专题06 双曲线小题汇总（期末压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06双曲线小题汇总 目录 专题06双曲线小题汇总 双曲线定义的理解 类型二、双曲线的标准方程 类型三、判断方程是否为双曲线 类型四、和差最值问题 类型五、双曲线的渐近线 类型六、焦点三角形 类型七、双曲线的离心率 类型八、双曲线离心率的取值范围 类型九、双曲线的几何性质 类型十、直线与双曲线的位置关系 类型十一、直线与双曲线的位置关系求参数 类型十二、中点弦问题 类型十三、直线与双曲线的弦长问题 类型十四、双曲线中的面积问题 类型十五、双曲线中的角度问题 类型十六、定值问题 类型十七、利用圆锥曲线的参数求最值 压轴专练 典例详解 类型一、双曲线定义的理解 双曲线的第二定义是：平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比值为定值，且定值大于1的动 点的轨迹为双曲线。这个定点被称为双曲线的一个焦点，这条定直线被称为双曲线的一条准线，定值即 为双曲线的离心率 例1.24-25高二上~云南曲靖宣威第十中学期末)双曲线x2-若=1上一点P到它的一个焦点的距离为4， 那么点P到另一个焦点的距离为() A.2 B.6 C.2或6 D.4 变式1-1.2425高二上河南许昌期末已知双曲线E:等器=1(a>0,b>0,圆C:x-1)2+y2=9与 x轴的交点分别为E的一个顶点和一个焦点，设F出F2分别为E的左，右焦点，若P为E右支上任意一点，则 PF PF+16的取值范围为() A.(1,号] B.(0,] c.[,1) D.[0,1) 1/14 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-2.(2324高二下甘肃靖远县第二中学期末)设双曲线C:x2.器=16>0)的左，右焦点分别为 FyF2过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M,N,连接MF2NF2,若 M京2·N2=0,|M序引=|N匠2，则b=() A.1 B.2 C.3 D.2 变式1-3.2425高二上：贵州安顺期末椭圆C1:器+写=1(m>0)与双曲线C2:器-y2=1(n>0)有 相同的焦点FF2,点P为C1C2的一个公共点，则P序1PF2= 类型二、双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为： <定位置 根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标 轴上，还是两种都有可能 设方程 根据焦点位置设方程为品诚号系】 (a>0,b>0),焦点不定时，亦可设为 mx2+ny2=1(mn<0) <寻关系根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组 得方程 解方程组，将a,b,c(m,n)代入所设方程 即得所求 例2.(23-24高二上陕西威阳西北农林科技大学附中期末与椭圆C:斧+若=1共焦点且过点P(2,V2) 的双曲线的标准方程为() A.器号=18.号号=1 c.号-g-1 D.号8=1 变式2-1.24-25高二上江苏南通通州区、启东、如东县等期末)双曲线C:等=1(a>0,b>0)的左、 右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限相交于点P若直线PF1的斜率为，△PF1F的 面积为8，则双曲线C的方程为」 变式2-2.(24-25高二上贵州贵阳普通中学期末)已知圆A:(x+2)+y2=r2,P(xy)在圆A上运动，点 B(2,0),线段PB的垂直平分线1与直线AP相交于点C.当r=6时，点C轨迹的标准方程为 当 r=2时，点C轨迹的标准方程为 变式23(23-24高二上甘肃白银靖远县第一中学期末)已知点F1(-V5,0),F2(V5,0)分别为双曲线 C:等器=a>0,b>0)的左右焦点，若双曲线C上一点P满足P丽·P下2=4，P序P丽2=2，则 PF2l= ， 双曲线C的标准方程为 牙类型三、判断方程是否为双曲线 例3.(24-25高二上上海彭浦中学期末)已知实数x,y满足型+yy川=1，则x+2y的取值范围是 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式31.24-25高=上北京朝用区期末已知曲线C:器+器=1(m∈Z且m≠士2).若C为双曲线， 则m的一个取值为】 ； 若C为椭圆，则m的所有可能取值为】 变式3-2.(24-25高二上山东烟台期末)（多选）在平面直角坐标系x0y中，若一曲线的方程为 (1-1)x2+y2=1,则() A.当0<入<1时，该曲线为椭圆 B.当入<0时，该曲线为焦点在x轴上的双曲线 C.当>1时，该曲线为焦点在y轴上的双曲线 D.无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 变式3-3.(21-22高二上广东广州荔湾区·期末)（多选）己知m∈R,曲线C: (m-1x2+(3-my2=(m-103-m),则() A.当m=3时，C是x轴 B.当1<m<3时，C是椭圆 C.当m<1时，C是双曲线，焦点在x轴上 D.当m>3时，C是双曲线，焦点在y轴上 类型四、和差最值问题 例4.(24-25高二上山西太原期末)已知双曲线E:等-y2=1的左焦点为F,点M是E右支上的动点，点 N是圆x2+(y-2)2=3上的动点，则|MN-MF列的最大值为」 变式41.(24-25高二上广东茂名高州期末)已知0为坐标原点，B(0,3),且动点P(xy)在双曲线 x2.号=1的右支上，动点Q(m)满足Q0=2Q卧，则√x-m+y-n+k2+y2+4x+4的最小 值为■ 变式4-2.(22-23高二下广东韶关期末)已知点F1,F2是双曲线C:x2-号=1的左、右焦点，点P是双曲 线C右支上一点，过点F2向∠F1PF2的角平分线作垂线，垂足为点Q,则点A-V3,1)和点Q距离的最大 值为() A.2 B.万 C.3 D.4 变式4-3.(23-24高二上江苏泰州期末)（多选）下列结论正确的是（) A.椭圆器+号-1上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B.椭圆器+号=1上一点到右焦点的距离的最大值为6 C.双曲线器若=1上一点M到一个焦点的距离为1，则点M到另一个焦点的距离为17 D.双曲线器若=1上一点M到一个焦点的距离为17，则点M到另一个焦点的距离为1 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、双曲线的渐近线 1.x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),新近线：y=ba 2.y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),渐近线：y=±abx 例5.（多选）已知双曲线C:等器=1〔a>0,b>0)经过点(5，》，且右焦点为F(V5,0,c的虚轴为线 段B1B2,P为C上在意一点，平面内一动点M满足MB=V⑤MB,则() A.C的渐近线方程为x士2y=0 B.动点M的轨迹与C无公共点 C.FM的最大值为6 D.PM的最小值为5sE 5 变式5-1.(24-25高二下山西名校联考·期末)（多选)在平面直角坐标系x0y中，双曲线 E:等器=1(b>0)的左、右焦点分别为P1,F2,点B(2,b),直线x=4交E于C,D两点若 △BCD的重心在以F1F2为直径的圆上，则() A.E的焦距为4V3 B.E的渐近线方程为y=±V2x C.△BCD的外接圆的面积为73π D.过点A(4,0)作直线1交E于A,B两点，且∠A0B=90,则AB|=8V5 变式5-2.(24-25高二上山东烟台期末)若过点(-3,0)的直线1与双曲线器-后=1(a>0,b>0)相交于 AB两点，且AB关于直线x十y-5=0对称，则该双曲线的渐近线方程为() A.y=±3x B.y=±2x c.y=±V3x D.y=±V2x 变式53.2425商二上广东部分学校期末利)（多透）已知双曲线C:x2导=1(b>0)的左，右焦点分 别为FF2,圆(x-1)+y2=星与C的渐近线相切.P为C右支上的动点，过点P作C的两渐近线的垂线， 垂足分别为A,B,则() A.C的离心率为2 B.C的两渐近线倾斜角分别为60°和120° C.|PA·|PB|为定值2 D.1AB1≥号 么类型六、焦点三角形 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出P℉1-lP℉2=2a: ②利用余弦定理表示出P℉，P℉2，FF2之间满足的关系式： 4/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③利用公式S5=12XPR,·P℉2lsin∠F,P平2求得面积.利用公式S听5=12×F,P2×P为P 点的纵坐标)求得面积 SaPF,F:=a喝 b ④结论： 例6.(2425高二上河北衡水枣强县河北枣强中学期末已知0为坐标原点，双曲线C:等-若=1a>0)的 左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P若cos∠PF2F1=,则 点O到直线PF的距离为() A.吉 B.1 c. D.2 变式61.(23-24高二下福建福州联盟校期末已知FF2分别为双曲线C:等-器=1a>0,b>0)的左. 右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于AB两点，若|AF1=2F1B|=4,AB|=BF2引，则双曲线 C的焦距为() A.22 B.4y21 c.5 3 3 2 D.2W5 变式6-2.(23-24高二上上海新川中学期未已知点P为双曲线器-号=1右支上一点，FF2分别为双曲 线的左、右焦点，1为△PF1F2的内心，若S△PR,=S△P:十AS△F,成立，则7的值为 变式63.(23-24高二上上海育才中学期末)已知P是双曲线号-若=1右支上任意一点，F,F2分别为左、 右焦点，设∠PF1F2=&,∠PFzR1=B,则an 方类型七、双曲线的离心率 1.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种 方法： 求出a,c,代入公式e=; 2.只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合c2=a2+b转化为a,c的齐次式，然后等式（不 等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e(e的取值范围) 例7.24-25高二下内蒙古包头期末)（多选）已知F1,F2是双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的左、 右焦点，过F1作C的一条渐近线的垂线1，垂足为H且1与双曲线右支相交于点P,若cos∠FPF2=且 |PF2=5.则下列说法正确的是(). A.双曲线的实轴长为4 B.双曲线的离心率为年 2 C.四边形0F2PH的面积为15 D.PH=2HF1 变式7-1.(24-25高二上江苏南京南京师范大学附属中学期末)已知双曲线 C:器-罗=1(a,b>0,a≠b)左、右顶点分别为A,B.若直线1：y=x+a与两条海近线分别交于 M,N,且M=2N,则双曲线C的离心率为() A.V2 B.5 C.2 D.5 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式7-2.已知双曲线C:等斧=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为4，过点F且与x轴垂直的直 线与C在第一象限交于点E,直线AE与C的渐近线在第一象限交于点D,若E是AD的中点，则C的离心 率为() A.2 B.3 C. D. 变式73.2425商二下陕西商洛期未（多选）已知双曲线C:等常=1(a>0,b>0)的右顶点为4 右焦点为F2,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若 ∠MAN=60°，过F2作FP⊥MN于点P,则下列说法正确的是() A.作AK⊥MN于点K,则AK=号b B.F2P=b C.双曲线C的离心率为5 D.若AP2=2-V3,过F的直线1交两条渐近线分别于点，R,若∠RH0=罗(O为原点)，则 HR|=3 方类型八、双曲线离心率的取值范围 例8.R1,F2是双曲线等器=(a>0,b>0)的左右焦点，若双曲线上存在点P满足P·P下2=a2, 则双曲线离心率的取值范围为() A.[V5,+m)B.[V2,+∞) c.(1,V5] D.（1,V2] 变式81.24-25商二下湖南部分县期末已知椭圆C1:等+行=1(a1>b1>0)与双曲线 C2:等苦=1(2>0，b2>0)有相同的焦点R1,P2,椭圆C,的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2, 点P为椭图C与双曲线C2的交点，且∠F,PP2=青，则当告+号取最大值时，e+e2的值为()， A.V3 B.4 c.22 D.2+6 V 0 变式8-2.24-25高二上渐江金华十校期末已知双曲线等器=1(b>0),若直线1：y=x-2交双曲线 右支于A,B两点，则双曲线的离心率范围为() A.（1,V2)B.(1,V5) c.（1,5) D.（V5,+0) 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式83.2425高二上江医新余期村（多选）已知只1，P是稀图罩+黄=1(a1>b,>0)和双曲 ,2 线萄=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠RPR2=手，则以下结论正确 的是() A.a-b=a好+b好 B.b=3b好 cà+编=1 D.+的最小值为1+吗 类型九、双曲线的儿何性质 例9.24-25高二下贵州铜仁设0为坐标原点，直线x=b与双曲线C:爷-等=1(a>0,b>0)的两条 渐近线分别交于AB两点，若△OAB的面积为8，则双曲线C焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.32 变式9-1.(24-25高二下.云南玉溪期末)已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且 斜率为k(k>1)的直线与C的右支交于AB两点，且A在第四象限，AB1=星，则哈翳 变式9-2.24-25高二上浙江杭州西潮区绿城育华期末已知椭圆C:等+爷=1(a>b>0)的短轴长为4， 上顶点为B,0为坐标原点，点D为OB的中点，曲线E:器-器=1(m>0,n>0)的左、右焦点分别与 椭圆C的左、右顶点A1A2重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且A1P,D三点共线，直 线PA的斜率kP4,=-号，则双曲线E的实轴长为() A.号V10 B.10 c.V10-1 D.V10-2 变式9-3.(24-25高二上陕西咸阳·期末)（多选）双曲线具有如下光学性质：如图F1,F2分别为双曲线的 左，右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过 左焦点尽R1,若双曲线C的方程为号贺=1，则() A.|PF1-|PF2=4 B.双曲线C的右焦点F2到渐近线的距离为21 C.当反射光线n过点Q(3,√17)时，光线由F2→P→Q所经过的路程为5 D.设反射光线n所在直线的斜率为k,则1k∈[0，耍) 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方类型十、直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程等-=1，a>0,b>0联立成方程组，消元转化为关于x或 y的一元二次方程，其判别式为△. (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0 若-a=0即=±名 ,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若-0，即， ①△>0直线和双曲线相交~直线和双曲线相交，有两个交点； ②△=0~直线和双曲线相切~直线和双曲线相切，有一个公共点； ③△<0直线和双曲线相离÷直线和双曲线相离，无公共点. 例10.(24-25高二上安徽芜湖第一中学.期末)已知曲线E:☒-yy=2,则下列结论中错误的是() A.曲线E与直线y=X无公共点 B.曲线E上的点到直线y=x的最大距离是V反 C.曲线E关于直线y=-x对称 D.曲线E与圆x2+y2=3有三个公共点 变式10-1.(24-25高二上广东深圳龙华区·期末)（多选）已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,且C 过点3,2，则() A.C的焦点在y轴上 B.C的方程为号-号=1 C.C的焦点到其渐近线的距离为2y2 D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点 变式10-2.2425高二上甘肃肤阳环县第一中学期末)已知F为双圃线C:等器=1(a>0,b>0)的 右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的 比值为() A号 B.V3 c. D.V2 变式10-3.(23-24高二上山东泰安期末)已知直线l:y=-艺+m与曲线C:y=V4-x21恰有三个不同 交点，则实数m的取值范围是() A.（V2,0)U(0,2) B.[1,V2) c.(0,V2)D.(1,2) 类型十一、直线与双曲线的位置关系求参数 例11.(24-25高二上江苏南通期末)设直线1：ax+by+1=0与双曲线C:等-y2=1恰有一个公共点，则 满足题设的一组实数对(a,b)可以是 变式11-1.(24-25高二上上海进才中学.期末)若方程Vx2+1=a(x-1)恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是() 8/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.（1,) 8.() c.（-1,1 o.【-1号) 变式11-2.(24-25高二上安徽屯溪一中期末)（多选)下列说法正确的是() A.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 B.离心率为V3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x C.若直线：mx+y-m-1=0与直线x+5y+13=0相交，且交点的横坐标的范围为[-3,2]，则 实数m的取值范围是(-∞，-]U[4,+∞) D.设b为实数，若直线y=x+b与曲线x=V1-y2恰有一个公共点，则-1<b≤1 变式11-3.2425高二上广东湛江期未)（多选）已知椭圆C1:等+=1(a>b>0)的离心率为方，双 曲线C2:器-#=1(m>0,n>0)的顶点与椭圆C的焦点重合，一条海近线与椭圆C1的一个交点为 A(5),则() A.椭圆C1的方程为等+号=1 B.双曲线C2的离心率为V5 C.过椭圆C1右顶点且垂直于x轴的直线被双曲线C2截得的弦长为V3 D.椭圆C1上到直线0A(0为原点)距离最大的点有2个 么类型十二、中点弦问题 双曲线中点弦的斜率公式： 设6为双曲线弦B(B不平行y辅)的中点，则有七会 :设A(x,)B在y),则有8无二书，后二是=1 x2-￡_-2=0 证明： 两式相减得： a' - y+y0y-2)-b 整理得：-。a，即G+-x)云，因为M(,)是弦B的中点， 所以： 学-要袋，所以名 例12.(24-25高二上甘肃兰州第一中学期末)设AB为双曲线x2.号=1上两点，如下三个点： P(1,1,P《-1,2,P{-1,-4)中，可作为线段AB中点的是 (请将所有满足条件的点填入) 变式12-1.(23-24高二上河南开封五校期末)已知点AB,C是离心率为2的双曲线 T:等谷=1(a>0,b>0)上的三点，直线AB,AC,BC的斜率分别是kk2kg,点D,EF分别是线段 AB,ACBC的中点，0为坐标原点，直线0D,0B0F的斜率分别是k1:k2,kg,若六+启+六=5， 则k1十k2十k3= 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式12-2.(24-25商二上江西景德镇期末离心率为5的双曲线C:等器=1(a>0,b>0)与直线交于 M,N两点，已知双曲线的焦点为F1F2,且△MOF1与△MOF2的周长之差的绝对值为2.若线段MN的 中点为(1,2)，则直线1的方程为」 变式123.2324高二上山东济南山东实验中学期未已知椭圆C1:等+发=1〔1>b1>0)与双曲线 C2器置=1(a2>0,D>0)其有相同的无、右焦点R1、P2点P为它们在第一象限的交点，动点Q 在曲线C1上，若记曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,满足e1'e2=1,且直线PF1与y轴的交点的坐标 为(0，号)，则∠RQF2的最大值为 类型十三、直线与双曲线的弦长问题 x2 y2 设直线y=k+m交双曲线一云e>6>0)于点P,),B人两点，则 1PB=VG-x)2+(-y) =V6-61+(的=巧 x-3,=+F1x-5 同理可得V+京-为任0 这里-y的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 1x-x2=Vx1+x2)2-4xx2 1y-2卡Vy+y)2-4yy2 例13.2,23高二上安徽马鞍山第二中学期末)已知0为坐标原点，双曲线等-器=1〔a>0,b>0)的左焦 点为F,右顶点为A:过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P,且FP=OA,直线AP与双曲线的 左支交于点B,则∠PFB的大小为() A.30o B.45o C.60 D.75° 变式13-1.24-25高二下渐江温州十校联合体期末)如图所示，已知双曲线等=1(ab>0)的左右焦 点分别为F1和F2,过F1和F2分别作两条互相平行的直线l1和2,1与双曲线的左支交于A、B两点(A在x 轴上方)，2与双曲线的右支交于C、D两点(C在x轴上方)，若周=美，∠R,CD+3∠CP,D=元，则 e2(e是双曲线的离心率)等于 变式132.(24-25高二上四川成都期末)已知椭圆E:等+y2=1的左右顶点分别为A1,A2,且B,C为E 10/14 专题06双曲线小题汇总 目录 专题06双曲线小题汇总 类型一、双曲线定义的理解 类型二、双曲线的标准方程 类型三、判断方程是否为双曲线 类型四、和差最值问题 类型五、双曲线的渐近线 类型六、焦点三角形 类型七、双曲线的离心率 类型八、双曲线离心率的取值范围 类型九、双曲线的几何性质 类型十、直线与双曲线的位置关系 类型十一、直线与双曲线的位置关系求参数 类型十二、中点弦问题 类型十三、直线与双曲线的弦长问题 类型十四、双曲线中的面积问题 类型十五、双曲线中的角度问题 类型十六、定值问题 类型十七、利用圆锥曲线的参数求最值 压轴专练 类型一、双曲线定义的理解 双曲线的第二定义是:平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比值为定值，且定值大于1的动点的轨迹为双曲线。这个定点被称为双曲线的一个焦点，这条定直线被称为双曲线的一条准线，定值即为双曲线的离心率 例1．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 变式1-1．(24-25高二上·河南许昌·期末)已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出双曲线方程，令，根据双曲线定义可得：，然后利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】圆与轴的交点分别为 故，根据双曲线定义得，即, 令，则， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， 所以 . 故选：C 【点睛】关键点点睛：先根据双曲线定义得出，再换元令，得出所求式子关于参数t的表达式，利用函数的单调性即可求得结果. 变式1-2．(23-24高二下·甘肃靖远县第二中学·期末)设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解. 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 变式1-3．(24-25高二上·贵州安顺·期末)椭圆与双曲线有相同的焦点，点为的一个公共点，则 . 【答案】2 【分析】由条件结合椭圆与双曲线定义可得，，然后由数量积的运算结果余弦定理求解即可. 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此 . 故答案为：2 类型二、双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为： 例2．(23-24高二上·陕西咸阳西北农林科技大学附中·期末)与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 变式2-1．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【详解】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 变式2-2．(24-25高二上·贵州贵阳普通中学·期末)已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 则，， 所以方程为； 如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 则，， 所以方程为. 故答案为：， 变式2-3(23-24高二上·甘肃白银靖远县第一中学·期末)已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得，即有；由双曲线定义可得，结合余弦定理即可解得，又即可得. 【详解】因为，，所以， 即，则，所以； 则， 设，所以， 由余弦定理知，解得， 因为，所以，即双曲线的方程为. 故答案为：；. 类型三、判断方程是否为双曲线 例3．(24-25高二上·上海彭浦中学·期末)已知实数满足，则的取值范围是 【答案】 【分析】就的正负分类讨论后可得方程对应的曲线，从而可求的取值范围. 【详解】根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 所以方程对应的曲线的图象如图所示， 记，动直线与双曲线的渐近线平行， 当动直线与第一象限内的椭圆相切时取最大值， 由可得， 令，解得（负值舍去）， 故相切时， 结合曲线图形可得 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于曲线方程对应的曲线刻画，应该根据解析式的特征合理变形化简，以便用常用的曲线刻画前者. 变式3-1．(24-25高二上·北京朝阳区·期末)已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为 ；若为椭圆，则的所有可能取值为 . 【答案】 3（答案不唯一） 【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得； 【详解】若为双曲线，则，解得或， 又，所以的一个取值可能为3； 若为椭圆，则，解得且， 又，所以的所有可能取值为； 故答案为：3（答案不唯一）；. 变式3-2．(24-25高二上·山东烟台·期末)（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 变式3-3．(21-22高二上·广东广州荔湾区·期末) （多选）已知，曲线：，则（    ） A．当时，是轴 B．当时，是椭圆 C．当时，是双曲线，焦点在轴上 D．当时，是双曲线，焦点在轴上 【答案】CD 【分析】通过的取值范围，判断选项正误即可. 【详解】，曲线：， 对于A，当时，方程化为，是轴，故A错误； 对于B，当时，方程化为，当时，曲线是圆，故B错误； 对于C，当时，是双曲线，方程化为，焦点在轴上，故C正确； 对于D，当时，是双曲线，方程化为，焦点在轴上，故D正确， 故选：CD. 类型四、和差最值问题 例4．(24-25高二上·山西太原·期末)已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 变式4-1．(24-25高二上·广东茂名高州·期末)已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，求出的运动轨迹，结合表示的几何意义求解. 【详解】 因为，， 所以，即， 即， 所以的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 因为动点在双曲线的右支上， 所以，即， 因为， 最小值几何意义为点到圆上点与到距离和的最小值， 又因为， 所以表示为最小， 即最小， 所以当三点共线时符合题意， 即， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题重点在于几何意义的理解，转化为点共线时最小. 变式4-2．(22-23高二下·广东韶关·期末)已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长，交于点T，则可得，再结合双曲线的定义得，连接，则，而为定值，所以由图可知，从而可求得结果. 【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，， 因为P在双曲线上，所以，所以， 连接，则， 因为， 所以，当三点共线时取等号， 即点和点Q距离的最大值为3， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得，，考查数形结合的思想，属于中档题. 变式4-3．(23-24高二上·江苏泰州·期末) （多选）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 类型五、双曲线的渐近线 1. －＝1(a>0，b>0)，渐近线：y＝±x 2. －＝1(a>0，b>0)，渐近线：y＝±x 例5．（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 变式5-1．(24-25高二下·山西名校联考·期末) （多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（   ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的外接圆的面积为 D．过点作直线交于，两点，且，则 【答案】ABD 【分析】由题设求得的重心的坐标为代入圆，结合，求得，进而得的焦距和渐近线方程，即可判断A、B；由题设得，令，，进而可求的外接圆的圆心，从而得半径、面积即可判断C；设直线，，，联立利用韦达定理结合求得，再利用弦长公式求得即可判断D. 【详解】由题意易得C，D两点的坐标为，， 又，所以的重心的坐标为， 记，则以线段为直径的圆的方程为， 所以，所以 ， 所以，所以的焦距为，， 故的渐近线方程为，故A、B均正确； 不妨令，， 又，所以线段的垂直平分线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为， 令，得，所以的外接圆的圆心为， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的面积为，故C错误； 由上面分析知的方程为，由题知直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立，整理得， 则，，，， 所以， 因为，所以， 所以， 即，整理得，即， 所以 ，故D正确.    故选：ABD. 变式5-2．(24-25高二上·山东烟台·期末)若过点的直线与双曲线相交于两点，且关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知可求得直线的方程为，设，将直线的方程代入双曲线方程，求得点，利用点在直线上，可得，可求渐近线方程. 【详解】因为过点的直线与双曲线相交于关于直线对称， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 代入双曲线方程得，化简整理得， 设，所以，所以的中点的横坐标为， 所以，所以，所以， 又因为点在直线上，所以， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 变式5-3．(24-25高二上·广东部分学校·期末) （多选）已知双曲线的左，右焦点分别为，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作的两渐近线的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．的离心率为2 B．的两渐近线倾斜角分别为和 C．为定值2 D． 【答案】ABD 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，再计算出可得离心率判断A，根据渐近线的斜率得倾斜角判断B，设，计算后判断C，利用余弦定理及基本不等式求解判断D． 【详解】A选项，与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即，解得，所以，离心率，故A正确； B选项，因为的渐近线为，即两渐近线的倾斜角分别为和，故B正确； C选项，设，则为定值，故C错误； D选项，因为，则，由余弦定理可得 ， 可得，当且仅当时等号成立，此时点为双曲线的右顶点，故D正确． 故选：ABD． 类型六、焦点三角形 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 例6．(24-25高二上·河北衡水枣强县河北枣强中学·期末)已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，用半焦距c表示，再结合双曲线定义求出，进而求得答案. 【详解】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为. 故选：C    变式6-1．(23-24高二下·福建福州联盟校·期末)已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B.    变式6-2．(23-24高二上·上海新川中学·期末)已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 变式6-3．(23-24高二上·上海育才中学·期末)已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 【答案】/0.25 【分析】根据内切圆的性质，由切线长以及双曲线定义可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】由可得， 如图：作出的内切圆与三边分别交于, 则， 又， 所以，所以轴， 由内切圆的性质可得，， ,所以, 故答案为： 类型七、双曲线的离心率 1.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出a，c，代入公式； 2.只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围) 例7．(24-25高二下·内蒙古包头·期末) （多选）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出，利用三角形边角关系解出；从而依次对各选项内容进行计算和判断，选项A，B，根据双曲线性质，实轴长为，离心率；选项C:根据面积等于的面积减去的面积计算；选项D：根据三角形边角关系得出，且共线且方向相同，得出. 【详解】 已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，， 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则. 由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积， ， 所以，故C对. 中，，，为中点， 为中点，即， 又，， ，又共线且方向相同，，故D对. 故选：ACD. 变式7-1．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      变式7-2．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的相关概念、焦点坐标与通径以及中点坐标公式，可得所有点的坐标，再将点的坐标带入渐近线方程，根据离心率的计算，可得答案. 【详解】 由题意可得，．因为E是的中点，所以， 经过第一象限的渐近线方程为，所以，所以． 故选：D. 变式7-3．(24-25高二下·陕西商洛·期末) （多选）已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若，过作于点P，则下列说法正确的是（   ） A．作于点K，则 B． C．双曲线C的离心率为 D．若，过的直线l交两条渐近线分别于点H，R，若（O为原点），则 【答案】ABD 【分析】由题意得为等边三角形，求出即可判断A；为双曲线C的特征三角形，求得可判断B，由得，由此求离心率可判断C；由条件求得，双曲线C渐近线的斜率，可得，进而求可判断D． 【详解】如图， 因为，，所以为等边三角形． 若于点K，则，所以A正确． 因为于点P， 如图，双曲线的一条渐近线为，即， 到该渐近线的距离为，即，故B正确， 因为，所以，， 所以离心率，故C不正确． 若，则． 因为，所以， 所以双曲线C渐近线的斜率，可知， 则，所以， 直角中，，则， 又因为，所以， 所以．故D正确． 故选：ABD. 类型八、双曲线离心率的取值范围 例8．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 变式8-1．(24-25高二下·湖南部分县·期末)已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时， 故选：D 变式8-2．(24-25高二上·浙江金华十校·期末)已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得双曲线的渐近线与右顶点，再利用由渐近线的性质得到，从而利用齐次式法求得双曲线的离心率范围，由此得解. 【详解】因为的渐近线为，右顶点为， 显然直线过双曲线的右顶点，且斜率为， 所以由渐近线的性质可得， 所以双曲线的离心率为， 又，所以， 故选：A 变式8-3．(24-25高二上·江西新余·期末) （多选）已知，是椭圆（）和双曲线（，）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆与双曲线的几何性质可判断A，B项，由，得，可判断C项，D项利用C项的结论及基本不等式求解即可． 【详解】对A：因为椭圆与双曲线由公共焦点，所以，故A正确； 对B：不妨设为第一象限的点，再设，.如图： 由椭圆及双曲线的定义可得： . 因为，所以， 所以 . 又， 所以 ，故B正确； 对C：由 ，即.故C错误； 对D：因为，所以 （当且仅当，时取“”）.故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：关于圆锥曲线的焦点三角形的问题，若知道，一般可利用余弦定理列式. 类型九、双曲线的几何性质 例9．(24-25高二下·贵州铜仁·)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则双曲线焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由的面积为8可得，然后由重要不等式可得答案. 【详解】联立，解得，不妨令，，则， 边上的高为b，所以，， 故的焦距． 故选：B 变式9-1．(24-25高二下·云南玉溪·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【答案】 【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案. 【详解】    设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 故答案为：. 变式9-2．(24-25高二上·浙江杭州西湖区绿城育华·期末)已知椭圆的短轴长为4，上顶点为 B ，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线的左、右焦点分别与椭圆 C 的左、右顶点重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且三点共线，直线的斜率，则双曲线E的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，则求得，利用三点共线求，则，求得的值，此时直线，椭圆的方程可求，则点坐标可求，最后利用双曲线的定义求实轴长. 【详解】椭圆的短轴长为4，则， 设，， 则 因三点共线，则，则， 因，则， 则直线，联立椭圆，解得，则点 则实轴长为， 故选：D. 变式9-3．(24-25高二上·陕西咸阳·期末) （多选）双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（   ） A． B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21 C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为5 D．设反射光线所在直线的斜率为，则 【答案】ACD 【分析】依据双曲线的定义判断选项A；利用点到直线的距离公式求右焦点到渐近线的距离判断选项B；结合双曲线定义求光线经过的路程判断选项C；通过分析渐近线斜率与反射光线斜率的关系判断选项D. 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（，），其中为双曲线的实半轴长，为双曲线的虚半轴长.可得，则. 由双曲线的定义：对于双曲线右支上的点，有，所以，选项A正确. 由双曲线可得，，则，右焦点. 双曲线的渐近线方程为，即. 右焦点到渐近线的距离，选项B错误. 由双曲线定义知，即. 光线由所经过的路程为. 当，，三点共线时，取得最小值，，， 根据两点间距离公式，可得. 所以光线由所经过的路程为，选项C正确. 设左、右顶点分别为A、B.如图示： 双曲线的渐近线斜率为. 当与同向共线时，的方向为，此时，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为. 则斜率满足，选项D正确. 故选：ACD. 类型十、直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 例10．(24-25高二上·安徽芜湖第一中学·期末)已知曲线，则下列结论中错误的是（   ） A．曲线E与直线无公共点 B．曲线E上的点到直线的最大距离是 C．曲线E关于直线对称 D．曲线E与圆有三个公共点 【答案】D 【分析】联立方程组即可判断A，根据点到平面距离结合圆的半径即可判断B，将点代入曲线判断C，应用分象限讨论得出曲线E得出与圆的交点个数判断D. 【详解】对于A选项，联立， 将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确; 对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是，即圆弧的半径，所以B选项正确. 对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入 得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确; 曲线，曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，圆的圆心为，半径是， 当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点； 当，时，曲线方程可化为，无轨迹； 当，时，曲线方程可化为，与圆无交点； 当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点； 对于D选项，可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误; 故选：D. 变式10-1．(24-25高二上·广东深圳龙华区·期末) （多选）已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（    ） A．C的焦点在y轴上 B．C的方程为 C．C的焦点到其渐近线的距离为 D．直线与C有两个公共点 【答案】BC 【分析】根据点在直线下方即可判断A选项，根据渐近线方程和C过点求出和即可判断B选项，求出的焦点到其渐近线的距离即可判断C选项，根据直线与渐近线平行即可判断D选项. 【详解】点在直线下方， 的焦点在x轴上，A选项错误； ，解得， ，的方程为，选项正确； 的焦点到其渐近线的距离为，选项正确； 直线与渐近线平行， 直线与C有一个公共点，选项错误． 故选： 变式10-2．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用椭圆方程求得点的坐标，结合AB的斜率得到，从而得到关于的齐次方程，进而得到，，由此得解. 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以， 又，所以，即， 解得或（舍去），则， 所以的实轴长为与虚轴长的比值为. 故选：A. 变式10-3．(23-24高二上·山东泰安·期末)已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对曲线方程转化后，就的范围进行分类讨论，作出其图象，结合图象由题考虑两种临界情况即得参数范围. 【详解】曲线可化为 ， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 类型十一、直线与双曲线的位置关系求参数 例11．(24-25高二上·江苏南通·期末)设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【详解】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 变式11-1．(24-25高二上·上海进才中学·期末)若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【详解】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A 变式11-2．(24-25高二上·安徽屯溪一中·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．当点到直线的距离最大时，的值为 B．离心率为的双曲线的渐近线方程为 C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为  ，则实数的取值范围是 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】AC 【分析】根据直线所过定点，即可判断A，根据双曲线的性质，以及的关系，即可判断B，联立两直线方程求交点的横坐标，求解不等式，即可判断C，利用数形结合，判断D. 【详解】A选项，直线过定点， 所以点到直线的距离最大时垂直于直线， 即，所以，故A正确； B选项，离心率为的双曲线，可得，即， 所以，所以双曲线的渐近线方程为：或，故B不正确； C选项，由，解得， 因为交点的横坐标的范围为， 所以， ，解得或，故C正确； D选项，曲线，即表示一个半径为的半圆，如图所示： 当直线经过点时，求得， 当直线经过点和时，求得， 当直线和半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径， 可得，求得或 舍去， 故当直线与曲线合有一个公共点时，的取值范围是，故D错误． 故选：AC 变式11-3．(24-25高二上·广东湛江·期末) （多选）已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（   ） A．椭圆的方程为 B．双曲线的离心率为 C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为 D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个 【答案】ACD 【分析】由题意求出椭圆及双曲线的方程，再由弦长公式判断C项，再由直线与椭圆相切来判断D项． 【详解】解： 如图所示： 由，得， 则椭圆的方程为：，故A项正确； 双曲线的渐近线方程为：， 则，得， 则双曲线的方程为：， 得双曲线的离心率为：，故B项错误； 对于C项，的右顶点为， 由，得， 得被双曲线截得的弦长为：，故C项正确； 对于D项，直线的方程为：， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：， 由，消去得，， 由， 得，故D项正确． 故选：ACD 类型十二、中点弦问题 双曲线中点弦的斜率公式： 设为双曲线弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦AB的中点， 所以： ， 所以 例12．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 变式12-1．(23-24高二上·河南开封五校·期末)已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】15 【分析】由点差法得到，同理得到，从而得到. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 不妨设， 因为点在上，所以，两式相减， 得， 因为点是的中点，所以， 所以，即， 所以，同理， 因为，所以． 故答案为：15 变式12-2．(24-25高二上·江西景德镇·期末)离心率为的双曲线与直线交于两点，已知双曲线的焦点为，且与的周长之差的绝对值为2.若线段的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的方程，再利用点差法求出直线的方程. 【详解】由的周长为，的周长为， 依题意，，即，由的离心率为，得的半焦距， 则，双曲线，设，则， 又，两式相减得， 于是，直线的斜率为1，方程为，即， 经验证直线与双曲线交于两点，所以直线的方程为. 故答案为： 变式12-3．(23-24高二上·山东济南山东实验中学·期末)已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题设，又， 直线与轴的交点的坐标为，则， 中 ， 综上， ，整理得，可得或（舍）， 由，则， 由椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大，此时， 由，则，即，故.    故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 类型十三、直线与双曲线的弦长问题 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 例13．(22-23高二上·安徽马鞍山第二中学·期末)已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出左焦点到渐近线的距离并得出直线的方程，联立直线和双曲线方程解得点横坐标，可知轴，即可求出的大小为. 【详解】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 变式13-1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于 ． 【答案】 【分析】根据题意可设，则，由，可得，作的角平分线，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求. 【详解】设的角平分线交与， ，，设， 则， 又，， 所以，， 又为的角平分线，所以， ，， 在中，， 在中，， 所以， 整理得，，解得（舍去）， 所以， 在中，， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 变式13-2．(24-25高二上·四川成都·期末)已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得点，的轨迹为双曲线的右支，进而根据双曲线的性质得解． 【详解】设点，则，， 则， ， ， 点的轨迹方程为， 即点的轨迹方程为，    同理可得，点也在双曲线上， 点恰为双曲线的左焦点， 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线定义可得： ， 当且仅当三点共线时，即得， 的最小值为． 故答案为:． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是距离的转化，应用双曲线的定义得到，结合图形特征即可得解. 变式13-3．(23-24高二上·福建宁德·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点、，若的角平分线交于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】推导出，结合图象，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】如图所示，因为若的角平分线交于点，且， 则为的中点，且， 因为，即， 所以，，则， 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 类型十四、双曲线中的面积问题 例14．(22-23高二下·四川自贡·期末)已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 变式14-1．(24-25高二下·福建漳州双语高级中学·期末)已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先确定四边形为矩形，然后点，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案. 【详解】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    变式14-2．(24-25高二下·湖南永州新田德恒高级中学·期末)已知点P是曲线在第一象限内的一点，A为的左顶点，R为PA的中点，F为的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据条件列方程组求出点坐标，进而可得的面积. 【详解】设， 所以， 因为直线OR的斜率为，所以， 化简得，，与联立解得，或3，其中舍去， 所以P点的坐标为，又， 所以的面积为． 故选：A． 变式14-3．(24-25高二上·山东滨州·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可. 【详解】    由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 类型十五、双曲线中的角度问题 例15．(23-24高二上·江苏南京第九中学·期末)在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右顶点分别为、，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是 . 【答案】 【分析】设，则，由得出，再由正弦定理有，即可得出. 【详解】如图所示，设，则， 设，则，即， 由双曲线方程可得， 所以， 又，， 则，解得，则， 在中，由正弦定理得， 可得. 故答案为：. 变式15-1．(23-24高二上·浙江温州·期末)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，l：是C的一条渐近线，是C第一象限上的点，直线与l交于点，，则 ． 【答案】/ 【分析】作出图形，合理转化条件，硬解出点的纵坐标，利用焦点三角形面积相等求解即可. 【详解】如图连接 设，易知是C的一条渐近线，，则， 而，故， 则双曲线的方程为，，， 则，， 由得，解得，则， 故，则的方程为，化简得， 联立方程组，，设，， 可得，故，， 由图易得，则，解得， 易知， 由焦点三角形面积公式得， 故，解得. 故答案为： 变式15-2．(23-24高二上·河北邯郸·期末)已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 【答案】或 【分析】分类讨论，即分别在轴两侧或在轴左侧，求出，，分别确定和，结合解直角三角形，求出的关系，即可求得答案. 【详解】若分别在轴两侧（如图），   到的距离. 由，得. 设的倾斜角为，则，且, 在中，，所以， 所以，,所以. 若均在轴左侧（如图），    在中，，, 所以， 所以，, 所以， 故答案为：或 类型十六、定值问题 例16．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为1 D．动点到两渐近线的距离之积为定值 【答案】AD 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线，对应， 所以双曲线的离心率为，A选项正确. 渐近线方程为，B选项错误. 左右焦点坐标为，到渐近线的距离为： ，所以C选项错误. 设， 到渐近线的距离之积为为定值，D选项正确. 故选：AD 变式16-1．(24-25高二上·山西运城·期末) （多选）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．的内心为，到轴的距离为1 C．若，则的面积为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义结合二次函数的性质可得A正确；由双曲线的定义结合几何关系可得B正确；由双曲线的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可得C错误；由渐近线方程和点到直线的距离可得D正确； 【详解】对于A，由双曲线的定义可得设，， 令，，则， 因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，设的内切圆半径为，在右上，由双曲线方程可知，， 设三角形内切圆三边的切点分别为，如图， 由几何关系可得， 所以，解得， 所以，所以到轴的距离为1，故B正确； 对于C，设 则由余弦定理可得， 即， 又，所以，所以，故C错误； 对于D，设，渐近线方程， 点到渐近线的距离， 同理到渐近线的距离， 所以， 因为点在双曲线上，所以，代入上式可得点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确； 故选：ABD. 变式16-2．(24-25高二上·云南大理白族大理·期末) （多选）双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 【答案】CD 【分析】对于A：根据题意可知渐近线的倾斜角分别为，，进而可得渐近线方程；对于B：可知，进而可求离心率；对于C：根据题意可得，，进而可求面积；对于D：可得双曲线方程为，结合点到直线的距离公式分析判断. 【详解】对于选项A，因为点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上， 可知，则渐近线的倾斜角分别为，， 所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于选项B，由选项A可知， 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，因为，且， 可知，且， 在中，可得，， 所以的面积为，故C正确； 对于选项D，由及，得，， 则双曲线的方程为. 设，则， 所以到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：CD. 变式16-3．(23-24高二上·四川成都实验外国语学校·期末) （多选）已知曲线 ，将曲线用函数表示，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减； B．的图象关于对称； C．的最小值为； D．若直线 与的图象没有交点，则实数为定值. 【答案】ACD 【分析】分段讨论确定所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A，B，D选项；求出的表达式求其最小值判断C选项； 【详解】当时， 不存在，故在第一象限内无图象； 当时， ，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为， 此时，即， 所以； 当时， ，在第三象限内为椭圆的一部分； 此时，即， 所以 当时， ，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为 ； 此时，即， 所以； 综上：的最小值为，故C正确； 图象如图所示： 对于A：由图象可得在上单调递减，故A正确； 对于B，由图象可得图象不关于直线成轴对称图形，也可以求得关于直线对称的点不在图象上， 故B错误； 对D：若直线 与的图象没有交点，则直线与渐近线平行， 即为定值，否则直线与渐近线相交，则一定会与的图象相交，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析. 类型十七、利用圆锥曲线的参数求最值 例17．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类可得曲线轨迹，利用可看成是点到直线的距离的倍，当点在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值. 【详解】当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第二象限的部分， 当时，，表示焦点在轴上的椭圆在第一象限的部分， 当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第四象限的部分， 当时，，方程无解，不表示任何图象， 作出图形如图所示，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆+=1的一部分， 可看成是点到直线的距离的倍. 由图可知，点在椭圆上时，距离最大. 设，则， 其中，则，当时取到等号， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于分情况去绝对值得到方程所表示的曲线，结合图象利用三角代换可求最大值. 变式17-1．(24-25高二上·安徽十联考·期末)已知曲线，为上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由双曲线渐近线性质、椭圆方程，利用利用的几何意义，运用点到直线距离公式、两平行线间的距离公式，结合三角换元可求出取值范围. 【详解】曲线化为 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线， 表示曲线上点到直线的距离的2倍， 又直线与直线平行且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于3， 当在上时，该点到直线的距离可取得最小值， 设，，， 则到直线的距离为， 当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 压轴专练 1．(24-25高二下·广西桂林桂林中学·期末)已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为 B．12 C．的取值范围为 D．过且与双曲线有一个公共点的直线有条 【答案】C 【分析】对于A由双曲线的标准方程得即可判断，对于B根据曲线方程得出，，得出，又，得出，即可求出的值；对于C先求直线的方程，利用几何法即可判断，对于D，分直线的斜率存在与不存在两种情况分析判断. 【详解】对于A，双曲线标准方程为，虚轴长，故A错误； 对于B，因为，其中，所以，， 所以. 又因为，故. 那么，故B错误； 对于C，由双曲线定义知：， 则.设， 由选项B知，，则，， 由题意取为，则直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，又因为直线与圆共点，则有，故．故C正确； 对于D，若直线的斜率不存在，显然直线满足题意； 若直线的斜率存在，可设直线方程为，联立直线方程与双曲线方程， 消去得， 若满足题意； 若，则当时满足题意， 化简整理得，解得． 综上，过且与双曲线有一个公共点的直线有4条，故D错误． 故选：C． 2．(24-25高二下·江苏盐城·期末)双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 3．(24-25高二上·江苏部分高中·期末)已知曲线E:+=1，是曲线E上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得曲线轨迹，利用可看成是点到直线的距离的倍，当点在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值. 【详解】由，当时，方程为， 当时，方程为，当时，方程为， 如图，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆的一部分， 双曲线的一条渐近线方程为， 可看成是点到直线的距离的倍. 由图可知，点在椭圆上时，距离最大. 设， 则，则. 故选：C. 4．(24-25高二下·河南濮阳·期末)已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程为，设，的中点为，将点代入渐近线方程，利用点差法得到，设直线的倾斜角为，根据推出，即得，即得，解之即得直线的斜率. 【详解】 如图，由可得双曲线的渐近线方程为， 不妨设，的中点为，则， 两式相减，得：，即， 即（*），因，则，在中，， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 则由（*）可得，即，解得， 即，也即. 故选：B. 5．(24-25高二下·湖南永州第四中学·期末)（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 6．(24-25高二下·广东揭阳·期末) （多选）已知双曲线，其左、右焦点分别是，过点的直线与交于，两点，则（   ） A．的离心率为 B．当的倾斜角为时， C．直线的斜率可以为 D．上存在点，使 【答案】ABD 【分析】根据双曲线离心率的定义，圆锥曲线弦长公式，直线与双曲线的交点情况，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】已知，则，则离心率，所以A正确； 如图所示，已知，，得直线解析式为， 联立方程组得，消去得， 可知， 设交点，则， 根据弦长公式可得，所以B正确； 双曲线渐近线方程为，当时，直线与双曲线仅有一个交点，不符合题意，所以C错误； 设，可知， 根据正弦定理可知， 可知，则， 因为，所以， 化简得， 化简得， 化简，解得，此时， 所以上存在点，使，所以D正确； 故选：ABD. 7．(24-25高二下·湖南衡阳·期末) （多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，位于第二象限的点M在C上，且的周长为12，线段与y轴交于点H.若，则（    ） A．C的焦距为4 B．C的实轴长为 C．C的离心率为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：根据方程可得，即可得焦距；对于D：根据题意结合双曲线的定义可得，，结合余弦定理运算求解；对于BC：根据题意结合几何知识分析可得，即可得实轴长和离心率. 【详解】对于选项A：由题意可知：，即， 所以C的焦距为，故A正确； 对于选项D：因为的周长为12， 则，可得， 又因为，可得，， 设， 又因为，可得， 所以，故D正确； 对于选项BC：设，则， 由等面积法可得，即，解得， 由，整理可得， 因为，所以解得， 所以C的实轴长为， C的离心率，故B错误，C正确． 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $