(8)三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (八)三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 日要求的) 1.当地时间2024年7月27日，在印度新德里召开的联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过 决议，将“北京中轴线一中国理想都城秩序的杰作”列人《世界遗产名录》.北京中轴线实际上不 是正南正北的，它与子午线有2°的偏角，下列各式与cos2°不相等的是 A.1-2sin21 B.2c0s21°-1 C.sin 2 tan 2 D.2sin1°cos1 2.定义运算： a b =ad-bc.若 sin a c0s180° =sin(270°十&)，则tana= cos a tan 60 A.23 B.- 2w3 C.③ 2 D.-③ 3 3 2 3.已知角a的终边经过点（一1,2），则tan2a的值为 A 4 D-青 4.若tan2 2,则 cos30 'sin 0cos 0 A号 号 27 25 D器 5.若函数f(x)=2sin(否x十2ax与g(x)=a(x-2)2+8a的图象有且仅有一个交点，则a的值为 A.-1 B.0 c号 6.已知a9e(0,受），cos(a-g)= 4,tan atan B-=5,则a十B= A晋 B. C. D 7.经过点P(1,一2)且与曲线y=2x3一3.x相切的直线共有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 8.若sim10∈(n)neZ,则n的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列等式恒成立的是 A.Cos(元十x)=-Cosx B.sin(x+）=-cosx C.cos'x=1-cos 2x 2 D.sin()+sin()-/3sin 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+)=一f(x),且f(-)为奇函数，则 A.f(x)为周期函数 Bfx)的图象关于点（一是0）对称 C.f(x)为R上的偶函数 D.f(x)为R上的单调函数 1.定义：4=os(0-)十cos(0,二)++cos(0。-0》为集合A={0,,…,0.}相对常数。 的“余弦方差”若9∈[0，受]，则集合A=(50相对9的“余弦方差”的取值可能为 A.4 B.2 c D.5 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.若大轮的转速为180r/min(转/分)，则小 轮周上一点每1s转过的弧度为 l3.若函数f(x)=sinx十ax的图象上存在A,B两点，使得曲线y=f(x)在A点处的切线与在B 点处的切线的夹角为下，则实数a的取值范围为 1.已知函数于)10品2之，∈(0，)则)的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知一扇形的圆心角为a(α为正角)，周长为C,面积为S,所在圆的半径为r. (1)若a=30°，r=10cm,求该扇形的弧长； (2)若C=4cm,求S的最大值及此时该扇形的半径和圆心角. 一轮复习单元检测卷八 数学第2页（共4页） A 16.(本小题满分15分) 已知函数f(a)=sin(2r-a)cos(π十a)tan(2r-a) sn(管+a)an(x-a) (1)化简f(a): (2)若fa)=一}，求csa,ana的值： (3)若a∈(-晋，5）f(a+晋）=号，求cos(+a）+2cos(-a的值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=√5sin2x十2cos2,x+m在区间[0，号上的最大值为6. (1)求常数m的值： (2)求f(x)的单调递减区间； (3)求不等式f(x)>5的解集. 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe+1一ex. (1)记曲线y=f(x)在点（一1，f(-1))处的切线为y=F(x). (ⅰ)求F(x)的解析式； (i)比较f(x),F(x)的大小，并说明理由. (2)当x>0时，f(x)-lnx≥2-(e-a-1)x,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=cos,且，9∈(0，)： (1)求f(a)+f(-a)的最大值： (2)比较f(a)+sin(a十B)与f(B)的大小； (3)判断f(a),f(3),sin(a+3)能否作为△ABC的三边长？若能，试探究△ABC外接圆的半径 是否为定值；若不能，请说明理由 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷八 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) V ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 二倍角公式的应用（数 1 选择题 5 学文化题) 多 0.88 2 5 三角函数的自定义 选择题 运算 L 易 0.82 3 选择题 正切函数的倍角公式 √ 易 0.78 4 选择题 5 倍角公式，弦化切 易 0.72 由两曲线的交点个数 选择题 求参数 L 务 0.65 切化弦，两角和与差的 6 选择题 中 0.60 余弦公式 L 7 选择题 5 切线问题 中 0.50 8 选择题 5 三角函数与导数的 / / 中 综合 0.30 9 选择题 6 诱导公式，两角和差公 式，倍角公式 易 0.75 10 选择题 6 函数的性质 女 0.68 与三角恒等变换有关 11 选择题 6 中 0.40 的自定义题 12 填空题 5 弧度制的实际应用 易 0.75 13 填空题 与三角函数有关的切 5 / / / / 的 0.50 线夹角问题 14 填空题 利用基本不等式求函 5 数最值 / 的 0.38 ·43· ·数学· 参考答案及解析 15 扇形周长、面积公式的 解答题 13 0.69 应用 务 诱导公式化简，知值 16 解答题 15 求值 分 0.58 求三角函数解析式及 17 解答题 15 单调区间，解不等式 中 0.50 求切线方程，由不等式 18 解答题 17 0.45 求参数取值范围 浓 余弦函数，求最值，比 19 解答题 17 较函数值大小，定值 难 0.28 问题 季考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】对于A,B,由二倍角公式可得1-2sin21 3a=2sin(m-吾x）-a(3-x)-3a=2sin否x =cos2°，2cos21°-1=cos2°；对于C,因为tan2°= a(x-3)2-3a,所以h(x)=h(6-x),所以h(x)的 o0s2,所以sin2 sin2° 以an2=cos2:对于D,由二倍角公式得 图象关于直线x=3对称，因为∫(x)与g(x)的图象 2sin1°cos1°=sin2°≠cos2°.故选D. 有且仅有-个交点，所以h(3)=0,即2sin受 2.B【解析】依题意得tan60°sina-cos180°cosa a3-3)-3a=2-3a=0,解得a=号若a=号，当 √3sina十cosa=-cosa,则W3sina=-2cosa,所以 ana-识&2故选B x>3时，2sin(若x）-3a≤0，-a(x-3)2<0,则 cos a 3.A【解析】因为角α的终边经过点（一1,2），所以 h(x)<0,所以当<3时，h()<0,故a=子满足 ama=号=-2，所以1an2=2n4- 2×(-2) 题意.故选C 1-tana1-(-2) =兰故选A 6.D【解析】由tan atan B=5,得nasi=5,所以 cos acos B sin asin B=5cos acos B,cos(a-B)=cos acos B++ 4.C 【解析】因为an号=一之，所以ang 3 5 sin asin=,所以cos acosB=-g,sin asin=g, 2tan 2 1-tane 3·则 cos' cos a 所以eas（a十By=coinin=-子，又e, sin +cos sin 0+cos 2 Bc(0,受)，所以a十Be(0,x),所以a十日=至故 cos20 1 1 si02月主s2=。a+1·tan20十1”个2s 选D. 7.D【解析】由y=2x3-3x,得y=6x2-3,设切点为 27 25·故选C (x,2x-3x),则切线的斜率为6x号一3，所以切线 方程为y-(2x-3x)=(6x-3)(x-x),又切 5.C【解析】令h(x)=f(x)-g(x)=2sin(需x)+ 线过点P(1,-2),所以2x8-3x+2= (6x一3)(x6-1),化简得4x8-6x6十1=0，则切线 2ax-a(x-2)2-8a=2sin(5x）-a(x-3)2-3a, 的条数即为方程4x一6x十1=0不等实根的个数. 则h(6-r)=2in[吾(6-w)]-a[(6-x）-3] 令g(x0)=48-68+1,则g'(xo)=12a6-12x =12w(x0-1),所以当x0∈(-∞，0)时， ·44· 高三一轮复习A ·数学 g'(x)>0,g(x)单调递增；当x6∈(0,1)时， g'(x)<0,g(x%)单调递减；当x∈(1，十∞)时， f(x+号)=-f(x),所以f（-x-号) g'(x)>0,g(x)单调递增，又g（-1)=-4-6十 f(+是)，所以f(-)=f(x),所以fx)为R上 1=-9<0,g(0)=1>0,g(1)=4-6+1=-1<0, g(2)=4×8-6×4+1=9>0,所以存在x1∈ 的偶函数，故C正确；由C可知，f(x)在R上不单 (-1,0),x∈(0,1)，x3∈(1,2)，使得g(x1)=0, 调，故D错误.故选ABC g(x2)=0,g(x3)=0,所以g(x)有3个零点，则经 cos2(5-9）+cos(0-) 过点P(1,-2)且与曲线y=2x3一3x相切的直线有 11.PC 【解析】由题意可得= 2 3条.故选D. 1 8.C【解析】因为sin3x=sin(2x十x)=sin2 rcos x +cos 2xsin x=2sin xcos2+(1-2sin2x)sin a= 2sin x(1-sin'x)+sin x-2sin'x=3sin x-4sin'x, 所以sm30=3sin10-4sim10=号，即4sim310° 12十3sOsB十——S直口○s2 3n10+分-0，所以sn10是方程4r-3x十子 as0得nas叶2 1 0的-个实根，且0<sim10°<sin30°=号.令 2 f(x)=4x-3x+2,0<x<7,则f(x)=12x2 子cos20+9im20+1 2 号（分s29叶号m2) 3=3(2x+1)(2x-1)<0,所以f(x)在(0，号）上 +-子sim(29计吾)+，因为9e[,受]，所以 单调递减，又f(合)=4×（合）广>0，f(号)=4× 20+吾∈[吾，]，所以sin(2g+晋)∈ (兮)广-子+=一品<0：所以m10 [-合1]所以<[尽是]，结合选项可知C符 (合，号）则m=5.故选C 合题意.故选BC. 二、选择题 三、填空题 9.ABD【解析】对于A,由诱导公式得cos(π十x)= 12.9π【解析】因为大轮有45齿，小轮有30齿，所以 一cosx,故A正确；对于B,由诱导公式得 当大轮转动一周时，小轮转动铝=号周，者大轮的 sin(x+)=-cos,故B正确：对于C,因为 转速为180r/min,则小轮的转速为号×180 c0s2x=2c0s'x-1,所以c0sx=1+c0s2红，故C错 2 270/min,所以小轮周上一点每1s转过的弧度为 误，对于D,sm(r+晋)+sin(x-晋)=in晋 270×2π÷60=9π. l3.[-√2，√2]【解析】当a=0时，f(x)=sinx,显 十osin晋+sin晋-cin晋=2 in晋 然满足题意.当a≠0时，由题得f(x)=cosx十a, 则曲线y=f(x)的切线的斜率的最大值为a十1，最 =√3sinx,故D正确.故选ABD. 小值为α一1，设斜率最大的切线与斜率最小的切线 10.ABC【解析】由f(x+三）=-f(x),得f(x+3) 的夹角为9，则tan9= a十1-(a-1)|= |1+(a+1)(a-1) a2 =一f(x十号)=f(x),所以f(x)是周期为3的周 所以子≥an平-1，解得一E≤a<E,且a≠0.综 期函数，故A正确：因为f(x一三)为奇函数，所以 上，实数a的取值范围为[-√2√2]。 f(-x-)=-f(x-是)，则f(-x-子)十 14.5+2W6【解析】f()=10-2c0s2z= sin'2x f(x一)=0，所以f(x)的图象关于点 10-2c0s22,:x∈(0，受），·.2x∈(0，m) 1-c0s22x (-是，0)对称，故B正确：由f(-x-子) ∴cos2x∈(-1,1)，令10-2cos2x=t,t∈(8,12)， -f(x-),得f(-x-)=-f(x),又 则c0s2z=102号，令g()= 1-() ·45· ·数学· 参考答案及解析 At -t2+20t-96- -(+9)+20 ·t+96 =-o(e+）=29 (13分) 2V受-8v6,当且仅当1=9，即1=46时等 所以cos(号+a)+2cos(悟-。)=-1+42 3 (15分) 号成立，此时cos2x=5-2√6，.g(t)= 17.解：(1)由题意可得：f(x)=√3sin2x十2cos2x十m 4 4 =5+2√6，.f(x)的 -(+9)+20-8W6+20 -/3 sin 2x+cos 2x+m+1=2sin (2+)+m +1, 最小值为5+2√6. 四、解答题 因为x∈[o,受]，则2x+若∈[吾，]， 15,解：)a=30=30×180rad=否rad, (2分) 可知当2x+若=受，即x=晋时，(x)取到最大值 则该扇形的弧长为a=吾X10=受(em). (5分) m+3, 即m+3=6,解得m=3. (5分) (2)设扇形的弧长为，则2r十l=4, ∴.l=4-2r(0<r<2), (7分) (2)由1)可知：f(x)=2sin(2x+5)+4, 4.S=号r=2（42)r=-产+2r==(r-102 令2kx+受<2z+吾<2kr+,k∈Z,解得x+ +1, (9分) 当r=1时，Smx=1cm, (10分) 吾≤≤km+,k∈Z, 3 此时l=4-2×1=2cm, 则e==2ad, 所以f()的单调递减区间为[x+号十号]， k∈Z. (10分) ∴.S的最大值为1cm,此时该扇形的半径为1cm, 圆心角为2rad. (13分) (3)由(1)可知：f(x)=2sin(2x+否)+4， 16.解：(1Df(a)=sin(2r-a)cos(r十a)tam(2x-a) sin(受+a)lan(x-a） 令fx)>5,可得sim(2x+晋)）>， (sin a)(cos a)(-tan a) cos a(-tan a) .-sin a. 则26x+否<2x+吾<2x+,k∈Z,解得kx<x (5分) 方，所以Q为第三象限角 <k元+号，k∈Z, (2)因为f(a)=sina= 或第四象限角， 所以f(x)>5的解集为(kr,kx十子)，k∈Z。 当a为第三象限角时，cosa=一√1一sina= (15分) -26 ,tan a=sin a6 18.解：(1)(i)因为f(x)=xe+1-ex, 5 cos a 12 所以f(x)=(x十l)e+l-e, 当a为第四象限角时，cosa=√八一sina= 2w6 则f(-1)=-e, (2分) 5 又f(-1)=e-1, tan a- ina=_√6 所以曲线y=f(x)在点（一1，f(-1))处的切线 cos a 12 (8分) 方程为y-e十1=-e(x十1)， (3)因为f(a)=sina, 即F(x)=-ex-1. (4分) 所以f(a+晋)-sin(a+晋)=号， (i)由(i)知F(x)=-ex-1, 令m(x)=f(x)-F(x)=xe+1十1， 因为a∈(-吾，号)，所以a+晋∈(0，受)， 则m'(x)=(x十1)e+1, (6分) 所以当x<-1时，m'(x)<0,n(x)单调递减： 则m(a+若）=2， (10分) 当x>-1时，m'(x)>0,m(x)单调递增， 所以m(x)≥m(-1)=0, 所以cos(+a)=cos[受+(a+吾)] 所以f(x)≥F(x). (9分) =-sin(e+若）=-3， (2)依题意得xe+1-x-lnx一2≥ax, 则eh+x+1-(lnx十x十1)-1≥ax在x∈(0， cos(凭-a)=os[r-(a+晋)门 十∞)上恒成立， (11分) 令g(x)=e-x-1,x∈R, ·46· 则g'(x)=e-1, =sin acos a(1sin B>sin a+cos a 当x∈(-∞，0)时，g(x)<0,g(x)单调递减； cos B 当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， =Esin(a+平）， (8分) 所以g(x)≥g(0)=0, 所以xe+1-x-lnx-2≥0在(0，十o∞)上恒成立. 又平<a+平<，所以Esim(e+平)）>1， (13分) 所以f(a)+sin(a十B)>f(B). (9分) 当a≤0时，ax≤0，此时对Hx>0,xe+1一x-lnx (3)f(a),f(B),sin(a十B)能作为△ABC的三边 -2≥ax； (14分) 当a>0时，令h(x)=lnx十x十l, 长. (10分) 显然h(x)在(0，十∞)上单调递增， 由(2)可知f(a)+sin(a+β)>f(B), 同理可得f(B)十sin(a十B)>f(a), 又A()=-1<0,h(1)=2>0, 因为a,9e(0,受）， 所以存在x∈（信1）使得h(x)=0, 所以0<sina<1,0<sinB<1,0<cosa<1,0<cosB 则xoe+1-x6-lnxo-2=0, 1, 而ax>0,不满足题意 (16分) 所以f(a)+f(,3)=cosa+cosB>sin Bcos a十 综上，实数a的取值范围为（一oo,0]. (17分) sin acos B=sin (a+B), 19.解：(1)因为f(x)=cosx, 所以f(a),f(B),sin(a十B)能作为△ABC的三边 长，满足任意两边之和大于第三边， (13分) 所以f(a)+f(受-a）=osa+cos( -a) 设sin(a十B)当作边时所对的角为0， cosa+sina-Esin(a+平）， (2分) 则cos0=cosa十cosB-sinm2(a+g) 2cos acos B 因为0<a<受，所以子<a十子< cos'a+cos2B-(sin acos B++cos asin B)? 2cos acos B 所以当a十子-受，即a=平时，f(a)+f(受-a) coacosBsinacosBsin'pos'a-2sin acos gcos asin 2cos acos B 2cos2acos'B-2sin asin Bcos acos B 取得最大值，最大值为√2 (4分) 2cos acos B (2)因为f(x)=osa,8长(0，受)， =cos acos B-sin asin B=cos(a+B), 则在△ABC中，9=a十B, (15分) 所以f(a)+sin(a十B)=cosa+sin(a+B)>0, 所以sing=sin(a十B), f(β)=cosβ>0， (5分) 因为1+sing>cosg>0,所以l+sin1, 所以△ABC外接圆的直径为2R=sin(a士2=1， sin 0 cos B 则fa)+sin(a+2-cosa十sin acos+cos asin 所以△ABC外接圆的半径R=之，为定值。I7分) f(B) cos B