(8)函数与导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (八)函数与导数的综合应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t2+2,则质点 A在t=3s时的瞬时速度为 A.11 m/s B.8 m/s C.6 m/s D号m 2.已知f(x)为可导函数，且满足li f(3+2△x)一f(3)=4,则曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切 △无-*) △x 线的斜率是 A.1 B.2 C.3 D.4 -x2+ax,x<0 3.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是 er-a.x,x≥0 A.[1,+o∞) B.[0,1] C.[-1,1] D.(-o∞，1] 4.函数f(x)=cosx+3x-3的图象大致是 x2+4x,x≤0 5.已知函数f(x) ,若函数g(x)=f(x)一ax恰有2个不同的零点，则a的取 ln(1-x),0<x< 值范围是 A.(-c∞，0] B.[-1,0] C.[-1,4) D.[0,十o∞) 6.某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直 方向的高度差为40.两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分 (该三次函数在A,B两点处取得极值)，考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成 45°的夹角，则A,B两点在水平方向的距离约为 A A.30m B.40m C.60m D.120m 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.函数S(x)=十e是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型牛长曲线，常被用 作神经网络的激活函数.记S(x)为Sigmoid函数的导函数，则 A.S(x)=S(x)[1-S(x)] B.Sigmoid函数是单调递减函数 2024 C.函数S'(x)的最大值是号 D. [S(k)+S(-k)]=2025 6=0 8.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x十3)一g(3一x)=4, f'(x)=[g(x十2)]'，且g(x十2)十g(2-x)=0,则 A.f(-x)=-f(x) B.g'(x)的图象关于直线x=2对称 200 C.f(x)是周期函数，且其中一个周期为8 D. ∑g(i)=0 i=1 班级 姓名 分数 题号 1 4 5 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=x(x一c)2一2025在x=2处有极小值，则c= 10.如图，某城市公园内有一矩形空地ABCD,AB=300m,AD=180m,现规划在边AB,CD,DA 上分别取点E,F,G,且满足AE=EF,FG=GA,在△EAG内建造喷泉瀑布，在△EFG内种植 花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当sn∠AEG= 时，栈道EG最短. 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x）=2a+alnx+2. (1)若a>0. (i)求f(x)的极值； (iⅱ)求证：f(x)>0; (2)若函数g()-号-fx)在区间0,2)上恰有2个极值点，求a的取值范围。 -轮复习40分钟周测卷八 数学第2页（共4页）】 囚 12.(本小题满分15分) 2 已知函数f(x)=ax ei+1+a-1(x∈R). (1)证明：y=f(x一1)为奇函数； (2)求f(x)的导函数的最小值； (3)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围. 数学第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=1十ln,其中e为自然对数的底数. ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (i)求a的取值范围； (iⅱ)证明：x+x>2. 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷八 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（八） 命题要素-览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 亚 V ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用导数求瞬时 选择题 易 0.82 速度 导数的极限定义与 选择题 导数几何意义的 易 0.75 综合 由函数的单调性求 3 选择题 5 中 0.65 参数的范围 利用导数识别函数 4 选择题 5 中 0.58 的图象 利用导数研究函数 5 选择题 5 中 0.55 的零点 6 三次函数的实际 选择题 中 0.40 应用 与导数有关的数学 选择题 6 中 0.45 文化题 利用导数研究抽象 选择题 6 0.28 函数的性质 由函数的极值点求 9 填空题 5 易 0.72 参数的值 利用导数解决几何 10 填空题 5 / 中 0.35 问题 利用导数求极值，证 明不等式，由函数极 11 解答题 13 / 中 0.50 值点个数求参数的 范围 函数奇偶性的证明， 12 解答题 15 利用导数研究零点 V / 旅 0.28 个数 13 解答题 20 极值点偏移问题 难 0.25 ·29· ·数学· 参考答案及解析 香考答案及解折 一、选择题 1.C【解析】因为y(t)=t2+2,所以y'(t)=2t,所以 =名令了(u)=6加x+=0,可得=一品为 t=3时，y(3)=6,即质点A在t=3s时的瞬时速度 为6m/s.故选C. 函数y-3ar十2bx十c的极值点将x=一品代入 2.B【解析】依题意，imf3+2△)-f3) y'=3ar+2bx十c,可得号-2改+c=-1,所以c △x 3a 3a 21imf3+2)-f3)=2(3)=4,则f(3)=2, 1+ 3a则y-y=a(-x)+b(x-)+ 2△x 即曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线的斜率是2. c(x1-x2)=40,即a(x1-x2)(x1十x1x2+x)+ 故选B. b(-x2)(+x2)+c(-x2)=40,即 3.B【解析】由题知当x<0时，y=一x2十ax单调递 (x1-x2) [(）+] =40,即 增，所以-“2≥0，解得a≥0：当x≥0时，f(x)=e 40,可得 一ax单调递增，所以f(x)=e一a≥0恒成立，即a -)[-+号(-1+] ≤e恒成立，所以a≤e°=l.因为f(x)在R上单调 2 3（一x2)=40,解得x2-=60.故选C 递增，所以当x=0时，0≤f(0)=1,所以a的取值范 围是[0,1].故选B. 二、选择题 4.B【解析】f(x)的定义域为R.:f(一x)= 1 7.ACD【解析】由函数S(x)=1十e,得S(x)= c0s(-x)+3--3=c0sx+3-3=f(x),∴. f(x)是偶函数，排除D:又f(1)=cos1十3-3= 1 ae).对于A,S(x)[1-S(x)]=1+e· cos1>0,排除A;当x>0时，f(x)=cosx+3-3, e f(x)=-sinx+3·ln3,,3·ln3>1,.f(x) (1-1中。）=ae)=S（),故A正确：对 =-sinx十3rln3>0,∴.f(x)在(0，+oo)上单调 e 递增，排除C.故选B. 于B,VxeR,S(x)=aFe)>0,则Sigmoid函 5.C【解析】当x≤0时，f(x)=x2+4.x,由二次函数 数是单调递增函数，故B错误；对于C,S(x)= 的性质可知f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在 e (一2,0]上单调递增.令g(x)=x2+4x,则g(x)= 1+2e+e云=e+e+2≤ 2√e·eF+2 2x+4,所以g′(0)=4.当0<x<1时，f(x)= 1 1n1-,f)=<0f)在0,1D上单调 4,当且仅当e=e,即x=0时取等号，则S(c) 递减.令h(x)=ln(1-x),则h'(0)=-1.作出y= 的最大值为，故C正确：对于D,因为S(x)十 f(x)的大致图象，如图所示.函数g(x)=f(x) ax恰有2个不同的零点，即f(x)的图象与直线y= s(-)=+e千e+e=1,所以 a.x恰有两个公共点.由图易知所求a的取值范围是 [-1,4).故选C [S(k)+S(-k)]=2025,故D正确.故 y个 选ACD. 、y=fx) 8.BCD【解析】对于A,因为g(x十2)十g(2-x)=0, 所以g(2-x)=一g(x+2),令x=0,得g(2)=0,又 因为f(x)=[g(x+2)]',所以可设f(.x)十a= g(x+2)+b,又因为f(x+3)-g(3-x)=4,所以 ∫(x)-g(6-x)=4,所以g(6-x)+4十a=g(x+ 2)+b,令x=2,得g(4)+a+4=g(4)+b,所以a+4 =b,所以g(6-x)=g(x+2),且f(x)=g(x+2) y=dx +4,所以f(0)=g(2)十4=4，所以f(x)一定不是 奇函数，故A错误；对于B,因为g(2一x)= 6.C【解析】设三次函数为y=a.x3+bx2十cx十d,可 -g(x十2)，两边求导得g'(2十x)=g(2-x),所 得y=3a.x2+2bx十c,设f(x)=3a.x2+2bx+c,可 以g'(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；对 得f(x)=6a.x十+2b,设三次函数y=a.x3+b.x2+cx 于C,因为g(2-x)=-g(x十2)，所以g(x+2)为 十d的两个极值点为x1,x2,所以x1十x2=一 26 奇函数，而f(x)=g(x十2)十4，所以f(x)的一个 3a' 对称中心为(0,4)，又因为f(x+3)-g(3-x)=4, ·30- 高三一轮复习A ·数学· 所以f(x+3)=f(1一x),所以f(x)的图象关于直 (ii)由(i)知，f(x)的最小值为f(2), 线x=2对称，所以f(x)的一个周期为4×(4一2) 又f(2)=a+aln2+2>0, 8,故C正确；对于D,因为g(6-x)=g(x十2)，所以 故f(.x)≥f(.x)mim=f(2)>0, g(x)的图象关于直线x=4对称，因为g(2)=0,所以 所以f(x)>0. (6分) g(6)=0,又因为g(x+2)十g(2-x)=0,所以g(x) 的图象关于(2,0)成中心对称，所以g(x)的一个周期 2)由题得gr)-号-alnx-2-2(x>0, 为8，所以g(1)+g(3)=0,g(2)=g(6)=0,由g(2 所以g'(x=x-2)(e-a (7分) x)=一g(x十2)及周期性可得g(4)十g(5)十g(7)+ g(8)=-g(0)-g(1)+g(1)+g(0)=0,所以g(1) 因为g(x)在(0,2)上有两个极值点， 士g(2)+…+g(8)=0,所以∑g(i)=25Lg(1)士 则e-ax=0,即a=二在(0,2)上有两个根. g(2)+…十g(8)]=0,故D正确.故选BCD. 令p(x)=g 三、填空题 9.2【解析】，f(x)=（x-c)2十2.x(x-c)=3x2- 则p(x)=e(x-1) x 4cx十2，且函数f(x)在x=2处有极小值，∫(2) 当0<x<1时，p'(x)<0,p(x)单调递减， =0,即c2-8c十12=0，解得c=6或2.经检验当c=6 当1<x<2时，p'(x)>0,(x)单调递增，(10分) 时，f(x)在x=2处取得极大值，舍去：当c=2时， 又因为当x→0时，p(x)→+∞，p(1)=e,p(2)= f(x)在x=2处得极小值，符合题意，故c=2. e2 10. 2 (11分) 3 ,【解析】由题意，Rt△EAG≌Rt△EFG,设 所以若g(x)在(0,2)上有2个极值点，则需满足e< ∠AEG=0(0<0<吾).则∠DGF=元-2（受-0） =2A.在Rt△GDF中，cos28=DC=180-AG,得 综上所述，若函数g(x)在(0,2)上有两个极值点，则 GF AG 180 90 90 AG- cos20+c0s7则EG=4G a的取值范围为(e,号)： (13分) sin a sin Ocos20 90 sin9(I-sin20)由于 12解：()由题设，令gx)=f(x1)=ax+2 1,x∈R AG= 90 cos20 =90(1+tan0)≤180 所以g(-x)=-a.x 2 ,解得 e-4-1 AE= 。90(mp叶d) AG ≤300 2 =-ax+1-1千e=-g(x), tan0≤1.令sin0=t,t∈ 西，2，则G= 10,2」 又g(x)的定义域为R, 所以g(x)为奇函数， .令f()=t-产，则广()=1=3，当te 即y=f(x-1)为奇函数，得证. (4分) 2ex+1 [把，号)时，f)>0,f)单调递增：当1 (2)由题设f(x)=a一(e+1) (停，号]时，f0)<0,1单调递诚，所以当1= 0- e++_ e+2 sn0-气时，/0有最大值2，则BG=135V, 2 1 =a 2· (6分) 此时sin∠AEG=sin0= √。+ 3 四、解答题 当且仅当。1=，即=一1时取等号. 11.解：(1)(1)由题意可知，f(x)的定义域为(0，十∞)， f(.x)=a-20=a(x-2 所以f(x)的导函数的最小值为a- (7分) (1分) (3)因为f(x)恰有三个零点， 又a>0, 2 故当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增： 所以g(x)=f(x-1)=ax+e千有一1恰有三个 当0<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减，(3分) 零点， 所以当x=2时，f(x)取得唯一的极小值，且极小值 显然g(0)=0,又g(x)为奇函数， 为f(2)=a十aln2+2,无极大值. (4分) 所以只需保证在（一∞，0）和(0，十∞)上各有一个零 ·31·