(20)统计、成对数据的统计分析-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

数学第1页（共8页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷二十 数学第2页（共8页） AN 10.某农业研究部门有200块面积相等的玉米地，其中100块玉米地里种植新型玉米 A,另100块玉米地里种植新型玉米B,得到种植新型玉米A的各块玉米地的亩产 量（单位：kg),并进行适当分组（每组为左闭右开区间），整理结果如图1所示，得到 种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量（单位：kg),并进行适当分组（每组为左闭 右开区间)，整理结果如图2所示.下列结论正确的是 忄频率 ↑频率 组距 组距 0.040--- 0.040 0.032 0.032 0.016 0.012 0.008 0.004 0.004 0400410420430440450亩产量 0 410420430440450460亩产量 图1 图2 A.这200块玉米地中亩产量不低于420kg的玉米地所占比例为84% B.种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数大于种植新型玉米B的各块玉 米地的亩产量的中位数 C.种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的极差和种植新型玉米B的各块玉米地 的亩产量的极差均介于30kg至50kg之间 D.种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的平均数小于种植新型玉米B的各块玉 米地的亩产量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 11.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经 数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，若比赛成 绩x∈[0,15]，且x∈N*,则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为 A.13 B.12 C.11 D.10 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分》 12.唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.已知根据花瓣类型可将 牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花朵，千瓣类比单瓣类多30朵， 采用分层抽样的方法从中选出12朵牡丹花进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有 2朵，千瓣类有6朵，则n= 13.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所 抽取卡片上数字的最小值为X,则事件“X≤2”的概率为 数学第3页（共8页） 衡水金卷·先享题·高 14.给定素数（仅有1与本身是约数的数）p,若‖n(即p|n,且pm+1,其意为p整除 n,且+1不能整除n),记为Potn=m,称m=Potn是给定素数p的一个数论函数.则 Pot32025= ;若a,b∈A={sPot3s=2,s<40},且a≠b,则由a的所有结 果形成的样本数据的80%分位数为 .(本题第一空2分，第二空3分)》 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 为了獬某校男生1000米测试成绩与身高的关系，从该校1500名男生中随机抽取 100人，得到测试成绩与身高的数据如表所示 身高范围(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 测试成绩 合格 3 12 18 22 15 不合格 2 9 5 5 9 (1)该校1500名男生中身高在170cm及以上的人数约为多少？ (2)根据表中数据，完成2×2列联表； 测试 身高范围 合计 成绩 在[170,180)内 不在[170,180)内 合格 不合格 合计 (3)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析测试成绩合格与身高在[170,180)范 围内是否有关 n (ad-bc)2 附：x=a+b)+ac)b+dn=a+b+c+d4. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一轮复习单元检测卷二十 数学第4页（共8页） AN 16.(本小题满分15分) 小李和小张关注到习近平总书记于2024年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时 代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆 创业.他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山 区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了 一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第x天 3 4 5 6 销售额y(万元) 1.4 1.6 2.2 2.4 3.0 3.9 5.1 (1)求(x,y:)(i=1,2,…,7)的样本相关系数；（精确到0.01） (2)用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y=bx十a(系数精确到0.01，并用 精确后的)的值计算a的值)； (3)根据(2)中所求的经验回归方程预测第8天的销售额， 附：样本相关系数r -- ;经验回归方程y=x十a中的 斜率和裁距的最小二柔估计公式分别为6一 ,a =y-bx; 2x- (x0-0=1.50,-y=10.46,v2sXm.≈12.11 数学第5页（共8页) 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校 本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课 程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程， (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的 分布列和数学期望； (2)求在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1的概率. 三一轮复习单元检测卷二十 数学第6页（共8页）》 AN 18.(本小题满分17分) 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过 讲解100个陌生单词后，每相隔十分钟进行听写测试，时间t(分钟)和答对人数y的 统计表格如下： 时间t(分钟) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 Ig y 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.70 0.70 时间t与答对人数y和lgy的散点图如下： ↑lgy 2.50f 100外 80 2.00··。 1.50 60 40 1.00 ●● 20 0.50 0204060801007 0204060801001 请根据表格数据和散点图回答下列问题： (1)根据散点图判断，y=at十b与lgy=ct十d哪个更适宜作为线性回归模型？（给 出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果，建立y关于t的经验回归方程；(a,b或c,d的计算结果均 保留到小数点后三位》 (3)根据(2)的经验回归方程，请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟 需要重新记忆一遍.（结果四舍五入保留整数，参考数据：1g2≈0.3,1g3≈0.48） 附：∑2=38500，∑y=342.∑1gy=13.52,∑y:=10960,∑4lgy= 621.7. 对于一组数据(u1,w),(u2,2),…,（un,vn),其经验回归方程元=a十3的斜率和截 >uivi-nuv 距的最小二乘估计分别为3= 数学第7页（共8页）》 衡水金卷·先享题·高三 19.(本小题满分17分) 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的 接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，，被感染的白鼠 数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立. (1)若P(X=3)=P(X=97),求数学期望E(X); (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p,现有两个不同的研究团队理论研究 发现概率p与参数0(0<0<1)的取值有关.团队A提出函数模型为p=1n(1十0)一 号0，团队B提出函数模型为p=1-。).现将白鼠分成10组，每组10只，进行 实验，随机变量X;(i=1,2,…,10)表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量 X;(i=1,2,…,10)的实验结果x,(i=1,2,…,10)绘制成频数分布图，如图所示.假 设每组白鼠是否被感染之间相互独立. ↑感染只数 10组数 (i)试写出事件“X1=x1,X2=x2,·,X1o=x1o”发生的概率表达式（用p表示，组合 数不必计算)； (i)在统计学中，若参数0=0。时使得概率P(X1=x1,X2=x2,…,X10=x10)最大， 则称。是0的最大似然估计.根据这一原理和团队A,B提出的函数模型，判断哪个 团队的函数模型可以求出日的最大似然估计，并求出估计值. 3 参考数据：ln)≈0.4055. 一轮复习单元检测卷二十 数学第8页（共8页） AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 平均数、方差的性质 易 0.80 2 选择题 5 对x的理解 0.78 利用均值和方差说明 3 选择题 5 / 数据的波动程度 易 0.72 经验回归直线过样本 4 选择题 5 0.65 中心点性质的应用 分 三项展开式求特定项 5 选择题 的系数问题 L 农 0.55 6 选择题 5 分层随机抽样中的方 0.45 差的计算 7 选择题 5 条件概率 为 0.40 8 选择题 5 统计与等差、等比数列 难 0.28 的综合 9 选择题 6 正态分布 易 0.72 频率分布直方图的 10 选择题 6 L 中 0.60 应用 11 选择题 6 统计中的最值问题 难 0.28 12 填空题 5 分层抽样 √ 多 0.76 13 填空题 5 古典概型与概率加法 中 0.65 公式的应用 14 填空题 整数与整除，总体百分 / 0.28 位数的估计 染 15 解答题 13 独立性检验 易 0.72 16 解答题 15 线性回归问题 V 0.60 ·117· ·数学· 参考答案及解析 分布列与数学期望，全 17 解答题 15 概率公式 中 0.45 可化为线性回归的非 18 解答题 17 线性回归问题 中 0.40 新定义题，概率、统计 19 解答题 17 难 0.25 与导数的综合 季考管案及解析 一、选择题 s=1.6.故选B. 1.D【解析】由题可得，数据2x1十2025,2x2十2025 7.B【解析】设A=“M准点到站”，B=“V准点到 …,2xn十2025的平均数为2x+2025=2×4+2025 =2033,方差为2s2=4×5=20.故选D. 站”，依题意，P(A)=子，P(AB)=是，P(BA) 2.C【解析】因为x2=4.456<x0.1=6.635,所以变量 P(AB)7 6,解得P(AB)= x与y独立.故选C. 所以P(BA) P(A) 3.B【解析】由样本估计总体，可得乙种水稻分蘖的方 XP(A)=P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)= 差约为3.4，甲种水稻分蘖的方差约为11，因为3.4< 子，则P(AB)=是又P(AB)==子解 3 11,所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B. P(B) 4,D【解析】由题意可得x-2+5十8十11+15+19」 6 得P(B)=子故选B 10,y=33+45+50+53+58+64=50.5,因为y 8.D【解析】若该组数据为等比数列，由一1,5可知公 6 比小于0，正负交替，但等差数列具有单调性，相互矛 1.65x十a过点(10,50.5)，故50.5=1.65×10+a, 盾，故该组数据不可能既是等比数列又是等差数列， 解得a=34,所以y=1.65x+34,故当y=100时， 故A错误：若该组数据排列后成等比数列，当公比绝 1.65x十34=100，解得x=40.故选D. 对值大于1时，有：①公比为一5，此时数列为a,b, 5.D【解析】因为(-士+y)=∑C(x -15,可得a=一云，6=号：或数列为-1,5，a,6,可 )广y,所以0项对应i=1,又c(:-）》 得a=-25,b=125;或数列为b,-1,5,a,可得a= -25,6=号@公比为/百，此时数列为-1,6， c[crs(-)门=62cx*(-1D,所 5,可得a=-25,b=5.当公比绝对值小于1时， 以y项的系数对应r=3的系数，为一60，所以 对应同解，故a,b有4组可能取值，故B错误；由a≤ (x-1+y)”的展开式中y的系数为-60.故 0,b≥0，若一1,5，a,b排序后成等差数列，当公差大于 x 0时，有：①公差d=6,数列为a,一1,5，b,可得a= 选D. 一7，b=11;②公差d=3,数列为a,-1,b,5,可得a= 6.B【解析】设男生和女生的人数分别为m,,所有参 一4，b=2,当公差小于0时，对应上述倒序排列，同 赛学生得分的平均值和方差分别是x=90,s2=2.8, 解，故a,b有2组可能取值，故C错误；若该组数据平 其中男生得分的平均值和方差分别为x1=89,s=2, 均数是1，则x=一1十5十a十也=1a十6=0，此时方 女生得分的平均值和方差分别为x2=91,s,由平均 4 数可得i-十元(m+n),即0= m+89m+ 差为子×[(-1-1)2+(5-1)2+(a-1)2+(b 91,解得m=,由方老可得=牛n[对十 1门=22≥号枚D正确放选D 二、选择题 G-)]十m开n[+(国-)门即2.8=× 9.BC【解析】由题可知X~N(1.8,0.1),因为 [2+(89-90)]+号×[+(91-90)]，解得 P(X<1.8+0.1)≈0.84135，所以P(X<1.7)= P(X<1.8-0.1)=P(X>1.8+0.1)≈1-0.84135 ·118· 高三一轮复习AN ·数学· =0.15865<0.2,故A错误，B正确：依题可知，x= 16(x1十x2+x3十x4)+4X82=16→x7+x号+x号+ 2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.1),故P(Y x号=16(x1+x2+x+x4)-4X82+16=16×30 2.2)=P(Y<2.1+0.1)≈0.84135>0.6，P(Y>2) =P(Y>2.1-0.1)=P(Y2.1十0.1)≈0.84135> 4次g+16-20,则可利：0楼 0.8,故C正确，D错误.故选BC. 方程组无正整数解，故D错误.故选BC 10.ACD【解析】对于A,因为(0.04十0.032十0.008) 三、填空题 ×10=0.8,(0.032+0.04+0.012+0.004)×10= 12.180【解析】根据分层抽样的特点，设单瓣类、重瓣 0.88,所以种植新型玉米A的各块玉米地中亩产量 类、千瓣类的朵数分别为4x,2x,6x,由题意可得 不低于420kg的玉米地有100×0.8=80块，种植 6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x十2x十6x= 新型玉米B的各块玉米地中亩产量不低于420kg 12x=12×15=180. 的玉米地有100×0.88=88块，所以这200块玉米 地中亩产量不低于420kg的玉米地所占比例为 【解析】由已知可得X的可能取值有1,2,3,4， 80+88×100%=84%,故A正确：对于B,由(0.04+ 200 则P(X=1)=8=,P(X=2)=CCC- C好 0.016)×10=0.2<0.5,(0.004+0.016+0.04)× 16 10=0.6>0.5,(0.012十0.032)×10=0.44<0.5， 所以P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=是+ (0.012+0.032+0.04)×10=0.84>0.5,可得种 16_31 植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数介 3535 于420kg至430kg之间，种植新型玉米B的各块 14.496【解析】因为2025=3×52，所以3整除 玉米地的亩产量的中位数介于430kg至440kg之 2025,且3不能整除2025，所以Pot2025=4.根 间，所以种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的 据题意3=9整除5，且33=27不能整除s,因为s< 中位数小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产 40,所以s的所有可能取值为9,18,36，所以A 量的中位数，故B错误；对于C,由450-400=50， (9,18,36},所以根据已知条件a有98,96,18°， 440-410=30,460-410=50,450-420=30,可得 18“,36”,36六种可能，从小到大排序为18”，36”、 种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的极差和 918、368、936、186,因为6×80%=4.8，所以样本数 种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的极差均 据的80%分位数是第5个数96. 介于30kg至50kg之间，故C正确；对于D,x1=10×四、解答题 (405×0.004+415×0.016+425×0.04+435×0.032 15.解：(1)样本中，身高在170cm及以上的频率为 +445×0.008)=427.4,xB=10×(415×0.012+ 425×0.032十435×0.04+445×0.012+455× 23+27+24=0.74, (3分) 100 0.004)=431.4,故种植新型玉米A的各块玉米地 用该频率估计该校男生身高在170cm及以上的 的亩产量的平均数小于种植新型玉米B的各块玉 概率， 米地的亩产量的平均数，故D正确.故选ACD. 则该校1500名男生中身高在170cm及以上的人 11.BC【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩 数约为1500×0.74=1110（人）. (5分) 分别为，由题得=号（红十十 (2)2×2列联表如下. x3十x1十x)=8,则x1十x2十x3十x1十x=40,又 测试 身高范围 2=号[(x-8)2+(:-8)2+(-8)2+ 成绩 合计 在[170,180)内 不在[170,180)内 (x4-8)2十(x-8)2]=4,所以(x1-8)2十 合格 40 30 70 (x2-8)2十(x3-8)2+(x4-8)3十(x-8)2= 不合格 10 20 30 20,不妨设x最大，对于A选项，若x=13,则 (x1-8)2+(x2-8)2+(x3-8)2十(x4-8)2= 合计 50 50 100 一5不成立，故A错误；对于B选项，若x=12,则 (8分) (x1-8)2+(x2-8)2+(x3-8)2+(x1-8)2= (3)零假设为H。:测试成绩合格与身高在 4,满足题意，例如5名同学的成绩可分别为7,7,7， [170,180)范围内无关， 7,12,故B正确；对于C选项，若x=11,则 (x1-8)2+(x2-8)2+(x4-8)2+(x1-8)2= 由(2)中列联表可得X2= 100×(40×20-30×10)2 50×50×70×30 11,满足题意，例如5名同学的成绩可分别为5,7， ≈4.762>3.841=x6.05, (11分) 8,9,11,故C正确；对于D选项，若x=10,则x1十 所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H。 x2十x十x4=30,且(x1-8)2十(x2-8)2十 不成立，即认为测试成绩合格与身高在[170,180)范 (x3-8)2十(x4-8)2=16,则x7十x号十x十x 围内有关 (13分) ·119· ·数学· 参考答案及解析 16,解：(1)由题意，得元=1十2+3+4十5十6+7 7 由全概率公式得，P(B)= ∑P(A,)P(B|A)= =0 (2分) C 5 C C 501 2远)=1-4)+24)+80甲 (14分) (4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28, 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设 (4分) 经验的教师人数是1的概率为器 (15分) ∑(x-x)(y,-y) 18.解：(1)观察两个散点图知，lgy=ct十d更适宜作为 所以r= 线性回归模型. (3分) (xi- (y-y) (2)依题意，i=0×(10+20+30+40+50+60+70 16.50 16.50≈0.96， ≈17.11 (6分) √/28×10.46 +80+90+100)=55,1gy=10 1 ∑1gy=1.352, 所以(xy:)(i=1,2,…,7)的样本相关系数约为 0.96. (7分) (5分) 由(1)知，lgy=ct十d,根据最小二乘法得 (2)因为∑(x-x)(y:-)=16.50, 1 2=1 ∑tlgy-10gy 习x-)=28, 2=1 10 -10r (x-x)(y一y) =16.50≈0.59， 621.7-10×55×1.352≈-0.015， (7分) 28 38500-10×55 d=1gy-ct=1.352-(-0.015)×55=2.177, (9分) (10分) 所以lgy=-0.015t十2.177， (11分) 又x=4,5=7×(1.4+1.6+2.2+2.4+3+3.9+ 所以y关于t的经验回归方程为=10-.1+2.17. 5.1)=2.8, (12分) 所以a=-ix=2.8-0.59×4=0.44, (12分) (3)由题意可知y≥75，即100.1+2.171≥75， 所以经验回归方程为y=0.59x十0.44. (13分) 则-0.015t+2.177≥lg75, (14分) (3)当x=8时，y=0.59×8+0.44=5.16, 又lg75=21g5十lg3=2-21g2+lg3≈1.88， 所以预测第8天的销售额约为5.16万元.(15分) 所以-0.015t+2.177≥1.88， 17.解：(1)X的可能取值为0,1,2， (1分) 解得t19.8, (16分) P(X=0)-ee=高P(X=)= C C=6= 所以要想答对人数不少于75人，至多间隔20分钟 C 10 需要重新记忆一遍. (17分) 号pX=2) CC_1 19.解：(1)由题知，随机变量X服从二项分布，X~ Cg=10 (7分) 所以随机变量X的分布列为 B(m,), X 0 1 由P(X=3)=P(X=97),得n=100, 2 所以E(X)=100×号=50， (3分) 3 3 1 10 10 (2)(i)设事件E为“X=x1,X2=x2,…,Xw= x16”, 3 其数学期望为E(X)=0× 10+1X 3 +2×01 1 则P(E)=[C。p(1-p)]3[Cp2(1-p)]3· 5 [Cp3(1-p)'][Cip(1-p)][Cp(1-p)] 告 (9分) =(C1)3(C)3(C)2(C1)p25(1-p)7i.(8分) (i )i()=In[(Clo)3 (Cio)(Cio)2(Ci)2]+25In (2)用B表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有 +75ln(1-p),0<p<1, 校本课程开设经验的教师人数是1”， 用A,(i=0,1,2)表示事件“第一次抽选的2名教师 则g(p)=25-75=25-1002 p1-pp(1-p) 中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 由(1)知P(A)=品P(A)=子，P(A)=0: 当0<p<时，g()>0,g(p)单调递增： (12分) 当子<b<1时，g(p)<0,g(p)单调递减， ·120· 所以当p=十时，g(p)取得最大值，即P(E)取得最 因为1n是一号<子，所以9不可以估计.4分) 大值。 (11分) 在团体A提出的函数模型p=11十)一号9中， 在团体B提出的两数模型p=宁1一。)中， 记两数人)=h1十)-号，0<1， 记函数f(x)=(1-。)f()单调递增， 121-2x 令万(x)=子，解得x=n2 则f'(x)=1千x-3-31+' 则0=ln2是0的最大似然估计. (16分) 当0<x<时，f'(x)>0,f()单调递增： 综上，B团队的函数模型可以求出日的最大似然估 计，估计值为ln2. (17分) 当子<x<1时，f'(x)<0,f()单调递减， 所以当x=之时，f(x)取得最大值n多-子，