(12)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ⊙ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 由数列前n项和求部 1 易 0.85 分项和 2 选择题 5 三角函数的最值 多 0.76 3 选择题 5 倒序相加法求和 / 易 0.72 4 选择题 5 解三角形 的 0.60 由三角函数图象求解 选择题 / 0.55 析式 务 裂项相消求和法的实 选择题 0.50 际应用 L 分 7 选择题 分期还款 中 0.40 8 选择题 5 数列与导数的综合 L √ 难 0.28 9 等差数列、等比数列的 选择题 6 / / 易 0.72 判断 10 选择题 6 数列的前n项和 中 0.60 抽象函数与数列求和 11 选择题 6 的综合 L L 难 0.25 12 填空题 并项求和 易 0.75 平面向量与数列的 13 填空题 5 L L 中 0.60 综合 14 填空题 数列求和在平面几何 5 / / 0.30 中的应用 的 等差数列的通项及前n 15 解答题 13 项和，裂项相消法求和 的 0.68 ·67· ·数学· 参考答案及解析 16 解答题 等差数列，数列的前n 15 分 0.60 项和 等差数列与等比数列 17 解答题 15 的通项及前n项和，错 公 0.45 位相减法求和 基本量法求等差数列 18 解答题 17 的通项，数列求和，由 / 的 0.35 不等式恒成立求参 等差数列与等比数列 19 解答题 17 的综合，并项求和，存 / / 难 0.25 在性问题 香考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】由题得a4十a:十a十a=S,-S,=7一 2kx-晋，k∈Z,又|<受，所以9=-晋，所以 3=40.故选C. f(x)=2sin(2x-否），则a=f(0)=2sin(-否） 2.B【解析】由题得f(x)= 2 cos x 2sin x+ 1.故选A 6.D【解析】由题意可得an=1十2十3十…十n 号nx厄-号or一E,所以当os=1时。 ，则=mD=2()：所以 2 f(x)取得最小值，最小值为-号-厄=3，故 +2++…+=2×[1-号)+ a2025 选B. 3.C【解析】由题可得f(x)十f1-x)=2十 2x (合)+（号-）++(2)] 2(1-x) 2x 21-气=2x- 兴- =2,则 2X(1-)-故选D 1 7.C【解析】设小胡每月月底还款x元，根据等额本息 (2)+(38)=2()+r(2器) 还款法可得第1次还款后欠银行的贷款为A,= 2,所以f()+(2)+…+(2器〉 a(1十t)一x,第2次还款后欠银行的贷款为A2= a(1十t)2-x(1十t)一x,…,第12次还款后欠银行 =2024×2=2024.故选C. 的贷款为A2=a(1十t)12-x(1+t)1-x(1十t)o 2 -…-x(1+t)-x=a(1+t)12-x[(1+t)"十 4.D【解析】要使得△ABC有两组解，则bsin A<a< (1+t)“+…+(1+t)+1]=a(1+t)2 6,又A=号，b=3,所以3<a<3.故选D 1-1t1=a(1+)+1-(+)地] 2 1-(1+t) t 5.A【解析】由图象可得A=2,因为将f(x)的图象 因为贷款12个月还清，所以A12=0,即a(1十t)12+ 向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称， 1-+)门=0，所以x=a) 1十)一·故选C. 所以f()的图象过点（臣0），结合图象可得 8.B【解析】因为f(x)=sinx十lnx,x>0,所以 吾-竞-受，所以T=,则w=2,所以f(x)= f(x)=c0sx+子，令了()=0，得0sx=-, 所以f(x)的极值点为函数y=cosx(x>0)与y= 2sin(2x+9),则卺×2+9=2kπ，k∈Z,解得9 1(>0)的图象的交点的横坐标，在同一平面直 ·68· 高三一轮复习A ·数学· 角坐标系中，作出函数y=cosx(x>0)与y=一 1 立，则f(2y)=0,与f(x)为非常数函数矛盾，所以 f(1)=2,故A错误；令x=y=1,得f(2)=[f(1)] (x>0)的图象，如图所示， =4,故B正确；令x=k,2y=k十1，得kf(k十1)= +1)f).则=所以名=太 2 5π 5π cOSx ,因此 之F=10,故C正确；由C可得 f(k)+1 2k+1 由图可知，在区间((n-1)元，nπ)(n∈N”)内，函数 fk)=2k,则F/k+1丁=16(k+下 )y=osx(>0)与y=一子（>0)的图象有且仅有 f(k)+1 1个交点，且(n-1)π<xn<nπ(n∈N”),故甲正确； [a中市]空W 因为x>x>0,且y=-子(x>0)为增函数，所 =(1-品)<放D正确，故选CD, 三、填空题 以-<-1<0=cos2m21)(m∈N,由图 12.-682【解析】因为an+1+am=(-2)”,所以So= x+1 2 (a1+a2)+(a3十a:)+(a5+a6)+(a?十ag)+ 象可知，随着n的增大，x,与(2,1)匹越来越接近， (ag十a1o)=(-2)1+(-2)3十(-2)5+(-2)7+ 距离越来越小，所以数列{ (2n-1)π 为单 (-2)°=-2X0-4)=-682. 1-4 调递减数列，故乙错误.故选B. 【解析】因为6=(n十1，-a,)与=(a+1,m) 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,B,设数列{an}的公差为d,将 垂直，所以(n十1)an+1=nau,又a=2≠0，所以 数列{an}的前m项去掉，其余各项依次为am+1, a,=2a=名所以aw=品=子 am+2,…,am十m,…,则am+m一am十m-1=d,故构成的数 14.10【解析】由OA1=AA2=AAg=AA,=A,A 列依然为等差数列，A正确：a1十a2十a3=3a1十3d, a4+a5十a6=3a1+12d,a,+ag+ay=3a1+21d,…, =AA6=AA,=A,A8=…=2,得OA2=2√2 am-2十am-1十am=3a1十(9n-6)d,所以数列a1十 OA=2√3，…，OAn=2m,所以an=OAn十OAn+l a2十a3,a:十a:十a6,a?十ag十ag,…是公差为9d的等 十AA1=2万+2Vn+百+2，所以五=2 差数列，B正确：对于C,D,设数列{b}的公比为q, a,2 1 数列{bn}去掉前m项后，其余各项依次为bm+1, 后+m厅=T-顶，所以S.=6+b,+…十 6+2,…,ba+…,则”=9，所以构成的数列依然 b,=√2-1十√3-√2+…十√n+I-m=√n+1 为等比数列，C带误=，放数列6血，6么 -1,所以S10=/120十1-1=10. 四、解答题 b3b,bb,…为等比数列，D正确.故选ABD. 15.解：(1).a+2am-n=2Sm, 10.AC【解析】因为a1十2a2十…十2-an=n·2m①， .当n≥2时，a-1十2am-1-(n-1)=2S-1,(2分) 所以当n=1时，a1=2;当n≥2时，a1十2a2十…+ 两式相减得a号十2an-a-1-2am-1-1=2a, 2m-2am-1=(n-1)·2m=1②，①-②得2m-lan= 整理得a=(am-1十1)2， (4分) n·2m-(n-1)·2m-1=(n十1)·2m=1,所以an= am>0, n十1，当n=1时，a1=2满足该式，故am=n+1,故 .an=am-1十1，即an一am-1=1(n≥2)， (5分) A正确；由等差数列求和公式得数列{am}的前n项 又当n=1时，a+2a1-1=2S1=2a1, 和为”(2+n+1山=十3》，故B错误：令6， 解得a1=-1(舍)或a1=1, 2 2 .数列{am}是以1为首项，1为公差的等差数列， |an-5|=|n-4|,所以数列{|am-5|}的前30 ∴.am=n (7分) 项和为b1十b2十…+b0=3十2十1+0+1十2+…+ 2" 26=6+27X(0+26)=357,故C正确：（-1)”a (2)由(1)可得6.=2-1)2*1-1)=2”-可 1 2 1 =(-1)"(n十1)，其前100项和为-2+3-4+5 2m+1-1 (10分) …-100+101=1×50=50,故D错误.故选AC. ∴.Tn=b1+b2十…+bn 11.BCD【解析】对于xf(2y)=yf(x)f(1),令x=1, y=2,得f(1)=[f(1)],解得f1)=0或 =(-2)+(22）++( f(1)=2,当f(1)=0时，xf(2y)=0对x∈R恒成 ·69· ·数学· 参考答案及解析 1 =1-2-7<1. (13分) =6+8(1-2"-1) 1-2 -(2n十1)·2+1=(1-2n)· 16.解：(1)因为a+1十4anam+1-an=0, 2+1一2， 所以a,一am+i=4aam+1, 所以Tn=2+(2n-1)·2+1 (15分) 若ana+1=0,则an=a+1=0,与a1= 18.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 因为 /a3a6=55 所以ana+1≠0， aa十a6=16 ,且数列{am}递增， 所以1-1=4， (3分) 所以/a:=5 a6=111 因为a=,所以=2， a 则a6-a=3d=6,解得d=2, (3分) 所以an=5十2(n-3)=2n-1. (4分) 所以数列{ 1}是首项为2，公差为4的等差数列. a (6n-7)2-1 (5分) (2)(i)由(1)可得b.=3 (2n-1)(2n+3),n为奇数 n; n为偶数 (2)由(1)可得 1=2+4(n-1)=4n-2, (5分) 所以S.=n(2+n-22=2. 设数列{b,的前2n项和中，奇数项的和为Pn,偶数 2 (8分) 项的和为Q, (3)由(2)可得(-1)Sm=(-1)"·2, (9分) (6n-7)2m-1 当n为偶数时，T.=2[-12+22-32十… 当n为奇数时，b.=(2m-1)(2m+3) 2w+1 2n+3 (n-1)2+n2], 2m-1 因为n2-(n-1)2=2n-1, 2n-1' 所以T.=2[3十7十…十(2n-1)]=2 所以Pn=b十b3十b十…十b2m- 空(3+3m-1) = ()+（）+（）+“ 2 =n(n+1)=2十n: (12分) 22a-2 当n为奇数时，n-1为偶数， 十（4m+4m3】 则Tm=Tm-1+(-1)”·2m2=(n-1)n-2n2 22m 2 4 -n2-n. (14分) 4n+万了=4m+1-1 (7分) (n2十n,n为偶数，n∈N* 当n为偶数时，b.=n, 综上T.=一二，为奇数，m∈N: (15分) 所以Qn=b2十b,十b十…+b2n=2+4十6+…十2n 17.解：(1)设数列{an}的公差为d,{b}的公比为q, =n(2+2m2=n2十n, 2 (9分) 9≠0， 4” 由a1=3,b1=1,a2-b2=a4-b=3, 所以T.=4m十一1+n十n (10分) 和+22侣-9安日8。 (舍)， （由(-1X+品<T 所以an=3十2(n-1)=2十1，b,=2=. (4分) 4” 4” (2)由(1)可得S.=na+a.)=n(3+2m+1) 得(-1)以+n<n中一1++m, 2 即(-1)"λ<2十n-1, (12分) n(n+2), (6分) 当n为偶数时，<十n一1对一切n为偶数成立， 因为cn=aba十at1b+1一b+2S, 当n=2时，n2十n-1取得最小值，最小值为5， 所以cm=(2n十1)2·2-1+(2n十3)·2 所以λ<5： (14分) n(n十2)·2a+1=n2·2+1十n·2+1十2-1十n· 当n为奇数时，一A<n2十n-1对一切n为奇数 2+1十3·2-n2·20+1-n·2+2=7·2m-1, 成立， 所以数列{cm}是以7为首项，2为公比的等比数列， 即>一n2-n十1对一切n为奇数成立， (9分) 当n=1时，一2一n十1取得最大值，最大值为一1， (3)令dn=anbw+1=(2n十1)·2"， (10分) 所以>一1. (16分) 则Tn=d1十d2十…十dn=3·2十5·2+…十 综上，实数λ的取值范围为(-1,5) (17分) (2n十1)·2”， 19.解：(1)当1≤n≤m时，am=2-2(n-1)=-2n十4： 2Tm=3·22十5·22十…十(2m-1)·2+ (1分) (2n+1)·2+1, (12分) m=1 两式相减得一Tm=6十2·22十2·23…十2·2" 当m十1≤n≤2m时，a,=a1·(） (2n十1)·2+1 (2分) ·70· 2n+4,1≤n≤m,n∈N 所以数列{an}的周期为2m, (10分) 综上，am= 1 2-m,n十1≤n≤2m,n∈N*· (3分) 由(1)可得Sm=-m2+3m十1- 2m (11分) (2)因为m为偶数， 又S3=a1十a2十a3=0, 2m 所以∑h=b十b+b十b,+…十.+b1十bag 所以Sm+3=2S2m十a1十a2十a3=2(-m2+3m十1 =1 +…十b2m ）) (13分) =-a十a-a号十a-…十a品-a品+1十aa+2- 十aim 令f(m)=-m+3m+1一是， =(a2-a1)(a2十a1)十(a4-a)(a4十a)十…+ (am-am-i）(am十am-1）-aa+l十aa+2-…十an= 则f(m十1)-f(m)=2(1-m)+2' -202+0-2++(-2m+4]-+ -…十 因为m≥3，所以f(m十1)-f(m)<0, 即f(m十1)<f(m), 故当m=3时，S取得最大值，最大值为名，15分) 1+ 所以Sm+的最大值为车， 7 =2m-6m+号（是-1） (9分) 故不可能有S4m+a≥2成立， (3)因为对任意的n∈N“,都有am+m=am成立， 所以不存在满足条件的m. (17分)数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十二 数学第2页（共4页） A 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a?+2an一n=2Sm. (1)求{an}的通项公式； 24n (2)设6。=24，-1)(2+1-数列{6，}的前n项和为T,求证：T。<1. 16.(本小题满分15分) 已知数列a,》满足a1=弓且a+1十4a,a1-a,=0,数列}的前n项和为5 1证明：数列日为等老数列： (2)求Sn; (3)求数列{（一1）"Sn}的前n项和T 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}是首项为3的等差数列，其前n项和为Sn,数列{b.}是首项为1的等比数列，且a2 -b2=a3-b3=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)记cn=abn十ant1bn+1一bn+2Sn,证明：数列{cn}为等比数列； (3)求数列{abn+1}的前n项和Tm 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 在递增的等差数列{an}中，a3a6=55,a3十a6=16. (1)求{an}的通项公式； (6n-7)2m-1 (2)记b.= anan+2 n为奇数·数列.的前n项和为T。 n, n为偶数， (1)求T2m; (1)若不等式(-1)十行<T对一切nEN恒成立，求实数A的取值范周 19.(本小题满分17分) 在无穷数列{an}中，a1,a2,…,am构成首项为2，公差为一2的等差数列，am+1,am+2,…,am构成 首项为2，公比为2的等比数列，其中m≥3且m∈N (1)当1≤n≤2m时，求数列{an}的通项公式； (2)若m为偶数，b.=(-1)a品，求h,； (3)若对任意的n∈N*,都有an+2m=an成立，记数列{an}的前n项和为Sn.判断是否存在m,使 得Sm+3≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 三一轮复习单元检测卷十二 数学第4页（共4页） A