(16)圆锥曲线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

① 14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km:Q地位于E地的正东方向，相距 18.(本小题满分17分) 1km.现有一条沿湖小径RS(曲线)，其上任意一点到E和F的距离之和为4km. y 现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F,Q两地修 已知椭圆C:号+芳=1a>b>0)过点P(3,1),焦距为4厄，斜率为-号的直线1与 建观景步道的费用都是5万元/km,则修建两条观景步道的总费用最低是 C相交于异于点P的M,V两点，且直线PM,PV均不与x轴垂直. 万元 (1)求C的方程： 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） (2)若1MN=√10，求直线1的方程； 15.(本小题满分13分) (3)记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k,证明：k,k2为定值. 已知圆C的圆心在直线2x一y=0上，且与x轴相切于点(1,0). (1)求圆C的方程： (2)若圆C与直线l:x一y十m=0交于A,B两点，且∠ACB=90°，求m的值. 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点D(xo,2)在C上，且DF|=2. (1)求C的标准方程： (2)若C的准线与x轴交于点K,过点K的直线1交C于M,N两点，且KM= 19.(本小题满分17分) 入KN,A∈(1,2]，点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标xG 我们把实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.已知等轴双曲线C,号一岩芳 的取值范围. =1(a>0,b>0)的渐近线分别为4，l(其中1斜率为负，l:斜率为正)，过C的右焦 点F作FP⊥l,于点P,且点P到原点O的距离为√2. (1)求C的方程： (2)已知Q(1,b)为C上一点，作C在Q,处的切线QM,交直线4于点M,过点 M作QM∥l与C交于点Q2(a,b),…,以此类推，作C在Q.(am,b.)处的切线 QMn交直线l1于点M.,过点M.作Q+1Mn∥l2与C交于点Q.-1(a.+i,b.-1),n∈ 17.(本小题满分15分) N”,若a1=一√2，求数列{an的前n项和S。: 已知双曲线C号一卡=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y士Bx,焦距为4 y (3)过点F作直线l,与C的右支相交于A,B两点，问在x轴上是否存在一定点E (异于点)，使得直线AE与BE关于x轴对称？若存在，求出该定点的坐标：若不 (1)求C的方程： 存在，请说明理由. (2)若A为C右支上一点，点P(2,4),O为原点，求△AOP面积的最小值： (3)过C的右焦点F的直线与C交于D,E两点（均异于顶点），以线段DE为直径 的圆与直线x=号交于M,N两点，若MN=35,求直线DE的方程. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十六 数学第4页（共4页） AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⊙ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 由抛物线方程求其准 多 0.80 线方程 2 选择题 5 棱锥与棱柱的体积 √ 易 0.78 椭圆焦半径的最值（文 3 选择题 5 / 化题) 易 0.72 利用双曲线定义求 4 选择题 分 0.65 轨迹 选择题 5 累乘法求通项，裂项法 0.55 求和 L 竹 6 选择题 5 光线的反射问题 分 0.45 选择题 5 抛物线与向量的综合 L 中 0.40 8 选择题 5 双曲线的离心率 / / 中 0.30 9 选择题 6 两圆的位置关系 易 0.72 圆锥曲线与方程间的 10 选择题 6 关系 L 分 0.60 11 选择题 曲线与方程（新定 0.25 义题) 快 12 填空题 5 求圆的标准方程 √ 易 0.76 13 填空题 5 直线与双曲线的交点 个数的问题 中 0.65 14 填空题 5 椭圆的实际应用 / 分 0.35 15 求圆的标准方程，由圆 解答题 13 0.72 心角求参 易 ·93· ·数学· 参考答案及解析 求抛物线的标准方程， 16 解答题 15 务 0.55 最值问题 直线与双曲线的位置 17 解答题 15 关系，三角形面积的 公 0.45 最值 18 解答题 椭圆的标准方程及定 17 值问题 L L 块 0.28 双曲线与数列的综合， 19 解答题 17 定点问题 L 0.25 考答案及解析 一、选择题 2X3"-1 2 1.A【解析】易知曲线y=log225(x-2)过x轴上定 式，所以am= 故号=n品-品 点(3,0)，即为C的焦点，故C的准线方程为x= -3.故选A. 3片D所以8=品品3十品2一是十 2 2 2 2.B【解析】反向思考，边长为a的正方体，其最大内 2 2 2 2 2 5×33×4+…tn3n+=33m)号 接正因四面体的体积为。-4X分×之×a=分d 2n 200 1,解得a=3,故正方体体积的最小值为3.故选B. 3(n+1)故Sw=308故选C 3.C【解析】设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则 6.C【解析】如图，分别作出点A关于直线x-y=0 2a=9,2b=4,即a=号，6=2，故c=Va-石 的对称点A'(-4,一6)，点D关于直线x=1的对称 点D(2,12),根据光的反射原理，点B,C在直线 Y一，所以该椭圆上的点到其右焦点距离的最大值 A'D'上，所以m=D=二6-1=3，所以直线BC -4一2 的斜率为3.故选C. 为c十a=⑤+(cm.故选C 2 =0 4.D【解析】设动圆M的半径为r,则|MC|=r十1， IMC2|=r+3,则|MC2|-|MC|=2<|CC|= 6,根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双 曲线的左支，其方程为x一兰=1(x≤-1).故 8 选D. 5.C【解析】记数列 31 的前n项和为S。,由题意可 x=1 知a,≠0，由(n十2)an+1=3man,可变形为am出= an .B【解析】设A(x,)B(,琴）由y=子： 2放=3心2，所以a=3-, ax-1 n+1 求导得了=子，则直线PA的方程为y a-1 3n-1.3m-22a。= 3(n-1) n+1 n n十1 之(x一x)十，即y=受x一千，同理可得直线PB 3(n-2)·3(n-3) n n-1 a,g=…=3(n-1) n+1 的方程为y一受x一等联立直线PA与直线PB的 3(n-2).3(n-3).3(n-4)3×2.3×1 n n-1 n-2 4 3a,因 方程可得P(,平）由点P在直线y=-1 2X3m-1 为a=1,所以a.=m千元≥2，又a=1符合上 94· 高三一轮复习AN ·数学· 上，得=-1，即x4x=-4,所以PA.Pi= 线C表示焦点在x轴上的椭圆，则2m十1>5-2m 4 (2,）(2,） >0,解得1<m<号，放C正确：对于D,若曲线C 、2 4 为等轴双曲线，则有2m十1十5一2m=0,此时无解， -（x-）”_4x(-)=-x一) 故不存在m使得曲线C为等轴双曲线，故D错误.。 4 16 4 故选AC -4(x一x9）=0.故选B. 11.ACD【解析】对于A,因为|DF|·IDF2|= 16 8.B【解析】如图， (2√2+2)×(22-2)=4，所以由定义知点D22, O)在曲线C上，故A正确；对于B,若点M(x,1)(x> 0)在曲线C上，则|MF|·|MFz|= √[(x+2)+1][(x-2)+1丁=4，化简得x 6x2十9=0，解得x=√3，所以|MF|= √(3+2)+1≠2√2，故B错误：对于C,椭圆 若+苦=1的能点坐标恰好为A(一20)与 F2(2,0),则|FQ|+|F2Q|=2W6,又FQ⊥FQ, 所以|FQ|2+|F2Q=16,故|FQ|·|F2Ql= (FQI+IFQD:-(1EQ+IEQ1)=4. 2 在Ri△OPF中，因为tan∠POF=点=PE 1Op,且 所以点Q在曲线C上，故C正确；对于D,设 OF1=c,所以|PF|=b,|OP|=a.由三角形相似 A(2,y),则|AB|=2|y|,因为点A在曲线C上， 可知OPP=TP·PF|,所以TP=云又因 则A=奇，义AF=16+y,所以9 4 为部-号，所以1QT=号k设∠T0p=∠T00 16十y,化简得y十16y-16=0,故y2=4√5-8， 所以y2-1=45-9<0,故|y|<1,所以|AB|< 2a =0,则tam0=号，故tam20= b 2ab 2,故D正确.故选ACD. 106a2,又在 三、填空题 12.(x-1)2十(y-1)2=4(形如(x-a)2+(y-a)2=4 +坐 的任一方程均可)【解析】由已知得圆心C的横纵 Rt△OPQ中，tan2a IQP⊥ 2a2+36 坐标相等，且半径为2，故圆C的方程可设为(x OP a 2ab 放2a+36 a)2+(y-a)2=4,令a=1,即得(x-1)2+(y-1) 2ab =4. 2ab 。。,即36-5ab-2a=0,整理得 (b2-2a2)(362+a)=0,故62=2a2,所以c2-a2= 13.+ 3 (-,-9)u(停+-） 【解析】由题 2a,即c=5a,所以e=￡=尽.故选B a 二、选择题 可如C的渐近线方程为y=士，者1与C的南近 9.BC【解析】由题可知圆C的圆心坐标为C(0,0), 半径r=1.圆C2的一般方程化成标准方程，得(x 线平行，此时与C恰有一个公共点，则=士 3 3)2+(y十4)2=1，则圆心C2(3,-4),半径R=1,两 设直线y=k(x-2)与C交于A(x1,y),B(x,y), 圆圆心距为1CC2|=√3+(-4)严=5，所以 y=k(x-2) |PQmn=5-1-1=3,|PQmx=5十1十1=7，故A 联立 3 -y2=1 ,得(1-3k2)x2+12kx-3 错误，B正确：两个圆心所在直线的斜率kcC一 一专放C正确：又CC>R十，所以两圆外离， 1-3k≠0 12k2=0,所以△>0 ,整理得 不相交，没有公共弦，故D错误.故选BC. (x2>0 10.AC【解析】对于A,令2m十1=5-2m,解得m= 1,则C:x2十y=3,此时曲线C表示圆，故A正确： ≠行 对于B,若曲线C为双曲线，则(2m十1)(5一2m)< (12k)2-4×(1-3k)×(-3-12k)>0,解得k< 0,解得m>号或m<一号，故B错误：对于C,若曲 -3-12K0 1-3k ·95· ·数学· 参考答案及解析 或> 即入2十y2=4m,Ay=4, 3 联立两式并整理可得4m=1十)=A+ 十2， 14,15【解析】以EF所在直线为y轴，EF的垂直平 入 分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系 (8分) y 因为y=+大十2在入∈(1,2]上单调递增， 所以4m∈(4，号]，即m∈(1，号]， (10分) 又x1十x2=m(y1十y)-2=4m2-2, 所以MN的中点坐标为(2n2一1,2m), (12分) 所以直线MN的垂直平分线的方程为y一2m= -(x-2m2+1), (13分) 令y=0,可得6=2m+1e(3,早]， 设P为沿湖小径RS上的任意一点，则IPE+|PF|= 4,根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆，所以 所以点G的横坐标。的取值范围为(3，]， 2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所 (15分) 以点P的维迹方程为号+号-1，由题意，修建两条 b= 观景步道的总费用为5|PF|十5|PQ|=5(|川PQ+ 17.解：(1)由题意可得 2c=4 2a一|PE|),由图可知，当E,Q,P三点共线且点Q a2+b2=c2 在E,P之间时，即P在P。处时，总费用最低，最低 为5(4-|EQ|)=15万元. 解得a=1,b=√3，c=2, 四、解答题 所以双曲线C的方程为x一芳-1 (3分) 15.解：(1)设圆心坐标为C(a,b),半径为r. 由点C(a,b)在直线2x-y=0上，可得2a=b. (2)由题可得|OP|=√4+16=25，k#=2, (2分) 设与直线OP平行的直线的方程为y=2x十t, 又圆C与x轴相切于点(1,0)， 当该直线与双曲线C相切，且切点为点A时， ∴.a=1,b=2,则r=|b-0|=2, △AOP的面积最小， .点C的坐标为(1,2)，半径r=2, (6分) 因为点A在双曲线C的右支上，所以t<0.(4分) .圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. (8分) (2)∠ACB=90°，|CA=|CB|=2, ∴.圆心C到直线l的距离d=|CA|×cos45°=√2， (10分) :1-2+ml=2, w/1+1 解得m=-1或3. (13分) 16.解：(1)因为D(x0,2)在C:y2=2px(p>0)上， 所以4=2px,解得6=2 (2分) y=2x+t 因为|DF|=2, 联立 x2-兰=1得x2+4x++3=0, 所以x十专=2，即子+多=2， 由△=16t-4(t2+3)=12t2-12=0且t<0,得t= 解得p=2, (4分) -1, 所以C的标准方程为y2=4x. (5分) 所以切线方程为y=2x-1, (6分) (2)易知C的准线方程为x=一1， 所以直线OP与切线y=2x-1之间的距离为d= 则可得K(-1,0). 1w5 设M(,M),N(x2,y), 55 由KM=λKN可得y1=Ay2, (6分) 易知直线l斜率存在且不为0，设直线l:x=y一1， 所以△A0P面积的最小值为号X2,后×=1. 5 m≠0，代入到y2=4x中得y2-4my十4=0， (8分) △=16m2-16>0,解得m<-1或m>1, (3)由题意可知直线DE的斜率不为0，且F(2,0), 所以y十y2=4m,y1y2=4, 设直线DE的方程为x=my十2，D(x1,y), ·96· 高三一轮复习AN ·数学· E(x2y2), -芳=1.得(3-1y+12my+9=0 ①./16-3m=0, 2 联立 解得m=2(舍)或m=-2. (10分) x=my十2 由3m2-1≠0，△=144m2- 36(3m2-1)= 故直线1的方程为y=一了一2。 (11分) 36(m+10>0,得m≠分 (3)由(2)知k1,=二.业二1 x1-3x2-3 -12m 9 (-合+m-1)(-子+m-1) 1 则y十=3m11%=3m-' 所以|DE|=√1+m|y1-| (x1-3)(x2一3) 1 1 =√1十m -12n1 36 6(1+m2) -3(m-1)(x十x)+(m-1) 3m2-1 3m2-1-3m2-1 x1x2-3(x1十x2)十9 (10分) 1 设线段DE的中点为Q(o,), 9 ,m,36-号(m1D·婴+(m-1D 4 则y=当十业=一6m -2 3mx=m+2=3m气 9m2-36-3.37+9 2 4 2 所以点Q到直线=的距离为片 3m2-6m=1 =9m-187m=3' 3m十3 所以kk2为定值. (17分) (12分) 2(3m2-1) 19.解：(1)因为C为等轴双曲线，所以a=b, 又|MN|=33, 所以C的渐近线方程为y=士x (1分) 所以由勾股定理得 33) 32+3 设右焦点坐标为F(c,0)(c>0), 2 2(32-1) 由题知△OPF为等腰直角三角形， =3+m7 则由|OP|=√2→OF|=c=2, 3m2-1’ 又在等轴双曲线中，c2=2a2→a2=2, (2分) 解得m=0或m=士1， (3分) 所以直线DE的方程为x十y-2=0或x一y-2=0 所以C的方程为号苦-1 或x=2. (15分) +-1， 9若u.则 解得y=0,即Q(-√2,0)， 18.解：(1)由题意得 (1分) 2c=42, 根据对称性，不妨设Qn（am,bn)在第二象限， a2=b2+c2, a=2W3 由y=可，得=气 x 解得b=2, (3分) 所以在点Qn(an,b.)处的切线方程为y一b.= c=2√2 故C的方程为号+号-1. Vai-2 (4分) (②)设直线1的方程为y=一弓x十m(m≠0且m≠ 与4：y=-联立得M.(a异石·a千)： (6分) 2),M(x1,y1),N(x,y2),x1,x2≠3， 所以直线QM的方程为y-(一子石)= 1 y=-3x+m .2 4 由 ,得4x2-6mx十9m2-36=0, a千6即y=xa+b 4 由A=(6m)-144(m-4)>0,得-4y5<m< 联立 女一y一a千b,化简 4 x-y= 3 x2-y2=2 x+y=am十6 2 9,且m≠0，m2。 (6分) 4 a+1一b+1= an十b 2x1x2=9m36 则x十=3”，x 即 ,所以1十b山=1 (7分) aa+i十b+1=a,十b an +ba 2 4 2 所以MN=√1+写·+)-a西- 所以数列{a,十6，}是以一巨为首项，号为公比的等 ·97· 比数列， (8分) =0,m2-1≠0， 所以a+6=-E·(分）， △=(4m)2-4(m2-1)×2=8(m2+1)>0恒 成立， 由a始-b2=2得an-bn=-√2×2"-l, 所以y1十y2= 417 7m2-1'y1y= 2 m2<0,得m2< 可得2an=- 1. (13分) 由直线AE与BE关于x轴对称， 所以an= 号x(台)-号×， (10分) 可知直线AE和直线BE的斜率互为相反数， -(] 竖- 即kAE十kBE=O. (14分) 所以Sn= 1-司 1-2 2" 所以能十六十品2十 y2 2m十(2-t)(y十少）=0， 2X21-2 myz +2-t (my +2-t)(my2+2-t) 21 (11分) 整理可得2my1y2十(2-t)(y十y2)=0, (3)假设x轴上存在定点E,易知直线斜率不 为0. 即2mX2+2-0(n”）-0, 设E(t,0),l:x=my十2，A(x1,yM),B(x2y), 即4m(t-1)=0. (16分) 要使上式恒成立，即与的取值无关， 联立乏一之=1消去x得(m-1)y+4my十2 则应有t一1=0，所以t=1, x=y十2， 故x轴上存在定点E,其坐标为(1,0). (17分)