(19)概率、随机变量及其分布-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ① ② ③④ Θ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 分布列的性质 易 0.80 2 选择题 5 两点分布 易 0.76 3 选择题 5 求椭圆的离心率 多 0.72 利用全概率公式求 4 选择题 5 中 0.65 概率 正态密度曲线与二项 选择题 式定理的综合 / 分 0.55 6 选择题 分组分配问题 中 0.45 7 选择题 5 独立重复试验中概率 中 0.40 的计算 8 选择题 5 贝叶斯公式的应用 L 中 0.35 9 互斥事件与相互独立 选择题 6 0.72 事件的判断 易 10 选择题 6 二项式的系数和问题 中 0.60 概率与递推数列的 11 选择题 6 综合 L 公 0.35 分布列的性质与基本 12 填空题 5 0.70 不等式的综合 多 13 填空题 5 不相邻问题 中 0.65 14 填空题 利用方程思想解决古 5 典概型 / / / √ / 难 0.28 15 解答题 13 二项展开式中的特定 / 的 0.68 项及特定项的系数 ·111· ·数学· 参考答案及解析 二项分布，独立重复试 16 解答题 15 中 0.58 验中的概率计算 正态分布，全概率公式 17 解答题 15 及条件概率的综合 L 分 0.45 独立事件的概率、分布 18 解答题 17 列与期望，概率与导数 / / 难 0.28 的综合 19 解答题 17 新定义题，数列与期 难 0.25 望、条件概率的综合 考答案及解析 一、选择题 6.C【解析】根据题意可知5名记者需分成1,1,1,2 1.B【解析】由题意可得P(=)=1(i=1,2,3,…, 四组，若A场馆安排1人，则甲不在A场馆的安排方 法有CCA=144种；若A场馆安排2人，则甲不在 ,n∈N),所以P(<5)=P(=1)十P(=2)+ A场馆的安排方法有CA=36种，所以甲不在A场 P(=3)十P(=4)=合=寸解得n=12.故选B 馆的不同安排方法共有144十36=180种.故选C. 7.C【解析】由题意知n门大炮同时对某一目标各射 2.A【解析】因为随机变量X服从两点分布，所以 击一次，击中0次的概率为(1-0.3)"=0.7"，则至 P(X=0)=1-P(X=1)=0.3,所以D(X)= 少击中一次的概率为1-0.7"，则1一0.7">90%，所 0.7×0.3=0.21,又Y=2X-1,所以D(Y)= D(2X-1)=4D(X)=4×0.21=0.84.故选A. 以nlg0.7<lg0.1,则n>g0号 -1 g0.7=1g7≈ 3.A【解析】由题意可得|AF:=号|AB=6,所以 0.8451-可≈6.46，又n∈N,所以要使目标至少被 -1 由椭圆的定义得|AF|+|AF2|=2a=10十6=16， 击中一次的概率超过90%，n的最小值为7.故选C. 则a=8,在Rt△AFF2中，|FF2|= 8.B【解析】记事件A1为“王同学第一天去甲健身中 √JTAF12-AF7=8,即2c=8,所以c=4,所以 心”，事件A2为“王同学第二天去甲健身中心”，事件B 椭圆C的离心率e=后-合-子故选A 为“王同学第一天去乙健身中心”，则P(A)=0.3,P(B) =0.7,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B)=0.5,即P(AA1)= 4,D【解析】任取一个零件，记该零件是由第1,2,3台 P(APA IA)-0.6.P(A B-P(APCBA. 车床加工的分别为事件A,B,C,该零件是次品为事 P(A) P(B) 件D,则P(A)=0.25,P(B)=0.3,P(C)=0.45, =0.5,所以P(A2)P(A1|A2)=0.6P(A)=0.6× P(DA)=0.06,P(D|B)=P(D|C)=0.05,所以 0.3=0.18,P(A2)P(B|Az)=0.5P(B)=0.5×0.7 任取一个零件，该零件是次品的概率为P(D)= =0.35,所以P(A2)=P(A2)P(A|A2)+ P(A)P(DA)+P(B)P(D B)+P(C)P(DC)= P(A2)P(B|A2)=0.18+0.35=0.53,则 0.25×0.06+0.3×0.05十0.45×0.05=0.0525.故 选D. PBlA)PBB-09-器所以在 P(A2) 王同学第二天去了甲健身中心的条件下，他第一天去 5.B【解析】由的正态密度曲线知u=1,o=2,所以 乙健身中心的概率为器故选B D()=G=子由题可得a,=2C,k=01,2…m, 二、选择题 n(n-1) 9.ACD【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发 则2=2C1 2 a423C2n(n-1)(n-2) 全，解得n 生，故A正确：对于B,因为P(A)=,P(B)= 6 8.故选B. P(C)=,所以P(A)+P(B)+P(C)≠1，放B ·112· 高三一轮复习AN ·数学· 错误；对于C,由于四个盲盒中既有蓝色水晶崽崽又 种排列方式，所以同色棋子不相邻的排列方式有 有粉色水晶崽崽的盲盒只有一个，故P(B∩C) AA号=12种 子，放C正确：对于D.因为P(AnB)=子，P(A)· 14 【解析】法一：设甲在四轮比赛中每轮的得分为 P(B)=是X号=是，所以P(A)P(B) X,(i=1,2,3,4),四轮比赛的总得分为X,对于任 意一轮，甲、乙两人在该轮出每张牌的概率都均等， P(A∩B),故D正确.故选ACD. 其中使得甲得分的出牌组合有6种，则甲在该轮比 10.ACD【解析】令x=1,得a=23十(-1)8=9，故A 正确；令x=2,得a十a1十a2十a:十…十ag=33= 赛得分的概率为P(X=2)=及=各，所以 6 27①，故a1十a2十aa十…十a=27-a0=18,故B E(X)=(i=12,3,4),则E(X)=E(X+X 错误：令x=0,得a-a1十a2-a3十…十ag=257②， ①，②得a,十a,十a:十a,=-115,故C正确：对 +X+X)=】 2 E(X,)=4X子-3，记甲得2张分 (x+1)3+(x-2)8=a。+a1(x-1)+a2(x-1)2+ 的概率为p=P(X=2k)(k=0,1,2,3),若甲得0 a3(x-1)3十…十ag(x-1)8两边求导，得3(x十1) 分，则组合方式是唯一的，甲出1,3,5,7分别对应乙 +8(x-2)1=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+ 8a(x-1)7,令x=2,得a1+2a2十3a3十…+8ag= 出2,468，所以A,=六=京若甲得6分，则组合 27,故D正确.故选ACD. 方式也是唯一的，甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2， 11.ACD【解析】由题意知甲传球给乙或丙，所以P2= 46,所以A=太=六因为X的所有可能取值为 0,故A正确：乙或丙传球给其他两个人，所以P3= 0,2,4,6,所以p十p1十p2十p=1,E(X)=2p1十 之，放B错误：由题意知要想第m次触球者是甲，则 4p:十6p=3,所以A十A十立=1，pm十2pe十吉 第(n一1)次触球者不能是甲，且第(n一1)次触球 3 者有2的概率将球传给甲，故P.=(1一P.-) =名，两式相减得p:十分=合故=号方 是号P.≥2，则P=-号P,+号故C正 》,即四轮比爽结束后，甲的总得分恰好为4分的概 确：因为P.=-P,十，设P.十X 率为品 法二：由题意可知四轮比赛结束后，甲的总得分恰好 -合(P1+),解得入=-子，所以P- 1 为4分是甲赢了两轮比赛，甲赢两轮比赛有以下三 类情况：①当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合， 2(P-子)，又P-号-号，所以 3-2,5-4,1-6,7-8;②当甲出卡片3和7时赢， 有3-2,7-4,1-6,5-8或3-2,7-4,1-8,5-6 (P,一子}是以号为首项，一号为公比的等比数列， 或3-2,7-6,1-4,5-8,3种组合；③当甲出卡片5 故P.-合=号×()，所以卫.=号× 和7时赢，有5-2,7-4,1-6,3-8或5-2,7-4， 1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6， (-)+3,则P。-p=号×(-) 1-8,3-4或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2， 1-8,3-6或5-4,7-6,1-2,3-8,7种组合，所以 号×(-)广<0，所以P>P,故D正确故 甲赢两轮比赛的情况共1十3十7=11种，又四轮比 赛总的情况共有4×3×2×1=24种，所以四轮比赛 选ACD 11 三、填空题 结束后，甲的总得分恰好为4分的概率为24 12.54【解析】由题意得a十6=1-子-号-名，所以 四、解答题 15.解：(1)若选①，由题意得2”=64， 是+各=6(a+b)(日+分)=6(5+合+0)≥ 则n=6, (3分) 6(5+2√合·号)=54，当且仅当2a=6,即a 所以(。+子)的展所式中的带致项为日r( =160. (6分) 高6=号时等号成立，所以是+合的最小值为54. 1 若选②，由题意得C%=15, 则n=6, (3分) 13.12【解析】先将3个红色的“帅”“车”“马”棋子进 行全排列，有A种排列方式，3个红色棋子中间有2 所(：+是》的展开式中的常发理为r(停 个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有A =160. (6分) ·113· ·数学· 参考答案及解析 若选③，令x=1,得(1+2)”=3"=729， 事件B,表示“该零件来自第2条生产线”， 解得n=6, (3分) 所以(+2)的展开式中的常数项为x(二)》 则P(B)=子P(B)=子，P(AB)=0.04, P(A|B2)=0.008. (8分) =160. (6分) (i)抽取的零件为废品的概率P(A)=P(B)P(A|B) (2)由(1)可知n=6, +P(B,)P(AB,)=3×0.004+1×0.008= 则(+2)广的展开式中含x的项为C·2 4 0.005. (10分) 12x, (9分) 含的项为cr(兰) (i)因为P(A1B)= P(AB)=0.004, =60x2, (11分) P(B) 所以(1+)(+)》 所以P(AB1)=P(B)P(A1B)=三X0.004= 4 的展开式中x的系数为 0.003 12+60=72 (13分) 所以P(BA)= P(AB1)_0.003 =0.6. (15分) 16.解：1)由题可知X~B(20,), P(A)0.005 18.解：(1)记甲进入初赛时的答题数为X,则X的可能 所以E(X)=20X号=4， (4分) 取值为3,4,5， D(x)=20×号×(1-日)=. (6分) 所以P(X=3)(号)广”-》 (2)由题意得Y的可能取值为0,1000,2000,3000， 4000, (7分) 则PY=0)=(1-号-）广=6， P(X=5)=C×(号)'×（号）×号-品 所以甲进入初赛的概率为27十27十81一8 8181664 ,(4分) PY=1o00)=g×(1-3-号)×2-6 (2)由题可得Y的可能取值为0,5,10,15,20， pY=2o0o)=×+C××(1-}-2) 则PY=0)=×号××日+2x××日 (5分) P(Y=3000)=2X39 1 P(Y=5)=××××2+××× 1 1 P(Y=4000)=3×3=9 (12分) ×=品 (6分) 所以Y的分布列为 Y 0 1000 2000 3000 4000 PY=10)=号×号×合×是×2+号× 1 1 13 1 1 ×号×2+号×××- 5 21 416001 (7分) P 36 6 36 3 9 P(Y=15)=×号××x2=0, 4 (8分) 则E(Y)=0× 1 +1000× +3000 36 6 +2000×13 36 1 (9分) 1 ×3+4000× 1_7000 9 3 (15分) 所以Y的分布列为 1 Y 0 5 10 15 20 17.解：(1)由题得x=100×(54X5+58X25+60×45 +63×20+64×5)=60, (2分) 361 19 633 1 则X~N(60,2), 1600 160 (3分) 1600 10 25 所以P(62<X≤64)=P(60+2<X≤60+4) 则E(Y)=0X 361 +5X19 +10× 633 +15× =2[P(y-2KX≤+2a)-P(w≤X≤r+o)] 1600 160 1600 437 0+20×25= (12分) ≈合×(0.9545-0.6827)=0.1359. (5分) (3)因为甲前3道试题每道试题答对的概率均为p, (2)随机抽取一件汽车零件，记事件A表示“该零件 4道试题全部答对的概率为6， .1 为废品”，事件B表示“该零件来自第1条生产线”， ·114· 所以甲第4道试题答对的概率为16D· -8[1-（-8)8]=-4×83-4=-2o1十4 1-(-8) 9 9 (5分) 由0<16p <1,且0<p<1,得√6 (2)(i)因为数列{an},{b.}是从集合M中任意 所以甲能胜出的概率为P=高十》(1一)十 取出的两个数列， 所以数列{am},{bn}均为k项0-1数列， 1-p2=+。是e(小 1 所以X的可能取值为1,2,3，…，. (7分) 当X=m时，数列{am},{b,}中有m项取值不同， (14分) 有k一m项取值相同， 令)=p+品。最e(): 又集合M.中的元素共有Ce十C十C?十…十C=2 个， 则了(p)=3-品=34》十10-D 所以P(X=m)= Cg2m-1·2-m C 2-1: (9分) 16p C 3(4p+1)(2p+1)(2p-1) (15分) 所以X的分布列为： 16p X 1 2 所以当V<p<号时，了(p)<0:当<<1 C C C 时，f(p)>0, 2-1 2-1 2*-1 所以1()在（√）上单阔道减，在 因为mCg= 72k! k(k-1)! (分，1)上单调递增， m！(k-m)厅=(m-1)！（k=m)刀 =kC, 所以fp)=f(合)=是 所以BX0=1x9+2x号十…+6×号 C C 所以甲能胜出的概率的最小值为 (17分) 2-(C2-1+C-1+…+C=)= k k2-1、k2- 2-1 2 19.解：(1)因为数列{an}是100项0一1数列，当且仅 (12分) 当n=3m-2(m∈N”,m≤34)时，an=0, 所以当n=3m和n=3m-1(m∈N“,m≤33)时， (i)因为P(B|A)<P(B|A), am=1, (1分) 所以PCAB<P(AB=PB)-PAB 令cn=(-2)”am, P(A)P(A) 1-P(A) (14分) 则cm十cm1=(-2)m十(-2)。1=（-2) 所以P(AB)<P(A)P(B), 2 所以P(AB)-P(B)P(AB)<P(A)P(B) -8(meNm<3. -P(B)P(AB). (3分) P(B)P (AB)<P(B)P(AB), 所以数列{（一2）”am}所有项的和为数列 (一8》}n∈Nm≤3)所有项的和。 所0<. 即P(AB)<P(AB). (17分) 所以数列{(-2)a.}所有项的和为2 1数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十九 数学第2页（共4页） AN 14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上都标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两 人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的 人得2分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的 轮次中不能使用)，则四轮比赛结束后，甲的总得分恰好为4分的概率为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在(x+)”的展开式中， 从①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，这三 个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题 (1)求n的值及展开式中的常数项： (2)求(1+x2)(x+2) 的展开式中x4的系数 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分) 我国某手机公司推出了全球首款三折叠屏手机，开启了折叠手机新时代，并掀起了 一股抢购热潮！ (1)某企业决定采购一批该款三折叠屏手机，利用抽奖的方式奖励给年度优秀员工， 且每人抽到手机的概率为5（未抽到手机的颁发5000元现金）.现有20名优秀女员 工，记其中抽到该款三折叠屏手机的人数为X,求X的数学期望和方差； (2)为提升该款三折叠屏手机的销量，某手机商城为购买了该款三折叠屏手机的顾 客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：共设一、二等奖两种奖项，分别奖励2000元、 100元现金，每位顾客抽中一、二等奖的概率分别为号，7，其余情况不获得奖金： 每位顾客可以连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位 购买了该款三折叠屏手机的顾客所获得的总奖金为Y元，求Y的分布列和期望， 17.(本小题满分15分) 从某企业生产的汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标 准质量之差的绝对值)的样本数据如表 质量差（单位：mg) 54 58 60 63 x 件数（单位：件） 25 45 20 (1)假设零件的质量差X~N(4,σ2)，其中σ2=4，用样本质量差的平均值x作为2 的近似值，求x及P(62<X≤64)； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，第1条和第2条生产线生产的零 件件数之比为3：1，第1条和第2条生产线的废品率分别为0.004,0.008，且两条生 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 产线是否生产出废品相互独立.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. (ⅰ)求抽取的零件为废品的概率： (ⅱ)若抽取的零件为废品，求该零件来自第1条生产线的概率. 附：若随机变量X~N(,o2),则P(4一o≤X≤μ十o)≈0.6827，P(μ一26≤X≤4十 26)≈0.9545，P(μ-3o≤X≤4十3o)≈0.9973. 18.(本小题满分17分) 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取 得的成就的了解，某学校高二年级举办了一场知识竞赛.竞赛分为选拔赛、初赛和决 赛三个阶段，选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计 答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰.初赛阶段的选手每两人一组进 行比赛，组织者从准备好的题目中随机抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢 到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且答对得10分，对方选手得 0分；选手抢到试题但答错得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者 被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）. （1)若选拔赛阶段选手甲答对每道试题的概率均为号，且每道试题是否答对相互独 立，求甲进入初赛的概率； (2)若初赛阶段选于甲答对每道试题的概率均为，对于答对每道试题的概率均为， 且两名选手每道试题是否答对相互独立，求初赛阶段甲的得分Y的分布列与期望； (3)决赛阶段每位选手需回答4道试题，至少答对3道试题才能胜出，否则被淘汰. 已知选手甲进入了决赛阶段，且甲前3道试题每道试题答对的概率均为p (p∈(0,1)，4道试题全部答对的概率为6，每道试题是否答对相互独立，求甲能胜 出的概率的最小值. 19.(本小题满分17分) 若数列{an}(1≤n≤k)满足an∈{0,1}，则称数列{an}为k项0一1数列，有k项 0一1数列组成集合M. (1)若数列{am}是100项0-1数列，当且仅当n=3m-2(m∈N*,m≤≤34)时，an=0, 求数列{（一2）”am}所有项的和； (2)从集合M中任意取出两个数列{an},{bn},记X= ∑la-bl. (1)求X的分布列，并证明E(X)>合： (ⅱ)现用某软件产生一个k(k≥2)项0一1数列，记事件A表示“第一次产生数字 1”,事件B表示“第二次产生数字1”，若P(BA)<P(B|A),比较P(AB)与 P(AB)的大小. ·轮复习单元检测卷十九 数学第4页（共4页） AN