专题02 特殊三角形（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 特殊三角形 题型1轴对称图形的识别（常考点） 题型9利用已知条件判断直角三角形 题型2根据成轴对称的特征求解 题型10勾股定理解三角形（重点） 题型3轴对称与实际问题 题型11已知两点坐标求距离（难点） 题型4等腰三角形与分类讨论问题（易错） 题型12以直角三角形三边为边长的图形面积（难点） 题型5等腰三角形性质与判定综合（难点） 题型13勾股定理与折叠问题（重点） 题型6等边三角形性质与判定综合（难点） 题型14勾股定理的证明方法（难点） 题型7逆命题与逆定理 题型15利用勾股定理的逆定理求解 题型8利用直角三角形的性质求解 题型16勾股定理的实际应用（常考点） 题型一 轴对称图形的识别（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是四幅校徽标志，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（    ） A．射击 B．跳水 C．乒乓球 D．皮划艇 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据成轴对称的特征求解（共4小题） 4．（25-26八年级上·浙江台州·期中）为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹） (1)如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？ (2)如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？ 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为_________． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 7．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型三 轴对称与实际问题（共4小题） 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，斯诺克比赛的桌面（忽略桌边宽度）长，黑球距边，距边，如果黑球击中桌边，反弹后恰好进入点所在的洞口，则黑球运动路线的总长度为 ． 9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 10．（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    11．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】（4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 题型四 等腰三角形与分类讨论问题（共4小题） 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（     ） A． B．或 C． D．或 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 15．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（    ） A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 题型五 等腰三角形性质与判定综合（共5小题） 16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 17．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的序号是 ． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． (1)求证：； (2)当时，求证：是等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 题型六 等边三角形性质与判定综合（共5小题） 21．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，且，连接． （）如图，当时，若，则 度； （）如图，设，在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示） 24．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在等腰中，点为内部一点，连接，，，，记，若，则 ．（用表示） 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等边三角形，为上两点，满足． (1)证明：； (2)若为外一点，连接，若垂直平分，请判断是否等边三角形，并说明理由． 题型七 逆命题与逆定理（共3小题） 26．（25-26八年级上·浙江·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（   ） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个角是直角，那么它们相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．对顶角相等 27．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．（25-26八年级上·浙江温州·期中）命题“若，则或．”的逆命题为 ． 题型八 利用直角三角形的性质求解（共4小题） 29．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 31．（2025八年级上·全国·专题练习）在直角三角形中，，则 的值是 32．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在3×3的正方形网格中，则 °． 题型九 利用已知条件判断直角三角形（共2小题） 33．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若的三个顶点所对的边分别为， 则下列条件中能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 题型十 勾股定理解三角形（共4小题） 35．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 36．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，，，数轴上点表示的数是 ． 37．（22-23八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足．如果这个三角形是直角三角形，那么这个三角形的第三边c的值是 ． 38．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 题型十一 已知两点坐标求距离（共2小题） 39．（24-25八年级上·浙江·期末）点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 40．（24-25九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 题型十二 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 41．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 42．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，，，四边形的面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正三角形纸片的重叠部分（）的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 43．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 题型十三 勾股定理与折叠问题（共3小题） 44．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 45．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 46．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 题型十四 勾股定理的证明方法（共2小题） 47．（24-25八年级上·广东揭阳·月考）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（24-25八年级上·浙江金华·月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI (1)直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 题型十五 利用勾股定理的逆定理求解（共3小题） 49．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 50．（23-24八年级下·甘肃武威·月考）已知的三边长分别为，，，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形 51．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 题型十六 勾股定理的实际应用（共9小题） 52．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； (2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 53．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 54．（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 55．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 56．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 57．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 58．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 59．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 60．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形 题型1轴对称图形的识别（常考点） 题型9利用已知条件判断直角三角形 题型2根据成轴对称的特征求解 题型10勾股定理解三角形（重点） 题型3轴对称与实际问题 题型11已知两点坐标求距离（难点） 题型4等腰三角形与分类讨论问题（易错） 题型12以直角三角形三边为边长的图形面积（难点） 题型5等腰三角形性质与判定综合（难点） 题型13勾股定理与折叠问题（重点） 题型6等边三角形性质与判定综合（难点） 题型14勾股定理的证明方法（难点） 题型7逆命题与逆定理 题型15利用勾股定理的逆定理求解 题型8利用直角三角形的性质求解 题型16勾股定理的实际应用（常考点） 题型一 轴对称图形的识别（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是四幅校徽标志，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（    ） A．射击 B．跳水 C．乒乓球 D．皮划艇 【答案】A 【分析】本题考查轴对称．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A：能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形； BCD：均不能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】 A．可以看作轴对称图形； B．不可以看作轴对称图形； C．不可以看作轴对称图形； D．不可以看作轴对称图形； 故选：A． 题型二 根据成轴对称的特征求解（共4小题） 4．（25-26八年级上·浙江台州·期中）为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹） (1)如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？ (2)如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查垂直平分线的性质，两点之间最短距离，熟练掌握垂直平分线的性质和“将军饮马”模型是解题的关键， （1）连接，作的垂直平分线，交于点D，点D即为所求； （2）作A的对称点，连接交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D，如图所示： （2）解：作A的对称点，连接交于点E，如图所示： 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值作对称图形根据关于轴对称的线段相等的性质解题即可． （1）对称的意义找到对称轴作图即可； （2）作点关于直线的对称点，连接与交于点P，此时可取得周长的最小值． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：作点关于直线的对称点，连接与交于点P，此时的长即为的最小值． 周长， 周长的最小值为． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由轴对称的性质可得，则可推出，进而得到，再由轴对称的性质可得，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于射线对称， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与关于射线对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，垂线段最短．作F关于的对称点为M，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值． 【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高， ∵平分， ∴M必在上， ∵F关于的对称点为M， ∴， ∴，即 (垂线段最短)， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为5． 故选：B 题型三 轴对称与实际问题（共4小题） 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，斯诺克比赛的桌面（忽略桌边宽度）长，黑球距边，距边，如果黑球击中桌边，反弹后恰好进入点所在的洞口，则黑球运动路线的总长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作于点，那么，，根据题意，可知，，，然后在中应用勾股定理求得即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作于点，如图所示： ∴， ∴， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴黑球的运动路径， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求， ； （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 10．（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 11．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 题型四 等腰三角形与分类讨论问题（共4小题） 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论求解． 等腰三角形有一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个角相等， 若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：D 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 15．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（    ） A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 【答案】D 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°−25°＝65°． 综上所述，顶角的度数为：65°或115°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 题型五 等腰三角形性质与判定综合（共5小题） 16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系． 由已知得，，则，所以，则，即可求得． 【详解】∵平分且于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，的周长， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 17．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定等知识，通过求角度证明边角关系是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到，且，，从而判定，从而判断出③错误；通过计算得到，从而得到，再根据角平分线和平行线推导等腰三角形的方法证明，再根据垂直平分线的判定定理即可证明②；通过证明可以证明①，设，则，，继而求出和，证明，从而求出，即可证明④正确． 【详解】解：在等腰直角中，，点是斜边的中点， ∴，且，， ∴， ∵，即， ∴不是等边三角形，故③错误． 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点C、M都在的垂直平分线上，即垂直平分，故②正确． ∵，垂直平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确， 设， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的有：①②④，共3个， 故选：C． 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据中垂线的性质，两点关于对称，连接，交于点，此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，求出，进而求出的周长的最小值即可． 【详解】解：∵的周长， ∴当最小时，的周长最小． ∵是的垂直平分线， ∴两点关于对称， ∴， 连接，交于点，此时的周长最小， ∵，D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和中垂线的性质，以及利用轴对称解决周长最小问题．熟练掌握相关知识点以及将军饮马问题，是解题的关键． 19．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，即：； 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． (1)求证：； (2)当时，求证：是等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等腰直角三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出的长度，根据勾股定理可求出的长度，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】（1）证明：、分别是边、上的高线， ． 的中点为点， ，． ． 的中点为点， ． （2）证明：由（1）知， 的中点为点， ． ，． ， ． ． ． 是等腰直角三角形． （3）， ． ． 的中点为点， ． 题型六 等边三角形性质与判定综合（共5小题） 21．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，边长为的等边中 ，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，连接，由，都是等边三角形，则有，，，证明，所以，从而可得，，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，证明是等边三角形，从而可得，故有周长的最小值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是上中线， ∴，，， ∴，，点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值：， 故选：． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，且，连接． （）如图，当时，若，则 度； （）如图，设，在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】（）证明，可得，，进而根据平行线的性质得到，即可得是等边三角形，得到，再得到是等边三角形，即得，又根据三角形内角和定理可得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由等腰三角形的性质得，同理（）可得，得到，即得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在等腰中，点为内部一点，连接，，，，记，若，则 ．（用表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，过点作于点，在上取点使得，连接，设，根据已知得出，进而得出，则，证明，进而得出是等边三角形，得出，则，根据三角形的外角的性质得出，进而求得． 【详解】解：如图所示，过点作于点，在上取点使得，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等边三角形，为上两点，满足． (1)证明：； (2)若为外一点，连接，若垂直平分，请判断是否等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）证明，得出； （2）利用线段垂直平分线的性质求得，利用证明推出，再证明，得到，，据此即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 为等边三角形， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即， 又， 为等边三角形． 题型七 逆命题与逆定理（共3小题） 26．（25-26八年级上·浙江·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（   ） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个角是直角，那么它们相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假、逆命题，涉及垂直平分线判定定理、等边三角形的定义、对顶角等，熟知相关知识是解答的关键．先写出各选项中命题的逆命题，再根据相关知识可判断选项C的逆命题是线段垂直平分线的判定定理，成立． 【详解】解：A、逆命题：锐角三角形是等边三角形，假命题（反例：锐角等腰三角形非等边），故选项A不符合题意； B、逆命题：相等的角是直角，假命题（反例：角相等非直角），故选项B不符合题意； C、逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题（垂直平分线判定定理），故选项C符合题意； D、逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：等腰三角形底角相等，非对顶角），故选项D不符合题意； 故选：C． 27．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 28．（25-26八年级上·浙江温州·期中）命题“若，则或．”的逆命题为 ． 【答案】若或，则 【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”， 故答案为：若或，则． 题型八 利用直角三角形的性质求解（共4小题） 29．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 30．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵中，是斜边上的中线，若， ， 故选：A． 31．（2025八年级上·全国·专题练习）在直角三角形中，，则 的值是 【答案】2或4 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余，分两种情况，列出方程即可分别求得． 【详解】解：根据题意，设，， 当时，，解得， ，， ， ； 当时，， ，解得， ，， ， ， 故m的值是2或4， 故答案为：2或4． 32．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在3×3的正方形网格中，则 °． 【答案】180 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 题型九 利用已知条件判断直角三角形（共2小题） 33．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否表示直角三角形即可． 【详解】A、设，，，则，，，不是直角三角形，符合题意； B、，，，是直角三角形，不符合题意； C、，且，，，是直角三角形，不符合题意； D、，，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 34．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若的三个顶点所对的边分别为， 则下列条件中能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理和勾股定理逆定理等知识，熟记直角三角形的判定相关知识是解决问题的关键． 通过计算角度和或边长平方关系判断是否为直角三角形即可得到答案． 【详解】解：A、设，则由三角形内角和定理可得，解得，从而得到最大角，则不是直角三角形，不符合题意； B、由三角形内角和定理可知，则不是直角三角形，不符合题意； C、由可知，，则由勾股定理的逆定理得不是直角三角形，不符合题意； D、由，，可知，，则由勾股定理的逆定理得是直角三角形，符合题意； 故选：D． 题型十 勾股定理解三角形（共4小题） 35．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三线合一、勾股定理，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 由三线合一可得且是中线，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：，是角平分线， 且是中线， 即， 中，， ． 故答案为：． 36．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键．先由勾股定理算出，再根据点A在数轴负半轴进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：． 37．（22-23八年级上·浙江金华·期中）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足．如果这个三角形是直角三角形，那么这个三角形的第三边c的值是 ． 【答案】10或 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a、b的值，再分两种情况讨论，根据勾股定理即可求出第三边c的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当是直角边时，； 当是斜边时，； 故答案为：10或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质以及勾股定理的运用，分类讨论是是解题的关键． 38．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 【答案】(1) (2)当是等腰三角形时，的长为3或2或或8 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据勾股定理解答即可； （）根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别画出图形，求出的值． 【详解】（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点， ， 当是以为斜边的直角三角形时，则， 四边形是长方形， ， ． （2）解：当时，； 当时，如图，过于， 则，四边形是长方形， ； 当时，如图，过作于，则四边形是长方形， ， ， ， 或 综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8． 题型十一 已知两点坐标求距离（共2小题） 39．（24-25八年级上·浙江·期末）点与点两点之间的距离为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中两点间距离计算，掌握坐标系中理由勾股定理求解两点之间的距离是解题的关键． 根据题意理由勾股定理求解即可． 【详解】解：点与点， 所以A、B两点的之间的距离为： 故选：D． 40．（24-25九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长， ， 即的最小值为5， 故答案为：5． 题型十二 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 41．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，由勾股定理和等腰直角三角形的定义得，，，，，，则，推出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形， ，，，，，， ， ， ， 故选：B． 42．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，，，四边形的面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正三角形纸片的重叠部分（）的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得三个等边三角形的面积分别为，然后根据勾股定理及等积法可进行求解． 【详解】解：如图1， 过点M作于点N，设直角三角形的三边长为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：另外两个等边三角形的面积为， 由勾股定理可得：， ∴， ∴； 故选C． 43．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 题型十三 勾股定理与折叠问题（共3小题） 44．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 45．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理反推出，是直角三角形，，再由折叠的性质得到，设，则，得到，解方程即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵折叠落在直线上， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ． 故答案为：6． 46．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据折叠的性质得到，，，，再利用得到，所以，设，则，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 题型十四 勾股定理的证明方法（共2小题） 47．（24-25八年级上·广东揭阳·月考）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 48．（24-25八年级上·浙江金华·月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI (1)直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用， （1）运用勾股定理可得的值，根据，代入求值即可； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 题型十五 利用勾股定理的逆定理求解（共3小题） 49．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 50．（23-24八年级下·甘肃武威·月考）已知的三边长分别为，，，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件、勾股定理的逆定理等知识，由可得，，的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， ， ，即， 是以为斜边的直角三角形， 故选：C． 51．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 题型十六 勾股定理的实际应用（共9小题） 52．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； (2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 【答案】(1)解答过程见详解 (2)解答过程见详解 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）根据题意利用勾股定理得出的长度，再根据已知长度得出的长度，紧接着继续利用勾股定理得出的长度，进而求得点B将向外移动的距离； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出，设米，根据勾股定理列出方程求解x的值，此时当米时，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【详解】（1）解：由题意知，在中，由勾股定理得，（米）， ∵在移动的过程中，为定值，米， ∴（米）， ∴在中，由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 即点B将向外移动0.8米． （2）解：当时，，， ∴，即， 设米，由勾股定理得， ， 解得：，（舍去）， 当米时，即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 53．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 54．（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【分析】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 55．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 56．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 57．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 58．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为： ，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 59．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 60．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $