(10)平面向量及其应用(含解三角形)、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) V ① ② ③④ Θ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 复数的概念与运算 易 0.85 2 选择题 5 投影向量 易 0.80 3 选择题 5 三角函数的零点个数 易 0.70 由函数存在单调区间 4 选择题 5 中 0.65 求参数取值范围 平面几何与向量的 选择题 / 务 0.60 综合 几何图形中三角形面 选择题 积的表达式 L 竹 0.58 7 选择题 三角函数的值域 中 0.50 8 选择题 5 三角形中平面向量基 本定理的应用 L 中 0.35 两三角函数的图象与 9 选择题 6 0.72 性质 易 复数的三角形式及 10 选择题 6 运算 L 浓 0.65 11 选择题 6 解三角形 L 0.35 平面向量数量积的 12 填空题 5 中 0.69 运算 L 13 填空题 5 复数与共轭复数的 / 运算 的 0.50 14 填空题 两角差的余弦公式，利 5 用余弦定理解三角形 的 0.32 ·55· ·数学· 参考答案及解析 复数的运算，求复数的 15 解答题 13 模，复数范围内方程 分 0.68 的根 平面向量的自定义运 16 解答题 15 算，求向量夹角的余 / / 0.58 弦值 向量的坐标运算，三角 17 解答题 15 函数的对称中心，求三 中 0.50 角形周长的取值范围 18 解答题 17 解三角形 求高度 中 0.40 19 17 利用正、余弦定理解三 解答题 难 0.30 角形，求三角形的面积 昏考答案及解析 一、选择题 1B【僻折】因为六=中-1+一1- 以2e(2)则2（是-）°-3∈[-3,4)小， 所以a<4.故选C. 所以=1十宁，其虚部为子故选B. 5.D【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐 标系， 2.A【解析】依题意，a在b上的投影向量的坐标为 6=子0=(-1,0.故送A 3.C【解析】由题得f(x)=cosx-√3sin2x=cosx 2W3 sin xcos x=cosx(1-2√5sinx),令f(x)= 0,得ms=0该如g-9<合：因为：[0,1g], 设CD=a,PD=b,a>0,0≤b≤a,则A(2,0),B(1, 所以cosx=0有两个解，分别为受和要，sinr= a),P(0,b),则PA=(2,-b),PB=(1,a-b),所以 6 PA+3PB=(5,3a-4b),所以|PA+3PB|= 在区间[0,2π]上有两个解，因为y=sinx在区间 √5+(3a-46)产≥5，当3a=4b时等号成立，所以 (2a,号]上单调递增，且sn2=0,mg=sn吾 |PA+3P|的最小值为5.故选D. =言>所以m=号在区(]有一个 6.A【解析】AE⊥l,AD⊥2，AC⊥AB,.∠ABD 解缘上，f(x)在区间[0，]上有5个零点.故 十∠BAD=受，∠CAE+∠BAD=受，·∠CAE= 选C. ∠ABD=a,0<a<受，AB=品。AC= cos a' 4.C【解析】由题得f(x)=二-ax-2,f(x)在区 ∴sa)=之AB·AC=2 sino=sm8 hi h3 间(2,4)上存在单调递增区间，等价于∫(x)>0 (0<a<受).故选A. 在区间（分4）上有解，即兰-兰=2（二）广 7.C【解析】因为f(x)=sin(x-),若a∈ >a在区间（分，4）上有解，因为x∈(3,4)，所 [-要，-受]，则。-吾∈[-x,-Ξ]，所以fa) ·56· 高三一轮复习AN ·数学· ∈[一90]，因为在区间[m0]上总存在确定的： 所以2kπ≤2x-于≤π十2kπ，k∈Z,解得否十kπ≤x 3 使得f(a)-f(B)=0,所以在区间[m,0]上总存在 ≤十k,k∈Z,故D正确：故选ABD, 确定的，使得f∈[-号0]，当8E[m0]时 10.ABC【解析】对于A,≈|=√/cos0+sin0=1,故 吾∈[m-吾，一晋]，则m-吾<-，解得m≤ A正确；对于B,因为复数x=cos0+isin0(0∈R), =cos20-sin20++2isin 0cos 0=cos 20+isin 20, 晋，故m的最大值为故选C 则|z2|=√cos28+sin20=1,而|x|2=cos20+sin0 8.C【解析】取BC边的中点D,连接PD,则2Pi= =1,则|x2|=|x,故B正确；对于C,x·交= cos 0+isin )(cos 0-isin )cos20+sin20= PB+P心，所以2PA+2Pi=0,则D市=PA,故P为 1,故C正确：对于D,由题意得x十1=(cos9十1)十 线段AD的中点，因为P,M,N三点共线，所以存在 isin0,所以|x+1|=√(cos0+1)2+sin'0= 实数s,使得AP=sAM+(1-s)AN,故AP=saAB √cos'0+sin0+1+2cos日=√2+2cos0,因为 +1-)BAC,又A2=2Aò=十(Ai+AC),且 cos9∈[-1,1]，所以√2+2cos0∈[0,2]，故D错 误.故选ABC. AB,AC不共线，所以 (1-s8= ,整理得。十日 11.ACD【解析】因为a=√7，b=3,c=2,所以sinA: sinB:sinC=a:b:c=√7：3：2，故A正确；由余弦定 =4,所以十48= a+48(日+合) 理得osA-十c立=言又A∈(0，x),所以 2bc (6++)≥(6+√音)=号当且 A=号，故B错误：△ABC的面积为合besin A- 仅当a=是日=号时等号成立，所以a十4g的最小值 3,故C正确：因为∠DAB的平分线交直线CB于 为号故选C 点E,A=受，所以∠BAE=子，所以SaE=SaAm 十SAE,即合AC·AEsin2号=3Y5+合AE· 2 ABsin-号，解得AE=6,故D正确.故选ACD, 三、填空题 D 2.-专【解析】由题得P心，前=(B心-B)· 二、选择题 9,ABD【解析】令2x一于=k,∈Z,得x=否十 号（成+）-号（成-号成-号）（成+ ,∈乙，所以f()图象的对称中心为点 BA)=号(BC-2BA)·(BC+BA)=号(EC (晋+，0）h∈D,令2x+吾-受+：∈Z, BC.Bi-2B亦)=号×(4-2×2Xc0s60°-2× 得x=吾十艺，k:∈乙，所以g(x)图象的对称中心 0=-专 13.√10【解析】设x=a十bi,a,b∈R,则=a-bi,所 为点（吾+管，0）：∈Z,所以f(x)与g(x)的图 以x十=2a=2,则a=1,由之·=2，得a2十b=2, 象有相同的对称中心，故A正确；g(x) 解得=1，又x-22=-a十3bi,所以|之-22|= (-a)2+(3b)严=√/10. cos(2x+若）=cos(2x-号+5）=-sin(2x 14.7.3【解析】如图，连接AC,设圆心为D,AC的中 号)=-f(x),所以f(x)与g(x)的图象关于x轴 点为E,连接AD,DE,DB,则AD=13,由题意易知 AC=√/AB+BC=10=2AE,AE=5,则 对称，故B正确；g(x)≠f(-x),所以f(x)与 g(x)的图象不关于y轴对称，故C错误；由f(x)≥ as∠DAC-普-青os∠BAC-0-台，所以 g(x)=-f(x),得f(x)≥0，即sin(2x-号)）≥0， Sn∠DAC=号sin∠BAC=亭，所以cs∠BAD- ·57· ·数学· 参考答案及解析 as(∠DAC-∠BAC)=是×告+号×是-3 ·a+b与b夹角的余弦值为3@ (15分) 10 在△ABD中，由余弦定理得BD=AD2+AB 17.解：(1)f(x)=(cos2x-sinx)十2√3 sin xcos x= 2AD·AB·cos∠BAD=53.8,所以BD≈7.3cm. 3sin2x+cos2x=2sin(2z+否）， (2分) 令2x十石=r,k∈Z,则x=一 +经，k∈乙， 即函数f)的对称中心为(-是+经，0)，k∈乙 (4分) 四、解答题 ②油（爱+号）=-2可知， 15.解：1)因为=份，为实数， 2m[2(最+号)+]-2 1 所-骨号+子为实数。 (1+i)(1-i) 2 化简有si(a叶晋)=- 31 (6分) 所以2=0,6=2， 则之=2i, (4分) (2)由(1)得2=-4， 十sin asin号 所以|x十x2|=|-4+2i=√16+4=2W5.(6分) 是osa+9sm&=5m(a十号)=万× = (3)由(1)可知x=2i, 2 所以(1十x)2=(m十2i)2=m2-4十4mi, 因为复数(m十)”在复平面内对应的点位于第四 (9)=-1 (8分) 象限， 所以。0将码<-2， (3)由f(B)=1可得2sin(2B+若)=1，即 (10分) 又之=2i为实系数方程x2+(m2一9)x十4=0 sim(2B+)=合， 的根， 所以-4+2(m2-9)i+4=0, 又0<B<受，则晋<2B+吾< 所以m一9=0，解得1=士3， 所以2B+晋-要解得B=号 (9分) 又n<一2，所以m=一3. (13分) 16.解：(1)由题得2a-b=(-5,6), 2分) b C: .(2a-b)⊕b=(2a-b)·b--15+24=9 由正弦定理有sinB一sin Csin A b2 25 5 2 (5分) 所以a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(号+A) (2)由(3a+b)①(a-2b)=-5 3 得8a2092b-}8:g-号， =2ainA+2(停asA+合mA）=3nA+5asA (a-2b)2 5-4a·b (12分) 解得ab号 =25sin(A+晋)， (9分) (a+b)·b=ab+1=号， 0<A<罗 因为△ABC为锐角三角形，所以 la+b1=Va+b=V2牛2a万=√2+哥 0<号-A受 解得A∈（晋，受）， (13分) 3W/10 (12分) 5 所以A+若∈(5，ξ) .cos〈a+b,b〉= (a+b)·b a+bb 则2Bsin(A+)e(3,2], 30×1 5 所以3<a十c≤2√5，则3+√5<a十b十c≤3√3， =30 所以△ABC周长的取值范围为(3十√3,3√3]· 10 (15分) ·58· 18.解：(1)设ED1=h, 19.解：(1)在△ABC中由正弦定理得sin∠BAC BC h 由题得iana=AD=1,ianB=BD=2,tanY= AC sin∠ABC,又BC=2AC, (3分) 所以2sin∠ABC=sin∠BAC, 所以AD=h,BD,=合，GD,=台， (4分) 又∠ACB=120°，所以∠ABC=60°-∠BAC, 所以2sin(60°-∠BAC)=sin∠BAC, 又A1C=AC=40m,B1是线段AC的中点， 即2(sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC)= 所以A1B=B1C1=20m, (5分) sin∠BAC, 则在△AB1D1中，由余弦定理得cos∠A1B:D 即3cos∠BAC=2sin∠BAC, 400+-h 4 所以tan∠BAC-sin∠BAC=E cos∠BAC-2 (5分) 2×20×号 (2)因为AB=2√7， 在△B,CD1中，由余弦定理得cos∠CBD= 在△ABC中，由余弦定理得AB=AC十BC2 400+么2一么 2AC·BCcosa∠ACB, 49 (9分) 2Xx20×号 即28=AC+4AC-2AC×2ACX(-合)，解得 AC=2(负值舍去)，则BC=4, 又∠ABD1+∠CBD1=π， 1 400+ -h2 400+号- 所以S△Bc=号AC·BCsin∠ACB= 2 2 ×2×4X 4 所 2×20x号 三0 2×20x号 -25 2 (9分) (3)在Rt△ADC中，设∠ACD=日(0°<<90°)， 整理得 18 =800,解得h=120厘 11 m, AC=x(x>0), 则BC=2x,CD=xcos8, 所以该建筑物的高度DE=5+120工(m. 在△BCD中，可得∠BCD=120°-0，∠CBD= 11 (13分) 0-60°， AB BC CD (2)在△AB,D,中，由正弦定理得snAD,B 由正弦定理得sn2 CDB-sin/CBD' A D 则2 xcos 0 xcos 0 sin∠ABD,' sin(0-60)-1 2 sin 0-3 cos日 BC 在△B,C,D中，由正弦定理得sn∠BD,C 所以 CD 1 ,可得tan9=3 2 (15分) sin∠CiB1D 2tan g ia湘8-号且si/A.B.D=aCBD, 即tan∠ACD=3YE (17分) 2 所会是-宁 (17分)数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十 数学第2页（共4页） AN 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知复数&=6∈R),计异为实数. (1)求； (2)求z+z2; (3)若复数（十之）(n∈R)在复平面内对应的点位于第四象限，且之为实系数方程 x2十(m2一9)x十4=0的根，求m的值. 16.(本小题满分15分) 对于任意两个非零平面向量a,b,定义新运算：a⊕b=a:b (1)若向量a=(-1,5),b=(3,4),求(2a-b)①b的值； (2)若单位向量a.b满足(3a+b)④(a一2b)=一3，求a+b与b夹角的余弦值。 17.(本小题满分15分) 已知向量a=（-1,2√3)，b=(sinx-cos2x,sin xcos x),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的解析式及对称中心； 2若f径+号）=25求osa+cos。-吾)的值： (3)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=√3，f(B)=1,求 △ABC周长的取值范围. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 某中学的数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了在同一 条直线上的A,B,C三点，测得AC=40m,B为线段AC的中点，兴趣小组的组长在 A,B,C三点上方5m处的A1,B1,C1观察该建筑物最高点E的仰角分别为a,B,Y, 其中tana=1,tanB=2,tany=3,D为点E在地面上的正投影，D1为线段DE上与 A1,B1,C1位于同一高度的点. (1)求该建筑物的高度DE; (2求0公B,总的值， B 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC. (1)求tan∠BAC的值； (2)若AB=2√7，求△ABC的面积； (3)设D为△ABC内一点，AD⊥CD,∠BDC=120°，求tan∠ACD的值. 三一轮复习单元检测卷十 数学第4页（共4页) AN