(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (十四)数列求和、数列的综合应用 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.记Sn为数列{an}的前n项和，则“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{an}(n∈N*)满足a1=1,前n项和为Sn,对任意正整数n都有am+1十an=n十3，则 S10= A.18 B.28 C.40 D.54 3.在等差数列{a中，S,=3,S。=10,则tanS·元 4 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知{am}是正项等比数列，若4a1,2a3,3a2成等差数列，则logsa一logsa1= A.3 B.4 C.5 D.6 5.2025年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天 内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1 的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2200人，则恰好获 得1对春联的人数为 A.183 B.184 C.185 D.186 6.在1和11之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个数为a,第m 个数为6，侧日+学的最小值是 A. B.2 C.3 D.号 7.对于数列{an},若存在正整数k(k≥2)，使得as<a-1,ak<ak+1,则称{an}是“谷值数列”，k是数 列{a,的“谷值点”.现有数列a,,其通项a,=n十9-10，则该数列所有“谷值点”之和为 n A.3 B.9 C.10 D.12 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款α元用来购买该电 动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4 月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款 A.a(1+t)12元 B.at)'元 12 C元 at(1+t)12 D.120+t)-万元 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,则 A.若Sn=n,则{an}是等差数列 B.若Sn=2”,则{an}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则S2o25=2025a1o13 D.若{an}是等比数列，且an>0,则S2m-1·S2m+1>Sm 10.已知向量A官=(a,-1)AC=1,2sin%+3n∈N,ABLAC,则 A.a1=5 B.a3=-3 C.数列{an}是周期数列 D.数列{an}的前100项和为200 11.斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，在数学上，斐波那契数列以 递推的方法定义如下：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n一2)(n≥2，n∈N").在现代 物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出 版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上 描述，以下说法正确的是 A.该数列是一个递增数列 B.89是该数列的一项 C.从前l0项可以看出，设第n项为am则a好十a号十…十a元=aam+1 D.设第n项为a随者n的增大，a逐渐趋近于一个常数k,则k=51 0n+1 2 班级 姓名 分数 题号 4 7 8 9 10 11 答案 三一轮复习周测卷十四 数学第2页（共4页） B 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知数列{an}是等比数列，a4和a2o是方程x2十3x+1=0的两根，则a12= 13.已知定义在R上的函数g(x)请足g1-x)+g1十x)=4,若a,=g(n)十gn名)十 n子十…十s》a∈N).则数列a的通项公式为 2an,n为奇数 14.已知数列{an}满足am+1= ,a1=0,则a10= ;设数列{an}的前n项和为 an十2，n为偶数 Sn,则S226=】 ·（第二个空结果用指数幂表示)（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列(a}满足a1=2,a1=n十1 an n (1)求数列{am}的通项公式； (2)设b,=4 am·am+2 (i)求数列{bn}的前n项和Sn; (1)求证：<S<是 16.(本小题满分15分) 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S=35,a1,a4,a13成等比数列. (1)求{am}的通项公式； (2)若m<n,且 1,1,1成等差数列，求出所有的正整数，n a am an 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn十9=3am十4n. (1)证明：数列{an一2}为等比数列； (2)求数列{a,}的通项公式； (3)记bn=(2n一1)·(am一2)，求数列{bn}的前n项和Tm 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知n∈N,数列a)的前n项和为S且满足S。=2a,-1;数列6，}满足，=2，b,1=2- (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在实数入，使得数列，1，是等差数列？如果存在，求出实数入的值：如果不存在， bm-入 请说明理由； (3)求使得不等式2nbm≥am成立的n的最大值. 19.(本小题满分17分) 约数，又称因数.它的定义如下：若整数α除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数， 我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a1,a2,…,a-1, ak(a1a2<…ak）. (1)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值； (2)当k≥4时，若a2一a1,a3一a2,…,ak一ak-1构成等比数列，求正整数a; (3)记A=a1a2十a2a3十…十ak-1ak,求证：A<a2. 三一轮复习周测卷十四 数学第4页（共4页）】 B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 数列与充要性的 1 选择题 5 易 0.80 综合 2 选择题 5 并项求和法 易 0.78 等差数列与正切函 3 选择题 易 0.75 数的综合 等比数列、等差数列 4 选择题 5 易 0.72 与对数运算的综合 等差数列的实际应 5 选择题 5 中 0.65 用，与不等式的综合 等差数列与基本不 6 选择题 5 中 0.50 等式的综合 数列与函数的综合 选择题 中 0.45 (新定义题) 8 选择题 5 分期付款问题 难 0.28 选择题 等差、等比数列前n 9 6 中 0.65 项和的综合 平面向量与数列的 10 选择题 6 中 0.55 综合 递推数列的实际 11 选择题 6 中 0.35 应用 等比数列的性质与 12 填空题 一元二次方程的 易 0.72 综合 13 填空题 5 倒序相加法求和 中 0.65 14 填空题 5 分段数列问题 中 0.40 裂项相消法求和，证 15 解答题 13 易 0.82 明问题 等差数列与等比数 16 解答题 15 / 中 0.60 列的综合 ·73· ·数学· 参考答案及解析 等比数列的证明，错 17 解答题 15 中 位相减法求和 0.45 等差、等比数列与不 18 解答题 17 中 0.35 等式的综合 与数列有关的新定 19 解答题 17 难 0.25 义题 考答案及解析 一、选择题 故选B. 1.A【解析】当am>0时，则Sa-S,-1=am>0(n≥2，n 6.C【解析】由题可知，a十b=1十11=12,1<a<b< ∈N),所以S>S-1,即数列{Sa}是递增数列，所 1,所以有片+会=（号+品）（日+会）立+得 以“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}为递增数 列”的充分条件；取数列{an}为-1,1,2,3,4，…，显 ++≥号+2×-，当且仅当 然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，所 25a 以“对任意正整数n,均有an>0”不是“{S}为递增 126,即6-10，a=2时等号成立，此时a,b满足1< 数列”的必要条件，因此“对任意正整数n,均有an> a<6<11,所以+要的最小值是3.放选C 0”是“{S}为递增数列”的充分不必要条件.故选A 2.C【解析】由am+1十an=n十3可知，S0= 7.B【解析】由题意可知a=0a:=2+号-10 (a1十ag)十(a十a:)+(a十a6)+(a?十a)+ ，a-=l3+3-101=4,a=4+号-10=只a 7 (a,十aw)=4十6十8十10+12=40.故选C. 3.C【解析】由等差数列的性质可知，在等差数列 =5+号-10=9a=+号-10= 2a {an}中S,,Sa一S,S4一S仍为等差数列，所以 2(S-S)=S+S,-S,所以S,=21,故anS,r +号-10=号a=8+-10=a 7 4■ =tan2=tan(5x十无)=1，放选C 9+号-10-0aw=10+是-10-，函数y 9 4.D【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0).因为 =x+9-10在[10，+十)上单调递增，且x=10 x 4a1,之a3,3a2成等差数列，可得4a1十3a2=a,即 时，y=品>0，且a,<0,所以从10开始，以后不会 4a1十3a1q=a1qg,整理可得g-3q-4=0,解得q=4 有“谷值点”，且只有a8>a<a1o,所以数列an只有1 或9=-1（舍去），所以logsa。-logsa1=log8a1= 个“谷值点”，谷值点为9.故选B. al log4”=log23218=6.故选D. 8.C【解析】设小胡每月月底还款钱数为x元，根据等 额本息还款法可得：第1次还款后欠银行贷款为A 5.B【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数 =a(1十t)一x,第2次还款后欠银行贷款为A2= 按从小到大排列所得的数列记为{am},则am-1既 a(1十t)2一x(1十t)一x,…,第12次还款后欠银行 是3的倍数，也是4的倍数，故am一1为12的倍数， 贷款为A12=a(1+t)12-x(1十t)Ⅱ-x(1+t)1 所以{am一1}是首项为0，公差为12的等差数列，所 以an=12m-11,令1≤an≤2200，即1≤12n-11≤ …-x(1十t)-x=a(1+t)12-x[(1+t)1+ (1+t)w+…+(1+t)+1]=a(1+t)2- 220,且n∈N,解得1≤n<7,且aeN,又184 1-1+]=a1+)+1-1+)] 1-(1+t) <73?<185,所以恰好获得1对春联的人数为184. 4 因为贷款12个月还清，所以A12=0,即a(1十t)2十 ·74· 高三一轮复习B ·数学· 1=t)=0,所以x=当 t (1十t)2-·故选C 的增大品逐新趋近于一个常数，所以言-1十 二、选择题 9.AC【解析】对于A,若Sn=n,则当n≥2时，a, k,解得长=会（负值已舍去），故D正确故 Sn-S-1=2n-1,当n=1时，a1=S:=1,符合am= 选BCD. 2n-1,故an=2n-1,则{am}是等差数列，故A正确； 三、填空题 对于B,若Sn=2",则a1=S=2,a2=S2-S1=2,a 12.-1【解析】在等比数列{an}中，由题意知a:十a0 =-3,a4·a20=1,a4<0,a0<0,所以a2=a4·a0 =S-S=4,故≠，{a}不是等比数列，故B a =l,由等比数列的性质可知a12=a4g<0,所以a12 错误；对于C,若{am}是等差数列，则S25= =-1 2025(a十a05）=2025a1os,故C正确；对于D,若 13.an=4n十2 【解析】a,=g(）十g(元子)十… 2 an=1,符合{an}是等比数列，且an>0,此时Sa-1· +g()@.=g()+g()+…十 S+1=(2n-1)(2n十1)=4n2-1,S。=4n2,不满足 Sm1·Sm+1>Sn,故D错误.故选AC g(n)2a,=4+4+…+4=4(2n+1),则a 10.ABD【解析】因为AB⊥AC,所以AB·AC=an =4n十2. 14.603(214-2028)【解析】由a1=0,得a2=0, 2msin受-3=0，即a.=2msin受+3.所以a= 进而得a=2;当n为奇数时，am+1=2au,令n=2k一 2sin受+3=5，a=6sinm要+3=-3，A,B正确：由 1,k∈N*,则a2k=2a2k-1,当n为偶数时，aa+1=am十 2,令n=2k,k∈N”,则a2k+1=a十2=2a2-1十2，则 通项公式a.=2nsin牙十3可知(a,}不是周期数 a+1十2=2(ag-1十2)，又a1十2=2，所以 列，C错误；因为a4k+1十a+2十a4+3十a+4= {a装-1十2}是以2为首项，2为公比的等比数列，所 以a张-1十2=2，即a2g-1=2*-2,则a26=2a2%-1= 2(46+1）sin4k牛1)还+3+2(4h+2)sin[(2k+ 2 2+1一4，当n为奇数时，由n=2k一1，k∈N*,则k= 1)]+3+2(4k+3)sin4k+3)匹+3+2(4h+4)· 2 ”生，所以a.=2宁-2：当n为偶数时，由n=2,k sin[(2k+2)π]+3=8k+2+3+0+3- ∈N,则=2，所以a,=2学-4，所以a,= (8k十6)十3+0十3=8，k∈N,所以数列{am)的前 (2号-2(n为奇数) 100项和为100×8=200，D正确.故选ABD 所以a10=2一4=60，所以 4 12”号-4(n为偶数) 11.BCD【解析】“斐波那契数列”为0,1,1,2,3,5,8， Sg02s=(a十ag十…十a2o25)+(ag+a4十…十a2024 13,21,34,55,89,…,因为a2=a,所以该数列不是 +ag02w)=(2-2十22-2+…十2o13-2)+(22-4+ 一个递增数列，故A错误；因为a12=89,即89是该 2-4十…+24-40=21=2B)-2X1013+ 1-2 数列的一项，故B正确；因为a1=0,a2=a=1,am+2 =am+1十an(n≥l),所以af=a2·a1,a号=ag· 4(1-2o13)-4×1013=3(204-2028). 1-2 (a3-a1)=a2·a3-a2·a1,a3=a3·（a4一a2)= 四、解答题 a3·a4-aa·a2,…,a2=am·(am+1-aa-1)=am· 15.解：(1)由题意知，当n≥2时，a=” a-1 n-1' aa+l一aa·aa-1,所以ai十a十…十a后=am·am+l, 故C正确；因为a+2=am+1十am(n≥1)，两边同时 a,=aX…Xa4Xa2Xa1 a-1 a2 a 除以a+1(a+1>0),可得8=1十a,又随着n a+ 片×…x××2=2， (3分) ·75· ·数学 参考答案及解析 当n=1时，a1=2满足an=2, 当m=1时，n=1,与m<n矛盾， 综上所述an=2n (5分) 当m=2时，n=7,符合条件， (2)(1)由(1)知，b.=a.·a 4 4 所以m=2,n=7. (15分) 2n·2(n十2) 17.解：(1)当n=1时，2a1+9=3a1+4,即a1=5, =-(片十)， (7分) 当n≥2时，2Sn十9=3an十4n①， s-2(1-++-日+…+ 2S-1+9=3am-1十4(n-1)②， ①-②，得2an=3an-3am-1+4, +) 即an=3am-1-4, 所以an-2=3(am-1-2). (3分) =1+日) 因为a1-2=5-2=3, (4分) 所以数列{a一2}是首项为3，公比为3的等比数 2m十3 2(n+1)(n+2)1 (10分) 列. (5分) (1)由(1)期S,=圣 2n十3 2(n+1)(m+2. (2)因为{an-2}为等比数列， 所以an-2=3”, (11分) 即an=3"十2. (7分) 又6.=nm+2②>0. (3)由(2)得，bn=(2n-1)·(am-2)=(2n-1)· ∴.{Sn}单调递增， 3”, (8分) 所以Tm=3十3×32+5×33十…十(2m-1)3”, S≥5=6= 3Tm=32+3×33+5×3+…+(2n-3)3十 即}<s< (13分) (2n-1)3m+1, 两式相减得-2Tn=3十2(3十33十…十3”) 16.解：(1)设{am}的公差为d, (2n-1)3+ 由s=5a+544=35 =3+2×3(1-31) 1-3 -（2n-1)3m+川 所以a1+2d=7. =(2-2)3m+1-6, 又因为a,a4,a13成等比数列， 所以Tm=(n-1)3m+1十3. (15分) 所以af=a1Xa13, 18.解：(1)S=2am-1①，Sa+1=2am+1-1②， 即(a+3d)2=a1×(a1+12d), ②-①得an+1=2an+1-2an, 即3d=2a1d, (4分) ∴.am+1=2an, 又因为d≠0， 而a1=2a1-1, 所以3d=2a1, (5分) .a1=1, 所以a1=3,d=2, (6分) .{am}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an=2n十1. (7分) an=2m-1. (5分) (2)由题意可得2=1+1 1 (2)假设存在实数入，使得数列{。一入}是等差数列， 所以2+ 1 (9分) 1 1 小b+10.-入 因为品}+>日 1 1 所以m<号， (12分) 2--入 b 又m∈N·,所以m=1或m=2, (13分) -(2-λ)bn-1bn-入 ·76· 高三一轮复习B ·数学· 6-λb-(2-λ)bn+1 =2a6.8-5 化简可得(a3-a2)2=(a2-a1)2a3, b2-26.十1 所以ag=（ =[(2-入)b.-1](6.-入) 因为a∈N*, 6-2b.+1 (2-A)b6-[a(2-A)+1]6.十为常数，(8分) 所以二a∈N, a2-a1 1 2 1 小2-入(2-)十=元， 因此可知a3是完全平方数. (7分) 解得入=1， 由于ag是整数a的最小非1因子，a是a的因子， 六存在入=1使{公成等老数列，且公差为1。 且a3>ag: 所以a=a, (10分) 所以a2-a1,a4-a2,…,ak-ak-l为a2-1,a号-a, (3)由(2)知.与=1+(n-1)·1=n, …,a略-1-a2, 所以a=a51(k≥4). (10分) 6=1+ n (3)由题意知a1ak=a,a2ak-1=a,…,a;ak+1-=a, ∴不等式26，≥a,即2n(1+)≥2， …,1≤i≤k, 即n十1≥2-2， 所以A=、a +a2 ax-1ag'ak-2ak-1 aa:, 即， 因为1≤二=1-⊥， 1 (13分) araz alaz a az ak-1 ak ak-lak 令c-. =1-1 (14分) 21-21 as-1 ag' 则6-6=兴-共-<0 所以A=a +十…十a ak-iak ak-2ak-1 a az ∴.{cn}在n∈N“上单调递减， =a(1 1 ak-1ak”ak-2ak-1 注意到=>1=<1， (女+d++) ak-1 ak ∴n≥5时，cn≤c<1, .nmax -4. (17分) (日》 19.解：(1)当k=4时正整数a的4个正约数构成等比 因为a1=1,ak=a, 数列， 所以上-1<1， 比如1,2,4,8为8的所有正约数，即a=8. a ak 于是a的一个值为8. (3分) 所以A长a(日)d,即A<a (17分) (2)由题意可知a=1,ae=a,a-1=a 因为k≥4，依题意可知二a2=a二a-1 az-ai ak-i-ak2 aa 所以二2=aa2 aa a2 a3 ·77·