专题08 平面向量中的最值取值范围问题4大考向（重难专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08平面向量中的最值取值范围问题 内容导航 ◆速度提升 。技巧掌握 ◆手感养成 已分析考情。探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 已破解重难。冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 口拔尖冲优。夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 ©分折考情 探趋势 近三年：本节是高考中的热点问题，常以选择题或填空题的形式出现，难度中档偏上，其中向量数量积的 最值与范围问题是高频考点. 预测2026年：预计2026年高考仍然以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，主要考查向量数量积、 模长、夹角、系数的最值与范围，不排除与其他知识（如三角函数、几何图形）结合。 考向01向量数量积的最值取值范围 考向03向量夹角的最值取值范围 专题08平面向量中的最值取值范围问题 考向02向量模长的最值取值范围 考向04向量系数的最值取值范围 破解重难 Ⅲ冲高分碧 考向01向量数量积的最值取值范围 回棉豪妙计 1.几何法：由数量积的几何意义求得结果； 2.代数计算法，将等式展开求得结果。 1.(25-26高三上北京海淀月考)在△ABC中，已知(3A丽-AC)·(A-AC)=0且A=1,则 AB.AC的取值范围为() A.(1,) B.(1,2] C.(1,3) D.(13] 2.(25-26高三上北京·月考)如图，正六边形的边长为V3，半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心， 若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA.MB的最大 值为() 1/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2526高三上北京东城期中)在平面直角坐标系x0y中，点B为圆C:(x-2)2+y2=1上的动点，点 A的坐标为(cos6,sin8),其中6为常数且0≤6≤π. (1)若6=π，则0A.0C=一 (2)若OA.OB的最大值为0，此时OA.O克的最小值为 4.(25-26高三上北京·月考)在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、DE⊥AB且交 AB于点E.DF/IAB且交AC于点F,则(D2+D)·DA的最小值为 考向02向量模长的最值取值范围 包棉豪妙计 建系法：建立平面直角坐标系，写出相应的点，得出相关的向量，结合向量数量积的坐标表示和图形分 析，或根据图形的对称性结合己知条件分析. 1.(25-26高三上北京东城月考)已知36，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为 向量6满足(-2)2=1，则宝-引的最小值是() A.5+1 B.V5-1 C.2 D.2-V5 2.(23-24高三下.北京开学考试)平面内互不重合的点A1、A2、A3B1、B2、B3、B4,若 AB+A3+AB=i,其中1=1,2,3,4，则川BB2+|B2B3引+|B3B4的取值范围为() A.[号] B.[9] c.[9] D.[1,5] 3.(25-26高三上北京海淀·月考)己知，乃，è是平面向量，ē是单位向量若非零向量a与的夹角为号， 向量6满足.4.6+3=0.(1)当6与共线时，=一：(2)a-引的最小值是一 4.(25-26高三上·北京期中)如图是由六个边长为1的正六边形组成的峰巢图形，其中正六边形的顶点称 为“晶格点”，若四个不同的点AB,C,D均为“晶格点”，AB两点的位置如图所示，则AB.AC的最大值 为 一，c的最大值为 2/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考向03向量夹角的最值取值范围 回锦豪妙社 基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 1.（25-26高三上北京·月考)已知点A(0,4),B(2,0),如果AB=2B元，那么点C的坐标为一： 设点P(3,t),且∠APB是钝角，则t的取值范围是_ 2.(2023高三北京海淀专题练习)已知平面向量6满足引=V3,=1,则向量a+6与-6夹角的 最大值是 3.(2023北京模拟预测)平面向量，满足引=3，且且-=4，则与-6夹角的正弦值的最大 值为() A. B.者 C. D.君 4.(25-26高三上北京月考)在△ABC中，“△ABC为直角三角形"是“对于任意t≠1， BA-tBd>AC"的(). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考向04 向量系数的最值取值范围 包棉豪妙计 对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量的坐标运算，从代数角度出发进 行解答，从而降低难度， 1.(25-26高三上北京开学考试)已知可A=0A.0B=2,可=5，OC=4,且 O元=OA+u0B,则入+u的取值范围是() A.[-V5,5]B.[-22,2W2]c.[-4,4] D.[-2W5,2W5] 2.(25-26高三上北京海淀·月考)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使DE=CD,若点P是 以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量AP=入A面+A正，则入十u的最 小值为」 最大值为 3/5 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 3.（24-25商三上北京月考)已知硒=2=2，元=花+市，丽而=0.到-9.若 A=mA店+nA,则m十n的最大值为 4.(2023·北京海淀模拟预测)已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点， |可=1，若A=1A店+A (1)入的取值范围是 (2)当入+u取得最大值时，A 核尖冲优Ⅲ 夺满分碧 (建议用时：60分钟) 1.(25-26高三上北京月考)在平面直角坐标系x0y中，OA=O=V2,A=2.设C(3,4),则 2CA+A的取值范围是() A.[16,201 B.[16,22] c.[18,22] D.[8,12] 2.(25-26高三上北京顺义·月考)在△ABC中，AC=AB=2,∠A=120°，D为△ABC所在平面内的 动点，且A元A市=2，则B+A的最小值为() A.2V5 B.2V5 c.1+3 D.10 3.(25-26高三上北京期中)在平面直角坐标系x0y中，OA=(mn),O方=(2,1)，若0A.0B=5 ,则A0的最小值为() A.1 B.5 c.2V5 D.5 4.(25-26高三上北京·月考)已知单位向量孟，的夹角为日，若且+>1，则6的取值范围为() A.[O,) B.[0,弯) c.(5,变) D.(等，π) 5.(25-26高三上北京开学考试)已知△ABC中，AB=4,AC=2,且AB+(2-21AC1(ER) 的最小值为2V3，若P为边AB上任意一点，则PB.P元的最小值为() A.0 B.- c.-星 。 6.(2023北京丰台二模)己知A,B,C是单位圆上的三个动点，则AB.AC的最小值是() A.0 B.- C.-1 D.-2 7.(25-26高三上.北京顺义期中)已知圆0：x2+y2=4,过点(0,1)的直线与圆0交于AB两点.则 4/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OA.O的取值范围为() A.[-4,-2]B.[-2,0] c.[-4,0] D.[0,4] 8.(25-26高三上北京月考)已知平面向量6，满足引==a石=2，（心-）·（c-6)=0,则 飞.的最小值是 9.(25-26高三上北京月考)在△ABC中，CA=CB=V5,AB=4,点M为△ABC所在平面内一点 且A成·B元=0，则A成.C的最小值为 10.(2025北京海淀.一模)已知向量a=(2,0),=1,则+的最大值为一：京+与的 夹角的取值范围是 5/5 专题08平面向量中的最值取值范围问题 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：本节是高考中的热点问题，常以选择题或填空题的形式出现，难度中档偏上，其中向量数量积的最值与范围问题是高频考点． 预测2026年：预计2026年高考仍然以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，主要考查向量数量积、模长、夹角、系数的最值与范围，不排除与其他知识(如三角函数、几何图形)结合。 考向01 向量数量积的最值取值范围 1.几何法：由数量积的几何意义求得结果； 2.代数计算法，将等式展开求得结果. 1．（25-26高三上·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 3．（25-26高三上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若，则= ， （2）若的最大值为，此时的最小值为 ． 【答案】 【分析】当时，得到的坐标，求得的值，设，利用向量的数量积的坐标运算公式，求得，结合的最大值为，求得，代入即可求解. 【详解】由圆，可得圆心 又由，可得点的坐标为，即， 所以，则； 因为点为圆上的动点，可设， 又因为点的坐标为，可得， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 则，解得， 因为，所以，此时的最小值为. 故答案为：；. 4．（25-26高三上·北京·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，表达出其他各边长度，利用计算出数量积为，从而求出最小值. 【详解】设，， 因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 故答案为： 考向02 向量模长的最值取值范围 建系法：建立平面直角坐标系，写出相应的点，得出相关的向量，结合向量数量积的坐标表示和图形分析，或根据图形的对称性结合已知条件分析. 1．（25-26高三上·北京东城·月考）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意可得，设，利用数形结合思想即可求解. 【详解】解：因为，所以， ， 所以， 如图，不妨设，    则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上， 又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上． 不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1． 即． 故选：B 2．（23-24高三下·北京·开学考试）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得在以点为圆心，为半径的圆上面，为的重心，结合三角形三边关系即可得解. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合，    则，当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上，等号成立 综上所述，的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得到得在以点为圆心，为半径的圆上面，由此即可顺利得解. 3．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足.（1）当与共线时， ；（2）的最小值是 . 【答案】 1或3 【分析】（1）设，由，代入计算可得或，计算即可求解；（2）由得，故，或或，设，，以O为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，得B点在以为圆心，1为半径的圆上，的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，从而求得最小值. 【详解】（1）当与共线时，设， 因为向量满足， 所以，即，解得或， 所以或，即或3. （2）设，，以O为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系， 则，令，则，， 由，或或， 得点在以为圆心，1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线，上， 则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，不妨以为例， 则的最小值为 故答案为：1或3；. 4．（25-26高三上·北京·期中）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出相应的点，得出相关的向量，结合向量数量积的坐标表示和图形分析得出第一空；根据图形的对称性结合已知条件分析即可得出的最大值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系， 由且在竖直方向， 可得，则， 设，那么， 则，要使最大，需要最大， 结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中点时）， 此时，即的最大值为25， 虽然两点异于两点，但因为图中蜂巢的对称性， 两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得两点相距最远，两点之间应靠近边界， 根据对称性，可假设点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑点位于轴左边即可， 所以， 由图观察可见，离点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形， 其中为中点， ， ， 在正六边形中，外边界四点离点相对较远， 对应坐标为， 即， 即， 即， 即， 可知， 所以外边界四点中，只需要考虑两点， 因， 故应取更大的， 故答案为：25，. 考向03 向量夹角的最值取值范围 基底法 第一步:利用其底转化向量 第二步:根据向量运算律化简目标 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 1．（25-26高三上·北京·月考）已知点，，如果，那么点的坐标为 ；设点，且是钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过向量坐标运算及向量相等关系求出点的坐标；利用向量夹角为钝角推出向量数量积小于0，列不等式求出的取值范围． 【详解】， ， 设点，则， ， ，即， ； ， ， ， ，且，解得， 的取值范围为． 故答案为：． 2．（2023高三·北京海淀·专题练习）已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，利用向量的数量积运算求得，再利用向量夹角余弦的表示，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 设，则当与同向时，取得最大值为， 当与反向时，取得最小值为，故， 又，则， 所以， 设与的夹角为，则， 由于在上单调递减，故要求的最大值，则求的最小值即可， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 因为，所以此时，即向量与夹角的最大值为. 故答案为： 3．（2023·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 4．（25-26高三上·北京·月考）在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立． 【详解】，若，则， ，即， 对于任意恒成立，设，则需满足 时，；时，； 是一次函数，连续，即， ，即， 又， ， ，故，即，是直角三角形，满足必要性； 若为直角三角形，直角可能是或， 若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性， “为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确． 故选：B． 考向04 向量系数的最值取值范围 对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量的坐标运算，从代数角度出发进行解答，从而降低难度. 1．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，令有，即关于的一元二次方程有解，利用判别式即可求解. 【详解】由题意有 ， 即， 令，则，所以， 化简整理得：，即关于的一元二次方程有解， 所以，即， 所以. 故选：A 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 3．（24-25高三上·北京·月考）已知，，，．若，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用向量的坐标运算表示出，再表示出模长，然后利用三角换元结合辅助角公式可得. 【详解】因为，所以以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系， 因为，所以， 则， 因为，所以， 又，即， 所以， 因为，即， 平方化简为， 设，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2023·北京海淀·模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）的取值范围是 ； （2）当取得最大值时， 【答案】 【分析】建立以A为原点的坐标系，可得P的轨迹方程，由P的轨迹方程可知，即，从而得第一问答案；将代入P的轨迹方程得，设，利用三角函数求得当时，取最大值，代入即可得第二空答案. 【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示： 由可得P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设，则有， 所以， 又因为， 所以， 由P的轨迹方程可知， 即，所以， 所以的范围为：； 将代入，得， 所以点在圆上， 设， 则， 所以当时，取最大值，此时， 所以， 所以， 所以. 故答案为：； （建议用时：60分钟） 1．（25-26高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理，可得，根据数量积公式，可得，根据数量积的几何意义，可得在方向上的投影长度为1，设的中点为E，连接DE，DA，DC，DB，可得，分析可得当B、D、C三点共线时，有最小值，且为，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为， 所以，即在方向上的投影长度为1， 设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB， 所以，所以， 则, 当B、D、C三点共线时取等号， 故选：A 3．（25-26高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由题意可得，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高三上·北京·月考）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 5．（25-26高三上·北京·开学考试）已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合几何图形求出，令，利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【详解】延长至，使得，连接，点为所在平面内的点，连接， 则，令，则点在直线上， 由的最小值为，得， 当且仅当时取得最小值，则， 又是锐角，则，而，即为正三角形， 于是，，令，则， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 6．（2023·北京丰台·二模）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值. 【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，， 则， 故 ， 当时，取得最小值，最小值为， 由于，故当时，最小，故最小值为， 此时，满足要求， 故选：B 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 7．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出夹角的最小值和最大值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】圆：，圆心为，半径. 记点为点， 因为，所以点在圆内， ， 当点为的中点时，的夹角最小，此时，， 所以，所以，所以， 即夹角的最小值为； 当线段是圆的一条直径时，的夹角最大，最大值为. 所以，, 所以. 故选：A. 8．（25-26高三上·北京·月考）已知平面向量满足，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】首先确定向量与的夹角，并通过几何方法分析的轨迹，进而求解最值。 【详解】已知且， 由点积公式，所以夹角. 设，因为，，设， 则 ，解得 ，不妨取， 设，则，； 由，得 化简得， 即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆； 则，需在圆上求的最小值, 因为圆心横坐标为，半径1，故的最小值为； 因此的最小值为，即为最小值. 故答案为：1. 9．（25-26高三上·北京·月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 10．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ． 【答案】 ； . 【分析】根据不等式 ，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围. 【详解】由题可知，，故 ，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为； 不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故， 根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当或时，，故，又，故. 故答案为：；. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $