(20)统计、成对数据的统计分析-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (二十)统计、成对数据的统计分析 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差是5，则数据2x1一1,2x2一1，…，2xn一1的方差是 A.9 B.10 C.19 D.20 2.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到x2=4.456.依据α=0.01的独立性检验，下列结 论正确的是 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C.变量x与y独立 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 3.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（禾本科等植物在地面以下或接近地面处所发生 的分枝)数据，计算出它们的样本平均数相等，样本方差分别是s命=11，s2=3.4,则由此可以估计 A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 Y=bx+a+e, 4.已知变量x与y的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型 根据最 E(e)=0,D(e)=o2, 小二乘法，计算得经验回归方程为y=1.6.x十a,若x=10,y=15,则a= A.6.6 B.5 C.-1 D.-14 5.(x2一x十y)5的展开式中x3y的系数为 A.30 B.-30 C.20 D.-20 6.某校举办了一次航天知识竞赛，所有参赛学生得分的平均值和方差分别为90和2.8，其中男生得 分的平均值和方差分别为89和2，女生得分的平均值为91，则女生得分的方差为 A.1.4 B.1.6 C.1.8 D.2.2 7.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A,B两个易损 部位，每次打击后，A部位损坏的概率为品，B部位损坏的概率为子，则在第一次打击后就有部位 损坏（只考虑A,B两个易损部位）的条件下，A,B两个部位都损坏的概率是 A c品 n 数学第1页（共8页） 衡水金卷·先享题·高 8.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”“论语组”“春秋组”“礼记组”4个小组参赛，每组10位 选手，若该组每位选手的失分（均为非负整数）不超过6分，则该组获得“优秀”称号，根据每组选手 的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是 A.“诗经组”中位数为3，众数为2 B.“论语组”平均数为3，方差为1 C.“春秋组”平均数为3，众数为2 D.“礼记组”中位数为3，极差为4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩 收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方 差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收 入Y服从正态分布N(x,s2),则（若随机变量Z服从正态分布N(,),P(Z<十σ）≈0.84135) A.P(X<1.7)>0.2 B.P(X<1.7)<0.2 C.P(Y<2.2)>0.6 D.P(Y>2)<0.8 10.某高中举行了一场关于中国共青团成立103周年的知识答题比赛，对参赛的2000名学生的成 绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该组区间的中间值作为代表值， 则下列说法中正确的是 ↑频率 组距 0.030-------- 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩/务 A.参赛成绩的众数约为75分 B.用分层随机抽样的方法从参赛的学生中抽取容量为200的样本，则成绩在[70,80)内的应抽 取30人 C.参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D.参赛成绩的平均分约为72.8分 11.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到 该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，若比赛成绩x∈[0,15]，且x∈N*, 则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为 A.13 B.12 C.11 D.10 班级 姓名 分数 题号 2 6 P 10 11 答案 三一轮复习单元检测卷二十 数学第2页（共8页） ® 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采用分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽 取部分村民参与环保调研.已知甲村和乙村的人数之比是10：9，被抽到的参与环保调研的村民 中，甲村比乙村多7人，则参加调研的总人数是 13.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数 字的最小值为X,则事件“X≤2”的概率为 14.已知函数f(x)满足f(x十2)-f(x)=2,且f(0)=-1,f(1)=0,则f(1),f(2),f(3),…, f(2026)的中位数为 数学第3页（共8页） 衡水金卷·先享题·高 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 为了解某校男生1000米测试成绩与身高的关系，从该校1500名男生中随机抽取100人，得到 测试成绩与身高的数据如表所示. 身高范围(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 测试成绩 合格 3 12 18 22 15 不合格 9 (1)该校1500名男生中身高在170cm及以上的人数约为多少？ (2)根据表中数据，完成2×2列联表； 测试 身高范围 合计 成绩 在[170,180)内 不在[170,180)内 合格 不合格 合计 (3)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析测试成绩合格与身高在[170,180)范围内是否 有关 n(ad-bc)? 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 三一轮复习单元检测卷二十 数学第4页（共8页） ® 16.(本小题满分15分) 小李和小张关注到习近平总书记于2024年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开 发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业.他们投入5万元 (包括购买设备、房租、生活费等)建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他 们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们 统计了第一周的带货数据如下： 第x天 2 3 4 5 6 销售额y(万元) 1.4 1.6 2.2 2.4 3.0 3.9 5.1 (1)求(x,y:)(i=1,2,…,7)的样本相关系数；（精确到0.01） (2)用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y=x十a(系数精确到0.01，并用精确后的的 值计算a的值)； (3)根据(2)中所求的经验回归方程预测第8天的销售额. ∑(x-D)(y-) 附：样本相关系数r= ,经验回归方程y=x十a中的斜率和截距 V-2- (y) 的最小二乘估计公式分别为 a=y-a;∑(x-x)(y:-y) 16.50,∑(y-y)2=10.46,V28×10.46≈17.11. 数学第5页（共8页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行 对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问 题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率 为40%. (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4 个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值. 三一轮复习单元检测卷二十 数学第6页（共8页） B 18.(本小题满分17分) 已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，某企业为了了解鸡舍的控制温度x(单位：℃)对某种鸡的时 段产蛋量y(单位：t)和时段投入成本之（单位：万元）的影响，收集了7个鸡舍的控制温度x:和时 段产蛋量y:(i=1,2,…,7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量 的值. ↑产蛋量) 200 150 100 50 02141618202224x(温度) 2 n- ∑(x-)(-) 17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中k;=lny,k= (I)根据散点图判断，y=bx十a与y=c1e哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍 控制温度x的回归方程模型？（给判断即可，不必说明理由） (2)根据(1)的判断结果，运用表中数据，建立y关于x的经验回归方程； (3)已知时段投入成本x与x,y的关系为之=e.5y-0.1x十10，当控制温度为28℃时，鸡的时段 产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？（结果保留两位小数） 附：对于一组具有线性相关关系的数据(u;,v,)(i=1,2,3,…,n),其经验回归方程0=&十u的 ∑(u,-u)(-o) 斜率和截距的最小二乘估计分别为3= = ,a=0-. ≥“)a e 2.s e075 09 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 数学第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高 19.(本小题满分17分) 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现 有刀只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为？，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假 设每只白鼠是否被感染之间相互独立： (1)若P(X=3)=P(X=97),求数学期望E(X); (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p,现有两个不同的研究团队理论研究发现概率饣与 参数90<91)的取值有关.团队A提出函数模型为p=1h(1+0)-号0，团队B提出函数模型 为p=号(1-e).现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量X,(i=1,2,,10)表示 第i组被感染的白鼠数，现将随机变量X:(i=1,2,…,10)的实验结果x:(i=1,2,…,10)绘制成 频数分布图，如图所示.假设每组白鼠是否被感染之间相互独立 ↑感染只数 6-------------------------------------- 10组数 (i)试写出事件“X,=x1,X2=x2,…,Xo=x”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必 计算)； （i)在统计学中，若参数0=0时使得概率P(X1=x1,X2=x2,…,X1o=x1o)最大，则称0是0 的最大似然估计，根据这一原理和团队A,B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求 出0的最大似然估计，并求出估计值. 参考数据：n号≈0,4055. 三一轮复习单元检测卷二十 数学第8页（共8页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二十） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ③ ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 方差的性质 易 0.80 2 选择题 对x的理解 易 0.78 利用均值和方差说明 3 选择题 5 数据的波动程度 卻 0.72 经验回归直线过样本 选择题 5 0.65 中心点性质的应用 务 三项展开式求特定项 选择题 0.55 的系数问题 分 分层随机抽样中的方 6 选择题 差的计算 分 0.45 选择题 5 条件概率 中 0.40 中位数、众数、平均数 8 选择题 5 / 难 0.28 与方差的综合应用 9 选择题 6 正态分布 易 0.72 频率分布直方图的 10 选择题 6 0.60 应用 11 选择题 统计中的最值问题 华 0.28 12 填空题 分层抽样 易 0.76 13 填空题 5 古典概型与概率加法 0.65 公式的应用 中 14 填空题 函数、数列与中位数的 / 综合 中 0.35 15 解答题 13 独立性检验 易 0.72 16 解答题 15 线性回归问题 中 0.60 ·111· ·数学· 参考答案及解析 分布列与数学期望，全 17 解答题 15 多 0.45 概率公式 可化为线性回归的非 18 解答题 17 线性回归问题 ? 0.40 新定义题，概率、统计 19 解答题 17 难 0.25 与导数的综合 香考答案及解析 一、选择题 8.B【解析】对于A,若该组选手的失分情况如下：1， 1.D【解析】因为数据x1,x2,…,x的方差是5，所以 2,2,2,2,4,6,7,8,9,满足中位数为3，众数为2，但有 数据2x1-1,2x2-1,…,2xn一1的方差是2X5= 选手失分超过6分，故A错误；对于B,设该组每位选 20.故选D. 手的失分情况为x1,x2,…,1,因为x=3,则方差 2.C【解析】因为x2=4.456<.1=6.635,所以变量 2=(=3)+(w-3)2++(m0-3)2=1,即 x与y独立，故选C. 10 3.B【解析】由样本估计总体，可得乙种水稻分蘖的方 (xn-3)2+(x2-3)2+…+(x1o-3)2=10,若 差约为3.4，甲种水稻分蘖的方差约为11，因为3.4< x1。=7,则(7-3)2=16>10，所以每位选手的失分都 11,所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B. 不超过6分，故B正确；对于C,若该组选手的失分情 4.C【解析】因为经验回归方程为y=1.6x十a,且x= 况如下：1,2,2,2,2,2,2,3,5,9，满足平均数为3，众数 10,y=15,所以a=15-1.6×10=-1.故选C. 为2，但是有选手失分超过6分，故C错误；对于D,该 组选手的失分情况如下：3,3,3,3,3,3,3,3,7,7，满足 5.D【解析】因为(x一r+y)=∑C(x2-x)y, 中位数为3，极差为4，但是有选手失分超过6分，故 所以x3y2项对应i=3,又C(x2一x)3= D错误.故选B. 二、选择题 C[∑cgx2n(-x)']=10∑Cgx(-1)y,所以 9.BC【解析】由题可知X~N(1.8,0.12),因为 xy项对应r=1的系数为-20，所以(x2-x+y) P(X<1.8+0.1)≈0.84135，所以P(X<1.7) 的展开式中x2y3的系数为-20.故选D. P(X<1.8-0.1)=P(X>1.8+0.1)≈1-0.84135 6.B【解析】设男生和女生的人数分别为m,n,所有参 =0.15865<0.2,故A错误，B正确；依题可知，x 赛学生得分的平均值和方差分别是x=90,s2=2.8, 2.1,s2=0.01,所以YN(2.1,0.12),故P(Y< 其中男生得分的平均值和方差分别为x1=89,s号=2， 2.2)=P(Y<2.1+0.1)≈0.84135>0.6，P(Y>2) 女生得分的平均值和方差分别为x2=91,,由平均 =P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.84135> 0.8,故C正确，D借误.故选BC. 数可得x=n十云（十)，即90=十n（89n十 10.AC【解析】对于A,由频率分布直方图可得众数 91,解得m=,由方差可得=nn[对十 为70十80=75，故A正确对于B,由频率分布直方 2 (-)门十n年n[+(-7)].即2.8=合× 图可得成绩在[70,80)内的应抽取200×0.03×10 =60人，故B错误；对于C,成绩在[40,80)内的频率 [2+(89-90)]+号×[+(91-90)]，解得 为(0.005+0.015+0.02+0.03)×10=0.7 0.75,在[40,90)内的频率为(0.005+0.015+0.02 s=1.6.故选B. +0.03+0.02)×10=0.9>0.75,所以第75百分位 7.A【解析】记事件E:第一次打击后就有部位损坏， 数位于[80,90)内，故第75百分位数为80十 事件F:A,B两个部位都损坏，则P(E)=1一 (1-0)×1-)-品P(EP)=品×-易 3 070×10=2,5放C正确：对于D.参卷皮绩 的平均数为10×(45×0.005+55×0.015+65× 由条件概率公式可得P(FE)= 需=做 0.02+75×0.03+85×0.02+95×0.01)=72.5,故 D错误.故选AC 选A. 11.BC【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩 ·112. 高三一轮复习B ·数学· 分别为，由题得无=号（十十 (2)2×2列联表如下. x%十x4十x5)=8,则x1十x2十x3十x1十x5=40,又 测试 身高范围 2=号[(-8)+(：-8)2+(-8)+ 成绩 合计 在[170,180)内 不在[170,180)内 (x4-8)2十(.x-8)2]=4,所以(.x1-8)2十 合格 40 30 70 (x2-8)2+(x3-8)2+(x4-8)2+(x-8)2= 不合格 10 20 30 20,不妨设x最大，对于A选项，若=13，则 (x1-8)2+(x2-8)2+(x3-8)2+(x1-8)2= 合计 50 50 100 一5不成立，故A错误：对于B选项，若x=12,则 (8分) (x1-8)2+(x2-8)2+(x3-8)2+(x4-8)2= (3)零假设为H。：测试成绩合格与身高在 4,满足题意，例如5名同学的成绩可分别为7,7,7， [170,180)范围内无关， 7,12,故B正确：对于C选项，若=11，则 100×(40×20-30×10)2 (x1-8)2+(x2-8)2+(x3-8)2+(x1-8)2= 由(2)中列联表可得X 50×50×70×30 11,满足题意，例如5名同学的成绩可分别为5,7， ≈4.762>3.841=x.05, (11分) 8,9,11,故C正确；对于D选项，若x=10,则x1十 所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，推断H x2十x8+x4=30,且(x1-8)2+(x2-8)2+ 不成立，即认为测试成绩合格与身高在[170,180)范 (x3-8)2+(x4-8)2=16,则x7+x+x号+x 围内有关 (13分) 16(x1+x2+x3+x4)+4×82=16→x7+x2+x+ xi=16(m1+x2+x+x4)-4×82+16=16×30 16.解：1)由题意，得=1+2+3+4+5+6+1=4， 7 (x1十x2十xg十x1=30 4X8+16=240.则可得{+++话=240该 (2分) 方程组无正整数解，故D错误.故选BC, (x4-x)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+ i=1 三、填空题 (4-4)2十(5-4)2十(6-4)2+(7-4)2=28， 12.133【解析】已知甲村和乙村的人数之比是10：9， (4分) 根据分层抽样，可设甲村被抽取参与调研的村民有 10a人，则乙村被抽取参与调研的村民有9a人，则 -)-9 i=1 10a一9a=7,解得a=7,则参加调研的总人数是10 所以r= ×7+9×7=133人. 【解析】由已知可得X的可能取值有1,2,3,4， 16.50 16.50 ≈≈0.96， /28×10.46 17.11 (6分) 则P(X=10号=品P(X=2)=号 I+CCi C 所以(xy:)(i=1,2,…,7)的样本相关系数约为 是所以P(X≤2)=PX=D+P(X=2)=号 0.96. (7分) 1631 (2②)因为2x-)05-0=16.50, 3535 14.2025 2x-x)2=28 2 【解析】由f(x十2)-f(x)=2,结合 f(0)=-1,f(1)=0,可得f(2)=1,f(3)=2, ∑(x,-)(-y) …,f(2026)=2025,所以f(1),f(2),f(3), 所以乃= =16.50≈0.59， 28 …,f(2026)是首项为0，公差为1的等差数列，所 以f(1),f(2),f(3),…,f(2026)的中位数为 f(1013)+f(1014)_f(1)+f(2026)_2025 (10分) 2 四、解答题 又元=49=号×1.4+1.6+2.2+2.4+3+3.9+ 15.解：(1)样本中，身高在170cm及以上的频率为 5.1)=2.8, 23+27+24=0.74, 所以a=y-7x=2.8-0.59×4=0.44, (12分) (3分) 100 所以经验回归方程为y=0.59x十0.44. (13分) 用该频率估计该校男生身高在170cm及以上的 (3)当x=8时，y=0.59×8+0.44=5.16, 概率， 所以预测第8天的销售额约为5.16万元.(15分) 则该校1500名男生中身高在170cm及以上的人 17.解：(1)由题可知X的所有可能取值为1,2.3,4， 数约为1500×0.74=1110（人）. (5分)： (1分) ·113 ·数学· 参考答案及解析 P(X=1)= CC8.5=1 C870141 (2分) B(,), P(X=2)= C%C号_30_3 由P(X=3)=P(X=97),得n=100, (3分) C 707 所以E(X0=10×号=60. (3分) P(X=3)= CC_30_ 3 C70=7, (4分) (2)(1)设事件E为“X1=1,X2=x2,…,X。= PX=0答=亮= x10”, C (5分) 则P(E)=[Co(1-)门3[Cp(1-p)8]3· 故X的分布列为： [Cp(1-)][C0p(1-p)][C5op(1-p)] 1 =(C)3(C)3(C1)2(C1)2p5(1-p)5.(8分) (i)记g(p)=ln[(Co)3(C)3(C)2(C)2]+25lnp 3 +75ln(1-p),0<p<1, 14 7 7 则g(p)=25-75=25-1002 p1-pp(1-) 则E(X)=1× 14+2X +3× 3 7 7 +4×4= 当0<p<4时，g(p)>0,g(p)单调递增： (8分) (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,记“输 当<p<1时，g(p)<0,g(p)单调递减， 入的问题有语法错误”为事件B,记“回答被采纳”为 事件C, 所以当b=子时，g(p)取得最大值，即P(E)取得最 由已知得，P(C)=0.7,P(C1A)=0.8,P(CB)= 大值 (11分) 0.4,P(B)=p,P(A)=1-p, 所以由全概率公式得P(C)=P(A)P(CA)+ 在团体A提出的函数模型力=1n1+0)一号0中， P(B)P(CB)=0.8(1-p)+0.4p=0.7,(13分) 记函数f)=n1+)-号，0<r<1, 解得p=0.25. (15分) 18.解：(1)观察散点图知，y=c1e2更适宜作为回归方 则)六导-动汽 程模型 (2分) (2)由y=c1e2r得lny=c2x十lnc, 当0<<号时，f(x)>0,f()单调递增 令lny=k,c2=B,a=lnc1, 由图表中的数据可知9=部 当号<<1时，'()<0，()单调递减， ,a=3.6 17.4=- 3 所以当x=之时，()取得最大值1n多-子， 4 (8分) 所以=子一 因为ln 3-11 一3<4，所以0不可以估计. (14分) (11分) 则y关于x的经验回归方程为y=e是=0.47e量 在团体B提出的函数模型力=之(1一。)中， (13分) (3)当x=28时，由经验回归方程可得y=0.47× 记函数f:)=号(1-e)f(x单调递增， 1096.63≈515.42， 令f()=子解得x=n2. 所以x=0.08×515.42-2.8+10≈48.43，(16分) 则0=ln2是0的最大似然估计. (16分) 即鸡舍的控制温度为28℃时，鸡的时段产蛋量的预 综上，B团队的函数模型可以求出0的最大似然估 报值为515.42t,投入的成本预报值为48.43万元. 计，估计值为ln2. (17分) (17分) 19.解：(1)由题知，随机变量X服从二项分布，X~ ·114