(18)计数原理-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十八 数学第2页（共4页） AN 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 从①展开式中前三项的二项式系数之和为46；②展开式中所有项的二项式系数之 和为512；③展开式中常数项为第4项，这三个条件中任选一个，补充在问题的横线 上，并解答 间题：已知二项式（丘-）°，若 ,求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中的第9项. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分) 某种产品的加工需要经过6道工序. (1)如果其中某道工序不能放在最前面，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，那么有多少种加工 顺序？ (3)如果其中某3道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (4)如果其中某3道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 17.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点A在C上，点Q满足AQ=3QF (ⅰ)求点Q的轨迹方程； (ⅱ)求直线OQ斜率的最大值， 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知(1十x)(2十x)2m-1=a十a1x十…十a4x+…十a2mx2m,k,n∈N“. (1)当n=3时，求a1十a2十…十a6的值； (2)当k≥1时，证明：2ka6=(2n十k)Cn1·22w; (3)设2·(2n-k)a=22m-1·(2n十k)bk,求b十3b十5b2十7b3十…+(4n-1)b2-1 的值. 19.(本小题满分17分) 组合数有许多丰富有趣的性质，例如二项式系数的和有性质：∑C= 2"(k,n∈N).小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的 探究. (1)计算：(C9)2+(C)2+(C号)2，(C9)2+(C)2+(C)2+(C)2,并分别与C,C比 较，通过比较写出一般性结论并证明； (2)证明：2-1(C.P=（一1)C: (3》利用1(2)中的结论，证明：∑C岁1)2=[C十（一1C。 三一轮复习单元检测卷十八 数学第4页（共4页）】 AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十八） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I抽象概括能力Ⅱ推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ② ③④ ⑤⑥ 档次系数 1 选择题 5 排列组合的判断 易 0.80 求二项展开式特定项的 选择题 / / 系数 易 0.78 选择题 组合在抽取问题中的 易 0.72 应用 4 选择题 5 排数问题 中 0.65 5 选择题 5 与椭圆有关的最值问题 中 0.55 6 选择题 5 杨辉三角问题 中 0.40 选择题 5 双曲线的离心率 的 0.38 8 选择题 5 涂色问题 中 0.35 9 选择题 6 直线与圆的位置关系 中 0.65 二项展开式的系数及各 10 选择题 6 二项式系数的和 V 务 0.55 11 选择题 6 分组分配问题 0.35 求两个二项式相乘的特 12 填空题 5 / 0.78 定项 易 13 填空题 5 抛物线的方程及应用 / 中 0.60 14 填空题 5 与表格有关的计数问题 难 0.28 15 解答题 二项展开式中的特定项 13 务 0.65 问题 16 解答题 15 排队问题 名 0.60 直线与抛物线的位置 17 解答题 15 关系 V 农 0.50 18 解答题 17 二项式定理的综合应用 中0.40 19 解答题 17 组合数的性质 / √ 难0.25 ·105· ·数学· 参考答案及解析 香考答条及解析 一、选择题 4|PF1十PF|,解得|PF|=2,所以2a 1.C【解析】A,B,D均与顺序有关，为排列问题；对于C, PF|-|PF|=4-2=2,故a=1,由 从全班同学中选出3名同学参加运动会开幕式，与顺序 无关，是组合问题.故选C a开阴=普-若得一，所以 2,A【解析】(2x一√元)的展开式的通项为T+ （-1)5C2-x-x5=(-1)*C2-*x号，k=0,1,2,3, e=c= a =3.故选C. 1 4,令8k=3,可得=2，所以二项展开式中2的系数为 2 (-1)2·C·2=24.故选A 3.C【解析】从8个人中任选4个人有C=70种选法， 甲、乙都没有被选中的选法有C=15种，所以甲、乙至少 1人被选中的不同的选法种数为70一15=55种.故选C. 4.A【解析】依题意，可将这样的六位数分成三种情况：第 一种情况，首位是数字1，则第二位必须是数字4，其余四 个数位将另外四个数字全排列即可，有A=24种方法： 第二种情况，首位是数字4，则第二位必须是数字1，其余 8.D【解析】先涂第一个圆有6种情况；再涂第二个圆有5 四个数位将另外四个数字全排列即可，有A=24种方 种情况：涂第三个圆有5种情况：涂第四个圆有5种情 法：第三种情况，首位从数字2,3,5中任选一个，有C种 况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有 方法，再将数字1,4看成一个元素，与另外三个数字在四 6×5×5×5×5=3750种情况；若不涂红色，先涂第一个 个位置上全排列有A种方法，再考虑数字1,4的顺序， 圆有5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有 有A种方法，故由分步乘法计数原理，有CAA=3× 4种情况：涂第四个圆有4种情况：涂第五个圆有4种情 24×2=144种方法.由分类加法计数原理可知，这样的 况，一共有5×4×4×4×4=1280种情况；若只有一个圆 六位数共有24十24+144=192个.故选A. 涂红色，当第一个圆涂红色时，再涂第二个圆有5种情 5.B【解析】如图，连接PF1, 况，涂第三个圆有4种情况，涂第四个圆有4种情况，涂 第五个圆有4种情况，一共有5×4×4×4=320种情况： 当第二个圆涂红色时，再涂第一个圆有5种情况，涂第三 个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况，涂第五个圆有 4种情况，一共有5×5×4×4=400种情况：当第三个圆 涂红色时，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种 情况，涂第一个圆有4种情况，涂第五个圆有4种情况， 一共有5×5×4×4=400种情况；当第四个圆涂红色时， 因为|PF2|+|PF|=2a=10,则1PF2|+|PQ|= 再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第 10十PQ-|PF1,要使|PF|十|PQ1最小，需使 二个圆有4种情况，涂第一个圆有4种情况，一共有5×5 |PQ一PF最小，由图知，当P,Q,F三点共线，且点 ×4×4=400种情况；当第五个圆涂红色时，再涂第四个 P在椭圆的右顶点时，PQ一PF的值最小，最小值为 圆有5种情况，涂第三个圆有4种情况，涂第二个圆有4 -QF=-(-1+4)=-3,此时1PF2|+|PQ1的最小 种情况，涂第一个圆有4种情况，一共有5×4×4×4= 值为10-3=7.故选B. 320种情况，所以红色至少涂两个圆的方案有3750 6.A【解析】由广义杨辉三角，得(x2十x十1)5=x十5.x 1280-320-400一400-400-320=630种.故选D. +15x2+30x+45.x+51x+45x+30x2+15.x2+5x+ 二、选择题 1,所以在(1十ax)(x2十x十1)i的展开式中，x的系数为 9.ABC【解析】圆C:(x十3)2+y=9的圆心C(-3,0), 30十45a=75,即a=1.故选A 半径r=3,对于A,直线1：m(x十1)十2x十4y-2=0,由 7.C【解析】由双曲线的几何性质，可知点O是线段FF 的中点，则Pò=号(P丽+P呢)，即4Pò：=|PI 2x+4y-2=0解得=一1 /x+1=0 y=1,所以直线1过定点 +21P11P|cos牙+1P,所以28=16+ A(一1,1)，故A正确；对于B,因为AC=√/2+1= √5<3，所以点A在圆C内，所以直线1与圆C有两个交 ·106· 高三一轮复习 ·数学· 点，故B正确；对于C,当m=1时，直线l:3x十4y-1=0, 则B(500,100),设抛物线C的方程为x2=2py,p> 则点C到直线1的距离d=一3X3-1=2,又，一d= 0,则5002=-2p×100,解得p=1250,所以抛物线C √3+4 的准线方程为y=-625,所以|BF|=100十625 1,所以圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C =725. 正确；对于D,圆C的方程化为(x一1)2十(y十4)=9，则 14.1512324【解析】将这9个数填入，不同的填法 圆心C(1,-4),半径=3，所以CC|=√/(-4)+4平 A 种数为N=AA=1512种.这9个数中有4个奇 =4√2∈(0,6)，所以两圆相交，所以圆C与圆C有两条 数，5个偶数，因为填入的每行数之和为偶数，故每 公切线，故D错误.故选ABC. 10.BC【解析】对于A,令x=0,则a=1,故A错误；对于 行有偶数个奇数，则只需将4个奇数按0,2,2分成 三组，当两个1在同一行时，不同的填法种数为 B,令x=1,则a十a1十…十a225=3225,故B正确：对 于C,令x=-1,则a0-a1十a2-a十…-a25=一1， V2=CCCA=108种；当两个1不在同一行时， 故C正确；对于D,由(1十2x)25=a十a1x十a22十… 不同的填法种数为N=CCAA=216种，故不 十a225x2025,两边同时求导得2025X2×(1十2x)224 同的填法种数为N2十N3=108+216=324种， 四、解答题 =a1十2a2x+3a4x2十…十2025a2025x2024,令x= -1,则a1-2a2+3a3-…十2025a2o25=4050,故D 15,解：1)(G-子)厂的展开式的通项为T+1 错误.故选BC. 11,ABD【解析】对于A,将4名老师分成3组共有 c,÷(-)》°=(-1)c→， (2分) CCC=6种，再将3组分配到3所学校有A=6 若选条件①：展开式中前三项的二项式系数之和 A 为46， 种，所以共有6×6=36种不同的安排方法，故A正 则有C%+C+C%=46, 确；对于B,先排甲乙有C=3种，再排丙丁有A= 2种排法，所以共有3×2=6种不同的安排方法，故 即1十n+n(m。1)=46, 2 B正确；对于C,当甲乙同组时有A=2种排法；当 整理得(n-9)(n十10)=0， 甲乙不同组时，将4名老师分成3组共有CCC 因为n∈N*,所以n=9, (5分) A 则展开式中二项式系数最大的两项为 1=5种，若甲去C学校，则有A=2种，若甲不去C T=(-1)Cx-=126x÷, 学校，则有1种，所以甲乙不同组时，共有5× (2十1)=15种.综上，甲不去B学校，乙不去C学 T。=（-1)5C8x-2x=-126x3 (7分) 校，且每所学校均有人去，共有17种安排方法，故C 若选条件②：展开式中所有项的二项式系数之和 错误；对于D,若又计划向这三所学校追加12个学 为512， 习名额，且每所学校至少3个，先每所学校分2个名 则有2”=512，解得n=9, (5分) 额，然后使用隔板法将剩下的6个名额分成3份，且 则展开式中二项式系数最大的两项为 隔板不在两端，则共有C=10种不同的分配方法， T,=（-1)C4x-=126x, 故D正确.故选ABD. T:=(-1)C5x=-126x3 (7分) 三、填空题 若选条件③：展开式中常数项为第4项， 12.10【解析】，(x十2y)(x-y)=x(x-y)十 2y(x-y)5,x(x-y)°的展开式的通项为A+1= 则有-X3=0,解符n=0. (5分) xC5·x5-·(-y)'=C·(-1)'x-=r·y(r=0,1, 则展开式中二项式系数最大的两项为 …,5),2y(x-y)5的展开式的通项为B+1=2yC· T=(-1)Cx￥=126x￥， x5-(-y)=2C·(-1)·xi-·y+1(k=0,1, T:=（-1)5C5竖=-126x. (7分) …,5),令6-r=5一k=3,得r=3,k=2,.x3y3的 系数为-C+2C=10. (2)由(1)知，=9， 13.725【解析】以O为坐标原点，OA为x轴，过点O 放(-)》的展并式的道项为T1 且与主塔AB平行的直线为y轴，建立如图所示的 平面直角坐标系， (-1)C$,k=0,1,…,9, 则T,=(-1)C8x=9x9 (13分) B 16.解：(1)先从另外5道工序中任选1道工序放在最前 毒 面，有C=5种不同的排法， 桥面 再将剩余的5道工序全排列，有A=120种不同的 排法， ·107· ·数学 参考答案及解析 故由分步乘法计数原理可得，共有5×120=600种 =22-k-1, 加工顺序. (3分) -(2+2。) (2n-1)! (2)先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面 =22a女-1·C5n1· 2n十k 和最后面，有A?=12种不同的排法， 再将剩余的4道工序全排列，有A=24种不同的排 所以2kak=(2n十k)Cn1·22m-. (8分) 法， (3)由(2)知 故由分步乘法计数原理可得，共有12×24=288种 ak=22n-k-1 (2n-1)！ 加工顺序. (7分) 《1)！(20-T(2+) (3)先排这3道工序，有A=6种不同的排法， =22-=1 和0(2。+) 再将它们看作一个整体，与剩余的工序全排列，有 2n+k A=24种不同的排法， =221·C5.1…2m-k (10分) 故由分步乘法计数原理可得，共有6×24=144种加 则2·(2n-k)a4=22m=1·Cn-1·(2n十k), 工顺序 (11分) 因为2·(2n-k)ak=22m-l·(2n十k)bg, (4)先排其余的3道工序，有A=6种不同的排法， 所以b=C-1, 出现4个空位，再将这3道工序插空，有A=24种 当k=0时，(2k十1)b=b=C2m-1; (12分) 不同的排法， 当k≥1时，(2k十1)b=2k·C.-1十C。-1 所以由分步乘法计数原理可得，共有24×6=144种 (2m-1)1 加工顺序， (15分) =2k·1（2m-1+C. 17,解：1)抛物线C的焦点为F(号，0)，准线方程为 (2-2)！ =2(2m-1）·k-1)1（2n2k-1)+C.- =2(21-1)C2十C4-1, (14分) 所以b十3b十5b2+7b十…+(4n-1)ba-1=C8m- 所以点F到淮线的距离为2-（一)=p=2, 十2(21-1)(C84-十Cn-2十…十C-)十(Ca-1十… (4分) 十C数-{)=2(2n-1)(C8m-2十Cm-2十…十C是)+ 所以抛物线C的方程为y=4x. (5分) (C8m-1+C2m-1十…十C”=)=2(2n-1)·22-2+ (2)(i)设Q(x,y),由(1)可知F(1,0), 22m-1=(2n-1)·22m-1十22m-1=2n·22m-1=n· 则AQ=3QF=(3-3x,-3y), 22m (17分) 所以A(4x-3,4y), 19.解：(1)(C8)2+(C)2+(C)2=1十4+1=6=C, 因为点A在抛物线C上， (1分) (C9)2+(C)2+(C)2+(C)2=1+9+9+1= 所以(4y)2=4(4x-3), 得到点Q的轨迹方程为4y2=4x-3. 20=C8. (2分) (10分) (i)设直线OQ的方程为y=kx, 结论：(C)2+(C)2十…+(Cm)2=C2 (3分) 则当直线OQ与曲线4y2=4x-3相切时，其斜率k 证明如下： (k>0)取到最大值， (1十x)”(1十x)”的展开式中，x”的系数为CC%+ 联立3,得一之+ ChCa-1十C%Cg-2+…+CC”=(C%)2+(C)2十… 3 v=kx 4 =0, 十(Cm)2, 又(1十x)"(1十x)"=(1十x)m, 其判别式4=是 3=0，解得=(k=会小 (1十x)的展开式中x”的系数为Cm, 所以直线0Q斜率的最大值为号。 所以(C%)2十(C)2十…十(C)2=C8.(6分) (15分) (2)(1-x2)2m的展开式中x的系数为(-1)"C2m, 18.解：(1)当n=3时，(1十x)(2十x)i=a十a1x十… (8分) 十a6x", 又(1-x2)2m=(1-x)m(1十x)m, 令x=1,则a0十a1十…十a6=2×3; (1一x)m(1十x)的展开式中xm的系数为 令x=0,则a0=2, C8nC8-C2nC21+CnC”2-…+C2aC8n= 所以a1十a2十…十a6=2X3i-25=454. (3分) 2-1Dc. (2)因为(2十x)21的展开式通项为C-1·22a-k- = ·x, 所以∑(-1)(C.)2=(-1)C (12分) 所以x的系数为a4=Cn·22m-k十C览n-1·2mk- =22m-1 2(2n-1)! (2n-1)！ (3)由(1)可得(C8.)2十(Cn)2十…+(C知)2= L(k-1D1(2n-k1十1(2m-k-1)」 C (13分) ·108· 由(2)可得(C2n)2-(Cm)2+(Cn)2-(Cm)2十 …+(C)2=(-1)"C8m, (14分) 所以∑(C%)=[C+(-1)C.]· L 两式相减可得2(C.)2+2(Cm)2十2(C8n)2十…十 (17分) 2(C数1)2=C-(-1)"Cm,