第12课 2、5的倍数特征（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第12课 2、3、5的倍数特征 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、举例和验证，理解2、5倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数，能准确判断一个数是否是2或5的倍数。 （2）掌握3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，能根据特征判断一个数是否是3的倍数。 （3）认识奇数和偶数的概念：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，能区分一个数是奇数还是偶数。 （4）能综合运用2、3、5倍数的特征解决实际问题，如找出100以内同时是2、3、5倍数的数。 2.重难点 重点：掌握2、3、5倍数的特征，能准确判断一个数是否是2、3、5的倍数；理解奇数和偶数的概念。 难点：理解3的倍数特征（与各位数字之和相关）与2、5倍数特征（与个位数字相关）的区别；综合运用特征解决问题。 模块二 预习引导 一、2和5倍数的特征 1.2的倍数特征 观察例子：2、4、6、8、10、12、14…… 发现规律：这些数的个位数字是0、2、4、6、8。 正例：24（个位4）、50（个位0）、136（个位6）都是2的倍数。 反例：13（个位3）、27（个位7）不是2的倍数。 小结论：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 2.5的倍数特征 观察例子：5、10、15、20、25、30…… 发现规律：这些数的个位数字是0或5。 正例：35（个位5）、80（个位0）、105（个位5）都是5的倍数。 反例：12（个位2）、37（个位7）不是5的倍数。 小结论：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3.2和5的公倍数特征 思考：同时是2和5倍数的数有什么特点？（如10、20、30……） 发现：个位上必须是0。 结论：个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 二、3的倍数的特征 1.探究规律 观察例子：3、6、9、12、15、18、21…… 计算各位数字之和： 12：1+2=3（3是3的倍数） 15：1+5=6（6是3的倍数） 21：2+1=3（3是3的倍数） 2.反例验证：14（1+4=5，5不是3的倍数，14不是3的倍数）；26（2+6=8，8不是3的倍数，26不是3的倍数）。 3.小结论：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.对比辨析 思考：为什么2和5的倍数只看个位，而3的倍数要看各位数字之和？（可举例：12是2的倍数（个位2），也是3的倍数（1+2=3）；25是5的倍数（个位5），但2+5=7，不是3的倍数）。 三、奇数和偶数的认识 1.概念 偶数：是2的倍数的数（个位0、2、4、6、8），如2、10、24……（0也是偶数）。 奇数：不是2的倍数的数（个位1、3、5、7、9），如3、15、27……。 2.举例判断 正例：28（偶数）、33（奇数）、100（偶数）。 反例：17（奇数，不是2的倍数）、22（偶数，是2的倍数）。 四、预习试一试 1.在1~30的数中，找出： 2的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 同时是2和5的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 2.判断对错： 个位上是3的数一定是3的倍数（ ） 偶数都是2的倍数（ ） 一个数是5的倍数，个位一定是5（ ） 五、预习思考 2、3、5的倍数特征有什么不同？如何快速区分？ 生活中哪些地方会用到倍数的特征？（如分物品、编号等） 一个数同时是2、3、5的倍数，它有什么特征？举例说明。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．（　　）÷3＝20……2，这个被除数（　　）。 A．不是3的倍数 B．是奇数 C．不是合数 D．能被5整除 2．两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是（　　）的倍数。 A．3 B．4 C．2和5 3．下面各数，既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的数是（　　）。 A．2020 B．2226 C．2220 4．A是大于0且比10小的自然数，下面的五位数一定是3的倍数的数是（　　） A．AAAA3 B．A2AA1 C．AA5AA D．AAAAA 5．用2、6、7三个数字组成的三位数(　　)。 A．一定是3的倍数 B．一定不是3的倍数 C．有的是3的倍数，有的不是3的倍数 D．不能确定 6．要使5□5是3的倍数，□里可以填的数字有（　　）。 A．1、2、3 B．2、4、6 C．2、5、8 D．2、3、5 二、填空题 7．要使“1□6□”这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是　 　。最大是　 　。 8．妈妈网购一个吹风机，花了9元，如果这个两位数既是5的倍数又含有因数2， 里应该填　 　。 9．一个三位数2□□，同时是2、3、5的倍数，这个三位数个位上的数字是　 　，十位上的数字最大填　 　。 10．一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个两位数最小是　 　。 11．一堆糖果有巧克力、水果、牛奶三种口味，如果拿走5块巧克力糖，可以将剩下的糖分成完全相同的2份；如果拿走2块水果糖，可以将剩下的糖分成完全相同的3份；如果拿走3块牛奶糖，可以将剩下的糖分成完全相同的5份。这堆糖果最少有　 　块糖。 12．一个数是36的因数，也是2和3的倍数，而且比15小，这个数是　 　 13．226至少增加　 　就是3的倍数，至少减少　 　就是5的倍数。 14．605至少减去　 　就是3的倍数；75至少加上　 　就是2和5的公倍数。 15．几位男生和几位女生一起摆花，平均每位男生摆了5盆，平均每位女生摆了2盆，他们一共摆了43盆，男生比女生多　 　人。 16． 的积末尾有 　 　个连续的0，积是 位数。 17．既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 18．一个三位数□1□，既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是　 　，最大是　 　。 19．横线上填上最大能填几？ 3的倍数：5　 　4 既是2的倍数又是3的倍数：6　 　　 　 20．一个自然数比20小，它既是3的倍数，又有因数5，这个自然数是　 　。 21．一个三位数32□，如果它既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填　 　；如果它是5的倍数，□里可以填　 　。 三、解答题 22．在1~150的自然数中，既不是4的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12课 2、3、5的倍数特征 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、举例和验证，理解2、5倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数，能准确判断一个数是否是2或5的倍数。 （2）掌握3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，能根据特征判断一个数是否是3的倍数。 （3）认识奇数和偶数的概念：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，能区分一个数是奇数还是偶数。 （4）能综合运用2、3、5倍数的特征解决实际问题，如找出100以内同时是2、3、5倍数的数。 2.重难点 重点：掌握2、3、5倍数的特征，能准确判断一个数是否是2、3、5的倍数；理解奇数和偶数的概念。 难点：理解3的倍数特征（与各位数字之和相关）与2、5倍数特征（与个位数字相关）的区别；综合运用特征解决问题。 模块二 预习引导 一、2和5倍数的特征 1.2的倍数特征 观察例子：2、4、6、8、10、12、14…… 发现规律：这些数的个位数字是0、2、4、6、8。 正例：24（个位4）、50（个位0）、136（个位6）都是2的倍数。 反例：13（个位3）、27（个位7）不是2的倍数。 小结论：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 2.5的倍数特征 观察例子：5、10、15、20、25、30…… 发现规律：这些数的个位数字是0或5。 正例：35（个位5）、80（个位0）、105（个位5）都是5的倍数。 反例：12（个位2）、37（个位7）不是5的倍数。 小结论：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3.2和5的公倍数特征 思考：同时是2和5倍数的数有什么特点？（如10、20、30……） 发现：个位上必须是0。 结论：个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 二、3的倍数的特征 1.探究规律 观察例子：3、6、9、12、15、18、21…… 计算各位数字之和： 12：1+2=3（3是3的倍数） 15：1+5=6（6是3的倍数） 21：2+1=3（3是3的倍数） 2.反例验证：14（1+4=5，5不是3的倍数，14不是3的倍数）；26（2+6=8，8不是3的倍数，26不是3的倍数）。 3.小结论：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.对比辨析 思考：为什么2和5的倍数只看个位，而3的倍数要看各位数字之和？（可举例：12是2的倍数（个位2），也是3的倍数（1+2=3）；25是5的倍数（个位5），但2+5=7，不是3的倍数）。 三、奇数和偶数的认识 1.概念 偶数：是2的倍数的数（个位0、2、4、6、8），如2、10、24……（0也是偶数）。 奇数：不是2的倍数的数（个位1、3、5、7、9），如3、15、27……。 2.举例判断 正例：28（偶数）、33（奇数）、100（偶数）。 反例：17（奇数，不是2的倍数）、22（偶数，是2的倍数）。 四、预习试一试 1.在1~30的数中，找出： 2的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 同时是2和5的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 2.判断对错： 个位上是3的数一定是3的倍数（ ） 偶数都是2的倍数（ ） 一个数是5的倍数，个位一定是5（ ） 五、预习思考 2、3、5的倍数特征有什么不同？如何快速区分？ 生活中哪些地方会用到倍数的特征？（如分物品、编号等） 一个数同时是2、3、5的倍数，它有什么特征？举例说明。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．（　　）÷3＝20……2，这个被除数（　　）。 A．不是3的倍数 B．是奇数 C．不是合数 D．能被5整除 【答案】A 【解析】解：这个数是20×3+2=62，不是3的倍数，是偶数，是合数，不能被5整除。 故答案为：A。 【分析】用商乘除数再加上余数求出被除数。然后判断被除数是不是3的倍数，是不是5的倍数，是偶数还是奇数，是合数还是质数。 2．两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是（　　）的倍数。 A．3 B．4 C．2和5 【答案】C 【解析】解：两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是2和5的倍数。 故答案为：C。 【分析】两个自然数，个位上的数字相同，说明它们的差的个位上的数字一定是0，个位上的数字是0的数一定是2和5的倍数。 3．下面各数，既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的数是（　　）。 A．2020 B．2226 C．2220 【答案】C 【解析】解：A项：2＋2=4，不是3的倍数； B项：2226的个位数字是6，不是5的倍数； C项：2＋2＋2=6，6是3的倍数，2220是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数。 故答案为：C。 【分析】根据题意可知既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的数个位数字必须是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数。 4．A是大于0且比10小的自然数，下面的五位数一定是3的倍数的数是（　　） A．AAAA3 B．A2AA1 C．AA5AA D．AAAAA 【答案】B 【解析】解：A+2+A+A+1=3A+3=3（A+1）， A2AA1 一定是3的倍数。 故答案为：B。 【分析】3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。 5．用2、6、7三个数字组成的三位数(　　)。 A．一定是3的倍数 B．一定不是3的倍数 C．有的是3的倍数，有的不是3的倍数 D．不能确定 【答案】A 【解析】解：2+6+7=15，15是3的倍数， 用2、6、7三个数字组成的三位数一定是3的倍数。 故答案为：A。 【分析】3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。 6．要使5□5是3的倍数，□里可以填的数字有（　　）。 A．1、2、3 B．2、4、6 C．2、5、8 D．2、3、5 【答案】C 【解析】解：5+5=10；□里可以填的数字有2、5、8。 故答案为：C。 【分析】3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。 二、填空题 7．要使“1□6□”这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是　 　。最大是　 　。 【答案】1065；1965 【解析】解：要使这个数是5的倍数，那么这个数的个位商只能是0或5； 1+6=7，要使这个数是3的倍数，那么百位上的数字与个位上的数字之和是2、5、8、11、14、17； 当个位上是0时，百位上可以是2、5、8； 当个位上是5时，百位上可以是0、3、6、9； 要使这个数最小，那么就使百位上的数字尽量小，百位上是0时，个位上只能是5，这个数最小是1065； 要使这个数最大，那么就使百位上的数字尽量大，百位上是9时，个位上只能是5，这个数最大是1965； 故答案为：1065；1965。 【分析】3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5；要使这个数最小，就使百位上的数字尽量小；要使这个数最大，就使百位上的数字尽量大；据此解答。 8．妈妈网购一个吹风机，花了9元，如果这个两位数既是5的倍数又含有因数2， 里应该填　 　。 【答案】0 【解析】解：根据2、5的倍数特征可知，里应该填0。 故答案为：0。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数含有因数2；个位上是0或5的数是5的倍数。所以既是5的倍数，又有因数2的数的个位数字一定是0。 9．一个三位数2□□，同时是2、3、5的倍数，这个三位数个位上的数字是　 　，十位上的数字最大填　 　。 【答案】0；7 【解析】解：一个三位数2□□，同时是2、3、5的倍数，这个三位数个位上的数字是0，十位上的数字最大填7。 故答案为：0；7。 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位数字是0或5的倍数是5的倍数；所以同时是2、5倍数的数的个位数字一定是0。各个数位上数字之和是3的倍数，根据3的倍数特征确定十位数字最大填几即可。 10．一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个两位数最小是　 　。 【答案】30 【解析】2和5的倍数的两位数有10、20、30、40、50、60、70、80、90。同时还是3的倍数的两位数有30、60、90，最小的是30。 故答案为：30。 【分析】既是2的倍数又是5的倍数个位必须是0，又是3的倍数，十位可以是3、6、9。要使这个两位数最小，即30、60、90中选最小的即可。 11．一堆糖果有巧克力、水果、牛奶三种口味，如果拿走5块巧克力糖，可以将剩下的糖分成完全相同的2份；如果拿走2块水果糖，可以将剩下的糖分成完全相同的3份；如果拿走3块牛奶糖，可以将剩下的糖分成完全相同的5份。这堆糖果最少有　 　块糖。 【答案】53 【解析】15+20+18=53(个) 故答案为：53。 【分析】巧克力糖果的数量即是3的倍数、又是5的倍数，最小为15； 水果糖果的数量即是2的倍数、又是5的倍数，且除以3余数为2，最小为20； 牛奶糖果的数量即是2的倍数、又是3的倍数，且除以5余数为3，最小为18； 所以这堆糖果最少有：15+20+18=53(个)。 12．一个数是36的因数，也是2和3的倍数，而且比15小，这个数是　 　 【答案】6或12 【解析】解答：36以内的2和3的倍数有6，12，18，24，30，36； 而且比15小，所以有6，12， 故答案为：6或12. 分析：如果非零自然数a和非零自然数b的乘积是c，即a×b=c，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数. 13．226至少增加　 　就是3的倍数，至少减少　 　就是5的倍数。 【答案】2；1 【解析】解：226至少增加2就是3的倍数，至少减少1就是5的倍数。 故答案为：2；1。 【分析】3的倍数的数的特征是：各个数位上的数字之和是3的倍数，226各个数位上的数字之和是10，10再加上2是12，12是3的倍数，所以226至少增加2就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：这个数的个位是0或5，226末尾的数字6减1就是5，所以226至少减少1就是5的倍数。 14．605至少减去　 　就是3的倍数；75至少加上　 　就是2和5的公倍数。 【答案】2；5 【解析】解：605-2=603，603÷3=201； 75＋5=80，80是2和5的公倍数。 故答案为：2；5。 【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。 15．几位男生和几位女生一起摆花，平均每位男生摆了5盆，平均每位女生摆了2盆，他们一共摆了43盆，男生比女生多　 　人。 【答案】3 【解析】解：平均每位男生摆了5盆，男生摆的盆数可能是： 5、10、15、20、25、30、35、40、......； 平均每位女生摆了2盆，女生摆的盆数可能是： 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、......； 因为43是奇数，女生摆的盆数都是偶数，所以男生摆的盆数是奇数，符合条件的有： 5+38=43，15+28=43，25+18=43，35+8=43， 男生是1个人时，女生是18人，不符合男生比女生多的题意， 男生是3个人时，女生是14人，不符合男生比女生多的题意， 男生是5个人时，女生是9人，不符合男生比女生多的题意， 男生是7个人时，女生是4人，符合男生比女生多的题意， 7-4=3，男生比女生多3人。 故答案为：3。 【分析】他们摆的盆数是5的倍数和2的倍数，摆的盆数的和是43，结果是男生人数比女生人数多，满足这三个条件即可，据此解答。 16． 的积末尾有 　 　个连续的0，积是 　 　位数。 【答案】22；24 【解析】解：积末尾有22个连续的0，积是24位数。 故答案为：22；24。 【分析】2×5的积的末位有1个0，22个5与22个2相乘积的末位有22个0，2×2×2×2=16，则积共有24位。 三、解答题 17．在1~150的自然数中，既不是4的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？ 【答案】这些数中4的倍数有150÷4=37(个)……2 5的倍数有150÷ 5=30(个)， 既是4的倍数又是5的倍数的共有150÷(4×5)=7(个)……10， 所以既不是4的倍数也不是5的倍数的数共有150-(37+30-7)=90(个) 答： 在1~150的自然数中，既不是4的倍数，也不是5的倍数的数有90个 【解析】【分析】在1-150中，除去“既不是4的倍数，也不是5的倍数”的数，剩下的数或者是5的倍数，或者是4的倍数，同时包含了20的倍数，150与这部分的个数之差即可。 18．既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是　 　，最大三位数是　 　。 【答案】102；996 【解析】解：既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是 ：102；最大三位数是996。 故答案为：102；996。 【分析】根据题意可知最小的三位数既是2的倍数又是3的倍数，个位数字必须是偶数，并且各个数位上数的和是3的倍数，1＋2=3，所以最小三位数是102；最大三位数999，个位上数字9不是2的倍数，个位数字是6时是2的倍数，所以最大三位数是996。 19．一个三位数□1□，既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是　 　，最大是　 　。 【答案】210；810 【解析】解：同时是2、5的倍数说明个位上的数字是0； 既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是210，最大是810。 故答案为：210；810。 【分析】同时是2、3、5的倍数的数的特征是这个数个位上的数字是0，所有数位上的数字之和是3的倍数。 20．横线上填上最大能填几？ 3的倍数：5　 　4 既是2的倍数又是3的倍数：6　 　　 　 【答案】9；9；6 【解析】解：3的倍数有：504、534、564、594，横线上填上最大能填9； 既是2的倍数又是3的倍数：十位上最大是9，个位上最大是6。 故答案为：9；9；6。 【分析】5和4的和是9，9是3的倍数，横线上填的数只要是3的倍数就行，3的倍数最大的是9，所以第一空最大填9； 6是3的倍数，所以第二空横线上最大可以填9； 因为还是2的倍数，所以第三空中填的数必须是偶数，还要是3的最大的倍数，填6。 21．一个自然数比20小，它既是3的倍数，又有因数5，这个自然数是　 　。 【答案】15 【解析】解：3×5=15，15<20，所以这个自然数是15。 故答案为：15。 【分析】根据题意可得这个数是3和5的倍数，3和5是互质数，所以最小公倍数是他们的积，也就是15，所以公倍数从小开始排：15、30、45、......，符合小于20的，只有15。 22．一个三位数32□，如果它既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填　 　；如果它是5的倍数，□里可以填　 　。 【答案】4；0、5 【解析】如果它是2的倍数，那么 □ 可以填0、2、4、6、8，从这里面选出满足是3的倍数，3+2+0=5、3+2+2=7、3+2+4=9、3+2+6=11、3+2+8=13，那么既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填4。 如果它是5的倍数，□里可以填0、5。 故答案为：4；0、5。 【分析】一个数的各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 个位是0或者5的数就是5的倍数。 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $