两点距离公式、中点坐标公式计算即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，及切线的性质判定即可； （3）直接对两圆的方程作差即可得出公共弦方程. 【小问1详解】 易知，， 的坐标为， 所以圆的方程为， 即； 【小问2详解】 是切线，理由如下： 因为是圆的直径，则， 即，所以直线，是圆的切线； 【小问3详解】 由， ， 两圆方程作差有， 即公共弦的方程为. 17. 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）选①，根据正弦定理边角互换，再结合恒等变形可得；选②，由数量积及三角形面积公式可得即可求解；选③，整理化简得，再利用余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得，，再根据恒等变形化简得，结合锐角三角形及正弦型函数求值域即可． 【小问1详解】 选①在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以. 选②由，得， 因为，所以，又， 所以. 选③由，得到， 所以， 又，所以. 根据余弦定理， 得. 即，整理得. 解得或（舍去）.所以. 【小问2详解】 由， 得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量夹角公式即可求解； （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点N，连接， 由为 的中点，且，， 得，， 则四边形为平行四边形，所以， 而平面，不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 取 的中点O，连接， 由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 令，， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直. （1）求的标准方程； （2）点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用焦距求c，利用渐近线与直线垂直求出a、b关系，再利用求解； （2）设直线的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用点M在曲线上满足消元，分别得到，，将韦达定理代入求定值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为双曲线的渐近线与直线：垂直， 所以，② 又，③ 解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，则，， 设，， 所以，， 因为，所以，所以， 同理可得，所以， 直线的方程为， 联立双曲线的方程可得， 所以，所以，所以， 因为，即，所以 同理， ， 所以是定值，定值为. 【点睛】点斜式设直线方程为形式，与双曲线联立消x，得到y的二次方程，计算方便，再利用向量关系得到，同理求，利用韦达定理求定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $