(18)计数原理-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十八） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 及 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 排列组合的判断 易 0.80 2 选择题 求二项展开式特定项 易 0.78 的系数 选择题 组合在抽取问题中的 多 0.72 应用 4 选择题 排数问题 分 0.65 6 选择题 6 与椭圆有关的最值 0.55 问题 6 选择题 5 杨辉三角问题 中 0.40 7 选择题 5 双曲线的离心率 P 0.38 8 选择题 涂色问题 中 0.35 9 选择题 6 直线与圆的位置关系 公 0.65 10 选择题 6 二项展开式的系数及 各二项式系数的和 中 0.55 11 选择题 分组分配问题 0.35 12 填空题 5 求两个二项式相乘的 易 0.78 特定项 13 填空题 5 抛物线的方程及应用 中 0.60 14 填空题 与表格有关的计数 5 难 0.28 问题 15 解答题 13 二项展开式中的特定 项问题 V 名 0.65 16 解答题 15 排队问题 中 0.60 17 解答题 15 直线与抛物线的位置 0.50 关系 ·101 ·数学· 参考答案及解析 18 解答题 17 二项式定理的综合 0.40 应用 19 解答题 17 二项式与数列的综合 难 0.25 香考答亲及解析 一、选择题 1.C【解析】A,B,D均与顺序有关，为排列问题；对于 C,从全班同学中选出3名同学参加运动会开幕式，与 顺序无关，是组合问题.故选C. 2.A【解析】(2x-√()的展开式的通项为T+1 （-1)C2-xx登=(-1)C42-x号，k=0,1, 2,3,4,令8，=3，可得k=2,所以二项展开式中x 2 的系数为(-1)2·C·22=24.故选A. 3.C【解析】从8个人中任选4个人有C=70种选 8.C【解析】先涂B,D,E,有A=60种方法.若A的 法，甲、乙都没有被选中的选法有C=15种，所以甲、 颜色不同于D所涂颜色，有3种涂法，此时C有3种 乙至少1人被选中的不同的选法种数为70-15=55 涂法，则对应总涂法数为60×9=540种；若A的颜色 种.故选C 与D的颜色相同，此时C有4种涂法，则对应总涂法 4.B【解析】由题意可将1,4当成一个整体，将此整体 数为60×4=240种，综上，总涂法数为540+240= 和0,3排序，总计有A种排法，再根据插空法可得总 780种.故选C. 排法有A·A·C=72种.故选B. 二、选择题 5A【解析】设P(),则号+兰-1，整理可得 9.ABD【解析】圆C:(x-a)2+(y-1)2=4a的半 4 径为2，所以4a=4,解得a=1,故A正确；由A项可 =9(1-)%∈[-2,2].易知M(0,2),所以 知圆C的方程为(.x-1)2十（y一1)2=4，圆心为 C(1,1),半径为2，又(1-1)2+(4-1)2=9>4，所 1PM=6+(2-)=9(-)+ 以点(1,4)在圆C的外部，故B正确；因为直线mx+ 号6-4w+13w∈[-2,2]， y一2=0平分圆C的周长，所以直线m.x十y-2=0 (y-4%十4)=- 过圆心C(1,1),即m十1-2=0，解得m=1,故C错 其对称轴方程为%=一。，函数图象开口向下，所以 误；圆(.x-9)2+(y十5)2=64的圆心为(9，-5)， 半径为8，则点C(1,1)与点(9，-5)的距离为 当%=一号时，PM?有最大值，最大值为一号× √82+6=10=2+8，所以圆(x-9)2+(y十5)2= 64与圆C外切，故D正确.故选ABD. (-8)°-4×(-g)+13=8,所以1PM1的最大 10.AC【解析】对于A,令x=0,则(0-1)8=a。=1, 故A正确；对于B,由二项式定理得ax3=C(2.x) 值为√厚-9，放法入 ·(一1)5=一448.x3,则a8=-448,故B错误；对于 6.A【解析】由广义杨辉三角，得(x2十x十1)5=x1o+ C,令x=1,则(2-1)8=ag十a,+a6十…+a2十a1 5x°+15.x8+30x7+45.xi+51x5+45.x+30.x3+15x2 十ao=1,又a。=1,所以a1十a2十a:十…十a?十ag= +5x十1，所以在(1十a.x)(x2+x十1)的展开式中， 0,故C正确；对于D,令x=一1，则(-2-1)= x的系数为30十45a=75,即a=1.故选A. ag-a7十a6-…十a2-a1十a6=6561,又ag=1,所 7.B【解析】设双曲线C的右焦点为F',因为MN十 以as-a,+a6-…+a2-a1=6560,所以a1-a2+ M正=0，即M-NM,所以点M为线段FN的中点， ag一a1十…十a7一as=一6560，故D错误.故 选AC. 又因为1⊥OM,所以∠FOM=∠NOM,又因为 11.ABD【解析】对于A,将4名老师分成3组共有 ∠FOM=∠F'ON,所以∠FOM=号，所以名=， C8CC=6种，再将3组分配到3所学校有A=6 A 所以-。-√+ =2.故选B. 种，所以共有6×6=36种不同的安排方法，故A正 确；对于B,先排甲乙有C=3种，再排丙丁有A= ·102· 高三一轮复习B ·数学· 2种排法，所以共有3×2=6种不同的安排方法，故 若选条件②：展开式中所有项的二项式系数之和 B正确；对于C,当甲乙同组时有A8=2种排法；当 为512， 则有2"=512，解得n=9, (5分) 甲乙不同组时，将4名老师分成3组共有入 则展开式中二项式系数最大的两项为 1=5种，若甲去C学校，则有A=2种，若甲不去C T,=(-1)Cx=126x, 学校，则有1种，所以甲乙不同组时，共有5× T。=(-1)5C8.x-2=-126.x-3 (2+1)=15种.综上，甲不去B学校，乙不去C学 (7分) 校，且每所学校均有人去，共有17种安排方法，故C 若选条件③：展开式中常数项为第4项， 错误；对于D,若又计划向这三所学校追加12个学 则有一3X3=0,解得0=9， 2 (5分) 习名额，且每所学校至少3个，先每所学校分2个名 则展开式中二项式系数最大的两项为 额，然后使用隔板法将剩下的6个名额分成3份，且 隔板不在两端，则共有C号=10种不同的分配方法， T=(-1)C=126.x章， 故D正确.故选ABD. T6=(-1)5C3x2-=-126x3. (7分) 三、填空题 (2)由(1)知，n=9, 12.一2【解析】：(r+2y)(x-y)5=x(x-y)十 2y(x-y)5,显然只有2y(x一y)5中含有y项， 故（匠-厂的展开式的通项为T, 2y(x一y)5的展开式通项为T+1=2C·x-(一y)M (-1)C2,k=0,1,…,9, =2Cg·(-1)·x5-·y+1(k=0,1,…,5),令k十 则T,=(-1)C8x-x=9x号 (13分) 1=6,得k=5,..y5的系数为一2C=一2. 16.解：(1)先从另外5道工序中任选1道工序放在最前 13.725【解析】以O为坐标原点，OA为x轴，过点O 面，有C=5种不同的排法， 且与主塔AB平行的直线为y轴，建立如图所示的 再将剩余的5道工序全排列，有A=120种不同的 平面直角坐标系， 排法， 故由分步乘法计数原理可得，共有5×120=600种 加工顺序 (3分) 塔 (2)先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面 桥面 A x 和最后面，有A=12种不同的排法， 再将剩余的4道工序全排列，有A=24种不同的排 则B(500,100),设抛物线C的方程为x2=2py,p> 法， 0,则5002=2p×100,解得p=1250,所以抛物线C 故由分步乘法计数原理可得，共有12×24=288种 的准线方程为y=-625,所以|BF1=100+625 加工顺序. (7分) =725. (3)先排这3道工序，有A=6种不同的排法， 14.1512108【解析】将这9个数填入，不同的填法 再将它们看作一个整体，与剩余的工序全排列，有 A 种数为N=AA=1512种.这9个数中有4个奇 A=24种不同的排法， 故由分步乘法计数原理可得，共有6×24=144种加 数，5个偶数，因为填入的每行数之和为偶数，故每 工顺序 (11分) 行有偶数个奇数，则只需将4个奇数按0,2,2分成 三组，当两个1在同一行时，不同的填法种数为2 (4)先排其余的3道工序，有A=6种不同的排法， 出现4个空位，再将这3道工序插空，有A?=24种 =CC8C2A=108种 不同的排法， 四、解答题 所以由分步乘法计数原理可得，共有24×6=144种 15.解：)(-子) 的展开式的通项为T+1 加工顺序. (15分) 17.解：(1)由题意可知，点P到点F(1,0)的距离等于 c(-)广=(-1c, (2分) 点P到直线x=一1的距离， 若选条件①：展开式中前三项的二项式系数之和 所以点P的轨迹是以点F为焦点，直线x=一1为 为46， 准线的抛物线， 则有C”+CW+C%=46, 设其方程为y=2p,p>0,则号=1， 即1++n"21)=46. 可得D=2, (4分) 2 整理得(n-9)(n十10)=0， 所以点P的轧迹方程为y2=4x. (6分) 因为n∈N,所以n=9, (5分) (2)由题意可知，当P,A,B三点共线时， 因为点A(0,4),所以直线PB的方程为y=4, 则展开式中二项式系数最大的两项为 T=(-1)Cx=126x号， 联立二r,解得=y=4 y=4 T6=（-1)C5x=-126x3 (7分) 此时点P(4,4), (10分) ·103· ·数学· 参考答案及解析 则|PA=4, (12分) 所以2(b1+b2+b3)+b=6b2+b4=27,(1分) 因为AQ⊥PQ, 所以b= 27-b 所以由勾股定理可得|PQ=√PA一AQ 6 又b2∈N,b4∈N*, =√/4-1=√15. (15分) 所以，=27.4>0，所以≤4， 6 所以会二皮么二1食政低二 1b=3 (3分) 则{bn的可能数列为1,1,1,21,1,1,1：或2,2,2， 15,2,2,2:或3,3,3,9,3,3,3；或4,4,4,3,4,4,4. (5分) (2)(i)当n=1时，c一4c1+4=0, 则c=2; (6分) 18.解：(1)由2=C”+CW+C%+…+C”=64,可得 当n≥2时，4Sn一4Sw1=4cn=c元-云+41-4(n- n=6, 1), 令x=1,可得(2-1)6=1， 所以c21=号-4cn+4=(cw-2)2, (8分) 所以展开式中所有项的系数之和为1. (4分) 因为{c}为递增数列，且c=2, (2)若C+C=465,则m+n(m21)=465, 所以当n≥2时，m>2, 2 所以c-1=cn一2，即cn-cw1=2, 解得n=30或n=-31(舍去)， (6分) 所以数列{c.}是首项为2，公差为2的等差数列， (2G-）厂的展开式的道项为 所以c。=2十2(n-1)=2n. (10分) ()P Ca +ci Ca+c2 Cz+.+c Ca C +2Cm C（2)(-）广=(-1)C2,- +4C%+…+2nC” =1+2(C+2C%+…+nC%), (12分) 且k∈{0,1,2，…，30}， 设(1十x)”=Cg+Cx+C%x2十…十Cax”, 所以当k=1,3,5,…,29时，是无理项， (8分) 两边求导，得n(1十x)1=C+2C%x十… 所以共有15个无理项. (10分) 十nCx-1, 8)(v匠-)厂的展并式的通项为 令x=1,可得n·2=C%+2C号十…+nCg, 所以P。=1+2·n·21=n·2"+1,(14分) cG(2)v(-）广=(-1)C2学 所以∑P,=P1+P+…+P,=1×21+2X2 由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大 1 的项必是奇数项， +3×22+…+n·2”十n, 设展开式中第r十1(r为偶数)项的系数最大， 设Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2”, 则/G20≥C32 则2T。=1×22+2×23+3×2+…+n,2+1 C520-r≥C221-r∈N, 两式相减，得一Tn=2十22+23十…+2"一n·2 201 201 1(20-r)1≥(r-2)！(22-r)T·4 =21-2)-.21=1-n)21-2, 1-2 即 20！ 201 所以Tm=(n-1)2+2, 120-r·4>(r+2)118-r刀 1 4 所以∑P=(m-1)21+n+2. (17分) ,(r-1)≥(22-r)(21-r) 4 (20-r)(19-r)≥(+2)(r+1) 1r2+13r-154≤0 1r2+17r-124>≥0 解得7y硒≤<-13+丽 2 2 (14分) 因为r为偶数，所以r=6, (15分) 故展开式中系数最大的项为T,=C220-6x2= C8214x5 (17分) 19.解：1)因为∑b,=27, 三 ·104高三一轮复习单元检测卷/数学 (十八)计数原理 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.下列四个问题属于组合问题的是 A.从4名志愿者中选出3人分别参加导游、翻译和接待工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加运动会开幕式 D.4名同学在假期互发微信 2.在(2x一√x)的展开式中，x3的系数为 A.24 B.-24 C.48 D.-48 3.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛，若男生甲和女生乙至少有1人被选中，则 不同的选法种数为 A.15 B.40 C.55 D.70 4.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相 邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为 A.144 B.72 C.36 D.24 5.已知M是椭圆C:号+Y 4 =1的上顶点，点P在C上，则|PM的最大值为 A.96 B.715 C.√13 D.4 5 6.当n∈N时，将三项式(x2十x十1)”展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”.若在 (1十a.x)(x2十x+1)5的展开式中，x2的系数为75，则实数a的值为 广义杨辉三角 (x2+x+1)0=1 第0行 1 (x2+x+1)1-=x2+x+1 第1行 111 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 第2行 12321 (x2+x+1)3=x6+3x3+6x4+7x3+6x2+3x+1 第3行 1367631 (x2+x+1)=x+4x7+10x6+16x+19x+16x3+10x2+4r+1第4行14101619161041 A.1 B.-1 C.2 D.-2 7,过双曲线C,若一芳-1(a>0,6>0)的左焦点F作C的一条南近线的垂线1，垂足为M,1与C的 另一条渐近线交于点N,且MV+MF=0,则C的离心率为 A.√5 B.2 C.√ D.3 8.如图，对A,B,C,D,E五块区域涂色，现有5种不同颜色可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且 相邻区域（有公共边）所涂颜色不相同，则不同的涂色方法共有 D A.480种 B.640种 C.780种 D.920种 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知圆C:(x-a)2+(y一1)2=4a的半径为2，则下列说法正确的是 A.a=1 B.点(1,4)在圆C的外部 C.若直线mx十y一2=0平分圆C的周长，则=一1 D.圆(x-9)2+(y+5)2=64与圆C外切 10.若(2.x-1)8=agx8+a7x2十a6xi十…十a2x2+a1x+ao,则 A.ao=1 B.a3=-8 C.a1十a2+十a3+…+a7+十ag=0 D.a1-a2十a3-a4+…十a7-ag=-6561 11.已知某学校派甲、乙、丙、丁四名老师去A,B,C三所学校交流学习，每所学校都有老师去，且每名 老师只能去一所学校，则 A.共有36种不同的安排方法 B.若甲乙去同一所学校，则共有6种不同的安排方法 C.若甲不去B学校，乙不去C学校，则共有12种不同的安排方法 D.若甲、乙、丙、丁四名老师交流学习完后，该学校计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所 学校至少再追加分配3个名额，则追加的名额分配的方式共有10种 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在(x十2y)(x一y)5的展开式中，y的系数是 .(用数字作答) 13.如图是某大桥的鸟瞰图，大桥主跨OA长约500米，主塔AB的高约100米.缆悬索OB是以O为 顶点且开口向上的抛物线C的一部分，则主塔顶端B点到抛物线C的焦点F的距离为 米. B F. 0 桥面 A 14.将1,1,2,2,2,2,2,3,5这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，每个格子中只能 填一个数，则不同的填法共有 种，若填人的每行数之和为偶数，且两个1在同一行，则不 同的填法种数为 ·(用数字作答，本题第一空3分，第二空2分) 第1行 第2行 第3行 三一轮复习单元检测卷十八 数学第2页（共4页） B 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 从①展开式中前三项的二项式系数之和为46；②展开式中所有项的二项式系数之和为512；③展 开式中常数项为第4项，这三个条件中任选一个，补充在问题的横线上，并解答， 问题：已知二项式（丘-）”若 ,求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中的第9项. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分 16.(本小题满分15分) 某种产品的加工需要经过6道工序. (1)如果其中某道工序不能放在最前面，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某3道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (4)如果其中某3道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 17.(本小题满分15分) 已知动点P(x,y)到点F(1,0)的距离比到直线x十3=0的距离小2，过点P作圆A:x2+ (y一4)2=1的一条切线，Q为切点，过点P作直线l:x+1=0的垂线，垂足为B. (1)求点P的轨迹方程； (2)当P,A,B三点共线时，求线段PQ的长. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知(2反-是)广(n∈N). (1)若C”+C,十C%十…十C”=64,求该式的展开式中所有项的系数之和： (2)若C,十C”2=465,求该式的展开式中无理项的个数； (3)若=20，求该式的展开式中系数最大的项.（结果中项的系数可以不计算） 19.(本小题满分17分) 若n项有穷数列{am}满足a1=am,a2=am-1,…,am=a1,即a,=am-计1(i=1,2,,n),则称有穷 数列{an}为“对称数列”. (1)设数列{b.}是项数为7的“对称数列”，b,∈N,若b1=b2=b,且∑b,=27,试写出所有可 能的数列{bn}; (2)已知递增数列{cm}的前n项和为Sm,且4Sn=c十4n. (i)求{cm}的通项公式： (ii)组合数C”,C,,C号，…，C”具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记P.=C十c1Cw十c2C%+ …+cC,求∑P. 三一轮复习单元检测卷十八 数学第4页（共4页） ®