(8)三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (八)三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.若sn(2025+e -sina=2,则ncos2a 'sina十cosa A.-1 2 B.0 c D.1 2.当地时间2024年7月27日，在印度新德里召开的联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过 决议，将“北京中轴线一中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》.北京中轴线实际上不 是正南正北的，它与子午线有2°的偏角，下列各式与cos2°不相等的是 A.1-2sin21° B.2cos21°-1 C.sin2° tan 2 D.2sin1°cos1° 3.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M,N,则M-N A.14 B.16 C.18 D.20 4.已知角a的终边经过点(-1,2)，则tan2a的值为 A青 B. c n.-青 5.已知cos(a-B)=m,tan atan B=3,则cos(a十B) A.-2m B罗 c号 D.2m 6.若tan2 0日一。，则sn20 sin 0cos 0 B品 c 7 0.2 7.已知sin2a=5,sin(g-o)= ,且a()9c(,)则e广 A.牙 B野 D. 6 8.若sin10°∈ ,n∈Z,则n的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) g.已知ccs月号，sin asin月号，则 2 1 A.tan atan B-2 B.cos(+-g)=号 C.cos(a-=是 D.os(2a-29)=言 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 10.已知函数f(x)=xlnx,则 A.f(x)在(1，十∞)上单调递增 B.f(x)有两个零点 Cf(x)的最小值为一是 D.曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1 11.定义：4=cos(0-8)+cos(8.8)+…+cos(0。-8)为集合A={6,0,…,0}相对常数0 17 的“余弦方差”若9[0，受]则集合A=骨0相对9的“余弦方差”的取值可能为 A.4 1 B. c 0.3 4 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.若大轮的转速为180r/min(转/分)，则小 轮周上一点每1s转过的弧度为 13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，当x≥0时，f(x)>∫(-x).若g(x)=f(x)十 f(-,且对yx∈[分1]，不等式ax+1≤g(x一2)恒成立，则实数a的取值范周为 14.已知函数f(x)=sin2xcos9-cos2xcos(受9)(lp<受)人，且对Vx∈R,f(x)≤f(5) 若x∈[，]f()=子则sim2 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知一扇形的圆心角为a(a为正角)，周长为C,面积为S,所在圆的半径为r. (1)若a=30°，r=10cm,求该扇形的弧长； (2)若C=4cm,求S的最大值及此时该扇形的半径和圆心角. 三一轮复习单元检测卷八 数学第2页（共4页）】 ® 16.(本小题满分15分) 已知函数f(a)=sin(2ra)cos(r+a)ian(2x-e). sin(管+a）lan(r-a) (1)化简f(a); (2)若f(a)=一，求cosa,tama的值： (3)若ae(←晋，)(e+）=3求cos(+a)+2cos(悟-a)的值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2-7x十6lnx+10. (1)求由曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)求f(x)的单调区间和极小值. 数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=3sin2x+2cos,x+m在区间[0，受]上的最大值为6. (1)求常数m的值； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)求不等式f(x)>5的解集. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=cosx,且a,g∈(0，) )求f(a)+f(受-a)的最大值； (2)比较f(a)+sin(a十B)与f(B)的大小： (3)判断f(a),f(3),sin(a十B)能否作为△ABC的三边长？若能，试探究△ABC外接圆的半径 是否为定值；若不能，请说明理由. 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷八 数学第4页（共4页）】 ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（八） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③ ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 诱导公式、二倍角公式 易 0.85 2 选择题 二倍角公式的应用（数 学文化题) 易 0.82 3 选择题 5 求函数最值 易 0.75 4 选择题 正切函数的倍角公式 易 0.72 切化弦，两角和与差的 选择题 分 0.69 余弦公式 6 选择题 5 倍角公式，弦化切 分 0.60 选择题 两角和的余弦公式，给 0.48 值求角 中 三角函数与导数的 8 选择题 5 / L 中 0.30 综合 弦化切，两角和与差的 9 选择题 6 余弦公式，二倍角公式 易 0.72 10 选择题 6 函数的单调性，零点及 0.60 最值，切线方程 11 选择题 与三角恒等变换有关 分 0.40 的自定义题 12 填空题 弧度制的实际应用 L 易 0.75 13 填空题 5 抽象函数与不等式 中 0.68 14 填空题 三角恒等变换，三角函 / 中 0.38 数的最值 解答题 扇形周长、面积公式的 13 / 0.69 应用 公 ·39· ·数学· 参考答案及解析 诱导公式化简，知值 16 解答题 15 0.58 求值 求切线方程及三角形 17 解答题 15 面积，函数的单调区间 名 0.50 与极值 18 求三角函数解析式及 解答题 单调区间，解不等式 L 分 0.45 余弦函数，求最值，比 19 解答题 17 较函数值大小，定值 张 0.28 问题 香考答案及解析 一、选择题 【解析】由诱导公式可得sin(2025x+a)-sina 2m号 4 cos 0 1.C =一 2 则n0产n0· =cosa-sina=2,故 1 cos 2a cos'a-sin'a 1-ar号 sin a+cos a cos a+sin a cos20 c0sa一sina=,故选C sm0rc0s0an0T·am9+=-3×号 故选C 2.D【解析】对于A,B,由二倍角公式可得1-2sin1° 25 =cos2°，2cos21°-1=cos2°：对于C,因为tan2°= 7.C cos2,所以sin2° 【解标】因为a∈（骨）2a=号>0，所以 sin 2 an2=cos2°；对于D,由二倍角公式得 2sin1cos1°=sin2°≠cos2°.故选D. 2e(受x)则os2a=-25,且ae(经受），因 3.D【解析】因为f(x)=3x2-3,令f(x)>0,解 为B∈（π，），所以a+B∈(，2x),B-a∈ 得x>1或x<-1;令f(x)<0,得-1<x<1,所以 函数f(x)在[0,1)上单调递减，在[1,3]上单调递增， (受平)，又m(g-)=,所以() f(x)在x=1处取得最小值，∫(1)=一2一a,而 f(0)=-a,f(3)=18-a,所以M=18-a,N= 3/10 ,所以cos(a十B)=cos[(B-a)+2a]= -2-a,所以M-N=20.故选D. 10 4.A【解析】因为角a的终边经过点（一1,2），所以 cos(B-a)eos 2a-sin (B-a)sin 2a--310x 10 m8=号=-2，所以1am2a=2an2。 2×(-2) 1-tana1-(-2) (-2）x9-号又a+c(停，2)，所 =专故选A 5.B【解析】因为cos(a一3)=m,所以cos acos B+ 以a+B-径放选C sin asin B=m,因为tan atan B=3,所以sin asin= 8.C【解析】因为sin3.x=sin(2x+x)=sin2.rcos r 3osac0sB.所以4osac0s=月m,则cos0sg=, +cos 2xsin x=2sin xcos2x+(1-2sin2x)sin x= 2sin x (1-sin2x)+sin x-2sinx=3sin x-4sinx, 所以sin asin月=3，所以cos(a+9)=csc 所以sin30°=3sin10°-4sim10°=2，即4sin10° sin asin-受故选B 3sin10°+合=0.所以sin10是方程4r-3x+2 6.C【解桥】因为am号=-合，所以am9 0的-个实根，且0<sn10<sin30°=分.令 ·40· 高三一轮复习B ·数学 fx)=4-3x+号0<x<,则f()=12x 合题意.故选BC. 三、填空题 -3=3(2.x+1)(2.x-1)<0,所以f(.x)在 12.9π【解析】因为大轮有45齿，小轮有30齿，所以 (o,2)上单调递减，又f(合)=4×（合）'>0。 当大轮转动一周时，小轮转动铝-号周，若大轮的 (）)=4×(传)广-是+=-品<0，所以 转速为180r/mim,则小轮的转速为号×180 sn10∈（合，号），则=5故送C 270r/min,所以小轮周上一点每1s转过的弧度为 270×2π÷60=9π. 二、选择题 13.[-2,0]【解析】因为g(x)=f(x)+f(-x), 2 1 9.AC【解析】因为cos acos B-了，sin asin=5,所 x∈R,所以g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),则 以1 t产号专放A正：确sla十 g(x)为偶函数，当x≥0时，g’(x)=f(x) f(-x)>0,则g(x)在[0，+∞)上单调递增，又 =cosa0s-nasn月=号-日=日，故B惜误： g(x)为偶函数，所以g(x)在（一∞，0）上单调递 减，则由g(ax十1)≤g(x-2),得ax十1|≤ cosa-=o9计sin in=号+号-号.故 12-2引，又xe[合，1小，所以x-2<ar+1<2 C正确：os(2一29)=2as(a一到-1=一名：放D x,所以1-是<a≤-1，解得-2≤a≤0，所以实 错误，故选AC. 数a的取值范围为[一2,0]. 10.ACD【解析】因为f(x)=xlnx,x>0,所以 14.3+2② f(x)=lnx+1,则当x∈(0，)时，f(x)<0, 6 【解析】由题得f(x)=sin2xcos9+ cos2xsin9=sin(2x十9)，因为对x∈R,f(x)≤ f(x)单调递减，当x∈（日+）时，了(x)>0, f(子)，所以当x=号时f(x)取得最值，所以 f(x)单调递增，所以f(x)在(1，+∞)上单调递 增放A正确：f)m=(日）=-名，散C正 2×号+9=受+km,k∈Z,解得9=一石+kx,k∈ 6 确：因为f(1)=0,且当0<x<1时，f(x)<0,当 Z,又1g<受，所以9=-否，所以f() x>1时，f(x)>0,所以f(x)只有1个零点，故B 错误；因为f(1)=0,f(1)=1,所以曲线y= sin(2a-吾）.当∈[0，]时，2-晋∈ f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x一1，故 D正确.故选ACD. [-吾，5]又f()=n(2,-)=3 cos(号-0）+cos(0-) 11.BC【解析】由题意可得： 所以cos(2。-吾）=2￥，所以sn2。 2 (gms9+9sn0）'+os0 sim[(2x。-晋)+若]=sim(2xw-晋）cos若+ 2 cs(2-君)恤吾=片×号+29×司 3 a99nas叶子m0叶os0 √3+2w2 6 2 四、解答题 ≥cos28+3 sin dcos8十4 15.解：1)a=30°=30×&rad=吾ad. (2分) 2 o…20n20（克0s20叶22） 则该扇形的弧长为a=吾×10=子(em).《6分) 2 (2)设扇形的弧长为1，则2r+1=4, =寸m(20叶吾)+因为9[0,受]所以 .1=4-2r(0<r<2), (7分) 、、6-11x=号(4=2r)r=一r2十2r=-（r-1)2 20+晋∈[晋，]，所以sim(20+)e +1, (9分) [-1小，所以[合，是]，结合选项可知BC符 当r=1时，Sax=1cm2, (10分) 此时l=4-2×1=2cm, ·41· ·数学· 参考答案及解析 则e==2ad, 令∫(x)<0,得3 <x<2, (11分) .S的最大值为1cm,此时该扇形的半径为1cm, 圆心角为2rad (13分) 所以/x)的单调递增区间为(0，号)，(2，十)， 16.解：1)f(a)=sin(2xa)cos(x十a)an(2x-a) 单调递减区间为（号2）小， (13分) x+a)tan(x-a) sin（2 所以f(x)的极小值为f(2)=22-7×2+6ln2+ =（-sina)(-cosa）C-tana）=sina. (5分) 10=6ln2. (15分) cos a(-tan a) 18.解：(1)由题意可得：f(x)=√3sin2x+2cos2x+m (2)因为f(a)=sina=-方，所以a为第三象限角 1 =3sin2.x+cos2z+m+1=2sin(2x+否）+m 或第四象限角. +1, 当a为第三象限角时，cosa=一√/1-sina= ,tan a=sin a6 2W6 因为x[o受]，则2x+音∈[吾吾]， 5 cos a 12i 可知当2x+晋=受，即=否时(x)取到最大值 当a为第四象限角时，cosa=√一sima=26 5 m+3, 即m十3=6，解得m=3. (6分) tan a-simn 6 (8分) (2)由1)可知：f(x)=2sin(2x+)+4, (3)因为f(a)=sina 所以f(a+吾)=sin(a+）=3, 令2kx+受<2x+吾≤2kx+经，k∈1.解得kx+ 因为a∈(-晋，)，所以a+晋∈(0，受)， 吾<≤m+经keZ 则m(e+吾)-2， (10分) 所以fr)的单调递减区同为[kx十音，m+], k∈Z. (11分) 所以cos(学+a)=cos[受+(a+晋)] (3)由1)可知：f(x)=2sin(2x+)+4, =-sm(a+吾)=-子 令f(x)>5,可得sim(2x+晋)>号 cos(-a)-cos[r-(a+)] 则2十吾<2x十吾<2kx十吾，k∈乙，解得m<t (13分) <kx十否k∈Z, 所以o(管+e)+2cas(悟-a)=1+ 31 所以f()>5的解集为（π，kx十牙），k∈Z. (15分) (17分) 17.解：(1)因为f(x)=x2-7x十6lnx十10， 19.解：(1)因为f(x)=cosx, 所以f(x)=2x-7+6 (2分) 所以f(a)+f(受-a)-cosa+cos(交-a) 则f(1)=2-7+6=1, (3分) 又f(1)=1-7+10=4, eosa+sina=Esin(a+于）， (2分) 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程 因为0<a<受所以平<a十子<平。 为y-4=x-1,即y=x+3, (5分) 令x=0,得y=3;令y=0,得x=-3, 所以当a+于=受，即a=平时，f(a)+f(受-a) 故所求三角形的面积为之×3×3=号 2 (7分) 取得最大值，最大值为√2 (4分) (2)由题得f(x)=2.x-7+6=2-7x+6」 (2)因为f(x)=cos,a,8e(0,受) x (2x-3)(2-2）,x>0, 所以f(a)+sin(a十B)=cosa+sin(a十B)>0, f(B)=cos B>0, (5分) 令f(x)>0,得0<r<号或>2： 因为1+sing>osg>0,所以+sin1, cos B ·42· 高三一轮复习B ·数学· (a)sin (cos asin acos Bcos asin B 所以f(a),f(B),sin(a十B)能作为△ABC的三边 f(3) cos B 长，满足任意两边之和大于第三边. (13分) -sin acos a(sin acosa 设sin(a十B)当作边时所对的角为0， cos B =2sin(a+子） 则cos0=cosa十cosB-sim2(a十) (8分) 2cos acos B -cos'a+cos B-(sin acos B+cos asin B)2 又晋<a+子<还，所以w2sin(a+平)>1， 2cos acos B cosacossin'acos Bsinoa2sin acos os asin 所以f(a)+sin(a+B)>f(B) (9分) 2cos acos B (3)f(a),f(3),sin(a+3)能作为△ABC的三边 2cos'acos2B-2sin asin Bcos acos B 长 (10分) 2cos acos B 由(2)可知f(a)+sin(a十B)>f(β)， =cos acos B-sin asin B=cos (a+B), 同理可得f(B)十sin(a十3)>f(a), 则在△ABC中，0=a十B, (15分) 因为ae(0,受) 所以sin0=sin(a十3)， 所以△ABC外接圆的直径为2R=snCa士D=1, 所以0<sina<1,0<sinB<1,0<cosa<1,0<cosB sin 1, 所以△ABC外接圆的半径R=方，为定值.17分) 所以f(a)+f(B)=cosa+cosB>sin3cosa十 sin acos B-sin (a+B), ·43