(3)函数的概念及其性质-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷三 数学第2页（共4页） AN 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=r十4-2，a>0,若Vx∈(0，十o∞)，f(x)≥0，则实数a的取值范围是 ;若了x∈[1,2]，f(x)≥2，则实数a的取值范围是 ·(本题第一空 2分，第二空3分) 13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等 数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)= 以=号{，9都是正整数，子是最简分数} 若函数f(x)是定义在R上的奇函数， 0,x=0,1或在[0,1]上的无理数 且对任意的x,都有f(2十x)十f(2一x)=0,当x∈[0,1]时，f(x)=R(x),则 f(2024)+f(2025)= 14.已知正实数x,y满足x2十3xy一2=0，则2x十y的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设集合P={x-2<x<3},Q={x3a<x≤a十1}. (1)若Q≠⑦且Q二P,求实数a的取值范围； (2)若P∩Q=☑，求实数a的取值范围， 16.(本小题满分15分) 已知二次函数f(x)满足f(2一x)=f(x),f(x)的图象经过点(2，一3)，且在x轴上 截得的线段长为4，设函数g(x)=f(x)一ax. (1)求f(x)的解析式； (2)求g(x)在区间[0,2]上的最小值 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知函数fx)-=年是定义在[-1,1]上的奇函数，且f1)=-1. (1)求f(x)在[一1,1]上的解析式： (2)判断并证明f(x)在[一1,1]上的单调性； (3)解不等式f(2t)+f(t-1)>0. 18.(本小题满分17分) 函数f(x)的定义域为D={xx≠0}，且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)= f(x1)十f(x2),当x>1时，f(x)>0. (1)证明：f(x)是偶函数； (2)证明：f(x)在(0，十∞)上是增函数； (3)若f(4)=1,解不等式f(x-1)<3 19.(本小题满分17分) 已知函数y=p(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y= p(a十x)一b是奇函数.给定函数f(x)=x一x十 6 (1)求f(x)图象的对称中心； (2)用定义判断f(x)在区间(0，十∞)上的单调性； (3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2一mx十m. 若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值 范围. 三一轮复习单元检测卷三 数学第4页（共4页）》 AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 函数值的求法 易 0.86 2 选择题 5 新定义下函数的变化 易 0.78 判断 3 选择题 5 偶函数的判定 中 0.68 4 选择题 5 情景题的图象的描述 中 0.65 由分段函数的最值求 选择题 分 0.58 参数的取值范围 利用函数的奇偶性求 选择题 5 参数的取值范围 L 外 0.55 7 选择题 5 几何图形中的翻折问 / 中 0.50 题，几何与代数综合 函数性质与不等关系 8 选择题 5 0.28 的综合 难 9 选择题 6 相同函数的判定及求 / 易 0.85 复合函数的值域 10 选择题 6 真假命题的判定 女 0.62 11 选择题 6 函数性质的综合应用 0.35 由恒成立与有解求参 12 填空题 5 数的取值范围 / 易0.72 13 填空题 5 函数周期与函数值的 / / / 中 0.45 求法 14 填空题 5 利用基本不等式求 最值 / 0.35 ·11· ·数学· 参考答案及解析 集合的概念，包含关系 15 解答题 13 0.85 与运算综合 易 16 解答题 15 二次函数解析式与 最值 L 0.62 求函数的解析式，单调 17 解答题 15 性的证明及不等式 / 中0.58 求解 18 解答题 17 函数单调性、奇偶性的 中 0.46 判定及求解不等式 函数图象的对称中心， 19 解答题 17 单调性的证明，及存在 / / / / / 难 0.28 性问题求范围的综合 考答案及解析 一、选择题 (18,20]上单调递减，所以f(x)的一个可能图象如 1.D【解析】根据y=g(x)的图象可知，g(1)=3,根 图所示， 据表格可知，f(3)=0.故选D. 2.B【舞析】由题可知f(:)≠0，令y=,则铝= ∈A,不妨令f()=1,则f)eA,即1∈A, 'f(x) 可812131820x f(x) 所以=[f(x)]∈A.故选B. 所以选项D更符合，故选D. 1 (x十a)2,x≤0 f(x) 5.A【解析】由f(x)= 3.B【解析】对于A,设f()=千，则f(x)的定 x十1+a,x>0可知当x= x 0时，f(0)=a,因为f(0)是f(x)的最小值，所以 义域为R,因为f(-1)=1,f(1)=0,所以 f(x)在区间（一o,0]上单调递减，即有a≤0，则 f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函数，故A错误： 对于B设g)千则g()的定义域为，又 :<+十a,>0恒成立.由x+上≥2√ 异 =2,当且仅当x=1时取等号，所以a≤2十a,解得 g(-x)= =g(x),所以 -1≤a≤2，所以实数a的取值范围为[一1,0].故 8)为偶函数故B正确：对于C,设A()-吊 选A. 6.D【解析】当x≥0时，f(x)的图象开口向上，对称 则h(x)的定义域为{xx≠一1}，不关于原点对称， 轴方程为x=-1,故f(x)在[0，十∞)上单调递增. 所以h(x)不是偶函数，故C错误：对于D,设 又f(x)的图象在x=0处连续，且f(x)是定义域为 9(x)=Tzf+,则9(x)的定义域为R,因为 R的奇函数，所以∫(x)在R上单调递增，f(一x)= -f(x),所以由f(3+m)十f(3m-7)>0,可得 91)=安g(-1)=-91)≠g(-1),所以 f(3十m)>f(7-3m),即3+m>7-3,解得m> 1.故选D. 9(x)不是偶函数，故D错误.故选B 7.A【解析】如图所示， 4.D【解析】设这一天中的温度y与时间x(小时)之 间的函数关系为y=f(x),由题意得f(x)在区间 [8,12],[13,18]上单调递增，在区间(12,13)， ·12· 高三一轮复习AN ·数学· 函数性质知f(0)=b=0,a∈R,事实上当a=b=0 时，f(x)=0,即是奇函数也是偶函数，故A错误； 对于B,当x<0时，一x>0,则f(-x)=(一x)2- 3x=f(x),即f(x)=x2-3x,故B正确；对于C,因 为6-a=m2-m+1=(m-合）广+子>0，所以6> a,一b<一a,又因为f(x)在R上是增函数，所以 设AB=x∈(3,6)，PC=a,则AD=6-x,DP=x f(a)<f(b),f(-b)<f(-a),所以f(-b)+f(a) a,由题意可知∠CAP=∠ACP,所以AP=PC=a,所 以△ADP的周长为AD+DP+AP=6-x十x-a十 <f(一a)十fb),故C正确：对于D,因为)一3x a=6,为定值.因为∠ADP=90°，所以AD十DP2 AP,即(6-x)2十(x-a)2=a2,整理可得a=x十 =子十g二3，所以函数y=3产的单调递减区间 18-6,即DP=6-18,所以△ADP的面积为 x 是(-o,号)，（号，十∞），故D错误故选C Sam=ADDp= 2(6-x)·(6-8）=27 三、填空题 12.[1,十o∞)[3，十o∞)【解析】Hx∈(0，十∞)， 3(+)≤21-3×2√·夏=27-18E,当且仅 f(x)≥09Vx∈(0，+∞)z+2-2≥0台Yxe 当x=18,即x=3√2时等号成立，所以△ADP的面 (0,十o∞)，a≥[x(2-x)]mx,因为y=x(2-x)的 对称轴方程为x=1,所以当x=1时，yms=1,故a≥ 积有最大值，最大值为27-18√2.综上所述，△ADP 周长为定值，面积有最大值.故选A. 1:3xe[1,2]fx)≥2台3xe[1,2]x+2 8.B【解析】将y=f(x十1)的图象向右平移1个单 2≥2台3x∈[1,2]，a≥[x(4-x)]mm,因为y= 位长度可得函数y=f(x)的图象，又y= x(4一x)的对称轴方程为x=2,所以当x∈ f(x+1)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于 [1,2]时，y=x(4一x)为增函数，则当x=1时， 直线x=1对称，即f(2十x)=f(-x),因为x1<0, ymim=3,即a≥3. x2>0,且x1十x2<-2,所以x1<-2,2<2十x2< 13.0【解析】因为f(2+x)+f(2-x)=0,所以 一x1,因为f(x)在区间[1，+∞)上是减函数，所以 f(2十x)=一∫(2-x),因为f(x)是奇函数，所以 f(-x)<f(2+x),即f(-x1)<f(-x2).故选 f(2+x)=f(x-2),所以f(4十x)=f(x),所以 B. f(x)的周期为4，所以f(2024)=f(506×4) 二、选择题 f(0)=0,f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=0, 9.ACD【解析】对于A,f(x)与g(x)的定义域与值 所以f(2024)+f(2025)=0. 域均为R,故A正确：对于B,f(x)的定义域为R,而 14.20 g(x)的定义域为[0，十∞)，故B错误；对于C,因为 3 【解析】因为正实数x,y满足x2+3xy-2 f(x)的定义域为A,f[g(x)]存在，所以g(x)∈A, =0则y32子，则2x十y=2x十2-二中 故C正确；对于D,由题可知f(x)的定义域为A 3x3=3 {x|x≠-1}，g(x)的值域为B={x|x≥1}，所以B 二A,故D正确.故选ACD. 2√·-2当且仅当-是 3 10.AC【解析】对于A,若a>1,则日<1：若日<1， 10 5,y=40时等号成立，所以2x十y的最小值 15 则a<0或a>1,故“a>1"是"1<1”的充分不必要 a 为2四 条件，故A正确；对于B,命题“Hx<1,x2<1”的否 四、解答题 定是“x<1,x≥1”，故B错误；对于C,若a>0,b 15.解：(1)因为Q二P,且Q≠必， >0,且a+仙=1，则（合+方）(a+46)=1+兰+ 3a≥-2 a 所以a+1<8解得-音<a< (5分) 合+位5+2√鲁·名=9，当且仅当碧=号即a 3aa+1 =号6=言时取等号，放+号的最小值为9，故 所以实数a的取值范围为[-号，)】 (6分) (2)由题意可知，当Q=时，3a≥a十1， C正确：对于D,若a>b>0,令c=0,则ac2=bc2= 0,故D错误.故选AC. 解得a≥，满足题意： (8分) 11.BC【解析】对于A,因为f(x)的定义域为R,由奇 当Q≠时，因为P∩Q=, ·13· ·数学· 参考答案及解析 所以侣门支1将得- f(2t)>f(1-t), -12t1 (12分) 所以 -1区1-1，解得0<<子， (14分) 综上所述，实数a的取值范围为(-∞，一3]U 2t1-t [2t) (13分) 所以不等式f(2t)十f(t-1)>0的解集为 16.解：(1)因为f(2-x)=f(x), [0,号) (15分) 所以f(x)的图象关于直线x=1对称， 18.解：(1)因为对任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+ 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为4， f(x2), 所以∫(x)的图象与x轴的交点分别为（一1,0）， 令x1=x,x2=-1,则有f(-x)=f(x)十f(-1), (3,0), (3分) 又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1), 所以可设f(x)=(x十1)(x-3)(m≠0). 再令x1=x2=1,得f(1)=0, 又f(x)的图象经过点(2，-3)，解得m=1, 所以f(-1)=0, 所以f(x)=x2-2x-3. (6分) 所以f(一x)=f(x), (2)由题可得g(x)=x2-(a十2)x-3, 所以f(x)是偶函数. (4分) 其对称轴方程为x=a十2， (2)任取0<x<x2, 2 (8分) 则f)-f)=fx)f(·是）-=fx)- 当02<0，即a<-2时，g(x)m=g(0)=-3; 2 (10分) )+(货)门=-f(安)： 当0≤a十2≤2，即-2≤a≤2时，g(x)m= 因为0<<x2,所以2>1， 2 g(生)=-a+2) (12分) 4 一3： 所以（要）>0， 当生2>2，即a>2时g（)=82)=-24-8. 所以f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x)<f(x2), (14分) 所以f(x)在(0，十∞)上是增函数. (10分) 综上所述，当a<-2时，g(x)mim=一3； (3)因为f(4)=1,所以3=1+1+1=f(4)+f(4)+ 当-2≤a≤2时，g(x)=-（a+2) f(4)=f(4×4×4)=f(64), (12分) -3; 4 所以不等式f(x一1)<3可化为f(x一1)<f(64), 当a>2时，g(x)mn=-2a-3. (15分) 由1)可知f(x)是偶函数， 17.解：(1)因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数， 则f(x-1)<f(64)可化为f(|x-1|)<f(64), 所以-)=字许字-)，解得 (14分) 1+x2 又由(2)可知(x)在(0，十∞)上是增函数， b=0, (2分) 所以f(x)=1十x: ax 所以舒得程 所以不等式f(x-1)<3的解集为(-63,1)U(1, 又f(1)=-1,解得a=-2, 65). (17分) 2x 19.解：(1)设f(x)图象的对称中心为点(a,b), 所以f(x)=17xe[-11门 (5分) 则f(a+x)+f(a-x)-2b=0, (2)f(x)=- 在[-11门上单洞递减.(6分) 6 即(x+a)-x+a++(-x+a)- 6 -x十a+1 证明如下： 2b=0. 设任意x1,x2∈[-1,1门且x1<x2, 整理得(a-b)x2=(a-b)(a十1)2-6(a十1)， 则f)-f()=平+千 2x1+2x2 可得a--0 (a-b)(a+1)2-6(a+1)=0 =-2(g-)(1-4) 解得a=b=-1, (3分) (1+xi)(1十x) 所以f(x)图象的对称中心为点(-1，-1).(4分) 因为-1≤x1<x2≤1， (2)f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. (5分) 所以x1-x2<0,1一x1x2>0, 证明如下： 所以f()-f(x2)>0,即f(x)>f(x), 任取x1,x2∈(0，十oo),且x<x2, 所以f(x)在[-1,1]上单调递减. (10分) (3)由题意，不等式f(2t)十f(t-1)>0可化为 则fa)-fx)=-(） ·14· =(-)儿+++] [0,受]上单调递减，在区间（受，1]上单调递增， 因为x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, 因为g(x)的图象过对称中心(1,1)， 6 所以x<0,且1++1+1D>0, 所以g(x)在区间(1,2-受]上单调递增，在区间 所以f(x)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(0，十o)上单调递增.(8分) (2-受，2]上单调递减， (3)由对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得 故此时A= g(x1)=f(x2), [mimg(2)g(g)},maxg(o),g(2-受)}门] 可得g(x)在[0,2]上的值域为f(x)在[1,5]上的 值域的子集， 欲使AC[-2,4], 由(2)知f(x)在区间[1,5]上单调递增， g(2)=2-g(0)=2-m≥-2 故f(x)在[1,5]上的值域为[-2,4]， 4 所以原问题转化为g(x)在区间[0,2]上的值域A 三[-2,4]， (9分) (g(0)=m≤4 ①当受<0，即m<0时，g(x)在区间[0,1]上单调 (2-婴)-2-（受）= -m+2≤4' 递增， 解得2-2√3≤n≤4， 又由g(1)=1,即g(x)的图象恒过对称中 又0<m<2,所以0<m<2: (14分) 心(1,1)， ③当%>≥1，即m>2时，g(x)在区间[0,1上单调 可知g(x)在区间(1,2]上亦单调递增， 递减，在区间(1,2]上也单调递减， 故g(x)在区间[0,2]上单调递增， 又因为g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-m, 故g(x)在区间[0,2]上单调递减， 所以A=[,2-m], 所以A=[2-m,], 因为[m,2-m]二[-2,4]， 因为[2-，m]二[-2,4幻， 所ug忌银相一w, 所以/2-m≥-2 (11分) (m≤4 解得2≤m≤4. (16分) 综上可得，实数m的取值范围是[一2,4幻.(17分) ②当0<罗<1，即0<m<2时，g(x)在区间