数学一模保分卷03（上海专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】，， 则． 故答案为： 2．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．复数的实部为 . 【答案】8 【解析】，所以复数实部为8. 故答案为：8. 4．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 【答案】 【解析】由二项式定理可知，的系数为，的系数为，由题可得 ，即，所以，而且，解得． 故答案为：. 5．若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 故答案为：. 6．已知函数，则 . 【答案】8 【解析】，则. 故答案为：8. 7．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 由余弦定理得，， 即，且， 则，当且仅当时取等号， 又， 因为，所以，所以 所以， 所以，所以， 故. 故答案为： 8.《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 . 【答案】 【解析】从个盲盒中任取个盲盒，共有种取法； 抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有种；包含哪吒和一个龙王的取法有种； 任意抽取个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王的概率. 故答案为：. 9．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【解析】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 10.若正数满足，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】因为均为正数，所以， 又， 所以， ， 即 即， 所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为3， 故答案为：3. 11．某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 【答案】. 【解析】如图，在矩形中，设，，， 则，圆的半径m， 因为，，即， 当且仅当时，等号成立， 可得， 即，解得， 所以矩形花园占地面积的最小值为. 故答案为：. 12．已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】非零向量，的夹角为，且， ， ， ，即， 对任意的，恒有， ，即，则， ， 表示点到点，的距离之和， 取点关于x轴的对称点，则，如下图所示， 当点A，P，C共线时最小，最小值为， （）的最小值为． 故答案为：． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 14．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知， . 故选：D. 15．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意有：， 所以正四棱台的体积为：， 所以一石米的体积大约为：， 故选：C 16．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】C 【解析】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）, 对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为； 球与球相切，两球心距离为，该距离等于， 由此得到递推关系：， 整理得， 所以是首项，公比的等比数列. 对于A：，A正确； 对于B：以上已证明，B正确； 对于C：等比数列前项和，因为， 所以，所以，C错误； 对于D：球的体积，， 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以 所以，D正确； 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 故，，. 设平面的法向量，则， 即，令，得， 则. 因为，故， 为平面的一个法向量，平面， 所以平面； （2）为的中点，故，则，，. 设平面的法向量，平面的法向量，则， ，即，令，得， 则. ，即，令，则， 则. 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 18．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 【答案】(1)；的对称轴为；函数的单调递减区间为，其中 (2)面积为 【解析】（1）依题意，为的中点，因此点的坐标为， 所以，即，从而； 且的中点的横坐标为， 故曲线的对称轴方程为； 又（此为点关于对称的点的横坐标）， 所以函数的单调递减区间为，其中. （2）由题意，，故， 因为，解得，所以. 又，所以，解得， 显然，的面积. 19．21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 【答案】(1)，，事件和事件独立 (2)元 (3)个 【解析】（1）若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立． （2）依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金. （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个. 20．已知椭圆：右焦点为，点在椭圆上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点，为椭圆的上顶点，点是椭圆上异于点的一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若三角形MPR的面积为，求直线MR的方程； (3)设过点的直线与椭圆的另一个交点为，与曲线的另一个交点为，若直线RQ斜率为，试证明：直线SR过定点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由题意得，解得 所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立， 得，由椭圆与直线只有一个交点， 令，即，① 又直线过点，则，② 联立①②可得，即点． 设原点，由，故， 所以点到直线的距离为原点到直线距离的2倍． 即点在直线关于原点对称的直线上． 又点在椭圆上，所以点，关于原点对称， 故直线的方程为． （3）当直线的斜率不存在时，此时，此时， 令，则，不合题意，舍去， 则设，联立可得， 则，则，即， 联立可得，则， 则，则，即， 设，联立可得， 则， 又，代入，可得． 从而，代入得，即， 则直线斜率为． 设直线与轴交于点，则，代入点，，可得， 故直线过定点． 21．已知函数的定义域为，记集合. (1)若，且，求实数的取值范围； (2)若，是否存在使得中恰有两个元素？ (3)若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且的导函数是上的减函数，证明：“”是“在点处的切线方程为”的充要条件. 【答案】(1) (2)存在 (3)证明见解析 【解析】（1）当时，不等式， 依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减， 所以， 当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，所以， 因此函数在和处取得最大值，不等式的解集为， 取，集合， 所以存在，使得中恰有两个元素； （3）记，求导得， 由是上的减函数，得函数在上单调递减， 证必要性：由在点处的切线方程为，得， 即， 当时，，函数在上单调递增，； 当时，，函数在上单调递减，； 因此的解集为，即； 证充分性：若，则当时，，， 由函数的图象是一条连续不间断的曲线，得， 且在的附近其他自变量（除外）对应的函数值都小于， 即函数在处取得极大值，于是， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线在点处的切线， 综上，“”是“在点处的切线方程为”的充要条件. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3．8 4．7 5．0 6． 7． 8． 9. 10． 3 11． 12． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 题号 13 14 15 16 答案 D D C C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(14分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 故，，.（2分） 设平面的法向量，则， 即，令，得， 则.（4分） 因为，故， 为平面的一个法向量，平面， 所以平面；（6分） （2）为的中点，故，则，，. 设平面的法向量，平面的法向量，则， ，即，令，得， 则.（8分） ，即，令，则， 则.（10分） 设平面与平面的夹角为， 所以.（12分） 所以， 故平面与平面的夹角的正弦值为.（14分） 18．（14分） 【答案】(1)；的对称轴为；函数的单调递减区间为，其中 (2)面积为 【解析】（1）依题意，为的中点，因此点的坐标为， 所以，即，从而；（2分） 且的中点的横坐标为， 故曲线的对称轴方程为；（4分） 又（此为点关于对称的点的横坐标）， 所以函数的单调递减区间为，其中.（6分） （2）由题意，，故， 因为，解得，所以.（9分） 又，所以，解得，（10分） 显然，的面积.（14分） 19.（14分） 【答案】(1)，，事件和事件独立 (2)元 (3)个 【解析】（1）若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．（2分） 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立．（4分） （2）依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率，（7分） 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金.（10分） （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则，（12分） 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个.（14分） 20．（18分） 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由题意得，解得 所以椭圆的方程为．（4分） （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立， 得，由椭圆与直线只有一个交点， 令，即，① 又直线过点，则，②（6分） 联立①②可得，即点．（8分） 设原点，由，故， 所以点到直线的距离为原点到直线距离的2倍． 即点在直线关于原点对称的直线上． 又点在椭圆上，所以点，关于原点对称， 故直线的方程为．（10分） （3）当直线的斜率不存在时，此时，此时， 令，则，不合题意，舍去， 则设，联立可得， 则，则，即，（12分） 联立可得，则， 则，则，即，（14分） 设，联立可得， 则， 又，代入，可得． 从而，代入得，即， 则直线斜率为．（16分） 设直线与轴交于点，则，代入点，，可得， 故直线过定点．（18分） 21．（18分） 【答案】(1) (2)存在 (3)证明见解析 【解析】（1）当时，不等式， 依题意，，（2分） 则，解得， 所以实数的取值范围是；（4分） （2）当时，，求导得，（5分） 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减， 所以，（7分） 当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，所以，（8分） 因此函数在和处取得最大值，不等式的解集为， 取，集合， 所以存在，使得中恰有两个元素；（10分） （3）记，求导得， 由是上的减函数，得函数在上单调递减， 证必要性：由在点处的切线方程为，得， 即，（12分） 当时，，函数在上单调递增，； 当时，，函数在上单调递减，； 因此的解集为，即；（14分） 证充分性：若，则当时，，， 由函数的图象是一条连续不间断的曲线，得， 且在的附近其他自变量（除外）对应的函数值都小于， 即函数在处取得极大值，于是，（16分） 因此曲线在点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线在点处的切线， 综上，“”是“在点处的切线方程为”的充要条件.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 3 謀 6 10 12 二、 选择题（每小题5分，共15分） 箭 13[A][B][C][D] 14[A[B][C][D] 15[A[B][C][D] 16[A][B][C]D] 妇 三、解答题（共78分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ A B 18.(14分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 P 米色内饰 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 ． 2．不等式的解集为 . 3．复数的实部为 . 4．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 5．若非零向量、的夹角为，且，则 ． 6．已知函数，则 . 7．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 8.《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 . 9．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 10.若正数满足，则的最小值为 . 11．某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 12．已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 15．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 16．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值. 18．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 19．21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 20．已知椭圆：右焦点为，点在椭圆上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点，为椭圆的上顶点，点是椭圆上异于点的一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若三角形MPR的面积为，求直线MR的方程； (3)设过点的直线与椭圆的另一个交点为，与曲线的另一个交点为，若直线RQ斜率为，试证明：直线SR过定点. 21．已知函数的定义域为，记集合. (1)若，且，求实数的取值范围； (2)若，是否存在使得中恰有两个元素？ (3)若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且的导函数是上的减函数，证明：“”是“在点处的切线方程为”的充要条件. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（每小题5分，共15分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. (14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 ． 2．不等式的解集为 . 3．复数的实部为 . 4．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 5．若非零向量、的夹角为，且，则 ． 6．已知函数，则 . 7．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 8.《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 . 9．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 10.若正数满足，则的最小值为 . 11．某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 12．已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 15．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 16．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值. 18．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 19．21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 20．已知椭圆：右焦点为，点在椭圆上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点，为椭圆的上顶点，点是椭圆上异于点的一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若三角形MPR的面积为，求直线MR的方程； (3)设过点的直线与椭圆的另一个交点为，与曲线的另一个交点为，若直线RQ斜率为，试证明：直线SR过定点. 21．已知函数的定义域为，记集合. (1)若，且，求实数的取值范围； (2)若，是否存在使得中恰有两个元素？ (3)若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且的导函数是上的减函数，证明：“”是“在点处的切线方程为”的充要条件. / 学科网（北京）股份有限公司 $