(3)函数的概念及其性质-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力 V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 函数值的求法 易 0.86 2 选择题 5 新定义下函数的变化 / 的 0.78 判断 3 选择题 偶函数的判定 / 中 0.68 4 选择题 5 情景题的图象的描述 中 0.65 选择题 由分段函数的最值求 参数的取值范围 / 分 0.58 6 利用函数的奇偶性求 选择题 0.55 参数的取值范围 V L 父 7 选择题 5 几何图形中的翻折问 题，几何与代数综合 L / 0.50 函数性质与不等关系 8 选择题 5 / / / 难 0.28 的综合 9 选择题 相同函数的判定及求 6 0.85 复合函数的值域 易 10 选择题 6 真假命题的判定 多 0.62 11 选择题 6 函数性质的综合应用 少 0.35 由恒成立与有解求参 12 填空题 L / 易 0.72 数的取值范围 函数周期与函数值的 13 填空题 5 求法 中 0.45 14 填空题 利用基本不等式求 0.35 最值 中 ·11· ·数学· 参考答案及解析 集合的概念，包含关系 15 解答题 13 易 0.85 与运算综合 二次函数解析式与 16 解答题 15 最值 中 0.62 求函数的解析式，单调 17 解答题 15 性的证明及不等式 / / 中0.58 求解 函数单调性、奇偶性的 18 解答题 17 判定及求解不等式 V 中 0.46 函数图象的对称中心， 19 解答题 17 单调性的证明，及存在 L √ 染 0.28 性问题求范围的综合 昏考答案及解析 一、选择题 (18,20]上单调递减，所以f(x)的一个可能图象如 1.D【解析】根据y=g(x)的图象可知，g(1)=3,根 图所示. 据表格可知，f(3)=0.故选D. 2.B【解析】由题可知f(x)≠0，令y=,则f)=1 f(x) ∈A,不纺令f()=1.则品∈A.即∈A, f(x) 0812131820x 所以C）=[f(x)]P∈A.故选B. 所以选项D更符合.故选D. 1 (x十a)2,x0 f(x) 5.A【解析】由f(x)= 3B【解标】对于A设f)-千则/x)的定 x++a,>0可知当x 0时，f(0)=a,因为f(0)是f(x)的最小值，所以 义域为R,因为f(-1)=1,f(1)=0,所以 f(x)在区间（一∞，0]上单调递减，即有a≤0，则 f(-1)≠f(1),所以∫(x)不是偶函数，故A错误： 对于B,设g(x)千则g)的定义设为R,又 a≤++a>0恒成立.由xt>2V, 1-(-x)21-x2 =2,当且仅当x=1时取等号，所以a2≤2十a,解得 8(-)=)= =g(x),所以 一1≤a≤2，所以实数a的取值范围为[一1,0].故 g(x)为偶函数，故B正确：对于C,设h(x)=二 选A. 十1’ 6.D【解析】当x≥0时，f(x)的图象开口向上，对称 则h(x)的定义域为{xx≠一1}，不关于原点对称， 轴方程为x=一1，故f(x)在[0，十∞)上单调递增. 所以h(x)不是偶函数，故C错误；对于D,设 又f(x)的图象在x=0处连续，且f(x)是定义域为 9(x)=x十，则9(x)的定义域为R,因为 R的奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(一x) -f(x),所以由f(3+m)+f(3m-7)>0,可得 1)=方9(-1)=-合91)≠g(-1D,所以 f(3+m)>f(7-3n),即3+m>7-3m,解得m> 1.故选D. 9(x)不是偶函数，故D错误，故选B. 7.A【解析】如图所示， 4.D【解析】设这一天中的温度y与时间x(小时)之 间的函数关系为y=f(x),由题意得f(x)在区间 [8,12],[13,18]上单调递增，在区间(12,13)， ·12· 高三一轮复习A ·数学· 函数性质知f(0)=b=0,a∈R,事实上当a=b=0 时，f(x)=0,即是奇函数也是偶函数，故A错误； 对于B,当x<0时，一x>0,则f(-x)=(一x)一 3.x=f(x),即f(x)=x2-3x,故B正确；对于C,因 为6-a=m2-m+1=(m-)厂+>0，所以b> a,一b<一a,又因为f(x)在R上是增函数，所以 设AB=x∈(3,6)，PC=a,则AD=6-x,DP=x f(a)<f(b),f(-b)<f(-a),所以f(-b)+f(a) a,由题意可知∠CAP=∠ACP,所以AP=PC=a,所 以△ADP的周长为AD十DP+AP=6-x+x一a十 <f(一a)十f(b),故C正确：对于D,因为y一3x—司 a=6,为定值.因为∠ADP=90°，所以AD+DP Ap2,即(6-x)2+(x-a)2=a2,整理可得a=x十 分十3·所以函数y一一的单调递减区间 18-6,即DP=6-18,所以△ADP的面积为 x 是(-∞，写)，（兮，+∞）故D错误.故选BC Sam=2AD·DP=2(6-x)·(6-1g）=27 三、填空题 12.[1,十o∞)[3，十o∞)【解析】Hx∈(0，十∞)， 3(+)≤27-3×2·g-27-18区，当且仅 f(x)≥0台Yxe(0,+∞)，x+￥-2≥0=Yx∈ 当x=18,即x=3V2时等号成立，所以△ADP的面 (0,十o∞)，a≥[x(2-x)]max,因为y=x(2-x)的 对称轴方程为x=1,所以当x=1时，ymx=1,故a≥ 积有最大值，最大值为27-18√2.综上所述，△ADP 周长为定值，面积有最大值.故选A. 1;3x∈[1,2]，f(.x)≥2台3x∈[1,2]，x+a x 8.B【解析】将y=f(x+1)的图象向右平移1个单 2≥2台3x∈[1,2]，a≥[x(4-x)]mm,因为y 位长度可得函数y=f(x)的图象，又y= x(4一x)的对称轴方程为x=2,所以当x∈ f(x十1)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于 [1,2]时，y=x(4-x)为增函数，则当x=1时， 直线x=1对称，即f(2十x)=f(-x),因为x<0, ymn=3,即a≥3. x2>0,且xm1+x2<-2,所以xi1<-2,2<2十x2< 13.0【解析】因为f(2+x)十f(2-x)=0,所以 一x1,因为f(x)在区间[1，十∞)上是减函数，所以 f(2十x)=一f(2-x),因为f(x)是奇函数，所以 f(-)<f(2十x2),即f(-x)<f(-x2).故选 f(2+x)=f(x-2),所以f(4十x)=f(x),所以 B. f(x)的周期为4，所以f(2024)=f(506×4)= 二、选择题 f(0)=0,f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=0, 9.ACD【解析】对于A,f(x)与g(x)的定义域与值 所以f(2024)+f(2025)=0. 域均为R,故A正确；对于B,f(x)的定义域为R,而 14.210 【解析】因为正实数x,y满足x2十3.xy一2 g(x)的定义域为[0，+∞)，故B错误；对于C,因为 3 f(x)的定义域为A,f[g(x)]存在，所以g(x)∈A, 0,则y是-，则2十y=2x+2-=5x 故C正确；对于D,由题可知f(x)的定义域为A= 3.x33 {x|x≠一1〉，g(x)的值域为B={xx≥1}，所以B 二A,故D正确.故选ACD. 多>2·品2当且仅当号-品 3 10.AC【解析】对于A,若a>1,则1<1：若上<1， W/10 a 5y=410时等号成立，所以2x十y的最小值 15 则a<0或a>1,故“a>1“是。<1“的充分不必要 为2 条件，故A正确：对于B,命题“Vx<1,x2<1”的否 四、解答题 定是“x<1,x2≥1”，故B错误：对于C,若a>0,b 15.解：(1)因为Q二P,且Q≠0， >0.且a+46=1,则（分+）a+46)=1+0+ 3a≥-2 a 所以a+1<3,解得-号<分 1 (5分) 合+5+2V·=9，当且仅当-，即a 3aa+1 a b (6分) 了，=日时取等号，放十云的最小值为9，故 所以实数a的取值范围为[-号，名)】 (2)由题意可知，当Q=⑦时，3a≥a十1 C正确：对于D,若a>b>0,令c=0,则a2=bc2= 0,故D错误.故选AC 解得a>号，满足题意： (8分) 11.BC【解析】对于A,因为f(x)的定义域为R,由奇 当Q≠0时，因为PnQ=必， ·13· ·数学· 参考答案及解析 所以{+12或30≥3 3a<a+1 3a<a+1:解得a≤-3. f(2t)>f(1-t), -1≤2t1 (12分) 所以-1≤1一1，解得0<<分 (14分) 综上所述，实数a的取值范围为（一∞，一3]U 2t1-t [3+ao) (13分) 所以不等式f(2t)十f(t-1)>0的解集为 16.解：(1)因为f(2-x)=f(x), [0,) (15分) 所以f(x)的图象关于直线x=1对称， 18.解：(1)因为对任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+ 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为4， f(x2), 所以f(x)的图象与x轴的交点分别为（一1,0）， 令x1=x,x2=-1,则有f(-x)=f(x)十f(-1), (3,0), (3分) 又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1), 所以可设f(x)=m(x十1)(x-3)(m≠0). 再令x1=x2=1,得f(1)=0, 又f(x)的图象经过点(2，一3)，解得m=1, 所以f(一1)=0， 所以f(x)=x2-2x-3. (6分) 所以f(一x)=f(x), (2)由题可得g(x)=x2-(a十2)x-3, 所以f(x)是偶函数. (4分) 其对称轴方程为x=4十2， (2)任取0<1<x2, (8分) 2 则f)-f)=fx)-f(·是)=f)- 当42<0，即a<-2时，g(x)m=g(0)=-3: 2 (10分) +f(会)]=-f(): 当0≤2≤2，即-2≤a≤2时，g(x)m= 因为0<1<x2,所以>1， 2 s()=-a+2》 所以f()>0, 4 一3 (12分) 所以f(x1)一f(x2)0, 当42>2，即a>2时，g(x)=g(2)=-2a-3 所以f(x1)<f(x2), (14分) 所以f(x)在(0，十o∞)上是增函数. (10分) 综上所述，当a<一2时，g(x)mim=一3； (3)因为f(4)=1,所以3=1+1+1=f(4)+∫(4)+ 当-2≤a≤2时，g(x)m=-（a+2)2-3: f(4)=f(4×4×4)=f(64), (12分) 4 所以不等式f(x-1)<3可化为f(x-1)<f(64), 当a>2时，g(x)mm=-2a-3. (15分) 由(1)可知f(x)是偶函数， 17.解：(1)因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数， 则f(.x-1)<f(64)可化为f(|x-1)<f(64), 所以)=平 a一b=一f(x),解得 (14分) 1+x 又由(2)可知f(.x)在(0，十∞)上是增函数， b=0. (2分) ax 所以f(x)=1十x 所以银得 所以不等式f(x-1)<3的解集为(-63,1)U(1, 又f(1)=-1,解得a=-2, 65). (17分) 2x 所以f(x)=十xx[-11门： (5分) 19.解：(1)设f(x)图象的对称中心为点(a,b), 则f(a+x)+f(a-x)-2b=0, (②)fx)=年在[-1,1门止单洞遥减.(6分) 6 6 即(x+a)-+a++(-x+a)--ra+ 证明如下： 2b=0. 设任意1，x2∈[-1,1]且x1<x2, 整理得(a-b).x2=(a-b)(a十1)-6(a+1), 则fx)-f()=+千 2x1 +2.2 可得/a-b-0 1(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0' =-2(-)(1-1) 解得a=b=-1, (3分) (1+x1)(1+x) 所以f(x)图象的对称中心为点（一1，-1）.(4分) 因为-1≤x1<x2≤1， (2)f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. (5分) 所以x1-x2<0,1一x12>0, 证明如下： 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 任取x1,x2∈(0，十∞)，且x<2, 所以f(x)在[一1,1]上单调递减. (10分) (3)由题意，不等式f(21)+f(t-1)>0可化为 则/)-f)=4-( ·14· 高三一轮复习A ·数学· 6 =(-2)1+(+1)(+1DJ1 [0,%]上单调递减，在区间（受，1]上单调递增， 因为x1x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, 因为g(x)的图象过对称中心(1,1)， 6 所以西<0.且1+a+1)(+1)>0, 所以g(x)在区间(1,2-罗]上单调递增，在区间 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递增.(8分) (2-受，2]上单调递减， (3)由对任意∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得 故此时A= g(x1)=f(x2), [ming(2),g(受)}maxg(0),g(2-罗)}]， 可得g(x)在[0,2]上的值域为f(x)在[1,5]上的 值域的子集， 欲使A二[-2,4]， 由(2)知f(x)在区间[1,5]上单调递增， g(2)=2-g(0)=2-m≥-2 故f(x)在[1,5]上的值域为[-2,4]， 所以原问题转化为g(x)在区间[0,2]上的值域A 只需（受）=牙+m≥2 4 ≤[-2,4]， (9分) g(0)=m≤4 且 ①当%≤0，即m≤0时，g(x)在区间[0,1]上单调 (2-罗)=2g(受)- --m+2≤4 递增， 解得2-2v3≤m≤4， 又由g(1)=1,即g(x)的图象恒过对称中 又0<m2,所以0<m<2: (14分) 心(1,1)， ③当>≥1，即m≥2时，g(x)在区间[01]上单调 可知g(x)在区间(1,2]上亦单调递增， 递减，在区间(1,2]上也单调递减， 故g(.x)在区间[0,2]上单调递增， 又因为g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-m, 故g(x)在区间[0,2]上单调递减， 所以A=[m,2-m], 所以A=[2-m,m], 因为[m,2-m]二[-2,4]， 因为[2-m,m]三[-2,4]， 所以部得-2m0: 所以/2-m≥-2 解得2≤m≤4. (16分) (11分) (7m4 综上可得，实数m的取值范围是[-2,4].(17分) ②当0<%<1，即0<m<2时，g()在区间 ·15·数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷三 数学第2页（共4页） 囚 13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应 用.黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)= 方一号(09都是正整数，号是最简分数)，若函 力 0,x=0,1或在[0,1]上的无理数 数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x,都有f(2十x)十f(2一x)=0,当x∈[0,1]时， f(x)=R(x),则f(2024)+f(2025)= 14.已知正实数x,y满足x2十3xy-2=0,则2x十y的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设集合P={x一2<x<3},Q={x3a<x≤a+1}. (1)若Q≠0且Q二P,求实数a的取值范围； (2)若P∩Q=必，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知二次函数f(x)满足∫(2一x)=f(x),∫(x)的图象经过点(2，一3)，且在x轴上截得的线 段长为4，设函数g(x)=f(x)一ax. (1)求f(x)的解析式； (2)求g(x)在区间[0,2]上的最小值 17.(本小题满分15分) 已知函数f)-是定义在[-1,1上的奇函数，且f(1)=-1. (1)求f(x)在[一1,1]上的解析式： (2)判断并证明f(x)在[一1,1]上的单调性； (3)解不等式f(2t)+f(t-1)>0. 数学第3页（共4页）》 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 函数f(x)的定义域为D={xx≠0}，且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)十 f(x2),当x>1时，f(x)>0. (1)证明：f(x)是偶函数； (2)证明：f(x)在(0，十∞)上是增函数； (3)若f(4)=1,解不等式f(x-1)<3. 19.(本小题满分17分) 已知函数y=o(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=o(a十x)一b是奇函 数，给定函数x)= 6 (1)求f(x)图象的对称中心： (2)用定义判断f(x)在区间(0，十∞)上的单调性； (3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2一mx十m.若对任意 x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x)=f(x2),求实数m的取值范围. 三一轮复习单元检测卷三 数学第4页（共4页） 回