(9)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (九)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A=a-受<a≤经}，B=9日=+受，k∈Z,则AnB= A.{ B若吾引 6’6’2 D., 2.若0的终边不在坐标轴上，且cos0cos0+sin0sin0=-1,则0在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知锐角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点A(a,1),且cos2a= 号则6= A5或-日 B 5 C.√5或-5 D.√5 4.已知cos个e-)=一言，则sm(行+ej的值为 A号 B号 C.-22 3 D￥2② 3 5.在△ABC中，已知sinA+sin(B-C)=sin2C,则△ABC的形状为 A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知，3∈R,关于等式，有以下两个命题： ①对任意的a∈[0,2π]，总存在B∈[0,2π]，使得等式cosa十cosB=sin(a+B)成立； ②对任意的a∈[0,2π]，总存在3∈[0,2π]，使得等式sina十sin3=cos(a十3)成立. 则 A.①与②都正确 B.①正确，②不正确 C.①不正确，②正确 D.①与②都不正确 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 班级 姓名 分数 题号 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知cosa=一 ·5<a<,则sim号 1元 18.已知cos(a十段=言tan ta=月号，则cos(a)= 14.“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，曾作 为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.如图，在正方形ABCD中，有4个全 等的直角三角形，若图中Rt△ABS的两锐角分别为α，B,且小正方形与大正方形的面积之比为 1:9,则cos(a一)的值为 ICM 2002 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知tan(a十平)=一3，计算下列各式的值： (1)tan a; (2)2sin a+2cos a 3sin a-2cos a 1 (3)2sinsin acos a 16.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边的锐角α和钝角3的终边分别交单位圆于A,B两 点，已知点A的横坐标为，点B的级坐标为号。 (1)求sina,cos3; (2)求sin(a+3); (3)求2a-3的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 三角函数与集合的 易 0.82 综合 2 选择题 5 判断角所在象限 易 0.75 三角函数的定义，倍 3 选择题 5 角的余弦公式的 易 0.72 应用 4 选择题 5 正、余弦的诱导公式 中 0.65 利用和差角公式判 5 选择题 5 中 0.58 断三角形的形状 与和差角公式有关 6 选择题 5 中 0.55 的逻辑推理题 和差角、倍角公式的 7 选择题 中 0.40 综合 同角三角函数的关 8 选择题 5 系、倍角正弦公式的 中 0.30 综合应用 9 选择题 6 知角求值问题 易 0.75 sina士cosa与 10 选择题 6 中 0.40 sin acos a的关系 三角变换与一元二 11 选择题 6 难 0.28 次方程的综合 12 填空题 5 半角公式的应用 / 易 0.72 和差角公式、商数关 填空题 中 0.45 系的综合应用 与差角公式有关的 14 填空题 5 中 0.35 数学文化题 15 解答题 13 弦切互化问题 中 0.60 16 解答题 15 知值求角 中 0.50 ·51· ·数学· 参考答案及解析 和、差角的正切公式 17 解答题 15 中 0.40 的应用 三角函数的综合 18 解答题 17 中 0.30 运算 扇形弧长、三角函数 19 解答题 17 难 0.25 的实际应用 考答案及解析 一、选择题 【解析】因为A-a-受≤a≤受}B= 2 1.c =-3,所以sin(a+β)= sima+cos2a 2 +受k∈z,所以AnB={--晋， 2tang十e 2 乞}.故选C 3.故选A 5 2.C【解析】由已知得cos9<0,sin0<0,故0在第三 ian 8.D【解析】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R, 象限.故选C. 连接OA,OB,OC,如图所示.易知“水滴”的“竖直高 3.D【解析】由三角函数定义，sina= 1 三，所以 √a+ 度”为OA+R,“水平宽度”为2R,由题意知OA十R= 2R 0s2a=12sina=1-a异=号，解得4=6或a 2 号，解得OA=号R,因为AB与圆弧相切于点B,所 =-√5，由a为锐角知a>0,故a=√5.故选D. 4.A【解析】sin(g+a）=-sin(g+a） 以OB⊥AB,在R△ABO中，Sin∠BAO=OB-R -sim[(。-吾)+受]=-os(。-吾)=子故 是，又∠BA0∈(，受)，所以Os∠BA0= 选A. 5.A【解析】由sinA+sin(B-C)=sin2C,得 广n乙BAO=青，由对称性知，∠BA0= sin Bcos C+cos Bsin C+sin Bcos C-cos Bsin C= ∠CAO,则∠BAC=2∠BAO,所以sin∠BAC= 2 sin Ccos C,所以sin Bcos C=sin Ccos C,所以 cosC(sinC-sinB)=0,所以cosC=0或sinC= 2sin∠BAOos∠BA0=2X号X告-慕故选D sinB,因为0<B<元，0<C<元，所以C=于或B=C, 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故 选A. 6,B【解析】对于①，任意的a∈[0,2x],当月=受时， cosa+cosB=cosa,sin(a+B)=sin(a+受） cosa,满足cosa十cosB=sin(a十B),故①正确；对于 ②，当a=3时，sina十sing=-1+sinB,cos(a十g) 2 二、选择题 =cos(经+）=sinB.则不存在Be[0,2a],使得等 9.ABC【解析】对于A,tan15°十2sin60°=tan(45°- 式sina十sinB=cos(a十B)成立，故②不正确.故 1③ 3 选B. 30)十√3= +√3=2一√3+√=2，故A正确： 7.A【解析】由题意可设E(cosa,sina),F(cosB, 1+③ 3 sinB),则直线EF的斜率k=sina-sinE cos a-cos B 1 sinocs so √3 2cosa里ina里 对于B,2c0s80 2sin80°cos80° 2 2 2sin(80°-60°) 2sin20° -2sinsin tang士 3,所以tana 2 sin160° sin(180-20=2,故B正确：对 2 2 于C,(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+ ·52· 高三一轮复习A ·数学· tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+ 三、填空题 tan(18°+27°)(1-tan18°tan27°)=2，故C正确； 对于D,4sin18°sin54°=4sin(90°-72°)sin(90° 12.5 5 【解析】由受<<，可知平<号<受，则 36)=4c0s72°c0s36°=4c0s72c0s36sim36 sin 36 1-cos a 1-(- 2cos 72'sin 72 sin144° sin(180°-36°) sin号>0，故sin受 2 sin 36 sin36° sin 36 m36-1,故D错误.故选ABC sin 36 =15 5 2 10.AC【解析】因为sin&一osa=子，所以(sinG 13. 【解析】设cos(a-)=t,则 cosa=令，即sina-2 sin acos a+eosa=号，即1 cos(a十B)=-sins月=君， -2sin6eosa=号，则sm2a=20 in cos=号枚A cos(a-B)=cos acos B++sin asin B=t, 正确；又a∈(0，π)，sina>0,所以cosa>0,则a∈ sin esin=号(） 两式相除得tana·tanB (0,受) 所以sina 十 a cos acos B=- (+) t sin a-cos a)2+4sin acos a √()+2x8 6 1 是解得：=号周casa=号 3 6 =,故B错误联立 sin a+cos a=7 3 解得 【解析】因为小正方形与大正方形的面积之比 sin a-cos a=3 为19，所以器=子设RS=1(>0),则AB= sin a= 1+√17 cos a= 6 -」，故C正确： 6 又BS=AR,不妨设∠SAB=a,∠ABS=B,所以 2 sin a= ,故D错误。 AS 6 in。器所以cas。一血。一器 故选AC. 11.ABC【解析】对于A,由题意得cos日=cos29,即 A5A-=古又o9=器如A= AB AB 2cos20-cos0-1=0,即(2cos0+1)(cos0-1)=0, 所以ng一os器器-AAR器 AS AB AB 解得c0s0=-号或c0s0=1,因为0<0<2x,则0 3,所以(cosa-sina)((sinco)=子× = =0,=A=号，A正确：对于B,由题意得 3,即cosasin-cos acos-sinasin计sin acos |cos0-cos28l=1,即|2cos20-cos0-1|=1,即 2cos20-cos0-2=0或2cos20-cos0=0,解得cos0 =9,又sina=cosB,cosa=sinB,所以cos acos& 1 =1-正或o0=子或cos0=0,因为02 4 cs-sinsin十sin asin a=号，即1 则日共有6个解，B正确；对于C,由题意得 1os8-os2gl=号，即12eosg-eosg-1=号， cos(a-89)=号，j所以os(a-B》=g 四、解答题 即2osig-asg-号=0或2ea时0-cus0叶日=0， l5,解：I由题得1ana=am[(a+牙)-平] 解得cos0=1-32或c0s0=子，因为0≤0<2x,则 4 tan(a+平)-l 0共有4个解，C正确；对于D,|cos0-cos28| 2 (4分) 号，即12c0s2g-cosg-1川=号，即2cos0-c0s0 1+tan(a+平) (2)2sin a+2cos a 2tan a+23 号=0或200-60s0+号=0，解得as9= 3sin a-2cos a 3tan a-2 2. (8分) (3) 1 1一√团，因为0≤9<2π，则0共有2个解，D错误。 2sin'a-sin acos a sin'a+cos'a 故选ABC. 2sin'a-sin acos a ·53· ·数学· 参考答案及解析 tan'a1 5 (13分) =tan120°=-√3. (7分) 2tan'a-tan a 6 (2)C=135°， 16.解：(1)由题意可知，a∈(0，乏)，c(受，元)，cosa 则0°<A<45°，0°<B<45°，且A+B=45°， .'tan A>0,tan B>0, (9分) .∴.tanA+tanB =-tan 135+tan Atan Btan 135 所以sina=V个-cosa=2yE =1-tan Atan B 5 cosB=-V-sn月=-7E ≥1- (tan A+tan B)2 4 (11分) 10 (4分) ∴.(tanA十tanB)2+4(tanA+tanB)-4≥0， (2)sin (a+B)=sin acos B+cos asin B=- 1310 解得tanA十tanB≥2√厄-2或tanA十tanB≤ 50 (7分) -2W2-2(舍去)， (13分) (3)由(1)得sin(a-)=-sin acos B-cos asin= 310 ∴.tanA十tanB≥2√/2-2，当且仅当tanA=tanB= 10 √2-1时取等号， (8分) .tanA十tanB的最小值为22-2. (15分) cos (a-B)=cos acos B+sin asin B= W10 10 18,解：(1)由sina十sinB=b cos a十cosB=a (10分) 所以sin(2a-B)=sin[a+(a-B)] 得sina十2 sin asin计sin2g=6 cos'a+2cos acos B+cos'B=a' =sin acos(a-B)+cos asin(a-B) 两式作和得2+2 cos acos B十2 sin asin B=a2十b, -9×(0)+9×()=号 (4分) 10 (12分) cos acos Bsin asin 2 一1 即cos(a一9)=-a+-1. 2 (5分) 得牙<<受， (2)由(1)知，当6=1，a=0时，0s(e-)=号-1 1 又受<K, 2 (6分) 则-受<2a-K受， sina+sinβ 所以2a-月=-平. (15分) 17.解：(1)C=180°-(A十B), 2 ..tan C=tan[180-(A+B)]=-tan(A+B), tan A+tan B 2 tan C=-- 1-tan Atan B' -2sincos .'tan C(1-tan Atan B)=-(tan A++tan B), 2 .'tan A+tan B++tan C=tan Atan Btan C.( cos a+cos B 若选①： tan20°+tan40°+√3tan20°tan40 =tan20°+tan40°+tan120°+√3tan20°tan40° =cososa,里-sinasina,+cosa里. 2 2 2 2 2 +√5 cos,里+sin+里sina里 2 2 =tan20°tan40°tan120°+√5tan20°tan40°+√3 =-√3tan20°tan40°+√3tan20°tan40°+√3=√5. =2cos+里osa里， 2 2 (9分) (7分) 若选②： 「2sin+os,里=b=1 2 2 tan20°+tan40°+tan120° tan20°tan40° 2 -tan 20'tan 40'tan 120 tan20°tan409 ∴c0s,2≠0，e0s时-0， 2 ·54· 高三一轮复习A ·数学· cos(a+A)=2os-1=-1, (10分) 所以扇形弧长1=子×20=29。 3 (6分) 4.c0s(a+8)eas(a-8)-(-1)x(-)- 所以广告带的总长度为 (11分) 0A+BC+0C+1=20+10+10,5+29 2.in =(30+10+29)米. (9分) 2 (3)由(2)知 (2)如图，连接OF,∠FOA=9(0<9<), 当a=0时，由a2十b≠0可得b≠0， ∴cos2=0, 2 则cos(a十3)=-1； (12分) 当b=0时，由a2+≠0可得a≠0， sin里=0， H 2 则cos(a+B)=1-2sin寸里=1. 2 (13分) 当a≠0且b≠0时，tan寸里= G 2 a 因为OF=20, 所以FI=GH=20sin0,OI=20cos0, cos2ate-sin'a寸里 2 2 ..cos(a十3)= cos2+sin'a士里 因为∠A0D=否， 2 所以0G=GH=205sin0, (11分) 1-tan 2 16 a a2-b2 tan 6 1+ a2+6 (15分) 1+tan at 所以GI=20cos0-20V3sin0, 2 a? 所以S=(20cos0-20W3sin0)·20sin9 验证可知，当a=0或6=0时，cos(a十B)-g力 a2+b =400sin 0cos 0-400v3sin20 成立， (16分) =200[sin20-√3(1-cos20)] 缘上所述oea十9)-票会 (17分) =200[2sim(29+号)-6]， (14分) 19.解：1)因为0C=10E,BC-10,∠0CB=艺 因为20+号∈（受，号）， 所以∠B0C=石，0B=V10+(10√3)=20， 所以当20+晋=受，即0=爱时s取得最大值，最 (3分) 大值为200(2-3)平方米. (17分) 则0A=20,∠B0A=受否=吾， ·55·