精品解析：江苏省南通市海门区中南中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

海门区中南中学2025-2026学年第一学期十二月份独立作业 八年级数学 考试时间： 120分钟 试卷分值：150分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算 的结果是（   ） A. -7 B. 7 C. -14 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】利用，直接计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．根据二次根式运算法则，验证算式的正误即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 3. 一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数：把一个绝对值小于1的数表示成的形式（，是正整数）． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．直接利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、当时，，当时，，故原计算错误，不符合题意； C、不存在分子、分母同减去一个数分式的值不变，故原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：A． 5. 把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 5倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 【详解】设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2＝c2； 另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为＝2c． 即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 故选A． 【点睛】熟练运用勾股定理对式子进行变形． 6. 若成立，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴且且， 解得：， ∴的值可以是0． 故选：B 7. 我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个， 根据题意得： ， 故选：C． 8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 【答案】A 【解析】 【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案. 【详解】 如图，在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴ 在Rt△A‘BD中， ∵∠A’BD=90°，A’D=2米， ∴ ∴ ∵BD>0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米 即小巷的宽度为2.2米，故答案选A 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键 9. 已知，的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先将因式分解，再将代入，借助积的乘方公式（，本题中为逆运用）和平方差公式（）求解即可． 【详解】解：， 将代入， 原式= ． 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解的应用，积的乘方公式，平方差公式，二次根式的化简求值．解决此题的关键是①综合利用提公因式法和公式法对原代数式进行因式分解；②利用积的乘方公式和平方差公式对代值后的式子进行适当变形． 10. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 ( 　 ) A. 2 B. C. D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图，连接EF，延长BA，使得AM=CE， ∵OA=OC，∠OCE=∠AOM， ∴△OCE≌△OAM（SAS）． ∴OE=OM，∠COE=∠MOA， ∵∠EOF=45°， ∴∠COE+∠AOF=45°， ∴∠MOA+∠AOF=45°， ∴∠EOF=∠MOF， 在△OFE和△OFM中， ， ∴△OFE≌△FOM（SAS）， ∴EF=FM=AF+AM=AF+CE， 设AF=， ∵CE=， ∴EF=，EB=3，， ∴()2=32+()2， ∴， ∴点F的纵坐标为， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 二、填空题：（第11、12题每小题3分，第13-16题每小题4分，共22分．） 11. 已知三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝ ． 【答案】2 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到m＋1＝3，然后解方程即可． 【详解】解：∵=， ∴m＋1＝3， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键． 13. 中，，，高，则的长为__． 【答案】14或4 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可分别求得与的长，从而求得的长，注意分两种情况讨论． 【详解】解：如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； 当在点右侧时， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 综上，的长为14或4． 故答案为： 14 或 4 ． 14. 边长为7，24，25的内有一点P到三边距离相等，则这个距离为______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长． 【详解】解：∵72+242=252， ∴△ABC是直角三角形， 根据题意画图，如图所示： 连接AP，BP，CP， 设PE=PF=PG=x， S△ABC=×AB×CB=84， S△ABC=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC）•x=×56x=28x， 则28x=84， x=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，角平分线的性质，注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即 （AB+AC+BC）x，然后即可计算x的值． 15. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 16. 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）． 【答案】20 【解析】 【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 详解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）． 故答案为20． 点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 三、解答题：（本题共8小题，共98分） 17. 计算或化简： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的． （3）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可；（4）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 解分式方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）两边同时乘，再进行检验即可； （2）两边同时乘，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验，当时，， ∴是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验，当时，，即是增根， ∴分式方程无解． 19. 已知，化简求值 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， ， 原式 ． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为端点画出，，的线段； （2）求点A到边的距离． 【答案】（1） 如下图所示，，，，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是用勾股定理画出符合长度的线段． （1）利用勾股定理和格点画出符合要求的线段即可． （2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 又 ∵， ， ∴是直角三角形，， 设点到的距离是， ， ， ， 即点A到边的距离是． 21. 要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”．（不能使用“”判定全等） 【答案】 证明：已知：如图，和中，， 求证： ∵， ∴和都是直角三角形 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，先理解题意，明确命题中的已知和求证，根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，作图，结合勾股定理得出，再运用的判定方法证明，即可作答． 【详解】略 22. 已知x为实数且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （1）首先两边同时除以可得，整理可得的值； （2）直接把两边同时平方，再展开可得的值，即可求解； （3）直接把两边同时平方，再结合的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， 方程两边同时除以x得， ． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 23. 如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是长方形， ． 由翻折的性质可知． 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）由折叠的性质得出，从而得到，然后可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，得出，从而得到，设，则，求出，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． 设， 则， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得：， ． 24. 如图所示，在中，已知，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为秒． （1）出发秒后，求线段的长； （2）为何值时（），点在的角平分线上； （3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，再根据勾股定理求解即可； （2）当点在的角平分线上时，，过点作，根据角平分线的性质定理得出，在中根据勾股定理求解即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发 2 秒后，， ． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 过点作，连接， 当点在的角平分线上时，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 即当秒时，点在的角平分线上． 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， 解得：； ③当时，过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 25. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，故不正确； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，故正确； 若，，分式方程的解为不符合 “关联数对”的定义，故不正确. 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵可化为， 解得：， ∵方程有整数解， ∴整数，，即，，，， 又∵，， ∴， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海门区中南中学2025-2026学年第一学期十二月份独立作业 八年级数学 考试时间： 120分钟 试卷分值：150分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算 的结果是（   ） A. -7 B. 7 C. -14 D. 49 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 5倍 6. 若成立，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 7. 我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 9. 已知，的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 10. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 ( 　 ) A. 2 B. C. D. －1 二、填空题：（第11、12题每小题3分，第13-16题每小题4分，共22分．） 11. 已知三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形是___________三角形． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝ ． 13. 中，，，高，则的长为__． 14. 边长为7，24，25的内有一点P到三边距离相等，则这个距离为______ ． 15. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是________． 16. 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）． 三、解答题：（本题共8小题，共98分） 17. 计算或化简： （1） （2） （3） （4）． 18. 解分式方程： （1） （2）． 19. 已知，化简求值 ． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为端点画出，，的线段； （2）求点A到边的距离． 21. 要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”．（不能使用“”判定全等） 22. 已知x为实数且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 23. 如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． （1）求证：； （2）求的长． 24. 如图所示，在中，已知，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为秒． （1）出发秒后，求线段的长； （2）为何值时（），点在的角平分线上； （3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的运动时间． 25. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $