(17)解析几何综合-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (十七)解析几何综合 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.若数列1，a,b,c,16是等比数列，则实数b的值为 A.-4 B.4 C.8 D.士4 2.已知抛物线C:x2=y,若过点M(m,1)且与C仅有一个公共点的直线恰好有3条，则实数m的取 值范围为 A.(-∞，-1)U(1,+∞) B.(-o∞，-1) C.(1,+∞) D.(-1,1) 3.已知P是双线C后芳=1上一点，C的左，右焦点分别是F,R,若PF=9,则PF A.1 B.17 C.1或17 D.5或13 4.已知曲线C:x2+y=16(y>0),过C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足，Pp= 3MP,则点M的轨迹方程为 A6+9g-1(>0) B若+苦 1(y>0) c器+后-1(>0) + =1(y>0) 5若双曲线C:若一1(a>0,6>0)的渐近线与圆(x2)+y=3没有公共点，则C的离心率的 取值范围为 A2,+) B.(2,十∞) C.(1,2) n1,2） 6.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部近似是半椭圆，下 部近似是半圆，已知半椭网兰+芳=1（≥0。>6>0）和半圆r十y=公()<0)组成的曲线C 如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点G,点M是半圆上任意一点，当 点M的坐标为（停，-号）时，△AGM的面积最大，则半精圆的方程是 图 图2 A+苦=1（≥0） B16+等-1（≥0） c2+￥-1≥0 n号+等-1≥0) 3 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 7.在直四棱柱ABCD-A1BCD1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AD= D DC=BC=2,AB=A1A=4,E为棱AA1的中点，则点B到平面EDB1的距 离为 A.5 B.2V2 - C.√6 D.230 5 &设椭圆E:若+芳=1(a6>0)的左右熊点分别为F,F,右顶点为A,已知点P在E上，若 ∠F1PF2=90°，∠PAF2=45°，则E的离心率为 A号 B. 3 C.√2-1 D.W3-1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图，直线l1,l2,l3的斜率分别为1，k2,k3,倾斜角分别为α1,2，a,则下列选项一定正确的是 A.k1<k3<k2 B.a3<a2<a1 C.cos a<cos a2<cos as D.sin aa<sin a2<sin a 10.如图，已知四面体A一BCD中，AB=√2，AB⊥平面BCD,BE⊥AC,垂足为E,BF⊥AD,垂足为 F,则下列结论正确的是 A.若BC⊥CD,则AC⊥EF B.若BC⊥CD,则AD⊥平面BEF C.若BC=BD,则EF∥CD D.若BC-BD=2,则四面体A-BEF体积的最大值为2 27 11.已知抛物线C:y2=2p,x(p>0)的焦点恰好是圆F:(x-2)2+y2=1的圆心，M是C上的动点， N是圆F上的动点，则 A.C的准线方程为x=一1 B.线段MN长度的最小值为1 C.sn∠FMN的最大值为号 D.若圆F上的点D满足MN=2M心，则点M到x轴的距离不超过2√2 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 一轮复习单元检测卷十七 数学第2页（共4页） B 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为 .(写出一个即可) 13.已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为号，若再往容器 中放入一个半径为子的实心铁球，则此时水面的高度为 14.巴知双曲线号苦=1(0>0,6>0)的左、右焦点分别为R,F,P是双曲线右支上一点，且直线 PF2的斜率为2，△PFF2是直角三角形，则双曲线的渐近线方程为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知a,)是各项均为正数的等比数列，a:=弓，且a1a,一3a,成等差数列 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{am一n十1}的前n项和Sn. 16.(本小题满分15分) 已知椭网C号+ =1(a>b>0)的离心率为2，短轴长为23，直线y=kx+1与C交于A,B 两点 (1)求C的方程； (2)若线段AB的中点的横坐标为-，求： (3)记点P(0,3),O为原点，证明：∠APO=∠BPO. 17.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y=4x的焦点为F,动点P在C上. (1)写出C的焦点坐标和准线方程； (2)设点R(t,0)(t>0),求PR的最小值； (3)设直线l与C交于D,E两点，若C上存在点P,使得四边形DPEF为平行四边形，证明：直 线（过定点，并求出该定点的坐标 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 设椭圆E的长半轴长为a1,短半轴长为b,椭圆E,的长半轴长为a2,短半轴长为b2,若=么 则称椭圆E与椭圆E是“相似椭圆”，已知椭圆E:号十y=1的左顶点为A,右顶点为B,上顶 点为D. 1)若椭圆E与椭圆F:号+芳-1是相似椭圆”，求的值： (2)设椭圆G:号+)=X0<<1),过点A且斜率为1的直线4，与椭圆G只有-个公共点，过 点D且斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求kk2的值； (3)已知椭圆E与椭圆H:号+兰-1(>2)是“相似椭圆”，点C()在椭圆H上，点M(x, y2)为椭圆E上异于A,B的任意一点，且y1y2>0,求证：AM⊥BC. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C:二-1(@>0，b>0)的虚轴长为4，渐近线方程为y=士2 (1)求C的标准方程； (2)已知G(2,0),H是C上的动点，求HG的最小值； (3)过C的右焦点F的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B,点M是线段AB的中点，过点 F且与l垂直的直线'交直线OM于点P,点Q满足PQ=PA+PB,求四边形PAQB面积的最 小值. 三一轮复习单元检测卷十七 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十七） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) V M ① ② ③ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 等比中项 / 易 0.80 直线与抛物线的位置 选择题 易 0.78 关系 3 选择题 5 双曲线定义的应用 多 0.72 与椭圆有关的轨迹 4 选择题 / 中 0.65 问题 选择题 双曲线离心率的取值 0.55 范围 公 6 选择题 求椭圆的标准方程 中 0.45 7 选择题 5 求点面距 名 0.40 8 选择题 求椭圆的离心率 名 0.30 直线的斜率以及倾斜 9 选择题 6 邻 0.72 角比较大小 10 选择题 6 立体几何的综合 中 0.60 11 选择题 6 抛物线焦点弦性质 难 0.25 12 填空题 5 抛物线的标准方程 易 0.76 13 填空题 5 圆柱和球的体积 中 0.65 14 填空题 双曲线的渐近线方程 中 0.35 13 等差数列与等比数列 15 解答题 多 0.72 的综合，分组求和 椭圆的中点弦问题，角 16 解答题 15 中 0.60 度问题 L 直线与抛物线的位置 17 解答题 15 关系，直线过定点问题 0.55 ·95· ·数学· 参考答案及解析 新定义题，椭圆的综合 18 解答题 17 应用 冷 0.40 双曲线的方程及最值 19 解答题 17 0.28 问题（涉及导数） 叁考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】因为数列1，a,bc,16是等比数列，所以 以半椭圆的方程为号+等-1(20).放选D =1×16,解得b=士4，又该等比数列第1项、第3： 7.D【解析】在底面ABCD中，过点D作DH⊥AB, 项、第5项应同号，所以b>0,所以b=4.故选B. 垂足为H,以D为坐标原点，以DH,DC,DD所在 2.A【解析】当点M在C的外部时，过点M且与C仅 直线分别为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐 有一个公共点的直线有3条，此时m2>1,解得m< 标系， -1或m>1.故选A. ZA 3.B【解析】由题可知a=4,b=2√5，所以c=6,由双 曲线的定义可得||PF|-PF2||=2a=8,因为 |PF=9,所以|9-|PF2=8,解得|PF2=1 或17，若PF2|=1,则点P在右支上，应有 |PF2≥c-a=2,不成立；若|PF2|=17,则点P在 左支上，应有PF2≥c+a=10,成立.故选B. 4.A【解析】设M(x,y),P(xo,a),则P'(xo,0),因 H 为PP=3MP,所以=3y,即P(x,3y),又点P 在曲线C上，所以广+9y=16(>0.即后+器 则D(0,0,0),B(5,3,0),B(3,3,4),E(3, 1(>0),即点M的轨迹方程为若+苦-1 -1,2),所以DB,=(3,3,4),DE=(√3，-1,2)， DB=(W3,3,0),设平面EDB的法向量为n= (y>0).故选A. n·DB=0 5.B【解析】，C的渐近线方程为bx土ay=0,且与圆 (x,y,),则 √3.x+3y+4x=0 (x一2)2+y2=3没有公共点，.圆心(2,0)到渐近 n·D范=0：所以 3x-y+2x=0 两式相减可得2y+之=0，令y=√3，解得x=一2√3， 线的距离大于半径√3，即 26 >V5,.b>3a2, va'+b x=5,则平面EDB,的一个法向量为n= c2 (5W3,一2√3)，则点B到平面EDB!的距离为d= =c2-a>3a…e=√后>2.故选B 6.D【解析】由题意得G(0,a),A(-b,0),由点 1Di.n=55+3E=2V3.故选D. n√/25+3+12 5 M(号-号)在半国上，得6=oM1=复连接 8.D【解析】由题意不妨设P(x,y)在第一象限，则 |PF|+PF2|=2a,因为∠FPF2=90°，所以 OM,过点M作半圆的切线1，切点为M,又因为当点 |PF1|2+|PF2|2=42,所以(|PF1|+|PF2|) M的坐标为（停，-号）时，△AGM的面积最大，即 -(|PF+|PF2|)=2PF|·|PF2|= 4a2-4c2,则|PF1|·|PF2|=2a2-2c2=26,所以 点M到直线AG的距离最大，此时AG∥l,所以OM 1 S,=号×2×=公，解得=仁，如图，过点 ⊥AG,即kaM·kG=-1,易知kM= 2 、② 2 P作PH⊥FF2,垂足为H, 2 如=所以-号·分=-1，解得a= 所 ·96- 高三一轮复习B ·数学 H 因为∠PAF2=45°，所以|HA|=|PH|=y,又 因为|MN|+|NF|=|MN|+1≥|MF|≥2，所以 |OH=,所以n十=a,所以1=c二，即 |MN|≥1，当点M为原点O,点N的坐标为 (1,0)时取等号，故B正确：对于C,设MB是圆F P(产，)将点P代人后+ 的切线，切点为B,则∠FMN≤∠FMB<90°， =1(a>b>0) 中，整理得-2ac十2a2-c2=0,即e2+2e-2=0,解得 又n∠FMB-≤号所以∠PNMB≤30，所以 e=-√5-1（舍）或e=3-l.故选D. ∠FMN≤∠FMB≤30°，即∠FMN的最大值为 二、选择题 30,所以sin∠FMN的最大值为，故C正确：对于 9.ABC【解析】由图可得k1<0<kg<k2,0°<a<a2 <90°<a1<180°，所以cosa1<0<cosa2<cos as,故 D,设M(b),由M不=2M市，可知点D是线段 ABC正确：因为0<sin aa<sin az<1,0<sina1<1, MN的中点，设MB切圆F于点B,如图所示， 无法比较大小，故D错误.故选ABC. 1O.BCD【解析】因为AB⊥平面BCD,CDC平面 BCD,所以CD⊥AB,若BC⊥CD,又BC∩AB=B, BC,ABC平面ABC,所以CD⊥平面ABC,又因为 BEC平面ABC,所以CD⊥BE,又BE⊥AC,AC∩ CD=C,AC,CDC平面ACD,所以BE⊥平面ACD, 又ADC平面ACD,所以BE⊥AD,又BF⊥AD,BE ∩BF=B,BE,BFC平面BEF,所以AD⊥平面 BEF,又EFC平面BEF,所以EF⊥AD,即AC与 根据圆的切割线长定理可得|MB2=|MD· EF不垂直，故A错误，B正确；由题可知BE⊥AC, IMNI=2 ND2,MB=MF-BF= BF⊥AD,因为BC=BD,则△ABC≌△ABD,所以 1MF2-1,所以MF2-1=2ND12,因为|ND≤ AC=AD,∠BAE=∠BAF,则△ABE≌△ABF,所 2×1=2,所以|MF-1≤8，所以MF1=x6+2≤ 以AB=AF.所以装-部所以EF/CD,放C正 3,所以x0≤1，所以听=8x≤8，所以一22≤y≤ 确：在△ABC中，AB=√2，BC=BD=2,则AC= 2√2，即点M到x轴的距离不超过2√2，故D正确. 故选BCD. VG.AE=2.CE-, 6 ACAD 三、填空题 12.y=4x(答案不唯一)【解析】抛物线的焦点到准 VA-BEF 号VAm,又当且仅当∠DBC=90时， 9 线的距离为2，即p=2,所以2p=4,当焦点在x轴 正半轴时，抛物线的标准方程为y2=4.x:当焦点在x V四有最大值号×号×2X2X厄-2等，所以四 3 轴负半轴时，抛物线的标准方程为y2=一4x:当焦 面体A一BEF你积的最大值为号放D正确故 点在y轴正半轴时，抛物线的标准方程为x2=4y: 当焦点在y轴负半轴时，抛物线的标准方程为x2= 选BCD. -4y. 11.BCD【解析】对于A,易知F(2,0),故=2，所以 105 13.64 【解析】圆柱底面半径为2，底面积为π·22= p=4,即C的方程为y=8.x,其准线l:x=一2，故A 4,放人铁球后，水面会上升，因为球的直径为号， 错误；对于B,如图所示， 故水会完全流设铁球，铁球体积为专·()厂' 器故放入一个半径为子的实心铁球后，水面上升 ·97· ·数学· 参考答案及解析 9π 4k 4 的高度为三-品故此时水面的高度为=兰十 3 9 所以十 3+4k2 7· =105 解得=1或长=是 (10分) 641 14.y=士2x【解析】由题意可知，∠FPF=90°，又 (3)由(2)得k+kB=当-3+业-3 直线R的斜率为2.可袋PF,R= =(k2十1)-3+(k十1)-3_kx-2+b-2 T2 2,根据双曲线定义PF-PF2=2a,得|PF| 4a,|PF2=2a,又△PFF2为直角三角形，所以 =2k-2(1+1）=2k-2.+ xI T? TIT2 |PF|2+|PF2|2=|FF22,即16a2+4a2=4c2= 8k 4a2+4,得4d2=:,之=2.所以双曲线的渐近线方程 3+4k2 =2k-2k=0, (14分) a =2k-2. 8 为y=士2x. 3十4k2 四、解答题 所以∠APO=∠BPO. (15分) 15.解：(1)设等比数列{am}的公比为q,q>0, 17.解：(1)由题得焦点F(1,0),准线方程为x=一1， 因为a1,a2,一3a成等差数列， (2分) 则2a2=a1-3a3, (2)设P(x,y0),x0≥0， 即2、1 则|PR|=√(x,-t)+% 3-3g (4分) =√x,-(t-2)]+4t-4, (4分) 解得4=3或q=-1(舍去)， (5分) 当t≥2时，t-2≥0， 所以(a,)的通项公式为a,=子×（号） 1 则xo=t-2时，|PR|min=2√-I; (5分) 3-· 当0<1<2时，-2<t-2<0, (7分) 则x=0时，|PR|mim=t. (6分) (2)由(1)可知a,-十1=，1 3n十1， (8分) 综上，PRImin三 t,0<t<2 (7分) 2-I,t≥2 则8=(（1+号+日+…+3）一[1+2+3+…十 1 (3)由题意可知直线1的斜率不为0， (n-1)] 设直线l的方程为x=my十b,P(x),D(x1, 1-(号)广 y),E(x2y2), (n-1)(1+-1) 联立 x=my+ 1-3 y2=4x ,得y2-4my-4b=0, 则△=16m2+16b>0, -[1-(3）]mD 2 所以y十y2=4m, n(n-1) 则x1十x2=m(y+y2)+2b=4m2十2b. (10分) 所以s=[1-(号)门 2 (13分) 因为四边形DPEF为平行四边形， 所以FP-FD+FE, (11分) 又F(1,0), 16.解：(1)由题意得 2b=2√3 所以(x0-1,o)=(x-1,y1)+（x2-1,y2)= a2-b2=c2 (x1+x2-2,y1+y2), 解得a=2,b=√5， (3分) 所以x0=x1十x2-1=4m2+2b-1,y%=y+y= 所以C的方程为+苦=1。 4m, (13分) (4分) 因为点P在抛物线C上，所以=4， (2)设A(1y),B(2y2), 所以(4m)=4(4m2+2b-1),解得b=2, ,得(3+4k2)x2+8kx-8=0, 1 y=kx+1 所以直线1的方程为x=ny十之： 则△=(8k)+32(3+4k2)=96(1+2k2)>0, 8k 则直线1过定点，且该定点为（分0）： (15分) 所以x1十x2= 3+4k11= 3+4k2 (7分) 18.解：(1)由椭圆E与椭圆F是“相似椭圆”，易得： 因为线段AB的中点的横坐标为一7， 4 当>2时是=日解得=4： (2分) ·98· 高三一轮复习B ·数学· 2=1 当0<s<2时， ,解得=1， (3)设A(y),B(x2,y2),M(xo%), 易知直线AB斜率存在且不为O,设直线AB:x= 所以s=4或1. (4分) my十5，m≠0， (2)易得A(-√2,0)，D(0,1), 所以l1,l2的方程分别为y=k(x+√2)y=kx十1， 联立方程mv十5，得（4m-1）y+8v5y十 4.x2-y2=4 (y=k,(x+√2) 16=0. 依题意联立方程x 2+y2=1 △=320m2-64(4m2-1)=64(m2+1)>0, 8/5m 16 整理得(1+2)x2+4V2kx十4k-2=0, 所以y十2= 4m,n=4m”之0，得 又直线1与椭圆G只有一个公共点， 则△1=(4√2k好)2-4×(1+2)(4k-2入)=0， m274 解得k1= 1 2V1-a, (7分) 所以为=”=一四=m%十后 2 (y=kzx+1 (8分) 联立方程号+y=X 4n2-1' 2 由O,M,P三点共线得必-迎-4m,① 整理得(1十2k).x2十4k2x十2-2入=0， 又直线2与椭圆G只有一个公共点， 由PF⊥AB得kF·kB=-1, 则△2=(4k2)2-4×(1+2k)(2-2λ)=0， 即”-0·1=-1，② xp-√5 m 解得|k2|= 1 2VA (10分) 出①@每得P(信岩》 (10分) 所以|kk2|= ,11=1 · (12分) 由P衣=PA+PB可知，四边形PAQB是平行四 边形， (3)显然椭圆E:号+y=1,椭圆H:号+苦-1. 4 所以SPAQB=2S么PB, 4m 由横同H上的点C(),得受+兰=1， 因为点P到直线l的距离为d 5 由椭圆E上的点M(),得受+=1. √1+m 又y12>0,则y=2y2: (14分) =4√小+m, √5 又A(-√2,0)，B(2,0), |AB|=√1+m·|1-2 则kaw=”后 x十√2 ,kic =y =√1+m.8m+巨=8(m2+1) 4m2-1 4m2-1 所以kAM·k=”。·少 x十V2-√2十2 所以SPAQB= 后v1+.8（m+1) 4m2-1 2=2 28-2-1, 32.(m2+1)2-32 (m2+1)3 m-士=后·√4m,13分) 所以AM⊥BC. (17分) 19.解：(1)由题意可知b=2, 令t=4m2-1,t>0,则m=十1， 41 又渐近线方程为y=士合，=士2，所以a=1, 所以SPAQB= 4 /(t十5) (14分) 所以C的标准方程为x2一兰=1. 4 (2分) 令f(t)= (t+5)3 12 (2)设H(x,y),则|HG=√(x-2)+y= √/(x-2)-4+4x=√5x2-4.z, 则(4)=3(1+5)·-2·(t+5) 因为x≤一1或x≥1，函数y=5x2一4x的对称轴方 =1+5)4-10) -42 程为x=一2X5=亏： 当0<t<10时，f(t)<0;当>10时，f(t)>0, 所以当x=1时，|HG|取得最小值，最小值为1. 所以f(t)在(0,10)上单调递减，在(10，+∞)上 (6分) 单调递增， ·99· ·数学· 参考答案及解析 所以f()m=f(10)=135】 4Γ 所以(Sp08)m=手×3正=6原，此时m= 5 2 @ 2· (17分) ·100·