专题07 平面向量的综合应用（最值、范围问题等）（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积及其应用核心考点，涵盖定义、运算、坐标表示、投影向量等知识模块，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破向量垂直平行、模与夹角、范围最值等难点。 讲义以题型分类攻坚为特色，针对8大高频题型设计分层练习，结合真题动向分析培养数学思维与运算能力，如数量积范围问题中利用单位向量条件转化参数关系，通过数学语言精准表达坐标运算过程，帮助学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实战支撑。

专题07平面向量的综合应用(最值、范围问题等) 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 平面向量的数量积及其应用 真题动向 必备知识 知识点1平面向量的数量积的定义 知识点2平面向量数量积的运算 知识点3 平面向量数量积的坐标 知识点4 投影向量 命题预测 题型1平面向量的数量积 题型2 向量垂直与平行的坐标表示 题型3向量的模 题型4向量的夹角 题型5向量数量积的范围问题 题型6与模有关的最值范围问题 题型7线性运算中参数范围问题 题型8平面向量在几何中的应用 命题轨迹透视 平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直接或间接涉及该知识点的题目年均 1-2 题，占分约 4-9 分。 填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。 选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。 解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 平面向量数量积及其应用 上海卷T12，4分 上海卷T5，4分 上海卷T2，4分 2026命题预测 预计在2026年高考中，高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为4分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。 考点 平面向量数量积及其应用 1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 2．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 3．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【答案】4 【分析】 由平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意得 故答案为：4 知识点1 平面向量的数量积的定义 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  知识点2平面向量数量积的运算 1.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 知识点3 平面向量数量积的坐标 1.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 2.有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 知识点4 投影向量 a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 题型1平面向量的数量积 1．已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由向量的加法运算和数量积的运算法则可得结果. 【详解】， 故. 故选：D. 2．若是边长为的等边三角形，点满足，则（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】由数量积的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．在梯形中，，，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】将用来表示，再求数量积即可. 【详解】由题可知，所以， 因， 则 故选：C. 4.如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解 【详解】因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 题型2 向量垂直与平行的坐标表示 5．已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 故选：C 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 7．已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 8．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得. 故选：B. 题型3向量的模 9．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据已知求得，再利用运算. 【详解】，故，解得， 则. 故选：A 10．已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 【答案】C 【分析】将两边平方，求得的值，再开平方即可求解. 【详解】由题可得：，所以， 故选：C 11．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解. 【详解】由，则， 解得，于是， 故. 故选：B 12．已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 13．已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可. 【详解】由题意得 . 故选：C. 题型4向量的夹角 14．已知向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过，求得，进而可求解. 【详解】由得，，即， 所以，则， 所以，则的夹角为， 故选：B． 15．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结果. 【详解】由题意可得，故. 故选：A. 16．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 17．已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解. 【详解】， ， ， ， ∴，则. 故选：B 18．已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量与向量的夹角为，设，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求得答案. 【详解】设向量与向量的夹角为，, 设，则， 则， 与的夹角为，所以， 则，即， 可得,解得（舍）或， 则． 故选：A． 题型5向量数量积的范围问题 19．设均为单位向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可. 【详解】，即，则， 所以. 故选：C. 20．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 21．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【详解】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 题型6与模有关的最值范围问题 22．设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，求出，再利用不等式即可求解. 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 23．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 24．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解. 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. 25．已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中设出，再根据所给条件列出方程，再运用重要不等式，即可得解. 【详解】在平面直角坐标系中，设， ， ，得. 由， 得， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：D. 26．已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合模长公式计算即可. 【详解】因为，所以，即，即， 则. 故选:D． 27．已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】由向量模的坐标表示计算模后，结合三角函数的辅助角公式求得最大值. 【详解】由已知，， ， 所以， ，其中，为锐角， 所以的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A. 28．在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形先利用向量数量积的运算律求得，，化简得，再借助于向量的三角不等式即可求出的取值范围. 【详解】    如图，因，， 则，即， 因，又，则， 则， 因， 当且仅当与同方向时，； 当且仅当与反方向时，， 即. 故选：C. 题型7线性运算中参数范围问题 29．已知向量，若，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的坐标运算得到，再利用基本不等式中“1”的妙用可得答案. 【详解】因为向量， 若，可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 30．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    31．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 32．已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得， 比较系数可得，即，所以，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 33．在中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，若，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题结合余弦定理依次求出，，利用正弦定理可求外接圆半径为1，即，根据向量的运算可得，平方处理计算可得，再结合基本不等式的运用可得的范围即可求解. 【详解】由可得， 整理得，又， 所以， 由正弦定理可得圆半径为，即， 又， ， ． ，整理可得． 又，得，解得或． 当时，点在外部，分居两侧且， 所以四点共圆，不满足题意，舍去， （当且仅当时取等号）， 故选：D． 34．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 题型8平面向量在几何中的应用 35．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 36．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而， 所以，即，于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此，从而得， 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 37．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 38．已知的外接圆的半径为2，，点G满足，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可得，再利用正弦定理求出，最后由三角形面积公式得到答案. 【详解】如图，取的中点，连接. 因为，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以. 所以. 故选：C. 39．在中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和的分别为和的方向向量，结合可判断的形状，再由数量积的运算可求，再根据三角形内角和为，即可求解. 【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，,所以， 则． 故选：A 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平面向量的综合应用(最值、范围问题等) 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 平面向量的数量积及其应用 真题动向 必备知识 知识点1平面向量的数量积的定义 知识点2平面向量数量积的运算 知识点3 平面向量数量积的坐标 知识点4 投影向量 命题预测 题型1平面向量的数量积 题型2 向量垂直与平行的坐标表示 题型3向量的模 题型4向量的夹角 题型5向量数量积的范围问题 题型6与模有关的最值范围问题 题型7线性运算中参数范围问题 题型8平面向量在几何中的应用 命题轨迹透视 平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直接或间接涉及该知识点的题目年均 1-2 题，占分约 4-9 分。 填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。 选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。 解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 平面向量数量积及其应用 上海卷T12，4分 上海卷T5，4分 上海卷T2，4分 2026命题预测 预计在2026年高考中，高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为4分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。 考点 平面向量数量积及其应用 1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 2．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知，且，则的值为 ． 3．（2023·上海·高考真题）已知,，求 知识点1 平面向量的数量积的定义 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  知识点2平面向量数量积的运算 1.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 知识点3 平面向量数量积的坐标 1.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 2.有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 知识点4 投影向量 a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 题型1平面向量的数量积 1．已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（    ） A．6 B． C．4 D． 2．若是边长为的等边三角形，点满足，则（    ） A． B．5 C． D．4 3．在梯形中，，，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4.如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 题型2 向量垂直与平行的坐标表示 5．已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 8．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型3向量的模 9．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 10．已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 11．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 12．已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 13．已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 题型4向量的夹角 14．已知向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 18．已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型5向量数量积的范围问题 19．设均为单位向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 20．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 题型6与模有关的最值范围问题 22．设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 23．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 24．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 26．已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 28．在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7线性运算中参数范围问题 29．已知向量，若，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 30．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 32．已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 33．在中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，若，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 题型8平面向量在几何中的应用 35．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 36．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 37．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 38．已知的外接圆的半径为2，，点G满足，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 39．在中，，且，则（   ） A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $