第2.2讲 用字母表示数量关系及公式（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛版）

第2.2讲 用字母表示数量关系及公式 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）能用字母表示复杂的数量关系，理解字母在表示数量关系中的作用。 （2）掌握常见几何图形的面积、周长公式，并能用字母正确表示。 （3）会用字母表示实际问题中的复杂数量关系。 （4）能根据实际情况建立含有字母的关系式，并求出相应的值。 2、重难点。 重点 ：用字母表示复杂的数量关系和常见的数学公式。 难点 ：理解复杂数量关系中各个量之间的联系，正确建立关系式。 模块二 预习引导 一、用字母表示复杂的数量关系 1、什么是复杂的数量关系？ 复杂的数量关系是指涉及多个变量、多种运算的数学关系，如：多个条件同时存在的关系，包含多步运算的关系 实际问题中的综合关系 2、表示方法 ： 分析题目中各个量的关系；找出已知量和未知量；用字母表示未知量；根据题意列出关系式。 二、常见几何图形的公式 1、长方形 ：•周长：C = 2(a + b) •面积：S = ab （其中a表示长，b表示宽） 2、正方形 ： •周长：C = 4a •面积：S = a² （其中a表示边长） 三、实际问题中的复杂关系 1、行程问题 ： •路程=速度×时间，即s = vt •相遇问题：s = (v₁ + v₂)t 2、工程问题 ： •工作总量=工作效率×工作时间 四、建立关系式的步骤 1.审题 ：理解题意，找出已知条件和所求问题 2.设未知数 ：用字母表示未知量 3.找关系 ：根据题意找出各量之间的关系 4.列式子 ：用字母和数字列出关系式 5.检验 ：检查关系式是否符合题意 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．如图，一个长方形和一个正方形拼成了一个大长方形。大长方形面积是( )；“2a＋16”这个式子表示( )。 2．一箱苹果重a千克，一箱梨重b千克。15箱苹果和12箱梨一共重( )千克。如果，，苹果和梨共重( )千克 3．高铁的速度是6千米/分，进站前，平均每分钟减速a千米。3分钟后，速度减少了( )千米；5分钟后，速度是( )千米/分。 4．为将蔬菜运到蔬菜批发市场，每天有a辆卡车参加运输，每辆卡车一次可运12吨，一次一共运( )吨，当a＝5时，一次一共运( )吨。 5．自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 二、选择题 6．观察下图，（    ）能表示图中的等量关系。 A．b＋20＝100 B．2b＋20＝100 C．2b－20＝100 7．甲数是x，比乙数的3倍少3，乙数就是（    ）。 A．（x＋3）÷3 B．3x－3 C．3x＋3 8．一个长方形周长是28厘米，长是a厘米，宽是（    ）厘米。 A．（28－a）÷2 B．28÷2－a C．28－a÷2 D．28－a×2 9．含有字母的式子8a＋18可以表示（    ）。 A．1kg苹果8元，水果店上午卖了akg，下午卖18kg，一共卖的钱数 B．每根绳子长8米，（a＋18）根绳子的长度 C．一本练习本8元，一个文具盒18元，a本练习本和一个文具盒的总价 10．下面情境中，不能用2a＋8表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．等腰三角形的周长： C．长方形的周长： 11．如图，用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要（    ）根小棒。 A．6n B．5n＋1 C．6n－1 三、解答题 12．青岛国际啤酒节的门票价格为A区280元，B区180元，C区80元。某旅行团买了x张A区门票和y张B区门票。 （1）用含有字母的式子表示该旅行团购买门票一共花费的钱数。 （2）当x＝6，y＝14时，一共需要多少元？ 13．甲乙两地相距a千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行x千米，已经行了5小时。 （1）用含有字母的式子表示这辆汽车离乙地还有多少千米。 （2）当a＝540，x＝45时，离乙地还有多少千米？ 14．利民超市运来20箱牛奶，每箱a瓶，又运来b箱可乐，每箱12瓶。 （1）用含有字母的式子表示超市里一共运来了多少瓶牛奶和可乐？ （2）当a＝24，b＝13时，超市一共运来牛奶和可乐多少瓶？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.2讲 用字母表示数量关系及公式 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）能用字母表示复杂的数量关系，理解字母在表示数量关系中的作用。 （2）掌握常见几何图形的面积、周长公式，并能用字母正确表示。 （3）会用字母表示实际问题中的复杂数量关系。 （4）能根据实际情况建立含有字母的关系式，并求出相应的值。 2、重难点。 重点 ：用字母表示复杂的数量关系和常见的数学公式。 难点 ：理解复杂数量关系中各个量之间的联系，正确建立关系式。 模块二 预习引导 一、用字母表示复杂的数量关系 1、什么是复杂的数量关系？ 复杂的数量关系是指涉及多个变量、多种运算的数学关系，如：多个条件同时存在的关系，包含多步运算的关系 实际问题中的综合关系 2、表示方法 ： 分析题目中各个量的关系；找出已知量和未知量；用字母表示未知量；根据题意列出关系式。 二、常见几何图形的公式 1、长方形 ：•周长：C = 2(a + b) •面积：S = ab （其中a表示长，b表示宽） 2、正方形 ： •周长：C = 4a •面积：S = a² （其中a表示边长） 三、实际问题中的复杂关系 1、行程问题 ： •路程=速度×时间，即s = vt •相遇问题：s = (v₁ + v₂)t 2、工程问题 ： •工作总量=工作效率×工作时间 四、建立关系式的步骤 1.审题 ：理解题意，找出已知条件和所求问题 2.设未知数 ：用字母表示未知量 3.找关系 ：根据题意找出各量之间的关系 4.列式子 ：用字母和数字列出关系式 5.检验 ：检查关系式是否符合题意 模块三 小试牛刀 一、填空题 1．如图，一个长方形和一个正方形拼成了一个大长方形。大长方形面积是( )；“2a＋16”这个式子表示( )。 【答案】 4a＋16/16＋4a 大长方形的周长 【分析】长方形的面积＝长×宽。由题意得，一个长方形和一个正方形拼成了一个大长方形，大长方形的长是（a＋4），宽是4，求它的面积，直接用长乘宽即可。长方形的周长＝（长＋宽）×2，直接将数据代入即可算出大长方形的周长。 【详解】大长方形的面积：（a＋4）×4＝a×4＋4×4＝4a＋16 大长方形的周长：（a＋4＋4）×2＝（a＋8）×2＝a×2＋8×2＝2a＋16 故大长方形面积是4a＋16；“2a＋16”这个式子表示大长方形的周长。 2．一箱苹果重a千克，一箱梨重b千克。15箱苹果和12箱梨一共重( )千克。如果，，苹果和梨共重( )千克 【答案】 15a＋12b 246 【分析】用每箱苹果、梨各自的重量乘相应的箱数求出每种水果的重量，再相加即可将数量关系用字母表示出来，然后把字母代换成数字计算即可。 【详解】15×a＋12×b＝15a＋12b（千克） a＝10，b＝8； 15×10＋12×8 ＝150＋96 ＝246（千克） 一箱苹果重a千克，一箱梨重b千克。15箱苹果和12箱梨一共重15a＋12b千克。如果，，苹果和梨共重246千克 3．高铁的速度是6千米/分，进站前，平均每分钟减速a千米。3分钟后，速度减少了( )千米；5分钟后，速度是( )千米/分。 【答案】 3a 6－5a 【分析】（1）要求3分钟后速度减少的千米数，就是求3个a是多少，根据乘法的意义，用平均每分钟减速的千米数×3即可；（2）5分钟一共减少的速度就是5个a千米，根据乘法的意义，用平均每分钟减速的千米数×5，再用原来的速度减去5分钟一共减少的速度，即可计算出5分钟后高铁的速度。据此解答。 【详解】（1）a×3＝3a（千米）； （2）a×5＝5a（千米），故5分钟后，速度是（6－5a）千米/分。 所以高铁的速度是6千米/分，进站前，平均每分钟减速a千米。3分钟后，速度减少了3a千米；5分钟后，速度是（6－5a）千米/分。 4．为将蔬菜运到蔬菜批发市场，每天有a辆卡车参加运输，每辆卡车一次可运12吨，一次一共运( )吨，当a＝5时，一次一共运( )吨。 【答案】 12a 60 【分析】根据题意，一次一共运的吨数等于卡车的数量乘每辆卡车一次可运的吨数，即a × 12 ＝ 12a吨。 当a＝5时，将a的值代入表达式，计算得12 × 5 ＝ 60吨。 【详解】12 × a ＝ 12a（吨） 12 × 5 ＝ 60（吨） 为将蔬菜运到蔬菜批发市场，每天有a辆卡车参加运输，每辆卡车一次可运12吨，一次一共运12a吨，当a＝5时，一次一共运60吨。 5．自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 【答案】 9x＋6y/6y＋9x 42 【分析】根据题意，应缴纳的水费需要分两部分进行计算：一部分是前9吨的费用，另一部分是超过9吨部分的费用。小明家1月份用水15吨，其中前9吨按照每吨x元收费，所以前9吨的费用为9x元；超过9吨的部分为15吨减去9吨，即6吨，这6吨按照每吨y元收费，所以超过9吨部分的费用为6y元，再将两部分的费用相加即是1月份应缴的费用。 将x、y的值代入到式子中进行计算即可。 【详解】9x＋（15－9）y＝（9x＋6y）元 因此，小明家1月份用水15吨应缴费（9x＋6y）元。 当x为2元，y为4元时，代入式子中得到： 9x＋6y＝9×2＋6×4＝18＋24＝42（元） 则他家应交水费42元。 二、选择题 6．观察下图，（    ）能表示图中的等量关系。 A．b＋20＝100 B．2b＋20＝100 C．2b－20＝100 【答案】B 【分析】根据题意可知，图中3段线段，长度分别是b米、20米和b米，3段线段的总长度一共是100米。据此解答。 【详解】A．b＋20＝100表示b米和20米的总长度是100米；不能表示图中的数量关系； B．2b＋20＝100表示2个b米和20米的总长度是100米，能表示图中数量关系； C．2b－20＝100表示2个b米比20米多100米，不能表示图中数量关系。 所以，能表示图中数量关系的是：2b＋20＝100。 故答案为：B 7．甲数是x，比乙数的3倍少3，乙数就是（    ）。 A．（x＋3）÷3 B．3x－3 C．3x＋3 【答案】A 【分析】根据题意，乙数×3－3＝甲数，可得乙数＝（甲数＋3）÷3，据此解答。 【详解】根据分析可知： 甲数是x，比乙数的3倍少3，表示乙数的式子是：乙数＝（甲数＋3）÷3，即表示乙数的式子是：（x＋3）÷3。 故答案为：A 8．一个长方形周长是28厘米，长是a厘米，宽是（    ）厘米。 A．（28－a）÷2 B．28÷2－a C．28－a÷2 D．28－a×2 【答案】B 【分析】长方形的宽＝周长÷2－长，据此解答即可。 【详解】长是a厘米，宽是（28÷2－a）厘米。 故答案为：B 【点睛】本题考查字母表示数以及长方形周长公式的应用，关键是熟记公式。 9．含有字母的式子8a＋18可以表示（    ）。 A．1kg苹果8元，水果店上午卖了akg，下午卖18kg，一共卖的钱数 B．每根绳子长8米，（a＋18）根绳子的长度 C．一本练习本8元，一个文具盒18元，a本练习本和一个文具盒的总价 【答案】C 【分析】根据单价×数量＝总价，单个长度×数量＝总长，上午的卖出价格＋下午卖出价格＝一共的，练习本的价格＋文具盒的价格＝总价，分析三个选项的数量关系。看哪一个可以用8a＋18表示。 【详解】A．单价×数量＝总价，用卖出的千克数乘苹果单价就是卖了多少元。所以上午卖了8a元，下午卖出144元。再用上午卖出的价格加上下午卖出的价格，就是一共卖出（8a＋144）元。 B．用每根绳子的长度×绳子的数量＝绳子的总长度，列算式是8×（a＋18），化简是（8a＋144）元。 C．单价×数量＝总价，用练习本单价8元乘数量a本就是练习本的价格8a元，再加上一个文具盒价格就是（8a＋18）元。 故答案为：C 10．下面情境中，不能用2a＋8表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．等腰三角形的周长： C．长方形的周长： 【答案】A 【分析】2a＋8表示是2与a的乘积再加上8，据此判断各选项是否符合。 【详解】A．整条线段的长度应该用三部分相加，2＋a＋8，不能用2a＋8表示； B．等腰三角形的两条腰相等，所以周长为2倍的腰长加底边长，可以用2a＋8表示； C．长方形的周长为2×长＋2×宽，代入为2a＋4×2，也就是2a＋8。 故答案为：A 11．如图，用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要（    ）根小棒。 A．6n B．5n＋1 C．6n－1 【答案】B 【分析】根据图示，摆1个六边形需要小棒根数：6根；摆2个六边形需要小棒根数：6＋5＝11（根）；摆3个六边形需要小棒根数：6＋5＋5＝16（根）；……摆n个六边形需要小棒根数：6＋5（n－1）＝（5n＋1）根。据此解答。 【详解】摆1个六边形需要小棒根数：6根； 摆2个六边形需要小棒根数：6＋5＝11（根）； 摆3个六边形需要小棒根数：6＋5＋5＝16（根）； 摆n个六边形需要小棒根数： 6＋5（n－1） ＝6＋5×n－5 ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 所以摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒。 故答案为：B 三、解答题 12．青岛国际啤酒节的门票价格为A区280元，B区180元，C区80元。某旅行团买了x张A区门票和y张B区门票。 （1）用含有字母的式子表示该旅行团购买门票一共花费的钱数。 （2）当x＝6，y＝14时，一共需要多少元？ 【答案】（1）（280x＋180y）元 （2）4200元 【分析】（1）先用每张A区门票的价格乘x，求出购买A区门票的总花费是280x元；再用每张B区门票的价格乘y，求出购买B区门票的总花费是180y元；最后相加即可； （2）根据上一步得到的式子，我们只需要将x＝6，y＝14代入式子，就可以得到总的花费。 【详解】（1）A区门票的总花费：280x元 B区门票的总花费：180y元 一共花费的钱数：（280x＋180y）元 答：该旅行团购买门票一共花费的钱数是（280x＋180y）元。 （2）当x＝6，y＝14时， （元） 答：当x＝6，y＝14时，一共需要4200元。 13．甲乙两地相距a千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行x千米，已经行了5小时。 （1）用含有字母的式子表示这辆汽车离乙地还有多少千米。 （2）当a＝540，x＝45时，离乙地还有多少千米？ 【答案】（1）（a－5x）千米；（2）315千米 【分析】（1）每小时行x千米，已经行了5小时，根据路程＝速度×时间，已行驶的路程可用5x表示，两地总长度是a千米，所以用a减已行驶的路程可知这辆汽车离乙地还有多少千米； （2）将a＝540，x＝45代入（1）的算式计算即可。 【详解】（1）a－5x 答：这辆汽车离乙地还有（a－5x）千米。 （2）当a＝540，x＝45时 a－5x ＝540－5×45 ＝540－225 ＝315（千米） 答：离乙地还有315千米。 14．利民超市运来20箱牛奶，每箱a瓶，又运来b箱可乐，每箱12瓶。 （1）用含有字母的式子表示超市里一共运来了多少瓶牛奶和可乐？ （2）当a＝24，b＝13时，超市一共运来牛奶和可乐多少瓶？ 【答案】（1）（20a＋12b）瓶 （2）636瓶 【分析】（1）每箱牛奶的瓶数乘运来牛奶的箱数等于运来牛奶的瓶数，每箱可乐的瓶数乘运来可乐的箱数等于运来可乐的瓶数，然后把牛奶的瓶数和可乐的瓶数相加，即等于总共运来牛奶和可乐的瓶数。 （2）把a＝24，b＝13代入（1）式中计算即可解答。 【详解】（1）a×20＋12×b＝（20a＋12b）瓶 答：超市里一共运来了（20a＋12b）瓶牛奶和可乐。 （2）当a＝24，b＝13时 20×24＋12×13 ＝480＋156 ＝636（瓶） 答：超市一共运来牛奶和可乐636瓶。 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