第2.3讲 圆锥的体积（导学案）六年级数学寒假自学课（青岛版） - 副本 - 副本

第2.3讲 圆锥的体积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解圆锥体积的含义，掌握圆锥体积的计算公式。 （2）通过实验探究圆锥与圆柱体积之间的关系，理解公式的推导过程。 （3）能够运用圆锥体积公式解决生活中的实际问题。 2、重难点。 重点 ：掌握圆锥体积的计算公式及其应用。 难点 ：理解圆锥与等底等高圆柱体积的关系，能够灵活运用公式解决实际问题。 模块二 预习引导 一、圆锥体积的含义 1、圆锥体积：圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积。 2、体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³） 二、圆锥体积公式的推导 1、实验探究：用等底等高的圆锥和圆柱做实验：用圆锥装满沙子，倒入空的圆柱中，•复3次，正好装满圆柱。 2、实验结论： 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 即：圆锥体积=圆柱体积× 3、公式推导： 圆锥体积=圆柱体积× = πr²h 三、圆锥体积公式 基本公式：V = πr²h 或  V =Sh 其中：V表示体积,π ≈ 3.14,r表示底面半径，h表示高，S表示底面积 四、圆锥与圆柱的关系 1、等底等高时： V圆锥 = V圆柱 V圆柱 = 3 V圆锥 2、体积相等时：如果圆锥和圆柱体积相等，底面积也相等，则：h圆锥 = 3 h圆柱 3、实际应用： 圆锥形容器装满液体，倒入等底等高的圆柱形容器中，液面高度是圆柱高度的 圆柱形容器装满液体，倒入等底等高的圆锥形容器中，会溢出的液体 五、典型例题分析 例1： 一个圆锥的底面半径是4cm，高是9cm。求它的体积。 解答： V = πr²h = × 3.14 × 4² × 9 = ×3.14×16 × 9 = 150.72（cm³） 例2： 一个圆锥形铁块，体积是32立方厘米，底面积是12平方厘米，求这个铁块的高度。 解答： 由V = Sh得：h = = 3 × 32 ÷ 12 = 8（cm） 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．如果用V表示圆锥的体积，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高，那么圆锥体积公式的字母表达式是( )。 2．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的( )，圆锥的体积是圆柱的( )。 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高。（填序号） （1）如果圆锥的体积是，那么圆柱的体积是（    ）。 （2）如果圆柱的体积是，那么圆锥的体积是（    ）。 （3）如果圆柱的体积与圆锥的体积之和是，那么圆柱的体积是（    ），圆锥的体积是（    ）。 （4）如果圆柱比圆锥的体积大，那么圆锥的体积是（    ）。 ①4.8        ②7.2        ③1.8        ④0.6        ⑤0.8        ⑥1.2 4．一个圆柱的体积是，与它等底等高的圆锥的体积是( )。 5．有一个底面半径为3cm、高为10cm的圆锥形蛋筒，如下图。不计厚度，蛋筒的容积是( )；每立方厘米冰激凌重0.8g，它内部能装( )g冰激凌。 6．一个圆锥的高是12分米，体积是80立方分米，它的底面积是( )平方分米。 7．如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是( )，它 的底面积是( )cm2，体积是( )cm3，与它等底等高的圆柱的体积是 ( )cm3。 8．如图，一个帐篷从前面看到的是图1，从上面看到的是图2，这个帐篷的占地面积是( )平方米，帐篷里面的空间有( )立方米。 9．一个圆柱的体积是，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )，削去部分的体积是( )。 10．如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为（    ）。 二、选择题 11．如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．12.56 B．37.68 C．18.84 D．50.28 12．一个圆柱和一个圆锥等底等高。若该圆柱的体积是12.6dm3，则该圆锥的体积是（    ）dm3。 A．4.2 B．12.6 C．37.8 13．一个圆锥形铁块的底面积为20cm2，高为9cm。把圆锥完全浸没在盛有水的内底面积为30cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高（    ）cm。 A．4 B．6 C．3 D．2 14．下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 15．如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 三、计算题 16．计算下列圆锥的体积。 四、解答题 17．有一个近似于圆锥形的稻谷堆，底面直径是4米，高是1.5米。如果每立方米稻谷大约重0.55吨，这堆稻谷大约重多少吨？（得数保留整数） 18．在一个内底面直径是20厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没水中，这时水面上升0.2厘米，圆锥形的高是多少厘米？ 19．把一块棱长是30厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？（得数保留整数） 20．一个近似圆锥形沙堆，底面积是15平方米，高是1.6米。学校要用这堆沙子铺一个长是4米、宽是2.7米、厚是0.5米的长方体跳远场地。这堆沙子够不够？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.3讲 圆锥的体积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）理解圆锥体积的含义，掌握圆锥体积的计算公式。 （2）通过实验探究圆锥与圆柱体积之间的关系，理解公式的推导过程。 （3）能够运用圆锥体积公式解决生活中的实际问题。 2、重难点。 重点 ：掌握圆锥体积的计算公式及其应用。 难点 ：理解圆锥与等底等高圆柱体积的关系，能够灵活运用公式解决实际问题。 模块二 预习引导 一、圆锥体积的含义 1、圆锥体积：圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积。 2、体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³） 二、圆锥体积公式的推导 1、实验探究：用等底等高的圆锥和圆柱做实验：用圆锥装满沙子，倒入空的圆柱中，•复3次，正好装满圆柱。 2、实验结论： 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 即：圆锥体积=圆柱体积× 3、公式推导： 圆锥体积=圆柱体积× = πr²h 三、圆锥体积公式 基本公式：V = πr²h 或  V =Sh 其中：V表示体积,π ≈ 3.14,r表示底面半径，h表示高，S表示底面积 四、圆锥与圆柱的关系 1、等底等高时： V圆锥 = V圆柱 V圆柱 = 3 V圆锥 2、体积相等时：如果圆锥和圆柱体积相等，底面积也相等，则：h圆锥 = 3 h圆柱 3、实际应用： 圆锥形容器装满液体，倒入等底等高的圆柱形容器中，液面高度是圆柱高度的 圆柱形容器装满液体，倒入等底等高的圆锥形容器中，会溢出的液体 五、典型例题分析 例1： 一个圆锥的底面半径是4cm，高是9cm。求它的体积。 解答： V = πr²h = × 3.14 × 4² × 9 = ×3.14×16 × 9 = 150.72（cm³） 例2： 一个圆锥形铁块，体积是32立方厘米，底面积是12平方厘米，求这个铁块的高度。 解答： 由V = Sh得：h = = 3 × 32 ÷ 12 = 8（cm） 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．如果用V表示圆锥的体积，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高，那么圆锥体积公式的字母表达式是( )。 【答案】V＝πr2h 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝×底面积×高；底面积＝π×半径2，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高，V表示圆锥的体积，则圆锥体积公式用字母表示为：V＝πr2h，据此解答。 【详解】根据分析可知，如果用V表示圆锥的体积，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高，那么圆锥体积公式的字母表达式是V＝πr2h。 2．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的( )，圆锥的体积是圆柱的( )。 【答案】 3倍 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，据此解答。 【详解】根据分析可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的。 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高。（填序号） （1）如果圆锥的体积是，那么圆柱的体积是（    ）。 （2）如果圆柱的体积是，那么圆锥的体积是（    ）。 （3）如果圆柱的体积与圆锥的体积之和是，那么圆柱的体积是（    ），圆锥的体积是（    ）。 （4）如果圆柱比圆锥的体积大，那么圆锥的体积是（    ）。 ①4.8        ②7.2        ③1.8        ④0.6        ⑤0.8        ⑥1.2 【答案】（1）②；（2）⑤；（3）③；④；（4）⑥ 【分析】已知一个圆柱和一个圆锥等底等高，即圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。 （1）已知圆锥的体积是，即圆柱的体积为。 （2）已知圆柱的体积是，即圆锥的体积为。 （3）已知圆柱的体积与圆锥的体积之和是，把圆锥的体积看作是1倍，圆柱的体积是3倍，总倍数为倍，用圆柱的体积与圆锥的体积之和除以总倍数，求出圆锥的体积，即，再用圆锥的体积乘3，算出圆柱的体积，为。 （4）已知圆柱比圆锥的体积大，把圆锥的体积看作是1倍，圆柱的体积是3倍，圆柱的体积比圆锥的体积大倍，用圆柱比圆锥的体积大的部分除以2，求出圆锥的体积，为。 【详解】由分析可知， （1）如果圆锥的体积是，那么圆柱的体积是7.2。 （2）如果圆柱的体积是，那么圆锥的体积是0.8。 （3）如果圆柱的体积与圆锥的体积之和是，那么圆柱的体积是1.8，圆锥的体积是0.6。 （4）如果圆柱比圆锥的体积大，那么圆锥的体积是1.2。 4．一个圆柱的体积是，与它等底等高的圆锥的体积是( )。 【答案】10 【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给出的信息，求出一份的体积再求对应的圆锥的体积； 【详解】（立方厘米） 所以，一个圆柱的体积是30立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是10立方厘米。 5．有一个底面半径为3cm、高为10cm的圆锥形蛋筒，如下图。不计厚度，蛋筒的容积是( )；每立方厘米冰激凌重0.8g，它内部能装( )g冰激凌。 【答案】 94.2 75.36 【分析】（1）已知圆锥的底面半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式，求出圆锥的体积； （2）每立方厘米冰淇淋重0.8g，再用圆锥的体积乘0.8，求出冰激凌的重量，据此解答。 【详解】（1）圆锥的体积：（cm3） （2）（g） 因此，蛋筒的容积是94.2cm3；它内部能装75.36g冰激凌。 6．一个圆锥的高是12分米，体积是80立方分米，它的底面积是( )平方分米。 【答案】20 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷高÷，代入数据，即可解答。 【详解】80÷12÷ ＝×3 ＝20（平方分米） 一个圆锥的高是12分米，体积是80立方分米，它的底面积是20平方分米。 7．如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是( )，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3，与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 圆锥 28.26 56.52 169.56 【分析】根据圆锥的特征可知，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成圆锥，那么这条直角边6cm是圆锥的高，另一条直角边3cm是圆锥的底面半径。 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据V锥＝Sh，求出圆锥的体积； 由V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆柱的体积。 【详解】圆锥的底面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 圆锥的体积：×28.26×6＝56.52（cm3） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（cm3） 填空如下： 直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（圆锥），它的底面积是（28.26）cm2，体积是（56.52）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（169.56）cm3。 8．如图，一个帐篷从前面看到的是图1，从上面看到的是图2，这个帐篷的占地面积是( )平方米，帐篷里面的空间有( )立方米。 【答案】 12.56 12.56 【分析】根据题意可知，这个帐篷就是一个底面半径是2米，高是3米的圆锥；求这个帐篷的占地面积，就是求这个圆锥的底面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出占地面积；这帐篷里面的空间，就是求这个圆锥形帐篷的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×22×3× ＝3.14×4×3× ＝12.56×3× ＝37.68× ＝12.56（立方米） 这个帐篷的占地面积是12.56平方米，帐篷里面的空间有12.56立方米。 9．一个圆柱的体积是，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )，削去部分的体积是( )。 【答案】 4 8 【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给到的信息，求出一份的体积再求对应的圆柱、圆锥、削去部分体积； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，那么圆锥的体积就是圆柱体积÷3； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，削去的体积就应该为（份），求出对应一份的体积再×2即可得到答案。 【详解】（立方分米） （立方分米） 所以，一个圆柱的体积是12立方分米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是4立方分米，削去部分的体积是8立方分米。 10．如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为 。 【答案】4∶3 【分析】，可把看作4，看作3。根据题意可知，绕旋转一周得到圆锥甲，甲圆锥的底面半径是4，高是3；绕旋转一周得到圆锥乙，乙圆锥的底面半径是3，高是4，根据圆锥的体积公式：，把数据分别代入公式求出甲、乙两个圆锥的体积，然后根据比的意义，求出甲、乙两个圆锥体积的比。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∶ ＝（÷）∶（÷） ＝4∶3 圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4∶3。 如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4∶3。 【点睛】解题关键根据圆锥甲、乙的底面半径和高（由旋转轴确定），分别代入圆锥体积公式计算甲、乙的体积，最后组成比并化简得到最简整数比。 二、选择题 11．如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．12.56 B．37.68 C．18.84 D．50.28 【答案】A 【分析】通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边（3厘米）为轴旋转一周，得到一个底面半径是2厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】根据分析： （立方厘米） 所以得到的圆锥的体积是立方厘米。 故答案为：A 12．一个圆柱和一个圆锥等底等高。若该圆柱的体积是12.6dm3，则该圆锥的体积是（    ）dm3。 A．4.2 B．12.6 C．37.8 【答案】A 【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，再用圆柱体积除以3计算圆锥体积。已知圆柱体积为12.6dm³，根据等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一这一关系，用圆柱体积除以3即可得到圆锥体积（dm³）。 【详解】选项A：4.2dm³，符合所求答案； 选项B：12.6dm³，不符合所求答案； 选项C：37.8dm³，不符合所求答案。 故答案为：A 13．一个圆锥形铁块的底面积为20cm2，高为9cm。把圆锥完全浸没在盛有水的内底面积为30cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高（    ）cm。 A．4 B．6 C．3 D．2 【答案】D 【分析】把圆锥浸没在圆柱形容器的水中，水无溢出，说明容器中水上升部分的体积等于圆锥的体积。 根据圆锥的体积公式V＝Sh，先算出圆锥的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，推出h＝V÷S，解答即可。 【详解】×20×9 ＝×9 ＝60（cm3） 60÷30＝2（cm） 水面升高2厘米。 故答案为：D 14．下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的体积V＝Sh，圆锥的体积V＝ Sh，分别把圆柱和圆锥的底面积和高代入体积公式计算并比较即可。 【详解】A．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×3×6＝6（cm3），相等，不符合题意； B．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×9×2＝6（cm3），相等，不符合题意； C．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×6×3＝6（cm3），相等，不符合题意； D．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×9×6＝18（cm3），不相等，符合题意。 故答案为：D 15．如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此判断A、B两个选项； 对于C、D两个选项，根据圆锥的体积＝÷3求出题干中圆锥的体积，根据圆柱的体积＝求出C、D两个选项中圆柱的体积，再进行比较判断即可解答。 【详解】A．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高也相等，所以将圆锥内的水全部倒入圆柱形容器中，圆柱形容器内的水是圆柱形容器高的，不能倒满； B．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高等于5cm，是圆锥形玻璃容器的5÷15＝，所以全部倒入圆柱形容器中，正好倒满； C．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝（），圆柱的体积＝××10＝××10＝×9×10＝90＝（），＞，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满； D．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝（），圆柱的体积＝××15＝××15＝（），＞，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满。 故答案为：B 三、计算题 16．计算下列圆锥的体积。 【答案】12 dm3；200.96 cm3；0.7536 m3 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×＝，把数据代入公式即可求解。 【详解】（1）8×4.5× ＝36× ＝12（dm3） 所以这个圆锥的体积是12 dm3。 （2）3.14×42×12× ＝3.14×16×12× ＝200.96（cm3） 所以这个圆锥的体积是200.96 cm3。 （3）3.14×（1.2÷2）2×2× ＝3.14×0.62×2× ＝3.14×0.36×2× ＝1.1304×2× ＝2.2608× ＝0.7536（m3） 所以这个圆锥的体积是0.7536 m3。 四、解答题 17．有一个近似于圆锥形的稻谷堆，底面直径是4米，高是1.5米。如果每立方米稻谷大约重0.55吨，这堆稻谷大约重多少吨？（得数保留整数） 【答案】3吨 【分析】已知圆锥的底面直径，根据公式：r＝d÷2，求出底面半径；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2求出稻谷堆的体积，最后用稻谷堆的体积乘每立方米稻谷的质量，就是这堆稻谷的总重量；再按照四舍五入的方法保留整数即可。 【详解】4÷2＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 6.28×0.55≈3（吨） 答：这堆稻谷大约重3吨。 18．在一个内底面直径是20厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没水中，这时水面上升0.2厘米，圆锥形的高是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥形铁块放入容器中，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：，得出上升0.2厘米圆柱的体积，也就是圆锥的体积。再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【详解】 （厘米） 答：圆锥形铁块的高是15厘米。 19．把一块棱长是30厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？（得数保留整数） 【答案】258厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。保留整数看十分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】30×30×30×3÷（3.14×102） ＝27000×3÷（3.14×100） ＝81000÷314 ≈258（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是258厘米。 20．一个近似圆锥形沙堆，底面积是15平方米，高是1.6米。学校要用这堆沙子铺一个长是4米、宽是2.7米、厚是0.5米的长方体跳远场地。这堆沙子够不够？ 【答案】够 【分析】根据圆锥的体积＝×底面积×高，长方体的体积＝长×宽×高，代入相关数据分别求出圆锥形沙堆和长方体跳远场地的体积，再比较它们的大小即可解答。 【详解】×15×1.6 ＝5×1.6 ＝8（立方米） 4×2.7×0.5 ＝10.8×0.5 ＝5.4（立方米） 8＞5.4 答：这堆沙子够。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $