(7)函数、导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

数学第1页（共4页） 衡水金 卷·先享题·高三一轮复习单元松 16.(本小题满分15分) 18.(本 已知函数f(.x)=e-x. 已知 (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (1) (2)求f(x)的极值； (2)i (3)设函数g(x)=f(x)十x十x,求证：g(x)的最小值大于？ 19.(本 若函 17.(本小题满分15分) f(x 已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R). (1) (1)若函数y=f(x)的图象在x=1处的切线平行于x轴，求a的值； (2) (2)讨论f(x)的单调性； (3)若g(x)=f(x)-x2一(a-1)lnx有两个不同的零点x1,x2,求a的取值范围. (3) 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元格高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 比较大小 易 0.85 2 选择题 5 利用导数求函数零点 / 邻 0.75 个数 由极值点求参数，解不 3 选择题 5 等式 易 0.70 利用函数的单调性判 4 选择题 / 务 0.68 断函数值的大小 5 选择题 5 切线与曲线的公共点 / / 农 0.60 问题 由函数的奇偶性求函 6 选择题 5 / 书 0.55 数最值 函数的单调性，比较 选择题 5 / 中 0.48 大小 与切线有关的自定 8 选择题 义题 难0.28 三次函数的性质，由方 9 选择题 6 程实根个数求参数取 / 分 0.69 值范围 10 选择题 6 函数性质的综合 少 0.58 11 选择题 6 函数与导数的综合 L L 内 0.35 应用 12 填空题 5 利用导数处理极值与 / 0.72 零点问题 多 13 由函数最值求参数取 填空题 5 / / 的 0.55 值范围 ·35· ·数学· 参考答案及解析 14 由不等式恒成立求 填空题 难 0.28 参数 函数的解析式及值域， 15 解答题 13 由方程有解求参数取 农 0.68 值范围 解答题 求切线方程，函数的极 16 15 L 分 0.60 值与最值 由切线求参数，函数的 17 解答题 15 单调性，由函数零点个 L L 书 0.55 数求参数取值范围 由不等式恒成立求参 18 解答题 17 数取值范围，充要性的 / 公 0.35 证明 函数的新定义题，求函 19 解答题 17 数的单调区间，证明不 √ 难 0.28 等式 季考答案及解析 一、选择题 =y一 1.D【解析】因为π.>π°=1,0<0.2m<1,log0.2< 号>一今f)=x子>0，易知f log.1=0,所以a>b>c,故选D. 在0，十0)上单调递增，侧由x-士<y-,得 2B【解标】1)=宁告血，由告>0，得 1-x f(x)<f(y),所以x<y,则y-x+1>1,所以 -1<x<1,则fa)=×岸×a产 2 lg(y-x十1)>0.故选A. 5.C 【解标】因为)=十n,所以y=1十子当 c0osx=之c0sx,因为xe(-1,1),所以己7 1 1时，y'=2,则曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线 ≥1，cosx∈(cos1,1],所以f(x)=1=7-cosx 方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.联立 /y=ax2+(2a+3)x+ ≥0，所以f(x)在(-1,1)上单调递增，又f(0)=0, y=2x-1 ,得ax2+(2a十1)x十2=0， 所以f(x)只有一个零点，故选B. 因为切线y=2x-1与曲线y=ax2十(2a十3)x+1 3.B【解析】由图可知a≠0，且x=一之是f(x)的极 有两个公共点，所以8≠0。 小值点，由题得f(x)=e(ax十a-1),令f'(x)= 4=(2a+1)-8a>0:解得a≠ 0,得-1.2=一合解得a=2,经验证a=2符合 0,a≠合，故选C a 6.C【解析】因为g(x)是偶函数，所以g(一x)= 题意，所以f(x)=e(2x-1),f(x)= g(x),即f(-x)十e=f(x)十e,因为h(x)是奇 e(2x十1)，则由f(x)f'(x)<0及e>0,得 函数，所以h(-x)=-h(x),即f(-x)-5e= (2-1)(2x十1)<0，解得-<r<号故选B 一f()+5e,联立-x)+er=fx)十e 4.A【解折】因为一y十1=士一子所以一士十1 lf(-x)-5ex=-f(x)+5e' 解得f(x)=2ex+3e≥26，当且仅当2er=3e, ·36· 高三一轮复习A ·数学· 即〔-时等号成立，所以f(x)的最小值为26。 f(2x+1)的定义域为[-1,1]，所以-1≤x≤1，则 -1≤2x十1≤3，所以f(x)的定义域为[-1,3]， 故选C. 7.D【解析】因为f(x)的定义域为(0，十∞)，且 故B正确：对于C若于：)车在其定义城 f()1f,所以xf(x)+f(x)-1<0.令 上为奇函数，当k<0时，由1十k·3≠0，得3≠ g(x)=xf(x)-x,x>0,则g'(x)=xf'(x)十 大，由奇函数的定义域关于原点对称，可得 f(x)一1<0，所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，又 a>b>0,所以g(a)<g(b),即af(a)-a<bf(b)- =3=1.则=-1此时/)= b,所以af(a)+b<bf(b)+a.故选D. 多号(0，则了(-)==专 32+1 8.D【解析】对于A,由y=sinx,得y'=cosx,所以 kn=cos 1,kB cos(-1)=cos 1,(A,B)= 一f(x),此时f(x)为奇函数，满足题意；当k≥0 e=0,故A正确：对于B,例如y=x,y=1, AB 时，)的定义城为R则了(0)-品=0，解得 y=x的图象上任意一点处的斜率均为1，则任意不同 k=1,经检验满足题意，所以k=士1，故C错误：对 两点之间的“弯曲度”为常数0，故B正确；对于C,设 于D,f(x)=W√+16+ 9 C(xy),D(2为)，≠，由y=x,得y=2x,则 √/2+16 kc=2x,k如=2x2,所以9(C,D)= x216· 9 |2x1-2 =6,当且仅当√x+16 2x1-x2 wx2+16 √(-)+(y-√/-2)+(x-x) 9 ,即x2十16=9时取等号，因为方程x2十 V干（十产≤2，故C正确：对于D,设E(, 2 /x2+16 16=9无实数解，所以等号取不到，故D错误.故 ),F(xy),x≠x,由y=e,得y=e,则ks= 选AB. e,kr=e4,所以o(E,F)= e-e4| √-)十(0为-y4) 11.ABC 【解标】由f(x+号）-b=b-f(受-x), = e3-e er-e =1,故D √/(-x)2+(e9-e4)F】 √J(e3-e1)2 得)=26-(5-)，因为)=(-： 错误.故选D. 所以f(-x）=26-f(-),所以f(x) 二、选择题 9.AC【解析】对于A,g(x)=f(x)-1=2x-6x, 2b-f(x-π)，所以f(x十π)=2b-f(x),所以 x∈R,故g（-x)=-2x3十6x=-g(x),所以 f(x十2π)=2b-f(x十π)=f(x),所以2π为 g(x)为奇函数，故A正确；对于B,由题得了(x)= f(x)的一个周期，故A正确；对∫(x)=2b 6x2-6=6(x2-1),当x∈(-∞，-1)时，f(x)> f(-x)两边同时求导，得了()=∫(-x小， 0,f(x)单调递增；当x∈(-1,1)时，子(x)<0, f(x)单调递减；当x∈(1，十∞)时，f(x)>0, 所以了(x)-了(-x)=0,故B正确：由 f(x)单调递增，故B错误；对于C,关于x的方程 f(x)一m=0恰有3个不等实根，即曲线y= f(x+受)-b=b-f(号-x),得f(x+晋)+ f(x)与直线y=m恰有3个交点，当x→一∞时， f(x)→-o∞；当x十∞时，f(x)>十o∞，结合B可 f(号x=2b,所以∫(x)的图象关于点 得f(1)<m<f(-1),所以-3<<5，故C正确： 对于D,由B可知f(x)在x=1处取极小值，则极小 (受，b)对称，则f(x)的最大值和最小值一定存在 值为f(1)=2-6+1=-3,故D错误.故选AC. 关于点（牙，b）对称的对应关系，所以 10.AB【解析】对于A,f(x)=√1+x√1一x,则 1十x≥ 1-x≥0 解得一1≤x≤1，所以f(x)的定义域为 f(x)m十f()四=b=1,故C正确；已知条件中未 给出∫(x)的单调性，所以无法判断∫(x)在区间 [-1,1],g(x)=√1-x2,由1-x≥0，得-1≤x ≤1，所以g(x)的定义域为[-1,1]，又f(x)= (受，要)上是香单调递增，故D错误，故选AC √1十x√I-x=√/1-x=g(x),所以f(x)与 三、填空题 g(x)是相同函数，故A正确；对于B,因为12.一11【解析】由题可得f'(x)=3px2十2qx十1， ·37· ·数学· 参考答案及解析 则”3w 四、解答题 g=1 15.解：(1)由f(1)=-2,得a-a=-2,即a2-a-2 13.(-o,2]【解析】当m≤0时，f(x)=2r-m+ =0, =2,此时f(x)mx=2=4,满足题意；当0<m≤2 而a>0且a≠1，解得a=2,所以f(x)=2r一4， 时，函数f(x)=|2-m十m的图象是由y=2的 (3分) 图象先向下平移m个单位长度，然后将x轴下方的 图象翻折到上方，最后再向上平移m个单位长度得 (2)令4=2，当x∈[-1，门时4∈3,2]， 到，如图所示，由图可知0<m≤2满足题意； 则y==-(（-子)广+， 当=时=子：当=2时n=-2 所以fx)在[-1,1门上的值域为[-2，](7分) (3)令4=2，当xe[-1og3,1时，4∈[号，2]， Olog2m 2 关于x的方程f(x)十m-1=0在[-log3,1]上有 当m>2时，函数f(x)=|2一m|十m的图象如图 解等价于函数y=t一t产的图象与直线y=1一m在 所示，由图可知>2不满足题意，综上，实数m的 ∈[日，2]时有交点， 取值范围为(-∞，2]. 由(2)得，y=:-f在∈[子，2]时的值域 为[-2] 因此一2<1-m≤子，解得是≤m≤3， 所以实数m的取值范围为[子，3]， (13分) 16.解：(1)因为f(x)=e-x,所以f(x)=e-1, O log2m f'(0)=0. 14.e【解析】由xe-ax≥e十b,得b≤xe一ax-e, 因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处 令f(x)=xe-a.x-e,则f(x)=xe2-a,令 的切线方程为y=1. (3分) f(x)=0,则xe=a,令g(x)=xe,则g'(x)= (2)函数f(x)的定义域为R.令f(x)=0,解得 (x十1)e,所以当x<-1时，g'(x)<0,g(x)单调 x=0. 递减；当x>一1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表： g≥8-1D=名-o时g-0x十o x (-00,0) 0 (0,+0∞) 时，g(x)+十oo,因为a>0,所以方程f(x)=xe一a (x) 0 十 =0有解且仅有一解，设为x,则xeo=a,所以 x>0,则当x∈(-o∞，x0)时，f(x)<0,f(x)单调 f(z) 单调递减 单调递增 递减；当x∈(xo,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递 当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=1,无 增，所以f(x)m=f(x6)=xoe0-ax0-e6=a 极大值 (7分) a-a=a(1-w-1),所以b≤a(1-6 (3)因为g(x)=f(x)十x2十x=e十x2,所以g(x) =e十2x. )则会≤1-是又1- 11 因为函数y=e和y=2x在R上均单调递增， a 所以g'(x)=e十2x在R上单调递增. (+2)1-2 =-1,当且仅当x。 又()-六1<0，g()=法>0. ,即=1时取等号，所以会的最大值为一1，此 所以存在∈（一之，-十），使得g()=十 时a=e, 2x0=0.① (10分) 当x变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表： ·38· 高三一轮复习A ·数学· (一，x0) (x0,十∞) 单调递减。 (7分) To 0 综上，当a> 时，函数fx)在(0，).(a,十∞) g(x) 单调递减 g(xo) 单调递增 上单调递增，在（分“）上单调递诚： 当x=x时，g(x)取到最小值，最小值为g(xo)= e0十x. 当a=之时，函数fx)在(0，十∞)上单调递增： 由①得e0=-2x6,所以g(x0）=x8-2x0. 当0<a<号时，函数f(x)在(0，a),(号，十∞）上 因为∈(-)： 单调递增，在(a,)上单调递减： 所以g)在区间(-合，一子)上单调递减， 当a<0时，函数f)在（分，十）上单调递增，在 所以g(a)>g()=品+名>合，即 (0,号)上单调递减。 (8分) g(x)>2· (3)依题意，g(x)=x2-(2a十1)x十alnx-x2 所以函数gx)的最小值大于宁 (15分) (a-1)In x=-(2a+1)x+In x, 17.解：(1)函数f(x)=x2-(2a十1)x十alnx求导得 由g(x)=0,得2a+1=nx (10分) f(x)=2x-2a-1+ x 记h(x)=hI,求导得'()=1-n区 x 由函数y=f(x)在x=1处的切线平行于x轴，得 f(1)=1-a=0,则a=1, 当0<x<e时，k(x=1-n>0,当x>e时， x 此时f(x)=x2-3x+lnx,f(1)=-2,函数y= k()=1-lnx<0, f(x)图象在x=1处的切线为y=一2，符合题意， 所以a=1, (3分) 函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调 (2)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，由(1)知，f(x) =2x-2a-1+a=(2z-10(x-a） 递减，且A(e)=。,当>1时，h()>0恒成立， (13分) 当>号时，由∫(x)>0,得0<x<2或x>a,由 因此要使g(x)有两个零点，即直线y=2a十1与函 数y=h(x)的图象有两个交点， ∫()<0，得2<x<a, 必有0<2a+1<日，即-号<a<是， 所以函数x在(0，号)，(a,十)上单调递增，在 所以a的取值范围是（一合2是）， (15分) (分，a)上单调递减： (4分) 18.解：(1)因为f(x)为偶函数， 所以f(1)=f(-1),即e十ea=e1+e, 当a=时，了()≥0，f()在(0，十∞)上单调递 解得a=1,经检验满足题意， 增； (5分) 所以f(x)=e+ex, (1分) 当0<a<号时，由f(x)>0,得0<x<a或x>2, 1 则f(x)=e-e, 令f(x)=0,得x=0, 由f(x)<0,得a<x<2, 1 所以当x∈(-∞，0)时，f(x)<0,f(x)单调 递减； 函数f(x)在(0，a),(分，十∞）上单调递增，在 当x∈(0，十o∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， (3分) (a,)上单调递减： (6分) 又∫(x)为偶函数， 当≤0时，由广(x)>0,得>号，由f(x)<0,得 所以f(号-x-)<f(2)等价于 0Kx< -x-<2 函数f(x)在(2，十)上单调递增，在(0，)上 即-2< -x3-x-t2, ·39· ·数学· 参考答案及解析 所以-2+1<号r2-<2+1在x∈[0,2]上恒成 所以xg'(x)<g(x)在(0，十∞)上恒成立， 故g(x)为“A类函数”. (3分) 立 (5分) (2)因为h(x)=a-3-nx-a,>0, 令h(x)=x-x,xe[0,2], x 3 则h'(x)=x2-1, 所以h'(x)=a- 1+1-a (4分) 当x∈[0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 因为h(x)为“A类函数” 当x∈(1,2]时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以xh'(x)<h(x), 又h(0)=0,h(1)=- ,h(2)=2 2 3 ax-1+1-4<az-3-Inx-1-a 2 -2+t<- 所以2(a-1)>2x+xlnx. (5分) 3 所以 ,解得-<1<号 令o(x)=2x+xlnx,x>0, 2+>号 则'(x)=3十lnx,令9'(x)=0,得x=e3. 当x∈(0，e3)时，g(x)<0,p(x)单调递减； 所以实数：的取值范围为（一专·专）》 (7分) 当x∈(e3,十∞)时，9(x)>0,(x)单调递增， (2)充分性：当a>1时，f(x)=e-aer在R上单 所以p(x)min=gp(e3)=-e3, 调递增， 所以2a-1D>-e,则1-六>号 (7分) 且f(0)=e°-a=1-a<0,f(2)=e2- a 1+1- a(x-1a)x-1) (8分) 令h'(x)=a- a 2 x 令g(u)=e-是，a>1, =0, 则g(a)=2a10, 得x=1二或x=1, a (8分) 所以p(a)在(1，十∞)上单调递增， 当a≥1时，x=1-0≤0，由h(x)>0,得x>1,由 则9a)>g1)=e->0,围fc2)>0, h'(x)<0,得0<x<1, 所以由零点存在性定理可知存在x6∈(0,2)，使得 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调 f(x6)=0, (10分) 递增； 又子(x)在R上单调递增， 当1 2e<a<1时， 所以f(x)有且只有一个零点x=x, 且当x∈（一∞，x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 因为a>号所以0<2<1， a 当x∈(x,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)在x=x(x>0)处取得最小值. 所以当0<<1一“或x>1时，h'(x)>≥0： a (12分) 必要性：若存在正数x,使得∫(x)在x=x处取得 当-a<x<1时，h(x)<0, a 最小值， 则f(xo)=e0-aewo=0, (13分) 所以h(x)在(0，。2），(1，十∞)上单调递增，在 当a≤0时，f(x)=e十er在R上单调递增，不存 (。,1)上单调递减。 (10分) 在最小值， 所以a>0, (14分) 综上，当1一是<a<1时()的单调递增区间为 所以∫(x)=e一aer在R上单调递增， 又x0>0, (0,。2),1,+∞)，单调递减区间为(。2,1)： 所以f0)=e-ae=1-a<0,解得a>1. 当a≥1时，h(x)的单调递增区间为(1，十o∞)，单调 (16分) 递减区间为(0,1). (11分) 综上，“a>1”是“存在正数xo,使得f(x)在x=x (3)由xf(x)<f(x),得xf(x)-f(x)<0, 处取最小值”的充要条件. (17分) 19,解：(1)因为g(x)=1-x2,x>0, 设F(x)=fC,x>0, 所以g'(x)=一2x, (1分) 则xg'(x)-g(x)=-2x2-1十x2=-x2-1<0, 则F(x)=f(）-f2<0在(0，十o0)上恒 ·40· 成立， 所以f+）<f(),f+)< 所以F(x)在(0，十o)上单调递减， (13分) x1十x2 x1十x2 因为x1>0,x2>0, f(x2), 所以x1十x2>x1>0,x1十x2>x2>0, 两式相加可得f(x1)十f(x2)>f(x1十x2), 所以F(x1十x2)<F(x1),F(x1十x2)<F(x2), 所以对，x2∈(0，十o),f()十f(x2)> (14分) f(x1十x2). (17分) 所以f十)<f(u)(+x2<f() x1十x丝 x1十x2