(22)综合测试-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷二十日 数学第2页（共4页） AN 13.底面半径为1，母线长为√2的圆锥的外接球的表面积为 14.若前线fx=x-1与g)=a(e-》 一2lnx(a>0)在交点处存在公切线，则 a= 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B.C所对的边分别为a,6c,已知6=45smB,A-祭 (1)求a的值； (2)若a2+c2-=23 3 ac. (i)求cosB的值； (i)求cos(2B-A)的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AD =2,点E,F分别在棱PC,PD上，且PC=3PE,PD=λPF. (1)若A,B,E,F四点共面，求λ的值； (2)求平面PAB与平面ABE夹角的余弦值. ◇ D 17.(本小题满分15分) 为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海—一航天杯”知识竞赛.竞赛分 为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，若连续答错2道题或5道 西都答究，则比赛结束假定大学生张某答对这5道题的概率依次为号，，日，日， 号，且各题是否答对互不影响。 (1)记张某初赛结束时答题的个数为X,求X的分布列及数学期望； (2)若初赛至少连续答对3道题才能进入决赛. (ⅰ)求张某能进入决赛的概率； (ⅱ)在张某能进入决赛的条件下，求他恰好答对3道题的概率. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知双h线C若一若-1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为F(一25,0)，F.(2厅， 0),离心率为5. (1)求C的方程； (2)若C上存在一点P,使得∠FPF2=120°，求△PFF2的面积； (3)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两 点，且点M在第二象限，直线MA,与NA2交于点Q.证明：点Q在定直线上. 19.(本小题满分17分) 已知函数f)=1n(1十x）-,gx)-t+2,+a(a∈R. x+2 (1)求f(x)的单调区间及最值； (2)若对任意x>0,f(x)十g(x)>1,求a的取值范围； （3证明：号+号+号十+2<lhna+1meN). 三一轮复习单元检测卷二十日 数学第4页（共4页）】 AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二十二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⊙ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 含有一个量词的命题 易 0.80 的否定 2 选择题 5 由集合运算求参 易 0.78 3 选择题 5 平面向量的数量积 易 0.72 4 选择题 5 三角恒等变换 分 0.65 等差数列与等比数列 选择题 分 0.55 的综合 6 选择题 5 排列组合的应用 V 中 0.45 7 选择题 5 椭圆的离心率 中 0.40 8 选择题 5 根据函数的值域求参 / / 数取值范围 L L 中 0.35 9 选择题 6 复数的性质 易 0.72 三角函数的图象与 10 选择题 性质 的 0.60 由方程研究曲线的 11 选择题 6 性质 L 好 0.25 12 填空题 5 抛物线定义的应用 易 0.76 13 填空题 5 圆锥与球的相接问题 中 0.65 14 填空题 5 两曲线的公切线问题 中 0.35 15 解答题 13 解三角形 √ 易 0.72 16 解答题 15 由四点共面求参，求二 浓 0.60 面角的余弦值 相互独立事件的概率， 17 解答题 15 随机变量的分布列与 中0.45 数学期望，条件概率 ·129· ·数学· 参考答案及解析 直线与双曲线的位置 18 解答题 17 难 0.28 关系，定直线问题 函数的单调区间与最 19 解答题 17 值，由不等式求参，证 块 0.25 明不等式 香考答案及解析 一、选择题 椭圆的对称性，可知MF⊥FF,NF2⊥F1F2,则 1.C【解析】命题p可改写为p:Hx∈R,x≥0，故 p是3x∈R,x<0.故选C. M-cyww>0,代入若+芳=1(a>6>0).得 2.A【解折】由A={米0=1长<2， 三+产-1，解得w-台，故M(-c,会)，设M AUB=B,可得ACB,又B={女>受}，则号<1， 与NE的交点为点P,则P(o,台).显然△MEF 即a<2.故选A. 3.B【解析】在等边△ABC中，a·b-b·c十2c·a= △PO,所以-O-子代入MF1 1×1×c0s120°-1×1×cos120°+2×1×1× cos120°=-1.故选B. ,P01-，得-，化简得名=号，则e 4.D 【解析】sin(。-平）=1十cos(a+牙)，即 a2-6 sin acos王-cos asin天=1+cos acos开 4 4 4 整理可得sina一cosa=号，两边同时平方得sna十 2 气放莲取 cos'a-2sin acos a= ,即1-sn2a= ,解得 1 8.A【解析】函数y=3-r在R上单调递减，函数y= l1og（x十2)在(-2，十o∞)上单调递增，当x=1时， s如2a=寸所以cos(受+2a)=-s如2a=-子做 3-1=log4(1十2)=1，所以g(x)= 131-,-2x≤1 选D. {log(x十2)，>1所以g(在[0,1]上单调递减， 5.B【解析】设等差数列{am》的公差为d,d≠0，因为 在(1，十∞)上单调递增，所以当x≥0时，g(x)≥ a2,a5,a成等比数列，所以a号=a2a,即(a1十4d) g(1)=1,即g(x)在[0，十∞)上的值域为[1，十o∞). =(a十d)(a十8d),解得8d=a1,所以十a:十a a1十a4十a7 又=-2-7-5=-(+子)'+9<翠令 器台-十酷-故送北 f(x)=1,解得x=-1或x=-6,画出f(x),g(x) (x≥0)的图象如图所示， 6.C【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲、乙放在 同一排，有CCC2C2CC=128种放法：②甲、乙不 放在同一排，有CICIACICA=144种放法，则一共 =x) 有128+144=272种不同的放法，故选C. 7.B【解析】如图， -g(x) 若对Hx1∈a-1,a十1]，3x2∈[0，十∞)，使得 由MF,∥NF2,MF2与VF的交点在y轴上，结合 f(x1)=g(x2)成立，则需要g(x)在[0，十∞)上的 ·130· 高三一轮复习AN ·数学· 值域包含f(x)在[a-1,a十1]上的值域，则 因为圆的面积为S=元·十=干，所以曲线C的面 a-1S-6,解得-5≤a≤-2，即实数a的取值范 1a十1≤-1 围是[-5，-2].故选A. 积小于牙，故B正确：对于C,因为十≤，所 二、选择题 以2十可<号当且仅当=y=名时取等号， 9.BC【解析】对于A,复数不能比较大小，故A错误； 设=a十bi(a,b∈R),z2=c十di(c,d∈R).对于B, 所以曲线C上的点到原点的最大距离为？，故C错 1·2=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i,因 为a=(a十bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,所以 误；对于D,设任意一点P(x,y)(x>0,y>0),所以 1=ac-bd-(ad+bc)i,所以1·2=1，故 围成的矩形的面积为xy,因为x2y=(x2十y2)3≥ B正确；对于C,由B选项可知|| 2,所以y≤分，当且仅当x=y=时取等 √(ac-bcd0'+(ad+6x)F=√/ac'+bdf+a'+c, 因为||=√a+B,2=√十正，所以xx2= 号，所以围成矩形面积的最大值为号，故D正确，故 √ac+bd+ad+bc,所以|1|=|x1lx2, 选ABD, 故C正确；对于D,当a,b,c,d均不为0时，子，均 三、填空题 为虚部不为0的复数，所以不能比较大小，故D错误。 12.6【解析】点P到焦点F的距离比点P到y轴的 故选BC. 距离大3，即点P到准线的距离比到y轴的距离大 10.ACD【解析】依题意，A(-乡，0)，B(0,sing), 3,所以号=3，解得p=6,故点F到E的准线的距 C(-兰，0），由∠ABC=受，得09·n9 离为6. 丝一π 13.4π【解析】设圆锥的高为h,则h=√(2)一1 w =-1,即g2-π9十(wsin o)=0,因为wsin9= =1,设外接球的半径为R,则(1一R)+12=R,解 得R=1,故圆锥外接球的表面积为4πR=4π， 后，所以g-9+荒=0，又e<号，所以0 14.2【解析】设两曲线的公切点为(x0,y%),由 吾。，对于A)=(停+吾故A f(x)=x2-1,得f(x)=2x,由g(x)=a（x 3 正确：对于B,由题可得g(x)=sin(2元x十若)，所以 )-2n,得(x)=a(1+）兰，则2，= g(x)的最小正周期为T=会=1，故B错误：对于 a1+）子解得=号由题意可得对-1 C,g(x+日)=sm[2a(x+6)+吾]=sn(2x+ a(a,-）-2n,将z,=号代入得气-2n号 受)=cos2x,为偶函数，故C正确：对于D,当x∈ -1=0,令h(a)=号-2n号-1a>0,则 (-石合)时，2x+晋∈（-吾，受)，所以g() (a)=号-子=品，所以当0<a<2时， 在区间(-。日)上单调递增，故D正确.故 h'(a)<0,h(a)单调递减；当a>2时，h(a)>0, h(a)单调递增，所以h(a)mn=h(2)=0,所以方程 选ACD. 11.ABD【解析】对于A,当x变为一x时，(x2十y)3 4 -2n号-1=0有唯一解，即a=2. =xy不变，所以曲线C的图象关于y轴对称：当y 四、解答题 变为一y时，(x2+y)3=x2y不变，所以曲线C的 图象关于x轴对称；当x变为y,y变为x时， 15.解：1)由正弦定理-治B及6=45mB, (x2十y)3=x2y2不变，所以曲线C的图象关于直 A- 线y=x对称；当x变为-y,y变为-x时， (x2十y)3=x2y不变，所以曲线C的图象关于直 得a=6nA=45×9-6, (4分) 线y=一x对称.综上，曲线C的图象有四条对称 轴，故A正确；对于B,因为(x2十y)1=x2y≤ 5 (仁)，所以+y≤子，当且仅当r=少 (2)(i)由余弦定理得cosB=Q+c-& 2ac 2ac 合时取等号，所以曲线C在圆x十y=子的内部， 3 (7分) ·131· ·数学· 参考答案及解析 (i)因为B∈(0，π)，所以sinB>0, 所以平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0). 所以B=-o百=√-（停= (13分) 设平面PAB与平面ABE的夹角为0， (9分) 则sin2B=2 sin Bcos B=2x5×5=22 则cos8=|cos(m,Ad1=,m·AD |m·AD2√5 3 3 3 25 cos2B=2cos2B-1=2× (停) -1=- 1 5 3 (11分) 所以平面PAB与平面ABE夹角的余弦值为25 5 所以cos(2B-A)=cos2 Bcos A十sin2 Bsin A= (15分) 号×（←）+29x-6+出 (13分) 法二：当λ=3时，如图，过点F作FH⊥PA,垂足 6 为H, 16.解：(1)连接EF,AF, 因为四边形ABCD为正方形， 则PH=FH= 3,AH= 3 所以AB∥CD, 因为AB￠平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD. (2分) 因为A,B,E,F四点共面， 所以平面ABEF∩平面PCD=EF, (4分) 又ABC平面ABEF, 所以AB∥EF,所以EF∥CD, (6分) 所以器-器 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以A=3 (7分) 所以PA⊥AB, (2)法一：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别 又AD⊥AB,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐 所以AB⊥平面PAD, 标系， 因为AFC平面PAD, 所以AB⊥AF, (9分) 结合AB⊥PA,得∠PAF是平面PAB与平面ABE 的夹角。 (10分) 在R△AHF中，AF=√A+FT=25 3 所以cos∠HAF=AH-25 LAf 5 (13分) x B 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 故平面PAB与平面ABE夹角的余弦值为2 5 (号号号) (15分) 17.解：(1)由题可得X的可能取值为2,3,4,5，(1分) 所以弦=（号，-号，-专）Ai=2,00),Ai= PX=2)=×动 (2分) (0,2,0) (9分) P(X=3)= (3分) 设平面ABE的法向量为m=(x,y,z), ×× m成=专-子y=0 (4分) 则 m.AB=2x=0 P(X=5)=1动0是品 11 (5分) 取y=2,得x=0,x=-1, 所以X的分布列为 所以m=(0,2,一1). (11分) 由题易得PA⊥AD,AB⊥AD, X 2 3 4 5 因为PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以AD⊥平面PAB, 品 是 品 ·132· 高三一轮复习AN ·数学· E()=2X品+3×+4×是+5×器-部 (3)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0), 8080 设M(x1,y),N(x2y2),x1z2≠士2， (7分) 显然直线MV的斜率不为0， (2)设M,(i=1,2,3,4,5)表示“张某第i道题答对”， M,表示“张某第i道题答错”， 所以可设直线MN的方程为x=my-4,且一号< 由题意得P(M)=台，P(M)=子 1 P(M)= m<2 PM)=PM,)- 1 (8分) (x=my-4 联立了x2y2 (1)设K表示“张某能进入决赛”， =1可得(4m-1)y2-32my+48 4161 P(K)=P(M MMMM)+P(M MMMM:) =0 +P(M M2M:MM:)+P(MM:M,M.M;) +P(MM,M,M.M)+P(MM,M.MM)+ 且m2-1≠0,4=64(m+3)>0,即m≠士2 P(NIM.M.M.丽)=4X号×子×2×子×号 1 则y十y= 32m 48 4m=1'1业=4m-7 (11分) 2 5 4 2 直线MA,的方程为y=) x1+2(x+2), 品 (11分) 直线NA,的方程为y=兰(：一2) (13分) (ⅱ)记N表示“张某恰好答对3道题”， 联立直线MA,与VA的方程，消去y可得： P(KN)=P(M MMM M;)+P(MM MM.M;) x十2_2(x1+2)_2(my-2) =号×是×××号+号×是××× x-2y(x2-2)y1(y2-6) =myy%一2(y十2)+2y ny1y2一6y (13分) 48 32m 所以在张某能进入决赛的条件下，他恰好答对3道 4m22. m+2y 4m-1+2y -16m 3 48 48m 题的概率为P(NK)=PCK义 32 15 m·4m-i-6y 4n21-6y P(K) 291 58 (15分) 3 (15分) 80 18.解：(1)因为F（-25,0),所以c=25, (2分) 即大2 -3,解得x=-1,即x0=-1,(16分) 1 x-2 又e=后=5，所以a=2,6=-a-4, 所以点Q在定直线x=一1上。 (17分) 所以C的方程为号-若-1. 19.解：(1)因为f(x)=ln(1十x)-x,x>-1, (4分) 所以f(x)=1十x1=千x x (2分) (2)由(1)知，a=2,c=2W5, 所以||PF:|-|PF2||=2a=4,|FF2|=2c= 当-1<x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当x>0时，f(x)<0,f(x)单调递减， 45, 所以∫(x)的单调递增区间为（一1,0），单调递减 在△PFF:中，由余弦定理得cos∠FPF:= IPF+PE:1-FE:=-1 区间为(0，十∞)， 2 PF PF2 2 且f(x)的最大值为f(0)=0,无最小值.(5分) 即 (2)由题得f(x)+g(x)=ln(1+x)-x+ PF-PF2)2+2PFPF-FF2 +2+a=ln1+x)+ 2PF PF2 x+2 x+2' 则对任意>0，h(1+x)十千2>1， 即64+2 PEPF:L= 1 即对任意x>0,a>(x+2)[1-ln1+x)]. 2PFPF 2 (7分) 解得PFPF:|-号， 令h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)],x>0, (7分) 则(x)=1-n(1+x)-是 所以△PFF的面积为 -IPF|IPF2|· 2=一+ ln(1+x)<0, sm∠RP压=×号×9-169 所以h(x)在(0，十∞)上单调递减， (9分) (9分) 2 3 所以h(x)<h(0)=2, ·133· 所以a≥2， 整理得z十<n(a十1)-h, (15分) 所以a的取值范围为[2，十c∞). (11分) (3)由(2)可知当a=2时，对任意x>0,ln(1十x)十 所以写+吉+号+…十<(h2-n1)+ 1 异2>1 (ln3-ln2)+…+[ln(n+1)-lnn]=ln(n+1), 故h1+x)>1-子2克2 1 (13分) 所以号+吉+号+…十2市<h(n+1) (n∈N*)得证. (17分) 令eN6n片产 n