专题09 正余弦定理在解三角形中的综合应用（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦正余弦定理在解三角形中的综合应用，整合正弦定理、余弦定理、面积公式等核心知识点，按“必备知识-命题预测-题型攻坚”逻辑架构知识网络，通过考点精析、方法归纳、真题演练环节，帮助学生系统突破边角互化、形状判断等难点。 资料以10大题型分类突破为特色，含三角形中线、角平分线等高频考点专项训练，结合易错提醒强化数学思维，如通过角平分线长公式推导培养推理能力，设置基础到综合分层练习，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

专题09 正余弦定理在解三角形中的综合应用 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 正余弦定理在解三角形中的综合应用 真题动向 必备知识 知识点1正弦定理 知识点2 余弦定理 知识点3 三角形面积公式 命题预测 题型1 正、余弦定理解三角形 题型2 三角形解个数问题 题型3 判断三角形形状 题型4 三角形面积问题 题型5 三角形边长最值问题 题型6 三角形角度最值问题 题型7 三角形中线问题 题型8 三角形角平分线问题 题型9 三角形中四心问题 题型10 解三角形实际应用 命题轨迹透视 解三角形是上海卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 正余弦定理在解三角形中的综合应用 上海卷T11，5分 上海卷T8，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题仍是考查的重点。结合三角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分。 考点 正余弦定理在解三角形中的综合应用 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 2．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【详解】， A为的内角， . 知识点1正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 知识点3 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【易错提醒】常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 题型1 正、余弦定理解三角形 1．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，可得. 故选：B. 2．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 3．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 题型2 三角形解个数问题 4．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 5．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 6．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 7．在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 题型3 判断三角形形状 8．在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得， 整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形. 故选：B. 9．在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得，无法判断，由此即可判断. 【详解】由，可得：， 又角为三角形内角，所以，此时无法判断角， 所以无法判断为等边三角形， 由为等边三角形，可得， 即，可得， 所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B 10．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据条件，利用倍角公式及正弦定理计算即可得. 【详解】， 则， 即， 则，由，则，故， 即的形状为直角三角形. 故选：A. 11．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 题型4 三角形面积问题 12．在中，角的对边分别为.已知是函数的一个零点，，且，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】A 【分析】由函数的零点得，利用余弦定理化简可得，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】由，解得或， 因为，所以， 由得， 由余弦定理得， 因为，角为内角， 所以， 故. 故选：A 13．在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 因，故， 则， 所以的面积为. 故选：A. 14．在中，，，，则的面积为（    ）． A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】先根据平方关系求得，再结合三角形的面积公式求解. 【详解】在中，因，则是锐角，， 所以的面积为. 故选：C. 15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】A 【分析】先根据同角基本关系式计算出，的值，再利用正弦定理得到，进而得到b，c分别的值，最后带入得到答案 【详解】∵，，且，， ∴，， ∴，即. ∵， ∴，. ∵， ∴， 则的面积是. 故选：A 题型5 三角形边长最值问题 16．在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ， 则有，化简得 ，即. 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C.    17．在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角关系以及正弦定理得出，再利用面积得出，最后利用基本不等式即可. 【详解】因，则， 即， 由正弦定理可得，，即为直角三角形， 则的面积为，即， 则，等号成立时， 故周长的最小值为. 故选：A 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件得到关于边的一元二次方程，由有两解可得该方程有两个不等正根，列出关于的不等式组，求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 代入，，可得， 由有两解，可得关于b的方程有两个不等正根， 则， 由①解得．由②可解得，故可得. 故选：C． 19．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答. 【详解】在中 ，， 因角B的内角平分线的长为1，由得：， 即，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 题型6 三角形角度最值问题 20．在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到，再结合余弦定理、基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 又， 所以， 故选：B 21．在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：D 22．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，利用正弦定理，得到，进而求得，化简，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设的三边对的三角分别为， 因为向量与向量垂直，可得， 即,可得，所以， 又因为，可得，即， 所以，可得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 故选：A. 23．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． 24．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简已知条件.结合正弦定理可得，结合两角和差的正弦公式化简可得：即可求解. 【详解】由已知及余弦定理，得，即. 由正弦定理，得，则， 即，即， 所以，或,即或（舍去）. 因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以. 故选：B 题型7 三角形中线问题 25．在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 26．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 27．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解. 【详解】，则，设，则， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得， 所以，所以， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以或（舍去），又，所以， 所以. 故选：C 题型8 三角形角平分线问题 28．在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 29．在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 30．在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ， 则有，化简得 ，即. 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C.    31．在中，的平分线交BC于点，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由三角形的角平分线定理求得，在中，由余弦定理建立方程，求解即得. 【详解】如图， 设，由AD是的角平分线，可得，则， 由，可知， 由余弦定理得，解得或， 当时，，则，因，产生矛盾，故. 故选：D 题型9 解三角形与三角恒等变换 32．记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 33．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 34．已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围. 【详解】由题设， 则，， 所以，而， 所以. 故选：C 35．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等变换可得，由的范围可得的范围，令，，利用导数得出函数的单调性，从而可得出答案. 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∴，∴ ，∴，∴或（不符合题意舍去）， ∴， ∴ ， 设， ∵是锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴， 令，则， ∴函数在上单调递增， 故， ∴. 故选：C． 36．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据条件可得，然后把化为，结合角的范围可得的取值范围. 【详解】由和余弦定理得，又，∴． 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得． ， ∵，即，所以， 则，因此，的取值范围是． 故选：A 题型10 解三角形实际应用 37．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 38．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 39．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 40．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 【答案】D 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，， 在中，， 在中， ． 故选：D. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 正余弦定理在解三角形中的综合应用 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 正余弦定理在解三角形中的综合应用 真题动向 必备知识 知识点1正弦定理 知识点2 余弦定理 知识点3 三角形面积公式 命题预测 题型1 正、余弦定理解三角形 题型2 三角形解个数问题 题型3 判断三角形形状 题型4 三角形面积问题 题型5 三角形边长最值问题 题型6 三角形角度最值问题 题型7 三角形中线问题 题型8 三角形角平分线问题 题型9 解三角形与三角恒等变换 题型10 解三角形实际应用 命题轨迹透视 解三角形是上海卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 正余弦定理在解三角形中的综合应用 上海卷T11，5分 上海卷T8，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题仍是考查的重点。结合三角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分。 考点 正余弦定理在解三角形中的综合应用 1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 2．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 知识点1正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 知识点3 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【易错提醒】常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 题型1 正、余弦定理解三角形 1．的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 题型2 三角形解个数问题 4．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 5．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3 判断三角形形状 8．在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 9．在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 11．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型4 三角形面积问题 12．在中，角的对边分别为.已知是函数的一个零点，，且，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 13．在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 14．在中，，，，则的面积为（    ）． A．8 B．16 C．32 D．64 15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（    ） A． B． C．9 D．18 题型5 三角形边长最值问题 16．在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 17．在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 题型6 三角形角度最值问题 20．在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 21．在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型7 三角形中线问题 25．在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 26．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 27．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 题型8 三角形角平分线问题 28．在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 29．在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 30．在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 31．在中，的平分线交BC于点，若，则（   ） A． B．2 C． D． 题型9 解三角形与三角恒等变换 32．记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型10 解三角形实际应用 37．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 38．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 39．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 40．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $