精品解析：福建省漳州市龙海区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

龙海区2025-2026学年第一学期期中阶段性评价 九年级 数学 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提示：请把答案填涂到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分共40分，每小题只有一个正确的答案，请把正确的选项填在答题卡相应的表格内） 1. 若在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. 0 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，即，解不等式，再根据a的取值范围判断各选项即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ， ∴只有选项A符合． 故选：A． 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）． 根据比例的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：选项A：由得，故错误； 选项B：由得，整理得，故错误； 选项C：由得，整理得，故错误； 选项D∵由得，故正确． 故选：D． 3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； B、的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； C、7是质数，无平方因数，所以，是最简二次根式，故此选项符合题意； D、, 可化简，所以，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质．根据平行线的性质证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，根据题意得， 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式可得k≠0且Δ，解之得出k的范围． 【详解】解：，，， △， 解得：， 是二次项系数不能为0，， 即且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程a＋bx＋c＝0（a≠0），则有−4ac≥0⇔方程有两实根，−4ac＞0⇔方程有两不等实根，−4ac＝0⇔方程有两相等实根，−4ac＜0⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义． 7. 对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，则有， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为 老师看后说只有两个同学的结论是正确的，则这两位同学是（ ） A. 甲和丁 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程． 通过计算判别式判断根的情况判断甲，利用根与系数的关系判断乙，通过求根公式判断丁，进而即可判断丙． 【详解】解：方程化为标准形式：． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，甲正确； ∵， 但乙说，错误； ， 即， ∴丁正确； 方程无法因式分解为整数根，且丙给出的根代入不满足方程，丙错误； ∴正确的结论是甲和丁． 故选：A． 8. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值． 【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F， ∵D点在双曲线y上， ∴S矩形OEDF=|xy|=|k|， ∵D点在矩形的对角线OB上， ∴矩形OEDF∽矩形OABC， ∴， ∵S矩形OABC=36， ∴S矩形OEDF=16， ∴|k|=16， ∵双曲线y在第二象限， ∴k=-16， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|． 9. 如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的定理得出，，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵为定值， ∴当值最小时，取最小值， 如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， ∴，， 此时，， 即的最小值为的长度， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 10. 如图，中，为中点，在的延长线上取一点E，使得与交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，交于点， 连接， 得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出， 由证明， 得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出 ， 因此， 即可求解. 【详解】过点作， 交于点， 连接， 如图所示： ∵为中点 ， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 为中点， ∴ ∴， ， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 故选：. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等知识．本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：﹣=__． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=3-2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 12. 若，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴b=3a， ∴==， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例性质、代数式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． 13. 若m是方程的根，则的值为_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值；运用整体代入法求值是关键．由题意可得，再把所求代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴ 即； ∴， 故答案为：2025． 14. 将化成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般式配方成完全平方式：先将常数项移到等式的右边，再将二次项系数化为，最后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，根据配方法的步骤解答即可． 【详解】解： 常数项移到等式的右边： 等式两边同时加上一次项系数一半的平方： 即： 即将化成的形式为 故答案为：． 15. 如图，在中，M是的中点，且，则的面积为________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理逆定理，解题的关键在于推出． 记交于点，证明，利用相似三角形性质推出，再结合勾股定理逆定理，推出，根据三角形面积公式求出，进而即可推出的面积． 【详解】解：记交于点， 在中，M是的中点，且， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：72． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，点不可能在轴上，如图， 所以这种情况不符合， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用勾股定理解三角形，矩形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握上述知识点并能综合运用求解． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和零指数幂的定义，解题关键是牢记相关定义与性质．本题先计算绝对值、乘法和零次幂，再按顺序计算加减即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 19. 如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】 证明：，，， ，， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】略 20. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】8米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是正确列出方程．本题可以利用平移的思想得到一个邻边长为和的长方形，列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为 依题意得： 解得： 经检验不符合题意，舍去 答：停车场内车道的宽度为8米． 21. 定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． （1）一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】（1）是，不是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， 【小问1详解】 解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； 【小问2详解】 解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 22. 如图，在中，， （1）已知平分，求作菱形， 使得分别在边上；(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下， 若，，求的长 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分可作的垂直平分线交于点，交于点，则以四点为顶点的四边形就是所求的菱形； （2）设，则，再根据菱形的性质可得，再根据比例的性质和平行线分线段定理可得、，然后再说明，最后运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线交于点，交于点，则以四点为顶点的四边形就是所求的菱形， 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：， 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 23. 某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足． （1）求证： （2）实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽． 【答案】（1） 解：方法一：， 根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根， 将，代入，方程化为：， 两边同乘以a得：， 原方程有两个不相等的实数根 ， ， 方法二：， ， ． ∵，， ∴ ． （2）长方形的长为5分米，宽为4分米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与根与系数的关系的应用，解题关键是能找出对应的一元二次方程． （1）方法一：根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根，转化得到方程，利用根的判别式大于零即可求证；方法二：将转化为即可求证． （2）得出一元二次方程并求解即可 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得 把，代入， 得：， 为一元二次方程的两个根， 解方程得： 答：长方形的长为5分米，宽为4分米． 24. 小芬在解决问题：已知，求的值．她是这样解的． ， ， ， ； ． 请你根据小芬的解答过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若； ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，已知字母的值 ，求代数式的值，熟练掌握二次根式化简的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化法则整理各项，再结合二次根式的加减运算法则计算求解，即可解题； （2）①类比于小芬的解答过程求解，即可解题； ②由①可知，将式子变形为，将代入计算，进而得到，再次代入计算，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ①解：， ， ， 即， ， ； ②解：由①可知， ． 25. 综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点分别在边上，且，若，则的长为________． ②如图（2），在矩形中，，点分别在边上，且，若，则的长为________． （2）迁移探究 如图（3），在中，，点分别在边上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①5；②4 （2） 证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ， ， ， ， ， ． ， 又， 即． （3）或 【解析】 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，构造即可求解；②过点E作于点P，过点H作于点Q，构造即可求解． （2）过点C作交的延长线于点F，构造和，即可求解． （3）本小题分当和当两种情况分别讨论，构造与，分别计算即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ． 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或 理由：在矩形中，平分， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形和矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构造全等三角形和相似三角形．本题难度较大，考查了学生综合分析的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙海区2025-2026学年第一学期期中阶段性评价 九年级 数学 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提示：请把答案填涂到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分共40分，每小题只有一个正确的答案，请把正确的选项填在答题卡相应的表格内） 1. 若在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. 0 B. 6 C. 7 D. 5 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 5. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，则有， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为 老师看后说只有两个同学的结论是正确的，则这两位同学是（ ） A. 甲和丁 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 8. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 9. 如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 10 10. 如图，中，为中点，在的延长线上取一点E，使得与交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：﹣=__． 12. 若，则=_______． 13. 若m是方程的根，则的值为_____． 14. 将化成的形式为________． 15. 如图，在中，M是的中点，且，则的面积为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 20. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 21. 定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． （1）一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） （2）已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 22. 如图，在中，， （1）已知平分，求作菱形， 使得分别在边上；(要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下， 若，，求的长 23. 某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足． （1）求证： （2）实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽． 24. 小芬在解决问题：已知，求的值．她是这样解的． ， ， ， ； ． 请你根据小芬的解答过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若； ①求的值； ②求的值． 25. 综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点分别在边上，且，若，则的长为________． ②如图（2），在矩形中，，点分别在边上，且，若，则的长为________． （2）迁移探究 如图（3），在中，，点分别在边上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $