(9)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (九)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1,.已知集合A=a-≤a≤}，B={lP-+号∈Z,则AnB= A 6’6’2 D 2.已知sin0+cos0<0,sin Ocos0>0,则0为 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.已知锐角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点A(a,1),且cos2a= 号则a C.√5或-√5 D.√5 4.已知cs(a- ）=-号，则sn(倍+a)的值为 A- B一 c n青 5.在△ABC中，已知sinA+sin(B-C)=sin2C,则△ABC的形状为 A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知a,B∈R,关于等式，有以下两个命题： ①对任意的a∈[0,2π]，总存在B∈[0,2π]，使得等式cosa十cosB=sin(a+β)成立； ②对任意的a∈[0,2π]，总存在B∈[0,2π]，使得等式sina十sinB=cos(a十)成立. 则 A.①与②都正确 B.①正确，②不正确 C.①不正确，②正确 D.①与②都不正确 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.已知sin0,cos0是方程x2-2sina·x十sin'g=0的两个实根，则os2 cos 2a A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所 示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线 与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指 的是平行于水平面的直线截轴裁面所得线段的长度的最大值)的比值为专，则sn∠BAC= 3 . c D结 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.计算下列各式的值，其结果为2的有 1 A.tan15°+2sin60 B.2c0s80 3 2sin 80 C.(1+tan18°)(1+tan27°) D.4sin18°sin54° 10.已知a∈(0，π)，sina-cosa 3,则 8 A.sin 2a=g B.sin a+cos a=- √17 3 C.cos a=17-1 6 Dos。-）-号 11.已知0<a<受，且3cosa+/0cos月=3,3sin&0sin月=2.则 A.cos(a-+B) B.sin(a+g)=3/⑩ 10 C.tan(2a+28)= 4 D.c(,) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 8 10 11 答案 三一轮复习周测卷九 数学第2页（共4页） ® 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知cose=号，专<a<x,则sim号 已知cos(a十)三tan atan B-号，则cos(a-/ 14.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方 形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，3，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25， 则cos(a一B)=】 B入N 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知tan个a+) =一3，计算下列各式的值： (1)tan a; (2 2sin a+2cos a 3sin a-2cos a 1 (3)2sina-sin acos 16.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边的锐角α和钝角3的终边分别交单位圆于A,B两 点.已知点A的特坐标为号，点5的纵坐标为器 (1)求sina,cosβ； (2)求sin(a+3); (3)求2a-3的值， 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知斜△ABC. (l)借助正切和角公式证明：tanA十tanB+tanC=tan Atan Btan C,并充分利用你所证结论， 在①②中选择一个求值： ①tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°； ②an20°+tan40°+tan120 tan20°tan40° (2)若C=135°，求tanA+tanB的最小值. 注：若选择多个问题分别解答，按第一个解答计分 18.(本小题满分17分) (sina+sinβ=b 已知{ ,其中a,b为常数，且a2十b≠0. cos a+cos B=a (1)求cos(a-3); (2)若b=1,a=0,求cos(a十B)cos(a一)； (3)求cos(a+3). 19.(本小题满分17分) 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场 需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规 模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在 OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=夸，OM=30米，设∠COM=a. (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积S(a); (3)当a为何值时，S(α)取得最大值？并求出这个最大值. D a M A 三一轮复习周测卷九 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（九）》 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： 工.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题号 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 三角函数与集合的 选择题 易 0.82 综合 选择题 5 判断角所在象限 易 0.75 三角函数的定义，倍 选择题 角的余弦公式的 易 0.72 应用 4 选择题 5 正、余弦的诱导公式 % 0.65 利用和差角公式判 选择题 L 中 0.58 断三角形的形状 与和差角公式有关 6 选择题 5 0.55 的逻辑推理题 L 三角恒等变换与一 选择题 分 0.40 元二次方程的综合 同角三角函数的关 8 选择题 5 系、倍角正弦公式的 0.30 综合应用 9 选择题 6 知角求值问题 易 0.75 10 选择题 6 sina士cosa与 L 的 0.40 sin acos a的关系 和角、倍角的综合 11 选择题 6 / 中 0.35 应用 12 填空题 半角公式的应用 细 0.72 和差角公式、商数关 13 填空题 5 系的综合应用 L 中 0.45 与差角公式有关的 14 填空题 分 0.35 数学文化题 15 解答题 13 弦切互化问题 中 0.60 16 解答题 15 知值求角 中 0.50 ·45· ·数学· 参考答案及解析 和、差角的正切公式 17 解答题 15 0.40 的应用 18 三角函数的综合 解答题 中 0.30 运算 扇形面积、三角函数 19 解答题 17 0.25 的实际应用 昏考答条及解析 一、选择题 7.C【解析】：sin0,cos0是方程x2-2sina·x十 1.C 【解折】因为A={a-受<a≤受}，B={BB时 sinB=0的两个实根，∴.sin0+cos0=2sina,sin20 2sina·sin0+sin2B=0①，cos20-2sina·cos0+ 经+受∈，所以AnB={-受，-晋，后， sing=0②，①十②得1-2sina·(sin0+cos0)+ 2sin3=0,即1-4sin'a+2sin23=0,即2-4sin2a=1 Ξ}故选C 2.C【解析】由已知得sin0<0,cos<0,故0为第三 2n6.即2as2a=0ms2弘得器是-2故建C 象限角.故选C. 8.D【解析】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R, 3,D【解标】由三角函数定义，sina=后干 1 连接OA,OB,OC,如图所示.易知“水滴”的“竖直高 ,所以 度”为OA+R,“水平宽度”为2R,由题意知A十R 2R m2a-1一2。-1-子一号解得e-后成a 专，解得OA=号R,因为AB与圆弧相切于点B,所 =-√5，由a为锐角知a>0,故a=√5.故选D. 4.A【解析】sin(答+a)=sin[(a-号)+受] 以OB⊥AB,在R△AB0中，Sim∠BAO=OR=R co(a-号)=-寻，故选A = 号，又∠BA0∈(0，受)，所以cos∠BA0= 3 5.A【解析】由sinA+sin(B-C)=sin2C,得 sin Bcos C+cos Bsin C+sin Bcos C-cos Bsin C= √1-sin∠BA0= 由对称性知，∠BA0= 2 sin Ccos C,所以sin Bcos C=sin Ccos C,所以 ∠CAO,则∠BAC=2∠BAO,所以sin∠BAC= cosC(sinC-sinB)=0,所以cosC=0或sinC= 2in∠BA0cas∠BA0=2X号×告-芸放选D sinB,因为0<B<π，0<C<π，所以C=牙或B=C, 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故 选A. 6.B【解析】对于①，任意的a∈[0,2π]，当B=受时， cosa+cosB=cosa,sin(a+B)=sin(a+受） cosa,满足cosa十cosB=sin(a十B),故①正确；对于 ②，当a=F时，sina十sing=-1十sinA,cos(a+) 二、选择题 9.ABC【解析】对于A,tan15°+2sin60°=tan(45° =cos(+）=sinB,则不存在B∈[0,2x],使得等 1-3 式sina十sinB=cos(a十B)成立，故②不正确.故 30)+√5= )十发+/3=2一B+3=2,故A正确 选B. 3 ·46· 高三一轮复习B ·数学· 1 对于B,2c0s80-2sin80 =sin80°-3cos80 2sin80°cos80° 3,故B正确：对于C,lan(a十B)=e士 10 cos(a+B) 2sin(80°-60)= 2sin 20 2tan(a+β)、= sin160° in(180°二20=2，故B正确：对 =-3,故tan(2a十23)= 1-tan(a+3) 于C,(1+tan18)(1+tan27)=1+tan18°+ -6 tan27°+tanl8°tan27°=1+tan18°tan27°+ )=子放C正确，故选BCD tan(18°+27°)(1-tan18°tan27°)=2，故C正确： 三、填空题 对于D,4sin18°sin54°=4sin(90°-72°)sin(90°- 12.5 5 【解析】由受<a<,可知平<号<受，则 36)=4c0s72°c0s36°= 4cos72°cos36°sin36° sin 36 1-(-】 2cos72°sin72= sin 144 sin(180°-36°) n号>0，故n号-√9= sin 36 sin 36 sin 36 sin 36 sin 36 =1,故D错误.故选ABC 1 10.AC【解析】因为sina-cosa=3,所以(sina 【解析】设cos(a一)=t,则 cosa)=号，即sina-2 2sin十cosa=号，即1 cos(a+B)=cos acos B-sin asin =6 -2sne0s。=号，则sn2x=2 in es=号，放A 1 cos(a-B)=cos acos B++sin asin B=t, 正确；又a∈(0，π)，sina>0,所以cosa>0,则a∈ in asin=(：） 两式相除得tana·tanB (o,受)，所以sina cos a5= co=号(+6）， (sin a-cos a)2+4sin acos a √)+2x 3 解得1=子则c0sa=号 2 sin a++cos a= 17 -,故5错误：联立 3 解得 14,号 【解析】由题意可知大正方形的边长为5，小正 sin a-cos a=3 方形的边长为3，所以5cosa一5sina=3,5sin3- sin a=1+v17 +亚，msa=,放C正商： 5c0sB=3,又a十月=受，所以sina=c0sB,得c0sa cos(。一子)-9osa+号na=区，故D错误， cos月=号sinB-sina=是，则(cosa-cosB)2+ 3 6 故选AC (sin B-sin a)2=cos'a+sin'a-2cos acos B+sin'B+ 11.BCD【解析】对于A,因为3cosa+√10cosB=3, csg-2snma=2-2osa-B)=是+号-0 3sina-√10sin3=2,两式平方后相加可得9+10 6 解得c0s(a-B)=25 +6√10(cos acos B-sin asin B)=13,所以 四、解答题 cos(a十)=一-，故A错误：对于D.因为0<a 15,解：(1)由题得tana=tan[(e+平）-平] <B<乏，所以0<a十B<π，又cos(a十B)<0,故a十 tan(a+平)-l -4 =2. (4分) Be(受，x),由于2a十>受，故>平，又0<a 1+tan(a+平) -2 <B<受，所以B∈（开，受)，故D正确：对于B, (2)2sin a+2cos a2tan a+2 3 3sin a-2cos a 3tan a-22 (8分) sin(at)=V个厂-casa+B=√哥 (3)sinsin acosa 1 ·47· ·数学· 参考答案及解析 sin'a+cos'a +5 2sina-sin acos a =tan20°tan40°tan120°+3tan20°tan40°+√3 tan'a+1 5 2tan'a tan a6 (13分) =-√3tan20°tan40°+√3tan20°tan40°+√3=√3. 16.解：(1)由题意可知，a∈(0，受），∈（受，元)，cosa (7分) 若选②： tan20°+tan40°+tan120 tan20°tan40 所以sina=V-cosa-25 5 -an20tan40°tan120 tan20°tan40 cos月--V个-sn形=-7，E (4分) =tan120°=-√/3. (7分) 10 (2).C=135°， (2)sin (B-sin acoscos sin --131 则0°<A<45°，0°<B<45°，且A十B=45°， 0. .'tan A>0,tan B>0, (9分) (7分) ∴.tanA+tanB (3)由(1)得sin(a-)=-sin acos B-cos asin B= 3√o 10 =-tan 135+tan Atan Btan 135 (8分) =1-tan Atan B ≥l-tanA+tanB)2 cos (a-B)=cos acos B+sin asin B=- 10 10 4 (11分) ∴.(tanA+tanB)2+4(tanA+tanB)-4≥0， (10分) 所以sin(2a-B)=sin[a+(a-B)] 解得tanA十tanB≥2√E-2或tanA十tanB≤ =sin acos(a-B)+cos asin (a-B) -22-2(舍去)， (13分) -5×()+×(-36） 2 .tanA十tanB≥2√2-2，当且仅当tanA=tanB= 10 √2-1时取等号， (12分) ∴.tanA十tanB的最小值为22-2. (15分) 由cosa-E2 52 (sin a+sin B=6 18.解：(1)由 cosa十cosB=a 得平<a心受 念 I sin2a+2sin asin B+sin2B=62 又受<BK, cos'a+2cos acos B+cosB=a' 两式作和得2十2 cos acos B十2 sin asin B-=a2+b2, 则-受<2aK受， (4分) 所以2a-9=一平. (15分) ∴cos aos B叶sinn=a+&-1. 2 17.解：(1)，C=180°-(A十B), 即cos(a一B)=0+E-1. (5分) 2 .'tan C=tan[180-(A++B)]=-tan(A+B), tanC=-巴an Atan B' tan A+tan B (2)由(1)知，当b=1,a=0时，cos(a-B)=2-1= .'tan C(1-tan Atan B)=-(tan A++tan B), (6分) ∴.tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C.(4分) .'sin a+sin B 若选①： =sin(生4)+m(生) tan20°+tan40°+√/3tan20°tan40 =tan20°+tan40°+tan120°+√3tan20°tan40° 2 2 ·48· 高三一轮复习B ·数学· a号m生m字 1-tana里1- 2 a' a2-62 a2十b2 (15分) -2sin 1+tan'at 2 1+ 2 cos a+cos B 验证可知，当a=0或6=0时，c0s(a十月)=b -a2+b =s(+)+ms(9) 成立， (16分) 2 2 2 2 缘上所述os(a十) a+ (17分) 19.解：(1)由题意，∠M0N=号，扇形半径即OM= 2 30米， 2 (9分) 则扇形OMN的面积为之×吾×30-150m平方 2sin cos 2 米 (3分) 2cosos“,=a=0 (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, 2 2 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina, ∴cos2≠0，c0s里=0， 2 则OA=AD=105sina, :'.cos (a+B)=2cos:-1=-1, (10分) tan3 2 所以AB=OB-OA=30cosa-10√3sina,(7分) cos(a+8cosa-8)=(-1)x(-号)=2 则矩形ABCD的面积S(a)=AB·BC (11分 =(30cosa-10√3sina)·30sina 2sina+osa,里=b 2 2 =3003(3sin acos a-sin'a) (3)由(2)知 =30v万（停sm2a+7as2a-） 当a=0时，由a2十b≠0可得b≠0， =3005sin(2a+吾）-1505,0<a<号 .co 所以S(a)=300V5sin(2a+5)-1505,其中0< 则cos(a十B)=-1: (12分) 当b=0时，由a2+6≠0可得a≠0， a<号 (12分) .sin0, 2 (3)由晋<2a十吾<， 则cos(a十B)=1-2sina寸里-1. (13分) 2 则当2a+若-=受，即a=晋时，sa）=150,/5. 当a≠0且b≠0时，tan寸=b 2 a 所以当。=晋时，S(a)取得最大值，最大值为 os+e-sin2+里 150√5平方米. (17分) 2 .'cos (a+B)= cos2里+sin2里 ·49·