(5)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷五 数学第2页（共4页） AN 13.已知x>0,y>0,且+4y=1,则x+1的最小值为 14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(2一x)=f(2十x),且当x∈[一2,0]时，f(x)= (号)厂-1.若关于x的方程f(x)-1og,(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]上恰有三个 不等实根，则实数a的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普 洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探 究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1in测量一 次茶水温度，得到茶水温度y与时间t的部分数据如下表所示： 时间t/min 0 2 3 5 水温y/℃ 95.0088.0081.7076.0370.9366.33 (1)给出以下三种函数模型：①y=at十b;②y=a·十c(a>0,0<b<1);③y= log(t十b)(b>0,a>1),请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单 叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)按(1)中所求解析式，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间.（精确到 0.1,参考数据：1g3≈0.477,1g5≈0.699) 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)是定义在区间[一1,1]上的奇函数，f(1)=1,且对于m,n∈[一1,1]， m+n≠0，有fm)+fn2>0. m+n (1)证明：f(x)在区间[一1,1]上单调递增： (2)解不等式fog:(x+)<f(2)： (3)若2|f()-f(x)川≤-2at+1对任意x,x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成 立，求实数t的取值范围 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2十ax十c ,a,c∈R. x十a (1)若f(x)为奇函数，求a的值； (2)若f(x)的图象过点(1,2)，且与x轴负半轴有两个不同的交点，求c的取值 范围. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log2(2-x2). (1)求f(x)的单调递增区间； (2)解不等式f(2x一1)≤f(x); (3)若关于x的方程[f(x)]-mf(x)+n=0在区间（一1,1）上有3个不等实根，求 4+1-5·2m十1的最小值. 19.(本小题满分17分) 若函数f(x)满足：对任意正实数s,t,都有f(s)十f(t)<f(s十t),则称f(x)为“H 函数” (1)分别判断函数f(x)=x2与g(x)=ln(x十1)是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数h(x)=3x+x一3a为“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)为“H函数”，f(1)=1,且对任意正实数s,t,都有f(s)>0,f(t)> 0,证明：对任意xe(2,2+)k∈N).都有f()-f)>受-是 三一轮复习单元检测卷五 数学第4页（共4页）》 AN高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 与零点有关的充分必 要条件 L 易 0.85 2 选择题 5 函数零点个数的判断 易 0.80 3 选择题 判断不等式是否成立 易 0.72 4 选择题 5 方程实根的个数 中 0.65 5 选择题 5 二次函数的实际应用 中 0.60 6 与分段函数有关的自 选择题 定义题 农 0.50 7 选择题 5 函数图象识别 √ 中 0.48 由分段函数的零点个 8 选择题 5 / / 中 0.30 数求参数取值范围 9 抽象函数的不等式 选择题 6 问题 易 0.72 10 选择题 6 方程的实数根问题 分 0.60 11 选择题 6 抽象函数性质的综合 √ 中 0.45 利用分段函数求函数 12 填空题 分 0.68 取值范围 利用基本不等式求 13 填空题 5 中 0.50 最值 / 14 填空题 5 函数性质的综合应用 √ 中 0.35 15 解答题 13 函数的实际应用 / 浓 0.68 函数的单调性，解不等 16 解答题 15 式，由不等式恒成立求 的 0.60 参数取值范围 ·23· ·数学· 参考答案及解析 利用奇函数求值，函数 17 解答题 15 0.55 图象的应用 对数型函数的单调区 18 解答题 17 间，解不等式，由方程 0.40 的实根个数求最值 19 解答题 17 函数的自定义题 难 0.28 考答案及解析 一、选择题 煎炸时间为3.25min.故选C 1.A【解析】若f(x)=ax十3在区间[-1,2]上存在 6.D【解析】将函数y=ax(x≤0)的图象关于原点对 零点，则f(-1)·f(2)=(-a十3)(2a十3)≤0， 称后所得图象的解析式为y=一ax2(x≥0)，则 解得a≥3或a≤-子，所以a≤一2”是“函数 f(x)的“友情点对”的个数即为函数y=xlnx(x> 0)与y=一ax(x≥0)的图象的交点个数，即为关于x f(x)=ax十3在区间[-1,2]上存在零点”的充分 的方程x31nx=一ax2(x>0)的实根个数，则一a= 不必要条件.故选A. xlnx,令h(x)=xlnx,x>0,则h'(x)=lnx十1，所 2.D【解析】由题得f(-x)=2(-x)2十1 cos(-x)=2x2十1-cosx=f(x),定义域R关于y 以当x∈(0，)时，(x)<0,h(x)单调递减；当 轴对称，所以f(x)为偶函数，又2x≥0,1-cosx≥ 0,所以f(x)≥0，当且仅当x=0时等号成立，所以 x∈（日，十∞）时，M(x)>0,h(x)单调递增，所以 f(x)有且仅有一个零点x=0.故选D. 3.B【解析】对于①，当c=0时，ac2=bc2,故①错误； a()=A()=-。,又当x+0时，h(x)→0： 当x→十∞时，h(x)→十∞，作出h(x)的图象如图 对于②，当>0>6时，日>0>六，故②结误：对于 所示， ③，曲>>0，得日>>0，又>6>0，所以号> 名，故@正确：对于①，构造幂函数f(x)=x (c<0),则f(x)在(0，+oo)上单调递减，又a>b> 1,所以f(a)<f(b),即a<6,故④正确.故选B. 4.B【解析】由e十x十lnx=na十名，得e十x= 兰+h兰，令f()=e十x≥1，则f()= 因为f(x)恰有两个“友情点对”，所以直线y=一@ f(1ng),因为f(x)在区间[1，十∞)上单调递增， 与h(x)的图象有两个交点，则-1<-a<0,即0< e 所以x=ln冬，即x十lnx=lna.令h(x)=x+ln, a<。,所以实数a的取值范围为(0，。)，故选D. 7.A【解析】令g(x)=ax2+bx=0,得x=0或x= x≥1，h(x)单调递增，所以h(x)∈[1，十oo),又 a≥e,所以lna≥l,所以关于x的方程x十lnx=lna 一台对于x)=(会)厂广，若0<女<1，则g)的 a 只有一个实根，所以关于x的方程e十x十lnx=lna 零点x=-力∈(-1,0)，A满足，B不满足：若名> 十名在区间[1，十©)上只有一个实根.故选B, 4a+2b+c=50 1,则g(x)的零点x=- ∈(-∞，-1)，CD不满 a 5.C【解析】由题可得{9a十3b十c=80,解得a= 足.故选A. 16a+4b+c=70 8.A【解析】由题可得y=f(x)-a= -20,b=130,c=-130,所以p=-20t+130t /x-2,x≥2 130,当：=一乡=3.25时，p取得最大值，所以最佳 {d-2-ax<2当x≥2时y=V-2单调递 2a ·24· 高三一轮复习AN ·数学· 增，且零点为x=2:当x<2时，令y=f(x)-a=0, 以f(0)=0,对于(2-x)=f(x)十f(2),令x= 得|a-2|=a,当a>1时，作出曲线y 2,得f(0)=2f(2),则f(2)=0,所以f(2-x)= |a-2|(x<2)与直线y=a的图象如图所示， f(x),又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x), 所以f(2-x)=-f(-x),则f(2+x)=-f(x), 则f(x十4)=-f(x十2)=f(x),所以f(x)是以4 为周期的周期函数，所以f(1)十f(2)+∫(3)+ f(4)=f(1)+f(2)-f(1)-f(2)=0,则 y=a f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=506× [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=f(1), 因为当1，x∈[0,1门，x≠时，（西）-f() x1x2 则log2<2=1og.a2,则a2>2,所以a>√2，要使曲线 >0,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增，所以 y=|ar-2|(x<2)与直线y=a有两个交点，则 f(1)≠0，故A错误；因为f(2-x)=f(x),所以直 1a2-2≥2W2<a2-2<2 线x=1为f(x)图象的一条对称轴，所以直线x=5 或 两个方程组均无解，所 2<a<2/2<a<a2-2 为f(x)图象的一条对称轴，又f(x)为奇函数，所 以a>1不符合题意：当0<a<1时，作出曲线y= 以直线x=一5为f(x)图象的一条对称轴，故B正 |a-2|(x<2)与直线y=a的图象如图所示， 确：因为f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0,1]上 14 单调递增，所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增， 因为f(0)=0,f(2)=0,f(x)的周期为4，所以 f(x)在区间[-7,7]上有7个零点，分别为x= -6,x=-4,x=一2，x=0,x=2,x=4,x=6,故C 错误；因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增，且 f(x)的周期为4，所以f(x)在区间[-5，-3]上 单调递增，由B可知直线x=一5为f(x)图象的一 条对称轴，所以F(x)在区间[一7，一5]上单调递 此时log.20,由图可知曲线y=a一2(x2)与 减，故D正确.故选BD, 直线y=a有两个交点.综上，a的取值范围为 三、填空题 (0,1).故选A. 12.[0,1] 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示， 二、选择题 9.ABD【解析】因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1) =1,f(2)=2,所以log3f(1)=0,log2f(2)=1,所以 l1og2f(2)>logf(1),故A正确；因为f(x)> f(x-1)十f(x-2),所以f(3)>f(2)十f(1)=3, -21 f(4)>f(3)+f(2)>5,故B正确：则f(5)>f(4)+ x1-1x20为 f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+ f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+ 设f(x1)=f(x2)=f(x)=a,则曲线y f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,故C错误，D正 f(x)与直线y=a交点的横坐标从左至右依次为 x1,x2,x3.二次函数y=x2十2x十1=(x十1)2的对 确.故选ABD. 称轴为直线x=一1，则由图可知x1十x2=一2，又 10,BCD【解析】作出函数f(x)的图象如图所示， x3>0,所以x1十x2十>-2，当x>-2时， y f(x)∈[0,1]，所以f(xm十x2+x3)∈[0,1]. 13.9【解析】因为x>0,y>0,上十=1，所以x十 号-(+)(2+)=5+w+ ≥5+ 2V石=9，当且仅当4y=号且是+4w= 4 由图可知，当k<一4时，方程f(x)=k只有1个实 1,即x=3,y=名时取等号，所以x十的最小值 y 数解，故A错误，B正确；当k≥0时，方程∫(x)=k 为9. 有2个实数解，故C正确；当-4<k≤一3时，方程 14.(4,2)【解析】因为f(x)为偶函数，所以 f(x)=k有3个实数解，故D正确.故选BCD. f(2-x)=f(x-2),又f(2-x)=f(2+x),所 11.BD【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所 以f(x+2)=f(x-2),所以f(x+4)=f(x), ·25· ·数学· 参考答案及解析 故f(x)的周期为4.因为关于x的方程f(x)一 所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增. (5分) log.(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]上有三个不 (2)由(1)可知f(x)在区间[-1,1]上单调递增， 等实根，所以函数y=f(x)与y=log(x十2) (a>1)的图象有三个不同的交点，因为当x∈ 则由f(og:(x+2)<f(分)： [-2,0]时，f(x)=(合广-1，作出函数y -1<1og:(x+)< 得 f(x)与y=log.(x十2)(a>1)在区间(-2,6]上 log:(r+2)< ,解得0≤x<厄-， 的图象如图所示， y 所以不等式的解集为[0w厄-合)】 (9分) (3)由(1)可知f(x)在区间[-1,1]上单调递增， 所以f(x)mx=f(1)=1,f(x)im=f(-1)= -f(1)=-1, 因为号|f()-f(x)≤f-2a+1对任意x x2∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立， 则8)+即 所以-2at+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立， 1log.8>3 解得4<a 即-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立.(12分) <2,故实数a的取值范围为(4,2). 令g(a)=t-2at,a∈[-1,1]， 四、解答题 所以/8（1)=P+20 15.解：(1)由所给数据可知，函数应该为减函数，③y= g(1)=t-2t≥0 log.(t十b)(b>0,a>1)为增函数，故不符合题意： 解得t≥2或t≤-2或t=0, (2分) 所以实数t的取值范围为(-∞，一2]U{0}U[2, 又88-95=-7,81.7-88=-6.3，不是同一常数， 十oo). (15分) 故①y=at十b不符合题意； (4分) 17.解：(1)由题可得f(x)的定义域为(-∞，一a)U 故选②y=a·6十c(a>0,0<b<1). (-a,十∞)， a+c=95 ra=70 若f(x)为奇函数，则-a=0,即a=0, (2分) 则ab+c=88,解得b=0.9, 则f(x)=+S,x∈(-o0,0)U(0,+o∞)， (ab2+c=81.7 c=25 所以y=70·0.9+25. (8分) 则f(x)==f(x)内 (2)由题意70·0.9十25=60，即0.9=立： 1 所以f(x)为奇函数， 所以a=0. (6分) 1g2 Ig 2 1-1g5 (2)因为f(x)的图象过点(1,2)， 所以t=log®.9之= 9 10 1g10 1g9 1-21g3 所以中-=2粉。=a+1, 1-0.699 -2X0.47≈6.5(min), 则f(x)=十ax+a+1 (9分) xta 即刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间大约 令f(x)=0,得x2十ax十a+1=0, 为6.5min. (13分) 因为f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同的 16.解：(1)因为f(x)为奇函数， 交点， 所以f(-x)=-f(x), (1分) 所以方程x2十ax十a十1=0有两个不相等的负 任取x1,x2∈[-1,1]，且x1<x2, 实根， 则f(x)-f(x)=f(x1)+f(-x)= a2-4(a+1)>0 f(x)十f(-）.(x1-x), 所以〈一a<0 ,解得a>2十2√2，(13分) x1一x2 a+1>0 因为-1≤x1<x2≤1， 所以c=a十1>3+2√2， 所以x1一x2=x1十（一x2)<0, (3分) 所以c的取值范围为(3十2√2，十∞) (15分) 由题可得f)+fC-)>0. 18.解：(1)由2-x2>0,得-√2<x<√2， x1-x2 所以f(x)+f(-x2)<0, 因为y=l1og2x在(0，十o∞)上单调递增，y=2-x 即f(x1)-f(x)<0, 在(-√2,0)上单调递增，在(0√2)上单调递减， 所以f(x)<f(x), 所以f(x)的单调递增区间为(-√2,0).(3分) ·26· (2)由(1)可得f(x)的定义域(-√2，√2)关于原点 对于g(x)=ln(x十1)， 对称， 取m=n=1,则g(m)+g(n)=2ln2=ln4, 又f(-x)=log2(2-x2)=f(x), g (m'+n')=In 3, 所以f(x)为偶函数， (5分) g(m')+g(n')>g(m'十n'), (2x-1)2≥x2 故g(x)=ln(x十1)不是“H函数” (4分) 由f(2x-1)≤f(x),得 -2<2x-1<√2， (2)因为h(x)=3十x-3a为“H函数”， √2<x<√2 所以对任意p,q∈(0，十∞)，h(p十q)>h(p)+ h(q), 解得<<或1长<12 即3+g+(p十q)-3a>3°+p-3a十39+q-3a, 即3+g-3-39>-3a, 所以不等式的解集为（亚.号]U[1,12) 即(32-1)(39-1)>1-3a, (7分) 又，q∈(0，+∞)，所以3>1,3>1， (8分) 则(3-1)(39-1)>0， (3)令t=f(x),则t-mt十n=0, 当-1<x<1时，1<2-x2≤2， 所以1一3a≤0，解得。≥分 则0<1og(2-x2)≤1，即t∈(0,1]， (10分) Γ1 所以方程t一mt十n=0在区间(0,1]上有两个不 所以实数a的取值范围为3，十∞）： (10分) 相等的实数根t,t2,其中t1=1,t∈(0,1)， (3)由题可得f(s)十f(t)<f(s+t), (1-m十n=0 m=n十1 令s=t,则f(2s)>2f(s), 所以0<号<1，即0<m<2, 因为f(s)>0,所以2s2 (n>0 f>2, n>>0 解得1<m<2, (14分) 故对任意k∈N,s>0,f2+2=f(2+1 f(s) f(2s) 所以4-52十=2-5·十 f(2)..f22>21, f(2=1s) (13分) f(s) (2)2-5·2+-(2-8)-6, 由x∈(2,2+1)(k∈N), 当2=号，即m=1cg号∈(1,2)时，上式取得最小 5 得∈（点）∈N) 又f(1)=1, 值，最小值为-6， 所以f(x)>f(x-2)十f(2)>f(2)> 即4-5·2十子的最小值为-6， (17分) 19.解：(1)对于f(x)=x2, 任取m,n∈(0，十∞)，f()十f(n)=m十， 同理f()<f(分)厂f(分-)<f(分)< f(十n)=(m十n)2, 所以f(m十n)-[f(m)十f(n)]=(十n)2一 2 (m2+n2)=2mn>0, 17分) 所以f(m)+f(n)<f(m十n), 故f(x)-(2)>受-2 故f(x)=x为“H函数” (2分)