(8)函数与导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (八)函数与导数的综合应用 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t2十2，则质点 A在t=3s时的瞬时速度为 A.11 m/s B.8 m/s C.6 m/s D号ms 2.已知f()为可导函数且满足1imf(3+2△)-f(3》=4,则曲线y=f()在点(3，f(3)处的切 △x 线的斜率是 A.1 B.2 C.3 D.4 -x2+ax,x<0 3.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是 e-ax, x≥0 A.[1,+o∞) B.[0,1] C.[-1,1] D.(-∞，1] 4.设函数f(x)=e一lnx的极值点为xo,且xo∈M,则M可以是 A.0,） B(分) C.(1,2) D.(2,4) 5.函数f(.x)=cosx+3x-3的图象大致是 （x2+4x,x≤0 6.已知函数f(x) ,若函数g(x)=f(x)一ax恰有2个不同的零点，则a的取 ln(1-x),0<x<1 值范围是 A.(-o∞，0] B.[-1,0] C.[-1,4) D.[0,+o∞) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 7.某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直 方向的高度差为40.两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分 (该三次函数在A,B两点处取得极值)，考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成 45°的夹角，则A,B两点在水平方向的距离约为 A.30m B.40m C.60m D.120m 8若a=cdn1.5,6=e(=号（其中e为自然对数的底数），则 A.c>ba B.c>a>b C.ba>c D.b>c>a 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.对于定义在R上的可导函数f(x),f(x)为其导函数，则 A.使得f(x)=0的x一定是函数的极值点 B.“f(x)在R上单调递增”是“f(x)>0在R上恒成立”的必要不充分条件 C.函数f(x)在给定的区间[a,b]上必存在最值 D.若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调 10,d函数S(x)=1十。是一个作生物学中常见的S型函数，也称为S型生长前线，常被用 作神经网络的激活函数.记S'(x)为Sigmoid函数的导函数，则 A.S'(x)=S(x)[1-S(x)] B.Sigmoid函数是单调递减函数 2024 C.函数S(x)的最大值是 D.2[S()+s(-)]=2025 11.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x十3)一g(3-x)= 4,f(x)=[g(x+2)]',且g(x十2)+g(2-x)=0,则 A.f(-x)=-f(x) B.g'(x)的图象关于直线x=2对称 200 C.f(x)是周期函数，且其中一个周期为8 g(i)=0 i=1 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=x(x一c)2一2025在x=2处有极小值，则c= 13.已知直线y=x十t是曲线y=ln(x一1)和y=a.x2-3x的公切线，则a一t的值为 高三一轮复习周测卷八 数学第2页（共4页） 囚 14.如图，某城市公园内有一矩形空地ABCD,AB=300m,AD=180m,现规划在边AB,CD,DA 上分别取点E,F,G,且满足AE=EF,FG=GA,在△EAG内建造喷泉瀑布，在△EFG内种植 花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当sin∠AEG= 时，栈道EG最短. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=lnx十1，g(x)=,其中a为常数. (1)求f(x)在x=1处的切线方程； (2)若3x∈(0，十∞)，使f(x)≤g(x)成立，求a的最小值. 16.(本小题满分15分) 已知函数fx)=2a+alnx+2. (1)若a>0. (1)求f(x)的极值； (i)求证：f(x)>0; (2)若函数g)-兰f()在区间(0,2)上恰有2个极值点，求a的取值范周. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=1一ax2,g(x)=1一lnx. (I)求函数y=g(x)图象上的点到直线x十y=0的最短距离； (2)若f(x)一g(x)≤一x恒成立，求a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a.x 2 e++1+a-1(x∈R). (1)证明：y=f(x一1)为奇函数； (2)求f(x)的导函数的最小值： (3)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=1+n工，其中e为自然对数的底数 ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (i)求a的取值范围； (iⅱ)证明：x号+x>2. 轮复习周测卷八 数学第4页（共4页）】 A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用导数求瞬时 1 选择题 易 0.82 速度 导数的极限定义与 2 选择题 导数几何意义的 L 易 0.75 综合 由函数的单调性求 3 选择题 5 中 0.65 参数的范围 由函数的极值点求 4 选择题 5 中 0.60 范围 利用导数识别函数 选择题 5 中 的图象 0.58 6 利用导数研究函数 选择题 5 中 的零点 0.55 选择题 三次函数的实际 中 0.40 应用 8 选择题 5 利用导数比较大小 难 0.25 导数与函数性质的 9 选择题 6 易 0.75 应用 与导数有关的数学 10 选择题 6 中 0.40 文化题 利用导数研究抽象 11 选择题 6 难 0.28 函数的性质 由函数的极值点求 12 填空题 易 参数的值 0.72 13 填空题 利用导数研究公 中 0.45 切线 利用导数解决几何 14 填空题 5 中 0.35 问题 利用导数求切线方 15 解答题 13 中 0.60 程，不等式有解问题 ·45· ·数学· 参考答案及解析 利用导数求极值，证 15 明不等式，由函数极 16 解答题 中 0.50 值点个数求参数的 范围 利用导数求曲线上 的动点到直线距离 17 解答题 15 中 0.40 的最值，不等式恒成 立问题 函数奇偶性的证明， 18 解答题 17 利用导数研究零点 难 0.28 个数 19 解答题 17 极值点偏移问题 难 0.25 季考答案及解析 一、选择题 f(x)是偶函数，排除D;又f(1)=cos1十3-3= 1.C【解析】因为y(t)=P+2,所以y'(t)=2t,所以 cos1>0,排除A;当x>0时，f(x)=cosx十3-3， t=3时，y(3)=6,即质点A在t=3s时的瞬时速度 f(x)=-sinx十3·ln3,3·ln3>1,.f(x) 为6m/s.故选C. =-sinx+3ln3>0,.f(x)在(0，十o∞)上单调 2.B【解析】依题意，lim f(3+2△x)-f(3) 递增，排除C.故选B. △x 6.C【解析】当x≤0时，f(x)=x2+4x,由二次函数 21imf3+2x)-f3)=2f(3)=4,则f(3)=2, 2△x 的性质可知f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在 即曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线的斜率是2. (一2,0]上单调递增.令g(x)=x2+4x,则g'(x)= 故选B. 2x+4,所以g'(0)=4.当0<x<1时，f(x)= 3.B【解析】由题知当x<0时，y=-x2十ax单调递 n1-),f)=<0,f()在(0,1D上单测 增，所以-2≥0，解得a≥0：当x≥0时，f(x)=e 递减.令h(x)=ln(1-x),则h'(0)=-1.作出y -ax单调递增，所以f(x)=e-a≥0恒成立，即a f(x)的大致图象，如图所示，函数g(x)=∫(x) ≤e恒成立，所以a≤e=l.因为f(x)在R上单调 ax恰有2个不同的零点，即f(x)的图象与直线y= 递增，所以当x=0时，0≤f(0)=1,所以a的取值范 ax恰有两个公共点.由图易知所求a的取值范围是 围是[0,1].故选B. [-1,4).故选C 4.B【解析】f(x)的定义域是(0，十o∞)，f(x)=e y y=fx) -二，f(x)在区间(0，十∞)上单调递增，f(分) =√-2<0，f(1)=e-1>0,所以存在x∈ (之，1)，使得(x)=0,且在区间(0，)上， f(x)<0,f(x)单调递减，在区间(xo,十∞)上， f(x)>0,f(x)单调递增，所以x是f(x)的极小 值点，所以M可以为（合1）故选B 7.C【解析】设三次函数为y=ax3十bx2十cx十d,可 5.B【解析】f(x)的定义域为R.:f(-x)= 得y'=3ax2+2bx十c,设f(x)=3ax2十2bx十c,可 cos(-x)十3--3=cosx十3-3=f(x),. 得f(x)=6ax十2b,设三次函数y=ax3+bz2十cx ·46· 高三一轮复习A ·数学· +d的两个极值点为x1,x2,所以x十x2= 26 最值，故C正确：对于D,根据极值点和极值的定义可 3a 以判断，若∫(x)在R上存在极值，则它在R上一定 1=3a,令f(x)=6ax十2b=0,可得x= C 为 3a 不单调，故D正确.故选BCD. 函数y'=3ax2十2bx十c的极值点，将x=- 代入 10.ACD【解析】由函数S(x)=1十e,得S(x)= 3a y'=3ax2+2bx十c,可得5-26 十c=一1，所以c= a2对于A.s)[1-5)]= 3a3a -1+ 3a,则y-=a(-x)十b(-x)+ (-1中。)=a8=S(2),故A正确：对 ex c(x1-x2)=40,即a(x-x2)(x+x1x2十x号)十 于B,HxeR,S(x)=1+e)>0,则Sigmoid b(x1-x2)(x1十x2)+c(x1一x2)=40,即 函数是单调递增函数，故B错误：对于C,S(x)= -[(货)+] = 40, 即 1十2e+e=e+e+2≤2W/e·e+2 (a-)[-+号(-1+)] 40,可得 ,当且仅当e=e,即x=0时取等号，则S(x) 号(a-)=40,解得-=60，故选C 的最大值为，故C正确：对于D,因为S(x)十 8.D【解析】设n(x)=e-x-1,则n'(x)=e-1,当 x>0时，n'(x)>0,n(x)单调递增，当x<0时，n'(x) s(-)=1十。十十e=千e十中e=1,所以 <0,n(x)单调递减，所以n(x)≥n(0)=0,故e≥x十 1,当且仅当x=0时等号成立，故e.1>-0.1+1= 空[S()+S(-)]=202,故D正确.故 品放6=e1>×品=号=,即b>6,设 选ACD. 11.BCD【解析】对于A,因为g(x十2)+g(2-x)= m(x)=分x-cnx(x>0),则m(x)=x-兰 0,所以g(2-x)=-g(x十2)，令x=0,得g(2) -e_(x十E)(xE),故当x>时，m(x)> 0,又因为f'(x)=[g(x十2)]'，所以可设f(x)十 a=g(x+2)十b,又因为f(x十3)-g(3-x)=4, 0,m(x)单调递增，当0<x<√时，m'(x)<0, 所以f(x)-g(6-x)=4,所以g(6-x)+4十a g(x十2)+b,令x=2,得g(4)十a十4=g(4)十b,所 m(x)单调递减，因此m(x)≥m(WE)=ze-cn 以a十4=b,所以g(6-x)=g(x十2)，且f(x)= =0,因此号x-cn≥0，当且仅当=G时取等号， g(x十2)十4，所以f(0)=g(2)+4=4,所以 ∫(x)一定不是奇函数，故A错误；对于B,因为 故号×（号）-eh号>0，即c>a,故b>c>a.故 g(2-x)=-g(x十2)，两边求导得g'(2十x)= 选D. g'(2一x),所以g(x)的图象关于直线x=2对称， 二、选择题 故B正确；对于C,因为g(2-x)=一g(x+2),所 9.BCD【解析】对于A:f(x)=0的x不一定是函数 以g(x十2)为奇函数，而f(x)=g(x十2)十4，所 的极值点，比如：f(x)=x3,(x)=3x≥0，f(x) 以f(x)的一个对称中心为(0,4)，又因为f(x十3) 在R上单调递增，'(0)=0，但x=0不是∫(x)= -g(3-x)=4,所以f(x十3)=f(1-x),所以 x3的极值点，故A错误；对于B,若“f(x)>0在R f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)的一个 上恒成立”，则“f(x)在R上单调递增”，若“∫(x)在 周期为4×(4一2)=8，故C正确；对于D,因为 R上单调递增”，则“∫(x)≥0在R上恒成立”，故 g(6-x)=g(x十2)，所以g(x)的图象关于直线x= “f(x)在R上单调递增”是“f(x)>0在R上恒成 4对称，因为g(2)=0,所以g(6)=0,又因为 立”的必要不充分条件，故B正确；对于C,由最值的 g(x十2)十g(2-x)=0,所以g(x)的图象关于 定义可知，函数f(x)在给定的区间[a,b]上必存在 (2,0)成中心对称，所以g(x)的一个周期为8，所以 ·47· ·数学· 参考答案及解析 g(1)十g(3)=0,g(2)=g(6)=0,由g(2-x)= -g(x十2)及周期性可得g(4)十g(5)十g(7)十 此时sin∠AEG=sing= 31 g(8)=-g(0)-g(1)十g(1)+g(0)=0,所以g(1) 四、解答题 15.解：(1)由f(x)=lnx+1, +g(2)+…+g(8)=0,所以∑g(i)=25[g(1)十 g(2)十…十g(8)]=0,故D正确.故选BCD. 得了)=士 (2分) 三、填空题 则f(1)=1,f(1)=1, (4分) 12.2【解析】：f(x)=(x-c)2十2x(x-c)=3x2 故所求切线方程为y-1=x-1, 4cx十c2,且函数f(x)在x=2处有极小值，∴.f(2) 即x-y=0. (6分) =0,即c2-8c十12=0，解得c=6或2.经检验当c= (2)3x∈(0，十∞)，使f(x)≤g(x)成立， 6时，f(x)在x=2处取得极大值，舍去：当c=2时， 即3x∈(0，+o),使1nx+1≤是成立， f(x)在x=2处得极小值，符合题意，故c=2. 则a≥x(lnx十1)在(0，十oo)上有解， 13.4【解析】令fx)=ln(-1),则了)= 即a≥[x(lnx+1)]mim. (8分) 因为直线y=x十t是曲线y=ln(x-1)的切线，所 令h(x)=x(lnx+1),x>0, 以由了(x)==1,解得x=2,此时f(2)= 则h'(x)=lnx+2, ln1=0,所以f(x)在(2,0)处的切线为y=x-2, 令h(x)>0,得xe(合+∞）： 所以t=一2，又y=x一2是y=ax-3x的切线，联 立/x2 令(x)<0,得xe(0,是)， ,得ax2-4x十2=0，令△=16-8a y=ax?-3x 故h(x)在（已，十∞）上单调递增，在(0，是)上单 =0,解得a=2,所以a一t=4. 调递减， 14.号 【解析】由题意，Rt△EAG≌Rt△EFG,设 所以A)=h(侵）=一己 (12分) ∠AEG=(0<0<受)，则∠DGF=元-2（变-O 则2- 1 =29.在R△GDF中，os20=D=180AC,得 GF AG 故a的最小值为-己 (13分) AG=180 90 cos20+i-cos9:则EG= AG 90 sin a sin Ocos 16.解：(1)(i)由题意可知，f(x)的定义域为(0，十∞)， 90 sin9(I-sin'9)由于 f(x)=a-2a=a(x-2) (1分) x x2 x AG= os0=90(1+tan20)≤180 90 又a>0, 1 AE-AG ,解得3≤ 故当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增； tan9/≤3 an2=9o(tan0+1） 当0<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减，(3分) 所以当x=2时，f(x)取得唯一的极小值，且极小值 tan0≤l.令sin9=t,t [],则 为f(2)=a十aln2+2,无极大值. (5分) (i)由(1)知，f(x)的最小值为f(2), 0,令f()=t=2,则广()=1-3t,当t∈7 又f(2)=a+aln2+2>0, [巴，号)时，/(0>0,1)单测递增：当4 故f(x)≥f(x)mim=f(2)>0, 所以f(x)>0. (7分) (停，号]时，f<0,f)单调莲减，所以当1= （2)由题得gr)=-alnx-丝-2(r>0. s如9=号时/0)有最大值2.则BG=135厅， 3 所以g'(.x)=x-2)(e-a） (9分) x ·48· 高三一轮复习A ·数学· 因为g(x)在(0,2)上有两个极值点， 所以t(x)的最大值为t(1)=1, 则g-ax=0,即a=g在(0,2)上有两个根， 则a≥1，a的取值范围是[1，十o∞). (15分) x 18.解：(1)由题设，令g(x)=f(x-1)=ax+e千 2 令p(x)=E 1,x∈R, 则b'(x)=e(x-1)」 2 x? 所以g(-x)=一ax e+1-1 当0<x<1时，p'(x)<0,p(x)单调递减， 2 当1<x<2时，p'(x)>0,p(x)单调递增，(12分) =-ax+1- 1+e=g(x), 又因为当x0时，p(x)→十o∞，p(1)=e,p(2)= 又g(x)的定义域为R, 号 (13分) 所以g(x)为奇函数， 即y=f(x-1)为奇函数，得证. (5分) 所以若g(x)在(0,2)上有2个极值点，则需满足e< 2e+1 a<号 (2)由题设f(x)=a- (e+t+1)9 综上所述，若函数g(x)在(0,2)上有两个极值点，则 e+l+ e+2 a的取值范围为(e,号)。 (15分) 2 a 一=a (8分) 17.解：(1)设与x十y=0平行的直线与g(x)相切于点 2W/e+1._ 2 e++2 M(xo,1-In o), 由题得g(x)=-1 当且仅当e一品，即=一1时取等号， 则g()=-1=-1, 所以f(x)的导函数的最小值为a一之， (9分) (3)因为∫(x)恰有三个零点， 解得x0=1, (3分) 则M(1,1)到直线x十y=0的距离最短， 所以x)=f一1)=ax+子-1恰有三个 最短距离d=山1山-反。 (5分) 零点， 显然g(0)=0,又g(x)为奇函数， (2)由f(x)-g(x)=lnx-a.x2≤-x, 所以只需保证在（一∞，0）和(0，十∞)上各有一个零 从面≥+上恒成立， 点即可， (12分) 2 即a≥(+士） 令g(x)=0,则ax=1一e十1' 设(x)-+6u>0 即y=ax与9(x)=1- 。名在(-，0)和0. (x)=2xIn :1=1-2In x-z 十∞)上各有一个交点， ,(7分) x T? 2e 设g(x)=1-2nx-x, 因为g()=e1D之0， 则g(x)=-2-1<0, 所以o(x)在R上单调递增， 22 又o(-)=1-e+Fe+有1=g(x), 则(x)在(0，十∞)上单调递减且p(1)=0, (9分) 所以(x)为奇函数， 当x∈(0,1)时，9(x)>0, 令h(x)= (e+1)2 即t(x)>0,t(x)单调递增； 当x∈(1，十o∞)时，9(x)<0, 则h(x)=2e1-e) (e+1)3 即t(x)<0,t(x)单调递减， (13分) 显然在（一∞，0）上h'(x)>0,h(x)单调递增； ·49· ·数学· 参考答案及解析 在(0，十∞)上h'(x)<0,h(x)单调递减， (1,十∞)内单调递减， 综上，9(x)在R上单调递增，但递增速率先变快后 又g(日)=0，g1)=1,当x>1时，g(x)>0, 变慢， 则(x)的大致图象如下图所示： 且当x→十o∞时，g(x)→0： 当x→0时，g(x)→一o∞， (8分) 所以当0<a<1时，方程+n=a有两个不同 x y=ax 的根， y=o(x) 即方程十山工-1有两个不同的根， ax 故a的取值范围是(0,1). (10分) (i)不妨设x1<x2, 则0<<1<，且ln西十1_ln+1 又y=ax与p(x)都过原点，且原点处o(x)的切线 斜率为9(0)=2， (15分) 设h()=g(x)-g(2) 则结合图象知，当0<a<号时y=ar与9()=1 =1+lnx-x(1-lnx),x∈(0，+o∞)， 名在(-00和0，十0)上各有一个交点， 则()=兰+nx=h,→0， 所以h(x)在区间(0，十∞)内单调递增， 所以a的取值范围为(0，号)）： (17分) 又h(1)=0, 19.解：1)当a=1时，f(x)=1+血二，x∈(0，十e∞)， x 所以h(x)=(✉)-8()<0， 则f)=学， 即()<()》 (13分) 由f(x)=0,解得x=1. (2分) 又g(x2)=g(), 所以当0<x<1时，(x)>0,(x)单调递增； 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以8)<g(）: (14分) 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区 又>1,1>1，g(x)在区间(1，+0)内单调 间为(1，十∞) (5分) 递减， (2)(1)由1+lh=1,得1+ln=a,a≠0， ax x 所以>1，即14>1， x 设g(x)=1十lnx x 又x1卡x2, 由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间 所以x十x>2x1x2>2,得证. (17分) ·50·