(4)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) I ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 由不等式恒成立求参 易 0.85 数的最值 2 选择题 5 指数、对数函数的图象 易 0.80 3 选择题 5 函数值的求法 易 0.75 4 选择题 5 幂函数的定义 中 0.68 由分段函数的单调性 选择题 0.65 求参数取值范围 分 6 选择题 6 指数、对数的应用 L 中 0.55 7 选择题 5 由不等式求参数 中 0.45 8 选择题 函数性质的综合应用， / 比较大小 / 中 0.35 9 选择题 6 命题的判定 易 0.75 10 选择题 6 指数、对数函数的性质 / 中 0.68 11 选择题 6 函数性质的综合应用 中 0.30 对数型函数的实际 12 填空题 0.65 应用 13 填空题 5 反函数的性质 少 0.45 分段函数的值域，由方 14 填空题 程实根个数求参数 你 0.28 范围 对数型函数的定义域、 15 解答题 13 奇偶性及单调区间 8 0.68 求函数的解析式，解不 16 解答题 15 中 0.60 等式 ·17· ·数学· 参考答案及解析 指数型函数的性质，解 17 解答题 15 不等式，由函数的最值 中 0.50 求参数 对数型函数，求函数的 18 解答题 12 单调区间，判断函数零 / / 中 0.35 点个数 函数的奇偶性与值域， 19 解答题 17 由不等式求参数取值 / 难 0.25 范围 香考答案及解析 一、选择题 递减，所以一2十a一2a一2，解得a≥0，所以实数a 1.C【解析】由x2+(4-a)x+7-2a≥0，得x2+4x十 的取值范围为[0,4].故选C. 7≥a(x+2),因为.x∈(-2，十o∞)，所以x+2>0,所 以十>a恒成立，即x十2+32 6.B【解析】设所需时间为1秒，则子×1051=2“，两 x十2 2≥a恒成 边同时取对数得1gt+lg5-2lg2+15=1281g2,所 立汉2+2+2≥25，当且仅当=月-2时等 以lg1=131lg2-16≈131×0.301-16=23.431，所 以t≈102.431=10.1×1023≈2.698×1023秒.故 号成立，所以a≤2√3，则实数a的最大值为2√.故 选B. 选C. 7.A【解析】由题可知f(x)=(x十1)ln(x+b),x> 2.D【解析】当a>1时，函数f(x)=a-2单调递 -b,令x+1=0,得x=-1:令ln(x+b)=0,得x 增，其图象经过第一象限，不符合题意；当0<a<1 1一b,若一1-b,即b1,当x∈(-b,1一b)时，x≥ 时，函数f(x)=a一2单调递减，与y轴交于点(0， 一1，ln(x十b)<0,此时f(x)<0,不符合题意；若 一1)，其图象不经过第一象限，符合题意，故0<a< -b<-1<1-b,即1<b<2,当x∈(-1,1-b)时， 1,则】>1，所以函数g(x)=log:(x+2)单调递 x>一1，ln(x十b)<0,此时f(x)<0,不符合题意；若 -1=1一b,即b=2,当x∈(-b,1-b)时，x<-1, 增，又g(x)的图象恒过点（一1,0），所以g(x)的图 ln(x+b)<0,此时f(x)>0;当x∈[1-b,+o∞)时， 象不经过第四象限.故选D. x+1≥0，ln(x十b)≥0，此时f(x)≥0；若-1>1-b, 3.D【解析】对于f(x)+f(1已)=1+，令x=2。 即b>2,当x∈(1-b,-1)时，x<-1,ln(x+b)> 0,此时f(x)<0,不符合题意.综上所述，b=2.故 得f(2)+f(-1)=3:令x=,得f(合) 选A. f(2)=号，两式相加得f(-1)+(号)+2(2) 8.D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(一x)= -f(x),因为f(-x)=f(x十2)，所以-f(x)= 9 ，令x=-1,得f(-1)+f(号)=0，所以 f(x+2),所以-f(x十2)=f(x十4)=f(x),所 以f(x)的周期为4，因为f(x)在区间(-1,0们上单 2f(2)=号，则f(2)=是故选D 调递增，且∫(x)为奇函数，所以∫(x)在区间 (-1,1)上单调递增.因为1=log:4>log:3 4.B【解析】因为f(x)=(a-2)xm为幂函数，所以 a-2=1,则a=3,所以f(x)=xm,又点(a,m3)在 1og:8T>log:6=log4=,所以子<a<1, f(x)的图象上，所以f(a)=f(3)=3m=m3,又 m∈N,则m=3,所以a十mn=6.故选B. 因为是=log:反>1og:6=log2>log:1=0,所 5.C【解析】由题可知当x≤1时，f(x)=-e1-x, 因为函数y=一e一1和y=一x均单调递减，所以 以0<b<是，所以0<b<子<a<1,所以/(b)< (x)在(-∞，1]上单调递减；当x>1时，∫(x)= 一2x2十ax一2a,要使f(x)在(1，十∞)上单调递 f()<f(a.由题可得c=og5122- 减，则需满足年≤1，所以a≤4，又f(x)在R上单调 ·18- 高三一轮复习 AN ·数学· 则ln(WE+1)≥2，所以WF+1≥e2,则t>(e-1)≈ 子1og时29= 2 40.96≈41，所以运动时间至少约为41分钟. 4 1 -9,又f()的周期为4，所 4 13. 【解析】根据反函数的性质以及f(1)=3,可得 以f(e)=f()=f(4+)=f(),所以f(6) g(3)=1,即-log3=1,所以a=号，g(x) <f(c)<f(a).故选D. 二、选择题 -kg=og所以fga+1D)=(g(告)）=子 9.BC【解析】A选项为全称量词命题，不满足题意；B 14.(0,+oo)[-1,1)【解析】当a=0时，f(x)= 选项为存在量词命题，且当x=3时，32一3×3十√2= √2>0，为真命题，满足题意：C选项为存在量词命题， (2)广<0，当≤0时，f()=(号)单调递 内角分别为30°，60°，90°的直角三角形的三个内角成 2x,x>0 等差数列，为真命题，满足题意：D选项，只有质数2 减，则f(x)≥f(0)= 的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方为偶数， (2)）”=1:当x>0时， 为假命题，不满足题意.故选BC. f(x)=2x单调递增，则f(x)>f(0)=0,所以 10.BCD【解析】对于A,因为y=log2x为增函数，所 f(x)的值域为(0，+∞).因为f(x) 以m<n,故A不符合：对于B,因为y=0.2为减函 数，所以m>n,故B符合；对于C,因为y=logx (广所以=在同 (0<a<1)为减函数，所以m>n,故C符合：对于 2x,x>a D,因为y=a(a>1)为增函数，所以m>n,故D符 一坐标系中作出函数y=2x,y=一2x,y=(号)广， 合.故选BCD. y=2的图象，如图1所示， 11.ABD【解析】对于f(x十2)=-f(-x),令x= -1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0, :f(x)为偶函数，∴f(-1)=f(1)=0,故A正 1=2x 确；f(x)为偶函数，.f(一x)=f(x), .f(x+2)=-f(-x)=-f(x),.f(x+4)= -f(x+2)=f(x),∴.f(x+6)=f(x+2) 一f(-x),即f(x+6)=-f(-x),.f(x)的图 象关于点(3,0)对称，故B正确：：f(x十4) f(x),.f(x)的周期为4，.f(2024)=f(506× 4)=f(0),f(2025)=f(506×4+1)=f(1)= 0,对于f(x十2)=-f(-x),令x=0,得f(2)= -f(0),又当x∈(1,2]时，f(x)=2-2, =21 .f(2)=22-2=2,.f(0)=-f(2)=-2, 图1 .f(2024)=f(0)=-2,.f(2024)< 由图可知函数y=2x与y=2的图象交于点 f(2025),故C错误；·f(x+2)=一f(-.x), f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈ (1,2),(2,4),函数y=一2x与y () 的图象 (1,2]时，f(x)=2-2单调递增，且f(1)=0, .f(x)在0,2]上单调递增，.当x=0时， 交于点(-1,2)，(-24)，函数y=(3)广 与y= f(0)<f(2),当x≠0时，：f(x)为偶函数， 2的图象交于点(0,1)，函数y=2x与y=一2x的 图象交于点(0,0).因为关于x的方程f(一x) ()Ff()=f() f(x)恰有5个不同的实根，当a≥1时，函数y= f(一x),y=f(x)在同一坐标系中的图象如图2 ，0< ≤子，当且仅当 所示， x=时等号成立…f(千)≤f()综 上f(十)≤f(),故D正确，故选ABD 三、填空题 12.41【解析】由题可得y=20ln(+1)+70≥110， ·19. ·数学· 参考答案及解析 -2-10 图2 由图可知，此时方程f(一x)=f(x)只有1个或3个 图5 不同的实根，不满足题意；当0≤a<1时，函数y= 由图可知，此时方程f(-x)=f(x)只有1个或3个 f(一x),y=f(x)在同一坐标系中的图象如图3 不同的实根，不满足题意.综上，实数α的取值范围 所示， 为[-1,1). 四、解答题 15.解：(1)由题得F(x)=f(x)十g(x)=log。(x十1) +log。(1-x), 则行8g得-11， 所以F(x)的定义域为（一1,1）. (4分) (2)由(1)知F(x)=log(.x十1)+1og.(1-x)= 1og(1-x2),x∈(-1,1)， 因为对于x∈(-1,1)，有-x∈(-1,1)， -2-10 且F(-x)=loga[1-(-x)2]=log(1-x)= F(x), 图3 所以F(x)为定义在（一1,1）上的偶函数.(8分) 由图象可知，此时方程f(一x)=f(x)恰有5个不同 (3)由(2)知F(x)=log。(1-x2),x∈(-1,1)， 的实根，分别为x=一2，x=-1,x=0,x=1和x= 令t=1-x2>0,9(t)=logt, 2,满足题意；当-1≤a<0时，函数y=f(-x),y= 因为a>1,所以p(t)单调递增， f(x)在同一坐标系中的图象如图4所示， 所以要求F(x)的单调递减区间即求t=1一x2在 (一1,1)上的单调递减区间， (11分) 易知t=1-x在[0,1)上单调递减， 所以F(x)的单调递减区间为[0,1). (13分) 16.解：(1)f(x)0的解集为(1,2)， .1,2是方程f(x)=0的根，且k>0, 90242 。,解得k=1, (4分) ∴.f(x)=x2-3x+2. (5分) 2 -1O (2)当=0时，f(x)=-x十2， 由f(x)<0,得-x+2<0,∴.x>2; (7分) 当k≠0时，f(x)=(x一2)(kx-1), 图4 由f(x)<0,得(.x-2)(k.x-1)<0, 由图象可知，此时方程f(一x)=f(x)恰有5个不同的 即k(x-2)(x-名)<0。 (9分) 实根，分别为x=一2，x=一1，x=0,r=1和x=2,满足 题意；当a<一1时，函数y=f(-x),y=f(x)在同一坐 当<0时，(x-2)(x-)>0, 标系中的图象如图5所示， x>2或x<友 (11分) 当k>0时，(x-2)(x-)<0. ·20· 高三一轮复习AN ·数学· 当及=宁时，无解： (12分) 18.解：选①：(1)f(x)十f(-x)=0, In (1-z)+kln (1+x)+In (1+z)+ ,<r<2 当k>2时， (13分) kln(1-x)=0, 所以(k+1)ln(1+x)+(k+1)n(1-x)=0, 当0<<时，2<<石 (14分) 即(k+1)ln(1-x2)=0, 当k十1=0，即k=一1时，上式恒成立， 综上，当<0时，不等式的解集为（ 1 故k=-1. (5分) U(2,+o∞)： (2)由(1)可知k=-1, 当k=0时，不等式的解集为(2，十∞)： 则r)e(-o,-1U(-1,+o) 当0<<时，不等式的解集为(2，云)： (6分) 当=之时，不等式的解集为心； 所以F(x)=二1-一x)= -2 (1+x)2 (1+r)<0, 所以F(x)的单调递减区间为（一∞，一1）， 当>2时，不等式的解集为（冬，2）： (15分) (一1，十∞)，无单调递增区间. (10分) 17.解：(1)，f(x)为定义在R上的奇函数， (3)g(x)在区间(-1,0)上的零点个数为1. .f(0)=a·2°-2°=a-1=0,则a=1, (11分) .f(x)=2-2r, 理由如下： 则f(-x)=2-2=-∫(x),满足题意， 由题得g(.x)=ln(1-x)-ln(1+x)+1+2= a=1. (3分) x 任取1，x2∈R,且x<2, 则f(x1)一f(x2)=21-2-2?+23=(21 片+士+2.e(-10 2)0+2） 由2知F()=千在（一10）上单测递减， <x2,.21<2?, 又y=子在(-1,0)上单调递减， ∴.f(x1)-f(x2)<0,即f()≤f(x2), 所以g(x)在区间（一1,0）上单调递减， (13分) ∴.f(x)在R上单调递增. (6分) (2)由(1)可知f(x)=2x-2‘,且f(x)为奇函数， 又g(-2)=ln号-ln2=n3>0,g(-3) 则由f(3.x2-5.x)+f(x-4)>0,得f(3.x2-5x) >f(4-x), (7分) n号-lh-5+2-ln号-3<0， 由(1)可知f(x)在R上单调递增， .3.x2-5x>4-x, 所以由零点存在性定理可知3。∈(-号，-号）， 即3.x2-4.x-4=(3x+2)(x-2)>0, 使得g(x0)=0, 解得>2或K一号 故g(x)在区间（一1,0）上的零点个数为1. (17分) 不等式的解集为（一0，一号）U(2,十∞). 选②：(1)f(x)-f(-x)=0, In (1-x)+kln (1+x)In (1+x)- (9分) kln(1-x)=0, (3)由题可得g(x)=4+4-2mf(x)=22x+ 所以(1-k)ln(1-x)+(-1)ln(1+x)=0, 22x-2m(2-2)=(2r-2r)2-2m(2-21) +2,x≥-1， (10分) 所以1-)n0: 令t=2-2≥号，h(t)=22mt十2=(1m)2 当1一k=0,即k=1时，上式恒成立， 故k=1. (5分) +2-m2, (2)由(1)可知k=1, 当m≥-号时，hA0m=h(m)=2-m=-2, 则F(.x)=(1-x)(1十x)=1-x,定义域为R, 其图象开口向下，对称轴为y轴， 则m=2(m=-2舍去)； (12分) 所以F(x)的单调递增区间为（一∞，0），单调递减 当m<-时，A(0m=A(-号)=+3m=-2, 区间为[0，十∞). (10分) (3)g(x)在区间(-1,0)上的零点个数为1 解得m=一 <- (14分) (11分) 综上，实数m的值为2或一器， 理由如下： (15分) 由题得g(x)=n(1-x)+ln(1十x)+x+2= ·21· ·数学· 参考答案及解析 ln[(1-x)(1+x)]+x+2,x∈(-1,0)， g(x)+2=x-2VE+2,x∈[0,4]， 由(2)知F(x)=(1-x)(1+x)在(-1,0)上单 令t=√x∈[0,2]，h(t)=t-2t+2=(t-1)2+1, 调递增， 所以h(t)mm=h(1)=1,即[g(x)+2]min=1, 又y=x在(-1,0)上单调递增， 所以f(x)min>1. (9分) 所以g(x)在区间（一1,0）上单调递增， (13分) 因为f(x)为偶函数， 又g(-号)=n章+号>0，且当x趋向于-1时. 所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4] g(x)趋向于一∞， 上的最小值. (10分) 所以由零点存在性定理可知3，∈（-1，一号），使 令(x)=4十1，则fx)=1og.a(), 得g(x)=0, 任取0≤x1<x2≤4， 故g(x)在区间(-1,0)上的零点个数为1. 则u(x)-0(2)=4+1-4=(241 21 22 (17分) 19.解：(1)因为f(x)=log 4+1(a>0且a≠1). 20-2） 因为0≤x1<x2≤4， x∈R, 所以21<2？，1+x2>0, 所以-)=log= 1+4华=f(x: 2 则25-22<0,21+2>1， 所以f(.x)为偶函数. (3分) 所以1>0， (2)当a=2时，f(x)=log2 4+1,xeR, 所以v(x1)-v(x2)<0,即o(x1)<v(x2), 因为2>0， 所以v(x)在[0,4]上单调递增. (13分) 所以生=2十安≥2，当且仅当2=1，即x=0 当0<a<1时，f(x)=logv(x)在[0,4]上单调 递减， 时取等号， 则/n=f)=lbg=l6g.<0,不符 24 所以)=lbg:>lbe2= 合题意； 所以f(x)的值域为[1，+o∞). (7分) 当a>1时，f(x)=logo(x)在[0,4]上单调递增， (3)对Hx1∈[-4,4]，3x2∈[0,4]，使得f(x1) 所以f(x)mn=f(0)=log.2>1,则1<a<2. g(c2)>2, (16分) 等价于f(.x)mn>[g(x)+2]mim (8分)： 综上，实数a的取值范围为(1,2). (17分) ·22高三一轮复习单元检测卷/数学 (四)幂函数、指数函数与对数函数 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若对Hx∈（一2，十∞），x2十(4一a)x+7一2a≥0恒成立，则实数a的最大值为 A.√3 B.3 C.23 D.6 2.已知函数f(x)=a一2(a>0,且a≠1)的图象不经过第一象限，则函数g(x)= log:(x+2)的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知函数f(x)满足f(x)+f1)=1+x,则f(2)- A. B子 c D. 4.已知点(a,m3)(m∈N)在幂函数f(x)=(a一2)xm的图象上，则a十m= A.7 B.6 C.5 D.4 2x2+a.x-2a,x>1 5.已知函数f(x)= -e-1-x, ≤1在R上单调递减，则实数口的取值范围为 A.(-∞，4] B.[-2,4] C.[0,4] D.[4,+∞) 6.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需 求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行×105次运算，若用它处理一段自然 语言的翻译需要进行2128次运算，则处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数 据：lg2≈0.301,10.431≈2.698) A.2.698×1022秒B.2.698×1023秒 C.2.698×1024秒 D.2.698×1025秒 7.设函数f(x)=(x+1)ln(x+b),若f(x)≥0，则b的值为 A.2 B.1 C. D 8.已知奇函数f(x)的定义域为R,f(一x)=f(x十2)，且f(x)在区间(-1,0]上单调递 增，若a=log3,b=log2,c=log5122,则f(a),fb),fc)的大小关系为 A.f(c)>f(a)>f(b) B.f(c)>f(b)>f(a) C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b) 数学第1页（共4页)】 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中既是存在量词命题又是真命题的是 A.Vx∈R,x2-3.x+5>0 B.3x∈R,x2-3x十2>0 C.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 D.至少存在两个质数的平方为偶数 10.下列不等式中，m>n的有 A.log2m<log2n B.0.2m<0.2 C.logam<logn(0<a<1) D.ama"(a1) 11.已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x十2)=一f(-x),且当x∈(1,2]时，f(x)= 2一2，则 A.f(-1)=0 B.f(x)的图象关于点(3,0)对称 C.f(2024)>f(2025) Df()f(位) 班级 姓名 分数 题号 1 3 4 5 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.每年的3月21日为“世界睡眠日”.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社 会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提 高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率y(次/分钟)的关系如表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率y(次/分钟) 60<y<110 110y≤130 y>130 已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间t(单位：分钟)满足关系式y= 20ln(t+1)十a,其中a为正常心率.某同学的正常心率为70次/分钟，若该同学要 达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为 分钟.（参考数据：e2≈ 7.4,结果保留整数) 13.函数g(x)=-logx(a>0且a≠1)的反函数为y=f(x),若f(1)=3,则f(g(a+1) 14.已知函数f(x) (位≤a当a=0时，fx)的值域为 ;若关于x的方 2x, x>a, 程f(一x)=f(x)恰有5个不同的实根，则实数a的取值范围为 .（本题第 空2分，第二空3分) 轮复习单元检测卷四 数学第2页（共4页） AN 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=loga(x十1)，g(x)=loga(1-x),a>0且a≠1，记函数F(x)= f(x)+g(x). (1)求F(x)的定义域； (2)判断F(x)的奇偶性，并说明理由； (3)当a>1时，求F(x)的单调递减区间. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=kx2一(2k十1)x+2. (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求f(x)的解析式； (2)解关于x的不等式f(x)<0. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=a·2一2-r是定义在R上的奇函数. (1)求a的值，并证明：f(x)在R上单调递增； (2)解不等式f(3x2-5x)十f(x-4)>0; (3)若g(x)=4+4x-2mf(x)在区间[-1，十∞)上的最小值为一2，求实数m 的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(1-x)+kln(1+x). 从①f(x)十f(一x)=0,②f(.x)一f(一x)=0,这两个条件中任选一个作为已知条 件，解答下列问题， (1)求实数k的值： (2)求函数F(x)=(1一x)(1十x)的单调区间； (3)判断函数g(x)=f(x)+x十2k在区间（一1,0）上的零点个数，并说明理由. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=log,2a>0且a≠10. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)当a=2时，求f(x)的值域； (3)若函数g(x)=x-2√元，且对Vx1∈[-4,4]，3x2∈[0,4]，使得f(x1)-g(x2) >2,求实数a的取值范围. 轮复习单元检测卷四 数学第4页（共4页）》 AN