(16)圆锥曲线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (十六)圆锥曲线 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.抛物线C:y2=12x的准线方程为 A.x=-1 3 B.y=-3 C.x=-3 D.y=- 3 2.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为 A B.s e 3.如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于19世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观 而实用.该盒的上底面为椭圆，盒长9cm,宽4cm,则该椭圆上的点到其右焦点距离的最大值为 A.65 2 cm B.√/65cm C.V65+9 2 cm D.9 cm 4.已知圆C1:(x十3)2+y2=1和圆C2:(x一3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动 圆的圆心M的轨迹方程为 A-苦=1 B 8x2=1 Cr-音-1r≥) D-苦=1-1 5.已知数列{an}对任意k∈N满足a·a+1=2,则a1·a226= A.2112 B.2118 C.22024 D.22025 6.已知光线从点A(一6,3)射出，经直线2x一y十10=0反射，且反射光线所在直线过点B(一8， 一3)，则反射光线所在直线的方程是 A.2.x-3y+7=0 B.3x-2y+18=0 C.2x+3y+25=0 D.3.x+2y+30=0 7.已知点P在抛物线M:y2=4x上，过点P作圆C:(x一2)2+y=1的切线，若切线长为2v7,则点 P到M的准线的距离为 A.5 B.29 C.6 D.√30 8卫知双曲线C:后- =1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作斜率为正的渐近线的垂线，垂足为 P,FP的延长线与y轴及另一条渐近线的交点分别为T,Q,若3PF=2QT,则C的离心率为 A.W② B.√5 C.2 D.3 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知圆C:x2+y2-4.x十2my十m=0和圆C2:x2+y2一4y一12=0，则下列说法正确的是 A.若m=0,则圆C1和圆C2相离 B.若m=0,则圆C,和圆C2的公共弦所在直线的方程是x一y一3=0 C.若圆C1和圆C2外切，则m=4√2-2 D.若圆C和圆C2内切，则m=一2 0.已知曲线C的方程为2，十干21(mR),则下列说法正确的有 A.存在m,使得曲线C表示圆 B若曲线C为双面线，则-一<m<号 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<m< 2 D.存在m,使得曲线C为等轴双曲线 11.如图，曲线C是一条“双纽线”，C上的点满足：到点F1(一2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4， 则下列结论正确的是 A.点D(2√2,0)在曲线C上 B.若点M(x,1)(x>0)在曲线C上，则MF1=2√2 C若点Q在圆后+苦-1上，且F,QFQ.则点Q在曲线C上 D.过点F2作x轴的垂线交曲线C于A,B两点，则AB<2 班级 姓名 分数 题号 6 7 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知圆C的半径为2，直线y=x恰好平分圆C的周长，则圆C的一个标准方程可以是 13.已知双曲线C:号-y=1与动直线1：y=6(x一2)，若1与C恰有一个公共点，则及的值为 14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km;Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有 一条沿湖小径RS(曲线)，其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一 个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F,Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km, 则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知圆C的圆心在直线2x一y=0上，且与x轴相切于点(1,0). (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线1：x-y十m=0交于A,B两点，且∠ACB=90°，求m的值. 三一轮复习单元检测卷十六 数学第2页（共4页） ® 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点M(4,0)的直线交C于A,B两点，O是坐标原点，OA·OB =0. (1)求C的方程； (2)若点F是C的焦点，求AF+BF的最小值. 17.(本小题满分15分) 已知双曲线C:号-芳=1。>0,6>0)的新近线方程为y=士，焦距为4， (1)求C的方程： (2)若A为C右支上一点，点P(2,4),O为原点，求△AOP面积的最小值： (3)过C的右焦点F的直线与C交于D,E两点（均异于顶点），以线段DE为直径的圆与直线 x=2交于M,N两点，若MN=35,求直线DE的方程. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知蒲圆C:号+芳-1a>6>0)过点P(3,1,焦距为4v反.斜率为号的直线1与C相交于异 于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直. (1)求C的方程； (2)若|MN|=√10，求直线l的方程； (3)记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,证明：k1k2为定值. 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线E的方程F(x,y)=0中，以（入x,λy)(入>0）代替(x,y)得 到曲线E2的方程F(x,入y)=0,则称曲线E1,E2关于原点“伸缩”，变换(x,y)(入x,入y)称为 “伸缩变换”，入称为“伸缩比” （已知曲线E的方程为号一苦=1，“伸蜜比X=,求E关于原点“伸笔”后所得曲线E的 方程； (2)已知直线1：y=2x(x≥0)，椭圆E:一+y=1经“伸缩变换“后得到椭圆E,若直线1与椭 圆E,E分别交于A,B两点，且AB-写，求韬圆E的方程： (3)对抛物线E1:x2=2p1y,作变换(x,y)→（入1x,入1y),得抛物线E2:x2=2p2y;对E2作变换(x, y)→(2x,A2y),得抛物线E3:x2=2py;如此进行下去，对抛物线Em:x2=2pmy作变换(x,y)→ (入x,入ny),得抛物线E+1:x2=2p+1y,…,若1=1，入m=2”,求数列{pn}的通项公式pm· 三一轮复习单元检测卷十六 数学第4页（共4页) ®高三一轮复习B ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 由抛物线方程求其准 选择题 易 0.80 线方程 2 选择题 圆锥的侧面积与体积 易 0.78 3 选择题 椭圆焦半径的最值（文 5 / 0.72 化题) 的 利用双曲线定义求 4 选择题 0.65 轨迹 务 选择题 5 累乘法求数列的通项 中 0.55 6 选择题 5 光线的反射问题 必 0.45 7 选择题 抛物线与圆的综合 0.40 8 选择题 双曲线的离心率 中 0.30 9 选择题 6 两圆的位置关系 易 0.72 圆锥曲线与方程间的 10 选择题 6 关系 中 0.60 11 选择题 曲线与方程（新定 义题) L / 难 0.25 12 填空题 求圆的标准方程 易 0.76 直线与双曲线的交点 13 填空题 0.65 个数的问题 14 填空题 5 椭圆的实际应用 中 0.35 求圆的标准方程，由圆 15 解答题 13 易 0.72 心角求参 求抛物线的标准方程， 16 解答题 15 / / 公 0.60 最值问题 ·89· ·数学· 参考答案及解析 直线与双曲线的位置 17 解答题 15 关系，三角形面积的 为 0.45 最值 18 解答题 12 椭圆的标准方程及定 / 值问题 班 0.28 新定义题，圆锥曲线与 19 解答题 17 数列的综合 华 0.25 香考答案及解析 一、选择题 选A. 1.C【解析】由C的方程知p=6,故C的准线方程为 7.c x=- 号=-3.故选C 【解析】设点P(学)，由圆C的方程可知圆心 C(2,0),半径r=1.又切线长为2√7，所以|PC= 2.B【解析】设圆锥底面圆半径为r,圆锥高为h,依题 意，、r义12解得h二号，所以rV1 V2丽，即（学-2）+=29，解得=20，可得 2×2rXh P(5,yp),由抛物线定义可得点P到M的准线的距 离为5+1=6.故选C 所以该调锥体积为}x×子×号-音：故选B 8.B【解析】如图， 3.C【解析】设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则 2a=9,2h=4,即a=号6=2，故c=Va-6 ⑤，所以该椭圆上的点到其右焦点距离的最大值 2 为c+a=6+9(cm).故选C 4.D【解析】设动圆M的半径为r,则|MC:|=r十1， |MC2|=r+3,则MC2|-|MC|=2<|C1C2|= 6,根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双 曲线的左支，其方程为2-苦=1（≤-1）.故 在R△0PF中，因为1∠nOF=名-品，且 选D. 5.B【解析】由au·a+1=2,得a+1·a4+2=2+1,所 OF=c,所以|PF|=b,OP|=a.由三角形相似 以4+2=2，所以425.0021.422.420心..4s 可知1OP=TP·1PF,所以TP=云又因 a2024a2022a2020a2018 .46.4=22,即2必=21o12①.又因为a·a 为 号，所以|QT1=2设∠T0p=∠T0Q a 2a 2②，①②两式相乘，得a1·a226=2o13.故选B. 6.A【解析】设A(-6,3)关于直线2x-y十10=0的 =0.则tan9=分，故tan20= b 2ab (x-6)-3+10=0 、Q 6a,又在 2 对称点为C(x,y),则 ,解得 y-31 2a2+36 x+6=-2 R△OPQ中，tan20=QP OP 2ab x=一2 ly=1 ,即C(一2,1)，所以反射光线所在直线方程 故2a+36.2ab 2ab -a,即36-5a2B-2a=0,整理得 为y一1=二品号（十2.即2红-3y+7=0. (6-2a)(36+a2)=0,故b=2a2,所以2-a2= ·90 高三一轮复习B ·数学· 2a2,即c=5a,所以e=二=√尽.故选B. 0 18.士 【解析】由题可知C的渐近线方程为y= 二、选择题 9.BD【解析】圆C1:(x一2)2十(y十m)2=4,圆心 ③ ,当1与C的渐近线平行时，l与C恰有一个 C1(2,-m),半径r1=2:圆C2:x2+(y-2)2=16, 圆心C2(0,2),半径r2=4.对于A,当m=0时， 公共点，则=±停 |C1C2|=2v2,因为r2-r=2<2√2<6=r1+r2,故 14.15【解析】以EF所在直线为y轴，EF的垂直平 两圆相交，故A错误；对于B,当m=0时，两圆相交， 分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 公共弦所在直线方程为(x2+y2一4x)一(x2十y2 4y-12)=0,即x-y-3=0,故B正确；对于C,由两 圆外切，得√4+(2+m)=6,解得m=一2士4√2， 故C错误；对于D,由两圆内切，得√4十(2+m)= 2,解得n=一2，故D正确.故选BD. 10.AC【解析】对于A,令2m+1=5-2m,解得m= 1,则C:x2+y2=3,此时曲线C表示圆，故A正确： 对于B,若曲线C为双曲线，则(2m十1)(5-2m)< 0,解得m>号或m<-,故B错误：对于C,若曲 设P为沿湖小径RS上的任意一点，则IPEI+IPF= 线C表示焦点在x轴上的椭圆，则2m+1>5-2m 4,根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆，所以 2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所 >0,解得1<m<号，放C正确：对于D,若曲线C 为等轴双曲线，则有2m十1十5一2m=0,此时无解， 以点P的轨连方程为号+号1，由题意，修建两条 故不存在m使得曲线C为等轴双曲线，故D错误. 观景步道的总费用为5|PF|+5|PQ|=5(|PQ+ 故选AC. 2a-|PE|),由图可知，当E,Q,P三点共线且点Q 11.ACD【解析】对于A,因为|DF·|DF2|= 在E,P之间时，即P在P。处时，总费用最低，最低 为5(4-EQ)=15万元. (2√2+2)×(22-2)=4，所以由定义知点D(22, 四、解答题 0)在曲线C上，故A正确；对于B,若点M(x,1)(x≥ 15.解：(1)设圆心坐标为C(a,b),半径为r. 0)在曲线C上，则|MF·|MF2|= 由点C(a,b)在直线2x-y=0上，可得2a=b. √/(x十2)+1][(x-2)+1丁=4，化简得x4 (2分) 6x2+9=0,解得x=V5,所以MF|= 又圆C与x轴相切于点(1,0)， √(+2)2+1≠2W2,故B错误；对于C,椭圆 ∴.a=1,b=2,则r=b-0|=2, 看+苦-1的焦点坐标恰好为R(一20)与 ∴点C的坐标为(1,2)，半径r=2, (6分) ∴.圆C的方程为(x一1)2+(y一2)2=4. (8分) F(2,0),则|FQ|+FQ|=26,又FQ⊥FQ, (2)∠ACB=90°，|CA|=|CB|=2, 所以|FQ2+F2Q2=16,故|FQ·|FQ= 圆心C到直线1的距离d=CA|×cos45°=√2， CE,Q1+|E,Q)-(FQ|2+|F,Q2)=4. (10分) 2 :1-2+m=2. 所以点Q在曲线C上，故C正确；对于D,设 1+1 A(2,y),则|AB|=2y|,因为点A在曲线C上， 解得m=一1或3. (13分) 则AR,1=,又AP=16+y,所以9 16.解：(1)由题意知，直线AB的斜率不为零， 设直线AB的方程为x=my十4， 16+y,化简得y+16y2-16=0,故y2=4V5-8, 与y2=2px(p>0)联立，得y2-2pny-8p=0, 所以y2-1=4√5-9<0，故|y|<1,所以|AB|< (2分) 2,故D正确.故选ACD, △=4pm2十32p>0恒成立， 三、填空题 设A(x1y1),B(x2,2), 12.(x-1)2+(y-1)2=4(形如(x-a)2十(y-a)2=4 所以y+y2=2pm,y1y2=-8p. (4分) 的任一方程均可)【解析】由已知得圆心C的横纵 又0i.Oi=xx十1y= 坐标相等，且半径为2，故圆C的方程可设为(x .点+yw=16-8p 2p 2p a)2+(y-a)2=4,令a=1,即得(x-1)2+(y-1)2 =0,解得p=2, (7分) =4. 所以C的方程为y2=4x. (8分) ·91 ·数学· 参考答案及解析 (2)由(1)知F(1,0),y+y2=4m,y1y2=-16, 所以|DE|=√1+m|y-y2 (10分) =1十m -12m 36 6(1+m2) 所以|AF|+|BF|=(1十1)+(.x2+1)=(my+ 3m2-1 3m2-1 3nm2-1 5)+(my2+5) (10分) =m(y1+2)+10=4m2+10≥10， 设线段DE的中点为Q(x,), 当且仅当m=0时取等号， 则=4十业 -6m 所以AF十|BF|的最小值为10. (15分) 2 3m2-7xw=ny%+2= -2 3m2-1 b=3 17.解：1)由题意可得2c=4 所以点Q到直线工=立的距离为 1 -2 23m2-1 3m2+3 (a2+=c2 2(3m2-1) (12分) 解得a=1,b=√3，c=2, 又|MN|=3√， 所以双曲线C的方程为x一苦=1. (3分) 所以由勾殷定理得（②） 3m2+32 2(3m2-1) (2)由题可得|OP|=√4+16=2√5，kp=2, Γ3(1+m2)7 设与直线OP平行的直线的方程为y=2x十t, 3m2-1」 当该直线与双曲线C相切，且切点为点A时， 解得m=0或m=士1， △AOP的面积最小， 所以直线DE的方程为x十y-2=0或x一y-2=0 因为点A在双曲线C的右支上，所以t<0.(4分) 或x=2 (15分) 2+-1 18.解：(1)由题意得 (1分) 2c=4v2, a2=6+2, a=2√3 解得b=2, (3分) c=2√2 故C的方程为它+号-1 (4分) (y=2x+t 联立 (2)设直线1的方程为y=一弓x十m(m≠0且m≠ 2),M(1y),V(x2,y2),1,x2≠3， 由△=16t2-4(t+3)=12t-12=0且t<0,得t= y-n -1, 由 得4x2-6mx+9m2-36=0, 所以切线方程为y=2x一1， (6分) 所以直线OP与切线y=2x一1之间的距离为d= 1=5 由△=(6m)2-144(m-4)>0,得-4y3<m< 3 5 5 4v3 ,且m≠0，m≠2， (6分) 所以△A0P面积的最小值为宁×2，后×号-1， 3 则x1十x2= 3m 9m2-36 (7分) (8分) 4 (3)由题意可知直线DE的斜率不为0，且F(2,0), 设直线DE的方程为x=my十2，D(.x1y), 所以MN=√什石·V+)-4西 E(x2y2), /10 2 ·√/16-3m=√10， x-y =1，得(3m-1)g+12my+9=0, 解得m=2(舍)或n=-2. (10分) 联立 x=my+2 故直线1的方程为y=一马 3x2. (11分) 由3m2-1≠0，△=144m2-36(3m2-1)= 36(m+1)>0,得m≠号 8由②)知=名号司会司 -12m 9 (-3+m-1)(-3+m-1）》 则y十业=3m-1=3m2-1 (x1-3)(x2-3) ·92- 高三一轮复习B ·数学· 1 1 x-3(m-1)(m+x)+(m-1)2 22 (6分) mx2-3(x01十x2)+9 22 4 -3(m-1)·+(m-1D 所以|AB|=√+2 33x31 9m36-3.3m+9 所以号号最 2 1 4 2 誉片 所以4-2或入-号， (8分) 所以k2为定值。 (17分) 所以椭圆E的方程为：十=1或号+号1 19.解：(1)由题意可得 )() (9分) 3 =1,整理得 4 (3)对Ew:x2=2pmy作变换(x,y)(mx,λmy), 得E1:ac)2=2py,则x2=2py, 入m 所以店的方程为后益-1 y (3分) 又因为x=2p+1y,所以p+1=2, 入n (2)因为E,E2关于原点“伸缩”， 所以=(3）广， (13分) 对E作变换(x,y)→(Ax,y)(>0), 得+1， (4分) 当2时品·品·品是·会·会·n =(3) 十2+3十十w-1 y=√2x(x≥0 联立 ,解得点A的坐标为（子· 2 得A=(合)” 9) (5分) p1=1满足上式， y=√2x(x≥0) 联立 、2 +y=1·解得点B的坐标为（ 所以数列A的通项公式为p.=(合)产” (17分) 4 ·93-