(4)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

U 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分) 经研究，函数y=f(x)为奇函数的充要条件是函数y=∫(x一)+b图象的对称中心为点 已知函数f(x)=log(x+1),g(x)=log,(1一x),a>0且a≠1，记函数F(x)=f(x)十g(x). (a,b),函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数F(x) (1)求F(x)的定义城： f(r+a)一b为奇函数，由F(r)+F(一x)=0,可得函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对 (2)判断F(x)的奇偶性，并说明理由： 称图形的充要条件是f(a+x)+f(4一x)=2h. (3)当a>1时，求F(x)的单调递减区间. (1)已知函数f(x)=mx十nx23+3,且f(5)=2,求f(-5)的值： (2)证明：函数g)-3图象的对称中心为点(2,3)： x-4x+5 (3)已知函数h(x)=x3-3x2,求h(一7)十h(-6)+h(一5)+…+h(8)十h(9)的值. 16.(本小题满分15分) 已知定义歧为R的两数)=气子是奇两数 (1)求实数a,b的值： (2)判断「(x)在R上的单调性： (3)若关于x的方程∫(4十1)十f(21)=0恰有两个不相等的实数根，求实数1的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f)=log,(a>0且a, (1)判断∫(x)的奇偶性： (2)当a=2时，求f(x)的值城 (3)若函数g(x)=x-2F,且对V∈[-4,4]，3∈[0,4]，使得∫(x1)-g(x:)>2,求实 数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知函数)=l0e青是定义在(-3.3上的奇函数 (1)求4的值： (2)解不等式f(f(x))十f(log3)>0. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷四 数学第4页（共4页】 国高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) 人 Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 点集与函数的综合 易 0.85 2 选择题 幂函数的单调性与充 多 0.80 分必要条件的综合 由对数型函数的单调 3 选择题 5 多 0.72 性求参数取值范围 4 选择题 5 函数图象的识别 中 0.68 由指数型函数的单调 5 选择题 性求参数，利用基本不 / / 0.65 等式求最值 6 选择题 5 对数型函数的应用 / 农 0.55 7 选择题 5 由不等式求参数 中 0.45 选择题 函数性质的综合应用， 8 0.35 比较大小 分 9 选择题 6 命题的判定 易 0.75 10 选择题 6 指数、对数函数的性质 0.68 11 选择题 6 函数性质的综合应用 中 0.30 对数型函数的实际 12 填空题 5 中 0.65 应用 13 填空题 5 反函数的性质 / 分 0.45 14 填空题 5 指数型函数的最值 分 0.35 对数型函数的定义域 15 解答题 13 0.68 奇偶性及单调区间 L L 外 由函数的奇偶性求参 数，判断函数的单调 16 解答题 15 / √ 性，由方程实根的个数 分 0.60 求参数取值范围 ·15· ·数学· 参考答案及解析 由对数型函数的奇偶 17 解答题 15 性求参数，解不等式 / 务 0.50 11 函数图象的对称中心， 18 解答题 求函数值 农 0.35 函数的奇偶性与值域， 19 解答题 17 由不等式求参数取值 雅 0.25 范围 香考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】由题意可知当集合C为单元素集合时，方 号成立，所以。+8的最小值为9十4E.故选A 程组/v-2-1 19 6.B【解标】易得习PW）- loga8-logs 2 1og34 有一个解，所以y=(my十1)2 {x=y+1 log:2+l0g 5 log:10 1,即my2+(2m-1)y=0,当m=0时，y=0,此时 g4,由Pm)=g"+,得∑P() x=1,则C={(1,0)},符合题意：当m≠0时，由△= 程 (2m-1)=0,得m=,此时C={1,0),符合 史+++器=（货· … 题意综上，m=0或m=子.故选C ）)=g只，所以1g2-g4,解得k=5故选B 2.B【解析】因为f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3是幂 7.A【解析】由题可知f(x)=(x十1)ln(x十b),x 函数且在(0，十∞)上单调递减，所以 -b,令x+1=0,得x=-1;令ln(x十b)=0,得x= 1m2-3m-3=1 1-b,若-1≤-b,即b≤1，当x∈(-b,1-b)时，x> m2+m-3<0 解得m=一1，所以“m=一1或m= 一1，ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不符合题意；若 -b<-1<1-b,即1<b<2,当x∈(-1,1-b)时， 4”是“幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3在 x>-1,ln(x十b)<0,此时f(x)<0,不符合题意；若 (0,十∞)上单调递减”的必要不充分条件.故选B. -1=1-b,即b=2,当x∈(-b,1-b)时，x<-1, 3.C【解析】因为f(x)=log.6(8-ax)在(2,4)上 ln(x十b)<0,此时f(x)>0:当x∈[1-b,十∞)时， 单调递增，且函数y=log.6x单调递减，所以 x+1≥0，ln(x十b)≥0，此时f(x)≥0；若-1>1-b, g(x)=8-ax在(2,4)上单调递减且恒为正，所以 即b>2,当x∈(1-b,-1)时，x<-1,ln(x十b)> a>0,且g(4)=8-4a≥0，解得0<a≤2.故选C. 0,此时f(x)<0,不符合题意.综上所述，b=2.故 4.B【解析】由题知f(x)的定义域为{x|x≠0，定义 选A. 域关于原点对称，因为f(一)=号 8.D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f一x)=一f(x), （-x)卫 因为f(-x)=f(x十2)，所以-f(x)=f(x十2)， 。二e=一f(x),所以f(x)为奇函数，其图象 所以-(x十2)=f(x十4)=f(x),所以f(x)的 周期为4，因为f(x)在区间(-1,0]上单调递增，且 关于原点对称，排除A选项；当x+十∞时，f(x)→ 十o∞，排除C,D选项.故选B. f(x)为奇函数，所以f(x)在区间(-1,1)上单调 5.A【解析】由题意可得(x十b)-“≥(x十b)°，因为 递增.因为1=log:4>log3=log:√81>log/64 x+b>0,当x十b>1时，x-a≥0，则a≤1-b:当x十 =lbg4=子，所以<a<1,因为子=1ogF> b=1时，显然成立；当0<x十b<1时，x-a≤0，又 a>0,则a≥1-b,所以a=1-b,则a十b=1,因为a,b 1og.6=log:2>1og:1=0,所以0<6<，所以 >0.所以日+8=（合+8）(a+6)=9+2+2 0<K是<a<1,所以fb)<f()<f(a.由题 b.8=9+4反，当且仅当b=2W2a时等 ≥9十2Nab ·16· 高三一轮复习B ·数学· 19 可得c=1ogm5122=1og分2#-× 219 得g(3)=1,即-1og3=1,所以a=子，g(x) 4 2 1logx=lgx,所以fga+1)=f(g(告)）=专 又f(x)的周期为4，所以f(e)=f(9) 14.log号 【解析】因为3“=1十3(a≥1)，所以3“=h f(4+)=f(),所以fb)<f(c)<f(a.故 3“ 1 3111,因为a1,所以0<3≤3 选D. 二、选择题 9.BC【解析】A选项为全称量词命题，不满足题意；B 则号<1-<1.所以1< 选项为存在量词命题，且当x=3时，3一3×3十√2= 3 √2>0，为真命题，满足题意；C选项为存在量词命题， ≤子，所以0<a-b≤log是，所以a一b的最大值为 内角分别为30°，60°，90°的直角三角形的三个内角成 等差数列，为真命题，满足题意：D选项，只有质数2 s是 的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方为偶数， 四、解答题 为假命题，不满足题意.故选BC. 15.解：(1)由题得F(x)=f(x)十g(x)=log(x十1) 10.BCD【解析】对于A,因为y=log2x为增函数，所 +log.(1-x), 以m<n,故A不符合；对于B,因为y=0.2为减函 数，所以m>n,故B符合；对于C,因为y=logx 则任8得程-1<1 (0<a<1)为减函数，所以m>n,故C符合：对于 所以F(x)的定义域为（一1,1）， (4分) D,因为y=a(a>1)为增函数，所以m>n,故D符 (2)由(1)知F(x)=log.(x十1)+log。(1-x)= 合.故选BCD. 1og(1-x2),x∈(-1,1)， 11.ABC【解析】对于A,令x=y=0,可得f(0)=0, 因为对于x∈(-1,1)，有-x∈(-1,1)， 再令x=0,可得-f(y)=f(-y),且f(x)的定义 且F(-x)=log.[1-(-x)2]=log(1-x)= 域为（一1,1），所以f(x)为奇函数，故A正确：对 F(x), 于B,令-1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1一x1x2> 所以F(x)为定义在(-1,1)上的偶函数.(8分) 0,所以受+1=1+>0所以 (3)由(2)知F(x)=log.(1-x2),x∈(-1,1)， 1一x1x2 t=1-2>0 (t)=log.t, 一1∠1 一x2<0,由函数性质可得f() 因为a>1,所以o(t)单调递增， 所以要求F(x)的单调递减区间即求t=1一x在 f)=f(臣)<0，即f()<f,所 (一1,1)上的单调递减区间， (11分) 易知t=1一x在[0,1)上单调递减， 以f(x)在（一1,1）上单调递增，故B正确：对于C, 所以F(x)的单调递减区间为[0,1). (13分) 令y行，可得=，2上工 ,所 16.解：)f(x)=2 2千。是定义域为R的奇函数， ∴.f(0)=0,且f(1)+f(-1)=0, 以∫()-f(3)=f(号)，即f(2) 即 品- 1b-2+6-2- ,解得/a-2 b=1 f(号)+f(号)，故C正确：对于D,因为f(x)为 (4+a 1+a =0 1-2 增函数，所以（子）>（号），由C可知f(2) ∴.f(x)=2+1十2 (3分) 1-22 1-2x1-2x f(号)+f(),故D错误，故选ABC ∴.f(x)+f（-x)=2*+2十2+1+22+1+2 三、填空题 +21 2+2+T=0, 12.41【解析】由题可得y=201ln(WF+1)+70≥110， 则ln(Wf+1)≥2，所以w+1≥e2,则t≥(e-1)≈ f)=平为奇函数， 40.96≈41，所以运动时间至少约为41分钟. .a=2,b=1. (5分) 13.专 1-2x 【解析】根据反函数的性质以及f(1)=3,可 (2)由(1)得f(x)=2+22+12 ·17· ·数学· 参考答案及解析 任取x,x2∈R,且x1>x2, 所以不等式f(f(x))十f(1og3)>0的解集为 1 1 f(x)-f(x)=2m+-立-2n++立 (号) (15分) 22-21 (21+1)(22+1)' (7分) 18.解：(1)f(x)=mx5+nx3十3， .f(-x)=-mx3-x3+3, x1>x2,27>22>0, f(x)十f(-x)=6, (2分) .2g-21<0, .f(5)+f(-5)=6, ∴.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 又f(5)=2,∴.f(-5)=4. (4分) ·f(x)在R上单调递减. (9分) (3),∫(x)为奇函数且在R上单调递减， (2)g(x)=3x-11z+13 x-2 x2-4x十5 .关于x的方程f(4十1)十f(2+2t)=0恰有两 x-2 个不相等的实根，等价于关于x的方程4十1十 (x-2)+7+3, 2+t=0恰有两个不相等的实根， x 即(2：)2十1十4t·2=0恰有两个不相等的实根， 令F(x)=g(x+2)-3=x十： (12分) 则g(x)=F(x-2)十3， 令q=2>0,则g2十4tg十1=0恰有两个不相等的 F(-x)=-F(x),x∈R, 正实根， .F(x)为奇函数， 0,解得1-是， ∴g(x)图象的对称中心为点(2,3). (9分) (3)假设函数h(x)=x3一3x2的图象有对称中心， “实数：的取值范围为(-∞，一号) (15分) 且对称中心为点(a,b), h(a十x)+h(a-x)=2b, 17.解：1)因为f()=g号是定义在(-3,3)上的 即(a十x)3-3(a十x)2十(a-x)3-3(a-x) 奇函数， =2b, .(3a-3)x2+a3-3a2=b, (12分) 所以f(0)=og:(-号)=0，解得a=-3,(2分) /3a-3=0 a3-3a=b,解得a=1,b=-2, 所以f(x)=log2 x-3 ,x∈(-3,3)， .h(x)图象的对称中心为点(1，一2)， (4分) .h(1+x)+h(1-x)=-4. (14分) 经检验f(一x)=log -e(》 =-f(x), 令S=h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8)+ h(9), 符合题意， 则S=h(9)+h(8)+h(7)+…+h(-6)+ 所以a=-3. (6分) h(-7), x十3 (2)由(1)可得f(x)=1og:3-x∈（-3,3)， .2S=[h(-7)+h(9)]+[h(-6)+h(8)]+ 因为1=-1马在(-3,3)上单调递增。 …+[h(9)十h(-7)]=17×(-4)=-68, .h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8)+ 且y=logt在定义域内单调递增， h(9)=-34. (17分) 所以)=10在（一3,3上单调遥增。 10.解：1D因为f(x)=16e.(a>0且a≠1D (9分) x∈R, 由f(f(x))+f(log23)>0, f(f(x))>-f (log23)=f(-log:3), 所以(-=b气出-bR1去兰=f 97 所以f(x)为偶函数. (3分) 2)当a=2时j0=loga∈R, 所以-log3<f(x)<3, (12分) 因为f(号)=g8=3/(-号)=1g专 因为2>0， -log3,且f(x)在(-3,3)上单调递增， 所以中=2+>2，当且仅当2=1，即x=0 所以f(-是)x)<f(子)， 时取等号， 则<<子 所以)=g,≥0g,2=1 所以f(x)的值域为[1，十o∞). (7分) ·18· (3)对Hx1∈[-4,4幻，3x2∈[0,4]，使得f(x1) 因为0≤x1<x2≤4， g(x2)>2, 所以2<2？，x1十x2>0, 等价于f(x)in>[g(x)十2]min (8分) 则21一22<0,2+2>1， g(x)+2=x-2F+2,x∈[0,4]， 1 所以121云>0， 令t=√F∈[0,2]，h(t)=t-2t+2=(t-1)2+1, 所以h(t)min=h(1)=1,即[g(x)十2]in=1, 所以u(x1)-u(x2)<0,即(x1)<v(x2), 所以(x)在[0,4]上单调递增 (13分) 所以f(x)min>1. (9分) 当0<a<1时，f(x)=log.v(x)在[0,4]上单调 因为f(x)为偶函数， 递减， 所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4] 上的最小值 (10分) 则f(x)in=f(4)=log. 4+1=log 21 252<0,不符 16 令()=坐+1，则fx）=og.ur), 合题意； 任取0≤x1<x2≤4， 当a>1时，f(x)=log.v(x)在[0,4幻上单调递增， 所以f(x)mm=f(0)=log2>1,则1<a<2. 则和(m)-u()=4,史-4+=（21 21 22 (16分) 综上，实数a的取值范围为(1,2). (17分) 2)1-2）: