(4)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷四 数学第2页（共4页） 囚 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=k.x2-(2k十1)x+2. (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求f(x)的解析式； (2)解关于x的不等式f(x)<0. 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=a·2一2x是定义在R上的奇函数. (1)求a的值，并证明：f(x)在R上单调递增； (2)解不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0; (3)若g(x)=4+4x-2mf(.x)在区间[一1，+o∞)上的最小值为一2 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(1-x)+kln(1十x). 从①f(x)十f(一x)=0,②f(x)一f(一x)=0,这两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列 问题 (1)求实数k的值； (2)求函数F(x)=(1一x)(1十x)的单调区间； (3)判断函数g(x)=f(x)十x+2|k在区间（一1,0）上的零点个数，并说明理由. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log 4+1(a>0且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性； 求实数m的值. (2)当a=2时，求f(x)的值域； (3)若函数g(x)=x-2元，且对Vx1∈[-4,4]，了x2∈[0,4]，使得f(x1)-g(x2)>2,求实 数a的取值范围. 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷四 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ②③ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由不等式恒成立求参 易 0.85 数的最值 2 选择题 5 指数、对数函数的图象 易 0.80 3 选择题 5 函数值的求法 易 0.75 4 选择题 5 幂函数的定义 分 0.68 由分段函数的单调性 选择题 / L 务 0.65 求参数取值范围 6 选择题 5 指数、对数的应用 中 0.55 7 选择题 5 由不等式求参数 中 0.45 8 选择题 5 函数性质的综合应用， / 比较大小 J L 中 0.35 9 选择题 6 命题的判定 / / 0.75 10 选择题 6 指数、对数函数的性质 中 0.68 11 选择题 6 函数性质的综合应用 分 0.30 对数型函数的实际 12 填空题 应用 L 浓 0.65 13 填空题 5 反函数的性质 0.45 分段函数的值域，由方 14 填空题 程实根个数求参数 难 0.28 范围 15 解答题 对数型函数的定义域、 13 奇偶性及单调区间 L L 8 0.68 求函数的解析式，解不 16 解答题 15 等式 中 0.60 ·17· ·数学· 参考答案及解析 指数型函数的性质，解 17 解答题 15 不等式，由函数的最值 务 0.50 求参数 对数型函数，求函数的 18 解答题 17 单调区间，判断函数零 / 的 0.35 点个数 函数的奇偶性与值域， 19 解答题 17 由不等式求参数取值 难 0.25 范围 香考答案及解析 一、选择题 递减，所以-2十a-2a≤-2，解得a≥0，所以实数a 1.C【解析】由x2十(4-a)x十7-2a≥0，得x2十4x十 的取值范围为[0,4幻.故选C. 7≥a(x十2)，因为x∈(-2，十o∞)，所以x十2>0，所 以+4x+2≥a恒成立，即x十2十3 6.B【解析】设所需时间为t秒，则号×101=22，两 x十2 十2≥a恒成 边同时取对数得1gt+lg5-21g2+15=1281g2,所 立，又x+2+子2≥26，当且仅当x=厅-2时等 以1gt=1311g2-16≈131×0.301-16=23.431，所 以t≈10231=10.1×1023≈2.698×1023秒.故 号成立，所以a≤2√5，则实数a的最大值为2.故 选B. 选C. 7.A【解析】由题可知f(x)=(x十1)ln(x十b),x> 2.D【解析】当a>1时，函数f(x)=a-2单调递 -b,令x十1=0，得x=-1;令ln(x十b)=0,得x= 增，其图象经过第一象限，不符合题意；当0<a<1 1-b,若-1≤-b,即b≤1，当x∈(-b,1-b)时，x> 时，函数f(x)=a-2单调递减，与y轴交于点(0， -1,n(x十b)<0,此时f(x)<0,不符合题意；若 一1)，其图象不经过第一象限，符合题意，故0<a< -b<-1<1-b,即1<b<2,当x∈(-1,1-b)时， 1,则>1，所以函数g(2)=1g:(x+2)单调递 x>-1,ln(x十b)<0,此时f(x)<0,不符合题意；若 -1=1-b,即b=2,当x∈(-b,1-b)时，x<-1, 增，又g(x)的图象恒过点(-1,0)，所以g(x)的图 ln(x+b)<0,此时f(x)>0;当x∈[1-b,十∞)时， 象不经过第四象限.故选D x+1≥0，ln(x十b)≥0，此时f(x)≥0；若-1>1-b, 3.D【解析】对于(x)+f(己)=1+x,令x=2, 即b>2,当x∈(1-b,-1)时，x<-1,ln(x十b)> 0,此时∫(x)<0,不符合题意.综上所述，b=2.故 得f(2)+f(-1)=3:令x=,得f(合)十 选A. f(2)=是，两式相加得f(-1)+f(号)+2f(2) 8.D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(一x)= 一f(x),因为f(-x)=f(x十2)，所以-f(x)= 9 ,令x=-1,得f(-1)+f(号)=0，所以 f(x十2)，所以-f(x十2)=f(x十4)=f(x),所 以f(x)的周期为4，因为f(x)在区间（一1,0]上单 2f(2)=号则f(2)=号故选D. 调递增，且f(x)为奇函数，所以f(x)在区间 (-1,1)上单调递增.因为1=1og:4>1og3 4.B【解析】因为f(x)=(a-2)xm为幂函数，所以 a-2=1,则a=3,所以f(x)=xm,又点(a,m3)在 log:T>log:6M=1og4片=是，所以子<a<1, f(x)的图象上，所以f(a)=f(3)=3m=m3,又 m∈N,则m=3,所以a十m=6.故选B. 因为是=log.R>1og.5=1og2>1og.1=0,所 5.C【解析】由题可知当x≤1时，f(x)=一e1-x, 因为函数y=一e一1和y=一x均单调递减，所以 以0<b<是，所以0<6<是<a<1,所以fb)< f(x)在(-∞，1]上单调递减；当x>1时，f(x)= -2x2十ax-2a,要使f(x)在(1，十∞)上单调递 f(子)<f(a).由题可得c=1oge512E- 减，则需满足号<1，所以a≤4，又f(x)在R上单调 ·18· 高三一轮复习 A ·数学· 19 则ln(E+1)≥2，所以wF+1≥e2,则t≥(e2-1)2≈ og2=〉 2 40.96≈41，所以运动时间至少约为41分钟. 4 1 =9,又f(x)的周期为4，所 4 2 13.3 【解析】根据反函数的性质以及f(1)=3,可得 以f(e)=f()=f(4+)=f(是)，所以f⑥ g(3)=1,即-1log3=1,所以a=号，g(x) <f(c)<f(a).故选D. 二、选择题 -lg时x=lg,所以ga+1》=(g(告)）=号 9.BC【解析】A选项为全称量词命题，不满足题意；B 14.(0,十∞)[-1,1)【解析】当a=0时，f(x) 选项为存在量词命题，且当x=3时，3一3×3十√2= √2>0，为真命题，满足题意；C选项为存在量词命题， (号)广≤0，当≤0时，f(x)=(分)单调递 内角分别为30°，60°，90°的直角三角形的三个内角成 (2x,x>0 等差数列，为真命题，满足题意：D选项，只有质数2 的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方为偶数， 减，则f(x)≥f(0)=(分)广=1：当x>0时， 为假命题，不满足题意.故选BC. f(x)=2x单调递增，则f(x)>f(0)=0,所以 10.BCD【解析】对于A,因为y=logx为增函数，所 f(x)的值域为(0，十∞).因为f(x) 以m<n,故A不符合；对于B,因为y=0.2为减函 数，所以m>n,故B符合；对于C,因为y=logx 号)，所以--；-在时 (0<a<1)为减函数，所以m>n,故C符合；对于 2x,x>a D,因为y=a(a>1)为增函数，所以m>n,故D符 一坐标系中作出函数y=2x,y=一2x,y=(分）广， 合.故选BCD. y=2的图象，如图1所示， 11.ABD【解析】对于f(x十2)=-f(-x),令x -1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0, f(x)为偶函数，∴∫(-1)=f(1)=0,故A正 确；f(x)为偶函数，.f(一x)=f(x), ∴.f(x十2)=-f(-x)=-f(x),·f(x+4) -f(x十2)=f(x),.f(x十6)=f(x十2) -f(-x),即f(x十6)=-f(-x),.f(x)的图 象关于点(3,0)对称，故B正确：：f(x十4)= f(x),.f(x)的周期为4，.f(2024)=f(506X 4)=f(0),f(2025)=f(506×4+1)=f(1)= 0,对于f(x十2)=-f(-x),令x=0,得f(2)= -f(0),又当x∈(1,2]时，f(x)=2-2, .f(2)=22-2=2,∴.f(0)=-f(2)=-2, 图1 .f(2024)=f(0)=-2,.f(2024)< f(2025),故C错误：：f(x十2)=-f(-x), 由图可知函数y=2x与y=2的图象交于点 ∴.f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈ (1,2),(2,4),函数y=-2x与y=(号）广的图象 (1,2]时，f(x)=2-2单调递增，且f(1)=0, f(x)在[0,2]上单调递增，.当x=0时， 交于点(-1,2)，(-2,4)，函数y=(分）广与y f(0)<f(号)当x≠0时，“f(x)为偶函数， 2的图象交于点(0,1)，函数y=2x与y=一2x的 图象交于点(0,0).因为关于x的方程f(一x)= (4)=f()=r() f(x)恰有5个不同的实根，当a≥1时，函数y= f(一x),y=f(x)在同一坐标系中的图象如图2 所示， +可 ≤2，当且仅当 1可时等号成立f()≤()，综 上f(车)f(分)故D正确，故选ABD, 三、填空题 12.41【解析】由题可得y=20ln(E+1)+70≥110， ·19· ·数学· 参考答案及解析 -21-10 2 图2 由图可知，此时方程f(一x)=f(x)只有1个或3个 图5 不同的实根，不满足题意；当0≤a<1时，函数y= 由图可知，此时方程f(一x)=f(x)只有1个或3个 f(一x),y=∫(x)在同一坐标系中的图象如图3 不同的实根，不满足题意.综上，实数a的取值范围 所示， 为[-1,1). 四、解答题 15.解：(1)由题得F(x)=f(x)十g(x)=log(x+1) +log.(1-x), 则中屏-1长1 所以F(x)的定义域为(-1,1) (4分) (2)由(1)知F(x)=log.(x十1)十log.(1-x)= log(1-x2),x∈(-1,1)， 因为对于Hx∈(-1,1)，有-x∈(-1,1)， -2-1012 且F(-x)=log.[1-(-x)2]=log.(1-x2)= F(x), 图3 所以F(x)为定义在（一1,1）上的偶函数.(8分) 由图象可知，此时方程f(一x)=f(x)恰有5个不同 (3)由(2)知F(x)=1og.(1-x2),x∈(-1,1)， 的实根，分别为x=一2，x=一1，x=0,x=1和x= 令t=1-x2>0,9(t)=logt, 2,满足题意：当-1≤a<0时，函数y=f(-x),y= 因为a>1,所以9(t)单调递增， f(x)在同一坐标系中的图象如图4所示， 所以要求F(x)的单调递减区间即求t=1-x2在 (-1,1)上的单调递减区间， (11分) 易知t=1-x2在「0,1)上单调递减， 所以F(x)的单调递减区间为「0,1). (13分) 16.解：(1)f(x)<0的解集为(1,2)， .1,2是方程f(x)=0的根，且k>0, -2142”0每得一1 (4分) ∴.f(x)=x2-3x十2. (5分) -1 (2)当k=0时，f(x)=-x十2， 由f(x)<0,得-x十2<0，.x>2: (7分) 当k≠0时，f(x)=(x-2)(kx-1), 图4 由f(x)<0,得(x-2)(kx-1)<0, 由图象可知，此时方程f(一x)=f(x)恰有5个不同的 即k(x-2)(e-合)<0， (9分) 实根，分别为x=一2，x=一1，x=0,x=1和x=2,满足 题意：当a<一1时，函数y=f(-x),y=f(x)在同一坐 当k<0时，(x-2)(x-)>0, 标系中的图象如图5所示， >2或x<太： (11分) 当k>0时，(x-2)(x-)<0, ·20· 高三一轮复习A ·数学· 当k=子时，无解： (12分) 18.解：选①：(1)f(x)十f(-x)=0, 即ln(1-x)+ln(1+x)+ln(1+x)+ 当>2时，名<r<2: (13分) kln(1-x)=0, 所以(k十1)ln(1+x)+(k+1)ln(1-x)=0, 当0<<合时，2<<云 (14分) 即(k+1)ln(1-x2)=0, 当k十1=0，即k=一1时，上式恒成立， 综上，当k<0时，不等式的解集为（ 故k=-1. (5分) U(2,+∞)； (2)由(1)可知k=-1, 当k=0时，不等式的解集为(2，十∞)； 当0<k<号时，不等式的解集为(2，)： 则r(x)=e(-,-1)U(-1.+ (6分) -2 当k=子时，不等式的解集为心： 所以F(x)=二1二I-x2= (1十x)2 (1+x)<0, 当>2时，不等式的解集为（合，2）： 所以F(x)的单调递减区间为(-∞，一1)， (15分) (-1,十∞)，无单调递增区间. (10分) 17.解：(1)，f(x)为定义在R上的奇函数， (3)g(x)在区间(-1,0)上的零点个数为1. .f(0)=a·2°-2°=a-1=0,则a=1, (11分) .f(x)=2-2r, 理由如下： 则f(一x)=2x一2r=一∫(x),满足题意， 由题得g(x)=ln(1-x)-ln(1+x)+1+2= .a=1. (3分) 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=21-21-22十22=(21 号++2re(-1,0 x 0+） 由(2知F(x)=在(-1.0)上单粥递减： x1<x2.251<2?, 又y=在(-1,0)上单调递减， ∴.f(x1)-f(x)<0,即f(x1)<f(x2), 所以g(x)在区间(-1,0)上单调递减，(13分) ∴.f(x)在R上单调递增. (6分) (2)由(1)可知f(x)=2一2，且f(x)为奇函数， 又g(-)=n2-n方=n3>0,g(-吉)= 则由f(3x2-5x)+f(x-4)>0,得f(3x-5x) >f(4-x), (7分) hg-n-5+2=h号-3<0， 由(1)可知f(x)在R上单调递增， .3x2-5x>4-x, 所以由零点存在性定理可知3x∈（-号，-号)， 即3x2-4x-4=(3x+2)(x-2)>0, 使得g(x0)=0, 解得x>2或x< 、2 故g(x)在区间（一1,0）上的零点个数为1. 3 (17分) “不等式的解集为（一6∞， 号)U(2,+∞). 选②：(1)f(x)-f(-x)=0, 即ln(1-x)+ln(1+x)-ln(1十x)- (9分) kln(1-x)=0, (3)由题可得g(x)=4r十4--2mf(x)=22十 所以(1-k)n(1-x)+(k-1)ln(1+x)=0, 2-2-2m(2-2)=（2-21)2-2m(2-2) 十2，x≥-1， (10分) 1一x=0, 所以(1-k)n1十元 令1=2-2≥-是0)=-2m+2=(4-m 当1一k=0,即k=1时，上式恒成立， 故k=1. (5分) +2-m2, (2)由(1)可知k=1, 当m≥-是时，h0)m=h(m)=2-m=-2, 则F(x)=(1-x)(1十x)=1-x,定义域为R, 其图象开口向下，对称轴为y轴， 则m=2(m=一2舍去)； (12分) 所以F(x)的单调递增区间为（一∞，0），单调递减 当m<-多时，(0=A(-)=+3m=-2, 区间为[0，十o). (10分) (3)g(x)在区间(-1,0)上的零点个数为1. 解得m=一 (14分) (11分) 综上实数m的值为2或一器 理由如下： (15分) 由题得g(x)=ln(1-x)+ln(1十x)+x十2= ·21· ln[(1-x)(1+x)]+x+2,x∈(-1,0)， g(x)+2=x-2√E+2,x∈[0,4]， 由(2)知F(x)=(1一x)(1+x)在(-1,0)上单 令t=√F∈[0,2]，h(t)=t-2t+2=(t-1)2+1, 调递增， 所以h(t)mm=h(1)=1,即[g(x)十2]mm=1, 又y=x在(-1,0)上单调递增， 所以f(x)mim>1. (9分) 所以g(x)在区间（一1,0）上单调递增， (13分) 因为f(x)为偶函数， 又(-合)=h子+号>0，且当x趋向于-1时， 所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4] 上的最小值 (10分) g(x)趋向于-∞， 所以由零点存在性定理可知3x。∈（-1，一号)，使 令()=4+1，则f)=1og.0(. 得g(x)=0, 任取0≤x1<x2≤4， 故g(x)在区间(-1,0)上的零点个数为1. 则u(x1)-u(）=4+1-4+1=（2 21 2r2 (17分) 19.解：(1)因为f(x)=log。 4+1(a>0且a≠1)， 21-）小 2 因为0≤x1<x2≤4， x∈R 所以2<22，x1十x2>0, 所以/-=log中=lo 1十4=f(x), 则21-22<0,2+2>1， 所以f(x)为偶函数， (3分) 所以1>0， (2)当a=2时，f()=log:2 4+1 ,x∈R, 所以(x1)-u(x2)<0,即v(x1)<u(x2), 因为2>0， 所以(x)在[0,4]上单调递增. (13分) 所以=2+≥2，当且仅当2r=1,即x=0 当0<a<1时，f(x)=logu(x)在[0,4]上单调 递减， 时取等号， 则f(x)mim=f(4)=log。 4+1=log 21 257<0,不符 16 所以)=1oe≥oe2= 合题意： 所以f(x)的值域为[1，十∞). (7分)》 当a>1时，f(x)=logv(x)在[0,4]上单调递增， (3)对Hx1∈[-4,4]，3x2∈[0,4]，使得f(x1) 所以f(x)mm=f(0)=log.2>1,则1<a<2. g(x2)>2, (16分) 等价于f(x)min>[g(x)十2]min (8分) 综上，实数a的取值范围为(1,2). (17分)