(11)等差数列与等比数列-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十一 数学第2页（共4页） AN 14.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明可能与古人端午节的习俗有关.如图为某校 数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段 CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线 段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧，以此类推，当 得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 蚊香 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 3 已知各项不为零的数列{a,}的首项a1=号，且3a,一2a,am1=a+ 1)证明：数列2一1为等比数列： (2)求{an}的通项公式； (3)求满足1十1+1+…+1<200的最大整数n的值. a az a3 an 16.(本小题满分15分) 已知数列{am}的前n项和为Sm,且a1=2,am+1=Sm十2. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=log2a-11,求数列{bn}的前n项和Tm. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,csin B+√3 bcos C=√3a,b=√3. (1)求角B; (2)若a十c=2,角B的角平分线BD交AC边于点D,求BD的长； (3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知数列{an}的前n项和S,满足2Sn=3n2十5n,数列{bn}为等比数列，其公比q> 0,且b1=6,b3=2a3+4. (1)求数列{am}和{bm}的通项公式； (2)设数列c满足1，c1·21C2 ’其中k∈N*. b:n=2k, (i)求数列{cm}的前2025项和； (i)求∑agcg(n∈N). 19.(本小题满分17分) 若数列{an}对任意的n∈N“,都有an十am+2>2an+1,则称数列{an}为“凹数列”. (1)已知数列{am}满足an=2",判断数列{an}是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列(b}的首项为4，公差为d,若数列为“凹数列”，求d的取值 范围； (3)证明：数列{cm}为“凹数列”的充要条件是“对任意k,m,n∈N*,当k<m<n时， 有a二4<m一cu, m-kn-m 三一轮复习单元检测卷十一 数学第4页（共4页） AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十一） 9 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 等比数列的性质 易 0.80 2 选择题 5 诱导公式 易 0.75 基本量法求等差数列 3 选择题 5 易 0.72 的项 等差数列前n项和之 4 选择题 5 0.65 比问题 分 选择题 5 数列的实际应用 中 0.55 6 选择题 周期数列 中 0.45 7 选择题 5 解三角形的实际应用 中 0.40 8 选择题 5 等比数列前n项和，分 / 中 0.35 组求和 9 选择题 6 复数的综合 / 中 0.68 10 选择题 6 等差数列的前n项和 中 0.58 11 选择题 6 等比数列的前n项和 与前n项积 公 0.30 12 填空题 平面向量的投影向量 易0.72 及模长问题 13 填空题 5 等差数列与等比数列 0.65 的综合 L 14 填空题 5 等差数列的实际应用 女 0.30 15 解答题 13 等比数列的证明及数 0.68 列求和 次 等比数列的通项及绝 16 解答题 15 0.58 对值数列的前n项和 分 ·61· ·数学· 参考答案及解析 利用正、余弦定理解三 17 解答题 15 0.45 角形 1 等差数列与等比数列 18 解答题 的通项，数列求和 0 0.28 19 解答题 17 与数列有关的新定 难 0.25 义题 昏考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】：在各项均为正数的等比数列{an}中， △PQE,可得m=9kE_P2.由△NTF h a=9,'.logsaz +logsaz=loga (az az)=logs ai= △PQF,得FQ=PQ,TE=PQ·a,故EQ-FQ= log81=loga34=4.故选C. NT h 2.B【解析】由题可得os(a+号)=cos[(a+晋)十 a:PQPQ.d:-a,b PQ-ah-6X1.75- h h a1-a21-0.6 受]=-sm(a+号)=-子故选B 10.5=26.25m.故选D. 0.4 3.C【解析】因为S=So,所以S1。-S=a6十a,十a8 十ag十a1o=5ag=0,则ag=0,所以等差数列{an}的 公差d=4=-是，故am=a-2d=2-2X 4 (-)=3.故选C 、E 、E 4.D【解折标】因为会-所以设3=ka(2十3》 KF a Thaz a =2k2十3kn,Tm=kn(n十1)=km2+kn,k≠0，n∈ 8.A【解析】数列{am}中，a1=1,由a+1·an=2”,得 N,所以品=会=是=器 S;-S a=2,a+2·a+1=21,则有8出=2，因此数列 中8，-0结-易放选D {a2m-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列 {a2m}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2o2 5.C【解析】由题意可知，该景区每年投入的资金构成 =(a1十a3十…十a225)十(a2十a4十…十a2o26)= 以80为首项，号为公比的等比数列，所以这5年投入 1-20+2×1-21o13)=3×213-3.故选A. 1-2 1-2 二、选择题 的资金总额 80x1-(号)] 1055(万元)；该 9.AC【解析】对于A,设a=a十bi(a,b∈R),则号= 景区每年的旅游收入构成以200为首项，30为公差 。-行+a<所以任0，得袋8则 的等差数列，所以预计这5年的旅游总收入为5× ≈=bi(b≠0，b∈R),故A正确；对于B,取x1=1, 200+5X4×30=1300(万元)，所以预计该景区这5 2=i,则||=|2=1，但与不是共轭复数， 2 故B错误；对于C,由|x1|=1,可知≈在复平面内对 年的旅游总收入与投入资金总额的差额为1300一 应的点的集合为以原点(0,0)为圆心，1为半径的 1055=245(万元).故选C. 圆，故C正确；对于D,取=3,2=一4，则号=9< 6.A【解析】由题意可得a1=5,a2=16,a3=8,a4=4, 16=号，故D错误.故选AC. a5=2,a6=1,a?=4,ag=2,g=1,aw=4,…,按照此 l0.ACD【解析】因为S3=S16,所以a4十a十…十a16 规律下去，可得am+1=4,am+2=2,am+3=1,n∈N*, =0,因为数列{an}为等差数列，所以a:十a16=a;十 又2025=3×674十3，所以a225=1.故选A. a15=…=2a10,则a4十a5十…十a16=13a10=0,即 7.D【解析】如图，设钟楼的高度为PQ,由△MKE a10=0,又a1>0,所以当1≤n≤9时，am>0;当n≥ ·62· 高三一轮复习AN ·数学· 11时，am<0.对于A,由a1。=0,可得S=S。,又当 又am≠0， n≥11时，an<0,所以当n=9或10时，Sa取得最大 值，故A正确；对于B,S=19a1。=0,故B错误：对 则-2能理得六=十 an+l an 3 (2分) 于C,由am的符号性可知当1≤n≤9时，{Sm}单调 递增，则Sn>S=a1>0;当n≥10时，{Sn}单调递 则-1=号（位- (4分) 减，由B可知S1y=0,则当1n18时，S>0;当 n≥20时，Sm<0,所以使S,<0成立的n的最小值 因为-1=号0 为20，故C正确；对于D,因为ag>0,a11<0,所以 所以数列（是一1）是首项为号，公比为宁的等比数 ama1<0,故D正确.故选ACD. 列 (6分) 11.AB【解析】因为数列{an}为正项等比数列，所以 a1>0,q>0,Tm>0.对于A,S=a1十a2十a3十a4十 (2)由1)得-1=号×（号） a a:十a6十a十ag十ag=S:十g(a1十ag十a3十a4十 3” a5)=S十qS,故A正确：对于B,若T225=T2o20, (9分) a 则=a1:0s=aoa=1,所以 TL020 (8由2)知2=+号， a2023=1,故B正确；对于C,因为a1ag=a4a6=4,所 以a十a≥2a4a6=8,当且仅当a4=a6=2时等号 =n十 成立，若a十a取得最小值，则a4=a6=2,即 3 1a4=a1q2=2 a6=a1二2解得{=，故C错误：对D,取 1<20. (11分) a1=1,q=2,则anm=2m-l,所以Tm=a1a2…an=2°· 2..·2-1=21+++w-1=2→，a+1=(2")= 显然n十1一}为单调递增数列， 22,则T=[2]'=22-·,又nN,所以r> 则满足条件的最大整数n的值为199. (13分) n2一n,所以22>2-”，即a+1>T,符合题意，但 16.解：(1)因为am+1=S十2， 所以当n≥2时，a=S.-1十2， a1=1,故D错误.故选AB. 三、填空题 两式相减得a+1一an=am, 所以aw+1=2an(n≥2)， (3分) 12厅【解折】由题意可得6=一号6，且a- 当n=1时，ag=S1十2=a1+2=4, 所以a2=2a1, 1b=1,则a·b=- 合，所以0-2b= 所以an+1=2am,n∈N, √a+4b-4a·b=√1+4+2=√7 故数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列， (6分) 13.4或6【解析】根据题意可得该数列的项依次为 所以an=2m. (7分) 2-d,2,2+d,(2+d)q,(2+d)q2,则 (2)由(1)可得bn=1og2a-11=2n-11, (8分) 2-d+(2+d)g=10 12+d=6 设数列{b.}的前n项和为Bn, 2+d+(2+d)g2=30'即 -1 2+d= 30，解得 则B=61十b2+…十6.=n(-9+2m-11) 2 q+1 =n(n-10)=2-10n, (10分) 日二支仔二所以4十？的值为4或6， 因为当1≤n≤5，n∈N时，bn<0;当n≥6，n∈N 14.80π【解析】由题意可知每段圆弧的圆心角均为 时，b>0, 所以当1≤n≤5，n∈N“时，Tn=-b一b2-…-bn 三设第m段圆弧对应的半径为，则1=11 =-Bn=10n-n2; (12分) +1,故数列{n}是首项为1，公差为1的等差数 当n≥6，n∈N*时，Tm=-b1-b2-…-b十b十bg 列，则m=1十n一1=n,则当得到的“蚊香”恰好有 +…+bn=Bn-2B,=n2-10n十50. (14分) 15段圆孤时，“纹香”的长度为号+经十…十 ∫10n-n,1≤n≤5，n∈N 综上，T.=m10n十50，m≥6nEN (15分) 要：=号(+n++n)=要×15X+1D 17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及csin B十√3 bcos C= 3 3 2 √3a, =80元. 四、解答题 得sin Bsin C+√3 sin Bcos C=√3sinA 15.解：（1)由3am-2anam+1=am+1,得3am-am+1 =√3sin(B+C)=√3 sin Bcos C-+√3 cos Bsin C, =2ama+1 即sin Bsin C=√3 cos Bsin C,而C∈(0，π)，sinC ·63· ·数学· 参考答案及解析 ≠0， 则b6=2a十4=2×(3×3+1)十4=24， 解得anB=E,又B∈(0，)，所以B=号.(4分) 所以bg2=6g2=24, 又q>≥0，所以q=2, (2)由B=号，b=F,及余弦定理得3=d+a-ac 所以b=b1q-1=6·2"-1=3·2". (6分) (2)(1)因为210=1024,2=2048>2025， =(c十a)2-3ac, 所以数列{cm}的前2025项中有10项分别为数列 又a十c=2,解得ac= 1 3 {bn}的前10项，其余项均为1， (8分) 故数列{c.}的前2025项和为(2025一10)×1十b 1 由SAA=S△ABD十S△BDC得 2acsin B= 2c·BD. +6,十…+6。=2015+6X1-20)=8153. 1-2 s号+aBD:sm (10分) 即ecsin号-BD:(e十a)sin舌则子× (i)由(1)可知a2=3·2+1,c=b,=3·2, 3 =BDX 2 所以agc=3·2(3·2十1)=9·4+3·2， 2X号，所以BD=E (12分) 6 (9分) 又9.4=36(1-4)=3.41-12， (3)因为E是AC的中点，所以B正-号(Bi+BC), 1-4 =3·2t1-6, 则胶=子(Bi+2Bi·B心+B衣)=子(+心 ∑32=6=2) 1-2 十ac)=3+2ac 所以∑agcg=3·4+3·21-18.17分) 4 19.解：(1)因为an=2, 由正弦定理得，ac= sin B sin A· sin B sin C= 所以a+2-an+1=2m+g一2+1=2m+1,an+1-an= 4sin Asin C=4sin Asin(A) 2+1-2”=2, (2分) 又2+1>2m, =23sin Acos A+2sin'A=3 sin 2A-cos 2A+1 所以a+2-a+1>an+1一a4,即an十a+2>2an+1, 所以数列{an}为“凹数列”， (4分) =2sim(2A-否)+1， (2)由题可得bn=b十(n-1)d=4十(n-1)d, 0<A<受 (5分) 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<-A<受 因为数列会为凹数列， n 所以A∈（若，受），所以2A-晋∈（告，君） 所以会+带>对任意nN恒成立， 即4+(n-1Dd+4+(+1)d2(4士n2),(7分) 所以sin(2A-吾)∈（合，1]， n n+2 n+1 所以ac=2sin(2A-)+1e(2,3], 所以d+4+叶2(a+), n n十2 所以硫-3计2（子，号]， 即4(中品)0 因为}+2品m子n+0, 2 所以BEe(停]， 所以4-d>0,则d<4, 即边AC上的中线BE的取值范周为（停，多] 所以d的取值范围为（一∞，4）. (10分) (3)必要性：因为数列{cm}为“凹数列”， (15分) 所以对任意n∈N”,都有cn十cm+2>2c+1; 18.解：(1)因为2Sn=3n2十5n,① 即cn+2一ca+1>cm+1一Cm, 所以当n=1时，2S1=2a=8,则a1=4: (1分) 所以对任意k,m,n∈N”,当k<m<n时， 当n≥2时，2S4-1=3(n-1)2+5(n-1),@ cn一cm=(cn一cm-1)十(ca-1一ca-2)十…十(cm+1- ①-@得2am=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1) cm）>(n-)(cm+1一cm）, 6n+2, (12分) 则an=3n十1， (3分) 所以二>c16, n-m a1=4符合上式， 又ca-c4=(ca-cm-1)十(cm-1一cm-2)十…十 所以am=3n十1， (4分) (cg+1-cs)<(m-k)(cm一cm-1)<(-k)(cm+1- ·64· cm）, 即ck十ck+2>2ck+1: 所以元二<c1-<二 所以数列{cm}为“凹数列”，充分性成立.(16分) m-k n一n 综上，数列{c}为“凹数列”的充要条件是“对任意 所以品冬<合必要性成立。 (14分) k,m,n∈N,当<m<n时，有看<品” 充分性：若对于任意k,m,n∈N",当k<m<n时， (17分) m一&<-cm, m-kn一n 取m=k十1，n=k十2，则+—G4<+2一c+1, 1 1