(5)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (五)函数的图象、函数与方程、函数的应用 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.“a≤-2”是“函数f(x)=a.x十3在区间[-1,2]上存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数f(x)=2x2十1一cosx的零点个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 3.下列四个关系中正确的个数为 ①a>b=ac2>bc2; ②a>b1<1 a ③a>b>0,c>d>0→4>b； ④a>b>1,c<0→a°<b. A.1 B.2 C.3 D.4 4.当a≥e时，关于x的方程e+x十lnx=lna+“在区间[l,十o∞)上实根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 5.薯条作为一种油炸食品，风味是决定其受欢迎程度的基础.米其林三星级大厨Heston Blumenthal 对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行了整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”，用来解 释食物品质与油炸时间之间的关系.在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t(单位：min)满 足函数关系p=at十bt十c(a,b,c均为常数)，如图，记录了三次实验的数据，根据函数模型和实验 数据，可以得到最佳煎炸时间为 P 80 70 50 234i A.2.25 min B.2.75 min C.3.25 min D.3.75 min 6.若函数f(x)的图象上存在两点A,B关于原点对称，则称点对[A,B]为f(x)的“友情点对”（点对 人：与[B,灯视列同-个发萄点对.者两数)=拾有两个~安情点对，则 实数a的取值范围为 A.(-1,0) B.(0,1) C.(-t.0) D(o,是) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.若正实数a,6清足a≠b,则函数f(x)-(白）) 与函数g(x)=ax2十bx的图象可能是 012 012 B D 8.已知函数f(x)= √x-2+a,x≥2(a>0且a≠1)，若存在实数a,使得函数y=f(x)-a有三个 |a2-2,x<2 零点，则a的取值范围为 A.(0,1) B.(1,+∞) c() D.(1,2) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x一1)+f(x一2)，且当x<3时，f(x)=x,则 A.log2 f(2)>>logs f(1) B.f(4)>5 C.f(10)<88 D.f(10)>89 10.已知函数f()=口十21一3，x≤0·下列关于方程)=k的实数解个数的说法正确的是 -2+lnx,x>0, A.当k<一4时，方程有0个实数解 B.当k<一4时，方程有1个实数解 C.当k≥0时，方程有2个实数解 D.当一4<k≤一3时，方程有3个实数解 11.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，对Hx∈R,f(2一x)=f(x)十f(2),且当x,x2∈ [0,1],≠时，f）-f>0,则 1C2 A.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=0 B.直线x=一5是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在区间[-7,7]上有5个零点 D.f(x)在区间[一7，一5]上单调递减 班级 姓名 分数 题号 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）》 |x2+2x十1，x≤0， 12.已知函数f(x)= 2r, x>0, 若存在1,2，(x<2<x),使得f()=f(x2)= f(x3),则f(x1十x2十x3)的取值范围为 13.已知x>0,y>0,且1+4y=1,则x+1的最小值为 V 一轮复习单元检测卷五 数学第2页（共4页） A 14.已知函数f)是定义在R上的偶函数，2-)=f2+,且当x∈[-20]时，f)=(2）)广-1.若 关于x的方程f(x)一log.(.x+2)=0(a>1)在区间（一2,6]上恰有三个不等实根，则实数a的取 值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用95℃ 的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好 的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1in测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t 的部分数据如下表所示： 时间t/min 0 1 2 4 水温y/℃ 95.0088.0081.7076.0370.9366.33 (1)给出以下三种函数模型：①y=at+b;②y=a·b+c(a>0,0<b<1);③y= log.(t十b)(b>0,a>1),请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由， 并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)按(1)中所求解析式，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间.（精确到0.1，参考数 据：1g3≈0.477,1g5≈0.699) 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)是定义在区间[一1,1]上的奇函数，f(1)=1,且对于m,n∈[-1,1]，m+n≠0， 有fm)+fm)>0. mn (1)证明：f(x)在区间[一1,1]上单调递增； (2)解不等式f(log:(x+2)<f(2)片 (3)若2|f(x)-f(2)≤2-2at+1对任意，∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x十ax十c x十a a,c∈R. (1)若f(x)为奇函数，求a的值； (2)若f(x)的图象过点(1,2)，且与x轴负半轴有两个不同的交点，求c的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log2(2-x2). (1)求f(x)的单调递增区间； (2)解不等式f(2.x-1)≤f(x); (3)若关于x的方程[f(x)]-mf(x)+n=0在区间(-1,1)上有3个不等实根，求4"+1一5· 2+的最小值. 19.(本小题满分17分) 若函数f(x)满足：对任意正实数s,t,都有f(s)十f(t)<f(s十t),则称f(x)为“H函数”. (1)分别判断函数f(x)=x2与g(x)=ln(x十1)是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数h(x)=3十x一3a为“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)为“H函数”，f(1)=1,且对任意正实数s,t,都有f(s)>0,f(t)>0,证明：对任 意x∈(2,2)(k∈N,都有f(x)-f()>号一是 三一轮复习单元检测卷五 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（五） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力 Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 与零点有关的充分必 选择题 5 / 多 0.85 要条件 2 选择题 5 函数零点个数的判断 √ 易 0.80 3 选择题 5 判断不等式是否成立 易 0.72 4 选择题 5 方程实根的个数 0.65 5 选择题 5 二次函数的实际应用 中 0.60 选择题 与分段函数有关的自 定义题 / 分 0.50 7 选择题 函数图象识别 中 0.48 选择题 由分段函数的零点个 8 / / 0.30 数求参数取值范围 抽象函数的不等式 9 选择题 6 / / 0.72 问题 易 10 选择题 6 方程的实数根问题 浓 0.60 11 选择题 6 抽象函数性质的综合 务 0.45 12 利用分段函数求函数 填空题 中 0.68 取值范围 利用基本不等式求 13 填空题 中 0.50 最值 14 填空题 5 函数性质的综合应用 中 0.35 15 解答题 13 函数的实际应用 中 0.68 函数的单调性，解不等 16 解答题 15 式，由不等式恒成立求 中 0.60 参数取值范围 ·23· ·数学· 参考答案及解析 利用奇函数求值，函数 17 解答题 15 多 0.55 图象的应用 对数型函数的单调区 18 解答题 17 间，解不等式，由方程 0.40 的实根个数求最值 19 解答题 17 函数的自定义题 难 0.28 奎考答案及解析 一、选择题 煎炸时间为3.25min.故选C. 1,A【解析】若f(.x)=a.x十3在区间[-1,2]上存在： 6.D【解析】将函数y=a.x2(x≤0)的图象关于原点对 零点，则f(-1)·f(2)=(-a+3)(2a+3)≤0， 称后所得图象的解析式为y=一ax(x≥0)，则 解得a≥3或a≤-多，所以a<-2”是“函数 f(x)的“友情点对”的个数即为函数y=x3lnx(a> 0)与y=一a.x2(x≥0)的图象的交点个数，即为关于x f(.x)=a.x十3在区间[-1,2]上存在零点”的充分 的方程x3lnx=一ax(x>0)的实根个数，则一a= 不必要条件.故选A. xlnx,令h(x)=xnx,x>0,则h'(x)=lnx+1,所 2.D【解析】由题得f(-x)=2(-x)2+1 cos(-x)=2x2+1-cosx=f(x),定义域R关于y 以当x∈(0，)时，(x)<0,(x)单调递减：当 轴对称，所以f(x)为偶函数，又2x2≥0,1-cosx≥ 0,所以f(x)≥0，当且仅当x=0时等号成立，所以 x∈（日，十∞）时，(x)>0,h(x)单调递增，所以 f(x)有且仅有一个零点x=0.故选D. 3.B【解析】对于①，当c=0时，ac2=b2,故①错误； 6(x)=6(2)=-是又当0时，6()-0 对于②，当>0>6时，。>0>方，放②错误：对于 当x→十o∞时，h(x)十∞，作出h(x)的图象如图 所示， ③，由c>>0,得日>>0，又a>6>0,所以号> 么，故③正确：对于①，构造幂函数f(x)= (c<0),则f(x)在(0，+∞)上单调递减，又a>b> 1,所以f(a)<f(b),即a<b,故④正确.故选B. 4.B【解析】由e十x十nx=lna十名，得e十x= -e 名+血兰，令f(x)=e十，x≥1，则f(x)= 因为f(x)恰有两个“友情点对”，所以直线y=一a 与h(x)的图象有两个交点，则-1<-4<0，即0< f(n),因为f(x)在区间[1，+∞)上单调递增， e 所以x=ln2,即x+hx=lna.令h(x)=z+nx, 日，所以实数a的取值范围为(0，。)，故选D 7.A【解析】令g(x)=a.x2十bx=0,得x=0或x x≥1，h(x)单调递增，所以h(x)∈[1，+∞)，又 a≥e,所以lna≥l,所以关于x的方程x十lnx=lna -合，对于f()=(台厂，若0<合<1，则g()的 a 只有一个实根，所以关于x的方程e+x十lnx=lna +二在区间[1，十0)上只有一个实根，故选B 零点x=-女∈(-1,0)，A满足，B不满足：若女> a 4a+2b+c=50 1,则g(x)的零点x=-么∈(-∞，-1)，CD不满 a 5.C【解析】由题可得9a+3b+c=80,解得a= 足.故选A. 16a+4b+c=70 8.A【解析】由题可得y=f(x)-a= 20,b=130,c=- 130,所以p=-20r2+130t w√x-2,x≥2 130,当1=一么=3.25时，力取得最大值，所以最佳 。,当x≥2时，y=V-2单调递 |a-2|-a,x<2 2a ·24- 高三一轮复习A ·数学· 增，且零点为x=2;当x<2时，令y=f(x)-a=0, 以f(0)=0,对于f(2-x)=f(x)十f(2),令x= 得a-2=a,当a>1时，作出曲线y 2,得f(0)=2f(2),则f(2)=0,所以f(2-x) |a一2(.x<2)与直线y=a的图象如图所示， f(x),又f(x)为奇函数，所以f(-x)=一f(x), 所以f(2-x)=-f(一x),则f(2十x)=-f(.x), 则f(x十4)=-f(.x+2)=f(x),所以f(x)是以4 为周期的周期函数，所以∫(1)十f(2)+∫(3)+ f(4)=f(1)+f(2)-f(1)-f(2)=0,则 y=a f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=506× [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=f(1), 因为当，x∈[0,1]，≠2时，f)-f() x1一x2 则1og.2<2=log.a2,则a2>2,所以a>√2，要使曲线 >0,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增，所以 y=a一2|(x<2)与直线y=a有两个交点，则 f(1)≠0，故A错误；因为f(2一x)=f(x),所以直 -2≥2成2<2-2<？，两个方程组均无解，所 线x=1为f(x)图象的一条对称轴，所以直线x=5 2<a2咸E<a<a-2 为∫(x)图象的一条对称轴，又f(x)为奇函数，所 以a>1不符合题意；当0<a<1时，作出曲线y= 以直线x=一5为f(x)图象的一条对称轴，故B正 a-2|(x<2)与直线y=a的图象如图所示， 确；因为f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0,1]上 单调递增，所以f(x)在区间[一1,1]上单调递增， 因为f(0)=0,f(2)=0,f(x)的周期为4，所以 f(x)在区间[-7,7]上有7个零点，分别为x= -6,x=-4,x=-2,x=0,x=2,x=4,x=6,故C 错误；因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增，且 f(x)的周期为4，所以「(x)在区间[一5，一3]上 log 2 单调递增，由B可知直线x=一5为f(x)图象的一 条对称轴，所以f(x)在区间[一7，一5]上单调递 此时log.2<0,由图可知曲线y=|a2一2|(x<2)与 减，故D正确.故选BD. 直线y=a有两个交点.综上，a的取值范围为 三、填空题 (0,1).故选A. 12.[0,1] 【解析】作出函数∫(x)的图象如图所示， 二、选择题 9.ABD【解析】因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1) =1,f(2)=2,所以logf(1)=0,log2f(2)=1.所以 logf(2)>logf(1),故A正确；因为f(x)≥ f(x-1)+f(x-2),所以f(3)>f(2)+f(1)=3. -2: f(4)>f(3)+f(2)>5,故B正确：则f(5)>f(4)+ r1-1x20x3 f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+ 设f(.x1)=f(x2)=f()=a,则曲线y f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+ f(x)与直线y=a交点的横坐标从左至右依次为 f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,故C借误，D正 x1,x2,x.二次函数y=x2十2x十1=(x十1)的对 确.故选ABD. 10.BCD【解析】作出函数f(x)的图象如图所示， 称轴为直线x=一1，则由图可知x1十x2=-一2，又 x>0,所以x1十x2十xg>-2,当x>-2时， f(x)∈[0,1]，所以f(x1+x2+x3)∈[0,1]. 13.9【解折】因为>0y>0,是十4=1，所以x+ O 号-(+号)+4)=5+4y+马≥5+ 2√w…=9,当且仪当4y=且+ 由图可知，当k<一4时，方程f(x)=k只有1个实 1,即x=3,y=合时取等号，所以x+的最小值 数解，故A错误，B正确；当k≥0时，方程f(x)= 为9 有2个实数解，故C正确；当一4<k≤一3时，方程 14.(4,2)【解析】因为f(x)为偶函数，所以 f(x)=k有3个实数解，故D正确.故选BCD. f(2-x)=f(x-2),又f(2-x)=f(2+x),所 11.BD【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所 以f(x+2)=f(x-2),所以f(x+4)=f(x), ·25· ·数学· 参考答案及解析 故f(x)的周期为4.因为关于x的方程∫(x)一 所以∫(x)在区间[-1,1]上单调递增. (5分) log。(x十2)=0(a>1)在区间(-2,6]上有三个不 (2)由(1)可知f(x)在区间[一1,1]上单调递增， 等实根，所以函数y=f(x)与y=log(x十2) (a>1)的图象有三个不同的交点，因为当x∈ 则由f(og:(x+)<f(2): [-2.0]时，f(x)=(分广-1，作出函数y -1<log(x+2)< 得 f(x)与y=log。(x十2)(a>1)在区间(-2,6]上 log(e+2)<司 ,解得0<r<2- 的图象如图所示， y 所以不等式的解集为[0w巨-)》： (9分) (3)由(1)可知f(x)在区间[-1,1]上单调递增， 所以f(x)mx=f(1)=1,∫(x)m=f(-1)= -f(1)=-1, -2/-10 因为号1f(x)-f()≤-2a1十1对任意， x2∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立， 则f(2)>og(2+2) 2f0og(6+),即 g8>3解得M<a log.4<3 所以2-2at+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立， 即t2-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立.(12分) <2,故实数a的取值范围为(4,2) 令g(a)=t-2at,a∈[-1,1]， 四、解答题 所以/8(-1)=+2>0 15.解：(1)由所给数据可知，函数应该为减函数，③y= g(1)=2-2t≥0 log。(t十b)(b>0,a>1)为增函数，故不符合题意； 解得t≥2或t≤一2或t=0, (2分) 所以实数t的取值范围为（一o,一2]U(0}U[2, 又88-95=-7,81.7-88=-6.3，不是同一常数， 十∞). (15分) 故①y=at十b不符合题意； (4分) 17.解：(1)由题可得f(x)的定义域为（一∞，一a)U 故选②y=a·十c(a>0,0<b<1) (-a,十o∞)， (a+c=95 a=70 若f(x)为奇函数，则一a=0,即a=0, (2分) 则ab+c=88,解得b=0.9, 则f(x)=+,x∈(-∞，0)U(0,十o0), ab2+c=81.7 c=25 所以y=70·0.9+25. (8分) 则f(-x)=+s=-f(x), 一x (2)由题意70·0.9+25=60.即0.9=2， 1 所以f(x)为奇函数， 所以a=0. (6分) 1 1 所以t=log0.9 1g2 lg 2 1-1g5 (2)因为f(x)的图象过点(1,2)， 9 10 1g10 1g 1-21g31 所以l+a+c=2,解得c=a十1， 1+a 1-0.699 -2X0.477≈6.5(min), 则f(x)=十ar+a+1 (9分) xfa 即刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间大约 令f(x)=0,得x2+a.x+a+1=0, 为6.5min. (13分) 因为f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同的 16.解：(1)因为f(x)为奇函数， 交点， 所以f(一x)=一f(x), (1分) 所以方程x2十ax+a+1=0有两个不相等的负 任取x1,x2∈[-1,1]，且x1<2, 实根， 则f(x)-f(x2)=f(x)+f(-x2)= a2-4(a+1)>0 f()+f(-）.(x1-x2), 所以-a<0 ,解得a>2+22,(13分) x1一x2 a+1>0 因为-1≤0<x2≤1， 所以c=a+1>3+2√2， 所以x1一x2=x1十(-x2)<0, (3分) 所以c的取值范围为(3十2√2，十∞)· (15分) 由题可得)+fC-)>0, x1-T2 18.解：(1)由2-x2>0,得-√2<x<√2， 所以f(1)十f(-x2)<0, 因为y=log2x在(0，十∞)上单调递增，y=2-x 即f(x)-f(x2)<0, 在（一√2,0）上单调递增，在(0，√2)上单调递减， 所以f(x)<f(x2), 所以f(x)的单调递增区间为（一√2,0）.(3分) ·26· 高三一轮复习A ·数学· (2)由(1)可得f(x)的定义域（一√2√2）关于原点 对于g(x)=ln(x+1), 对称， 取m'=n=1,则g(m')+g(n)=2ln2=ln4, 又f(-x)=log2(2-x2)=f(.x), g(m'+n )=In 3, 所以f(x)为偶函数， (5分) g(m')+g(n)>g(m'+n'), (2.x-1)2≥x2 故g(x)=ln(x十1)不是“H函数” (4分) 由f(2x-1)≤f(x),得 -√2<2x-1<√2， (2)因为h(x)=3+x-3a为“H函数”， √2<x<√2 所以对任意p,q∈(0，十∞)，h(p十q)>h(p)+ h(q), 解得2<≤或1< 即3+9+(p十q)-3a>3+p-3a+39+g-3a, 即3+9-3P-3>-3a, 所以不等式的解集为（≥2，]U1,22) 即(3-1)(39-1)>1-3a, (7分) 又p,q∈(0，+∞)，所以3>1,39>1， (8分) 则(3-1)(39-1)>0， (3)令t=f(x),则2一mt十n=0, 当-1<x<1时，1<2-x2≤2， 所以1-30<0解得。≥分， 则0<1og2(2-x2)≤1，即t∈(0,1]， (10分) 所以方程2一mt+n=0在区间(0,1]上有两个不 所以实数a的取值范围为[合十一)。 (10分) 相等的实数根t,t2,其中t=1,t2∈(0,1)， (3)由题可得f(s)十f(t)<f(s十t), (1-m+n=0 (m=n+1 令s=t,则f(2s)>2f(s), 所以0<受<1，即0<m<2, 因为()>0，所以器>2， n0 n>0 解得1<m<2, (14分) 故对任意∈N,s>0,f22=f(2). f(s) f(2s) 所以4*1-5·2+=2+D-5·2" 、1 4 f(2s·.f22>2+1, f(21s) (13分) f(s) (2)2-5·2+=(2-号）广-6 由x∈(2,2+1)(k∈N), 当2=号，即m=6g号∈(1,2)时，上式取得最小 5 得是∈（品安）keN 又f(1)=1, 值，最小值为一6， 所以f(x)>f(x-2*)+f(2)>f(2)> 即41-5·2十的最小值为-6. (17分) 19.解：(1)对于f(x)=x2, 任取m,n∈(0，+c∞)，f(m)+f(n)=m+n2, 同理()<（是）-（是-）<f() f(m+n)=(m+)2, f(1)= 所以f(m十n)-[f(m)+f(n)]=(m十n)2 品< (m2十n2)=2mn>0, (17分) 所以f(m)+f(n)<f(m十n), 放)-()>音-品 故f(x)=x2为“H函数”. (2分) ·27·