专题04 圆锥曲线离心率综合问题六大题型（专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题04 圆锥曲线离心率综合问题六大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、离心率基本运算问题 1 题型二、齐次式求解离心率 2 题型三、利用几何性质点带入求解离心率 4 题型四、解三角形与离心率综合 6 题型五、共焦点圆锥曲线离心率问题 8 题型六、离心率范围问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、离心率基本运算问题 1．已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 2．若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为 . 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率 . 8．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为 .    题型二、齐次式求解离心率 1．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，A，B为椭圆上关于原点对称的两个动点，周长的最小值为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 . 9．设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为 . 10．已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为 . 题型三、利用几何性质点带入求解离心率 1．椭圆中，为右焦点，为上顶点，为坐标原点，直线交椭圆于点（点位于第一象限），若，则该椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 2．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）、两点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，，求椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 5．如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．给定椭圆（其中）和直线交于点､（其中点的横纵坐标分别满足），点､分别为椭圆的右焦点和右顶点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7（多选）．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 8．如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 10．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转得到．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为 ． 题型四、解三角形与离心率综合 1．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 3．设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与椭圆切于点的切线方程为 D．若直线的斜率存在，则 7．已知分别为椭圆的左､右焦点，下列说法正确的是（    ） A．若点的坐标为是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为 B．若椭圆上恰有4个不同的点，使得为直角，则椭圆的离心率取值范围是 C．若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若点，椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 8．“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 9．设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，若，且，则的离心率为 ． 10．已知为双曲线的两个焦点，过的直线与双曲线交于两点，双曲线在点处的切线与轴交于，且，，则双曲线的离心率为 ． 11．如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 12．已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 题型五、共焦点圆锥曲线离心率问题 1．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ） A． B． C．2 D．3 2．椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．设，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 6．已知分别是双曲线的左､右焦点，是圆与的渐近线的一个交点，若，则双曲线的离心率为 . 7．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 ． 8．点是抛物线：与双曲线：的一条渐近线的交点（异于原点），若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为 ． 9．已知，分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为 ． 10．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ． 11．已知抛物线与双曲线共焦点，设的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的离心率为 ． 12．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 . 13．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 题型六、离心率范围问题 1．已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左､右焦点分别为､，离心率为.若椭圆上存在点，使得，该离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 10（多选）．双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 11．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 12．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且. (1)求的长（用a，b表示）； (2)若双曲线的离心率，求证：. 1．椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．小诺同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点.已知太阳光线与地面的夹角为，如图，AB为球的一条直径，为A，B在地面的影子，点在线段上，小诺经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交双曲线于点P．若所得的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 8．已知圆过双曲线的左、右焦点，，曲线与曲线在第一象限的交点为M，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 9（多选）．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，且的一条渐近线的斜率大于，则（    ） A． B．可能等于 C．可能等于 D．可能等于 10．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是 . 11．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 12．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为 . 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线离心率综合问题六大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、离心率基本运算问题 1 题型二、齐次式求解离心率 7 题型三、利用几何性质点带入求解离心率 14 题型四、解三角形与离心率综合 24 题型五、共焦点圆锥曲线离心率问题 38 题型六、离心率范围问题 48 B综合攻坚・能力跃升 题型一、离心率基本运算问题 1．已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合图形及三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】椭圆的长半轴长，设半焦距为c，则，， 因此的面积为，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 2．若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为求的最小值，利用对称性即可求解. 【详解】因为椭圆焦点为、， 所以焦距，即，离心率，因此求的最大值等价于求的最小值， 因为是椭圆上任意点，所以， 因此的最小值对应的最小值点在直线上， 直线与两焦点、同侧，取关于直线的对称点， 所以线段的中点在直线上，故，即； 直线与直线垂直斜率乘积为，故，即， 联立得，，即， 当、、共线时，最小，最小值为， ， 因此的最小值为，即， 代入离心率公式得：． 故选：D． 3．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线方程可得，即可由离心率公式求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，且经过点， 所以，又， 则该双曲线的离心率为， 故选：C. 4．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求得，，利用二倍角的余弦公式结合可求出的值，然后在中，利用余弦定理可得出、的等量关系，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】因为，所以，    即，且， 所以，解得， 所以在△中，由余弦定理可得， 即，即，解得. 故选：C. 5．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的右焦点为点，连接，过点作轴于点，利用三角形中位线定理和相似形求出点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求得离心率. 【详解】如图，取椭圆的右焦点为点，连接，则， 因为点C，F是线段AB的三等分点，则C为的中点，而O为的中点， 可得，    因，故，将代入，可得， 根据椭圆对称性，不妨取点，过点作轴于点，易得， 可得，因，则，即得， 代入可得，又，代入解得， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 6．已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为 . 【答案】 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，根据渐近线斜率与离心率的关系，从而得到正确答案. 【详解】由P为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率，即， 而离心率， 故答案为：. 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率 . 【答案】 【分析】根据题意作出图形，延长交于点，由题可得为等腰直角三角形，结合双曲线的定义可得，根据离心率公式求解即可. 【详解】    不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 所以，故， 故，故， 所以，即， 所以. 故答案为：. 8．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为 .    【答案】/ 【分析】连接，，设，表示出，，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系，即可得解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线. 所以， 又由知，所以， 故，所以. 可设，则，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得，解得， 所以.    故答案为： 题型二、齐次式求解离心率 1．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率. 【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得， 由椭圆的定义得，设，    在中，由余弦定理得， 由，得，则， 整理得：，即，又，所以. 故选：A 2．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解. 【详解】设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 3．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 4．．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 5．椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，A，B为椭圆上关于原点对称的两个动点，周长的最小值为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义及椭圆的性质可得，由，计算可得离心率. 【详解】因为A，B为椭圆上关于原点对称的两个动点， 所以， 由椭圆的定义可知， 所以的周长为， 在椭圆中过原点最短的是短轴，所以周长的最小值，即， 因为，所以，得. 故选：D 6．设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据条件可得，再利用条件可得，即可求解. 【详解】因为，不妨设，则， 整理得到，所以，又，所以， 整理得到，所以，解得或（舍）， 故选：B. 7（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，由是等腰直角三角形分成是直角与是直角两种情形，结合条件和图形，建立的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方， 因，则， 又是等腰直角三角形，所以直角只能是或. ①如图1，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得，解得（舍去）. ②如图2，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得， 解得（舍去），故. 故选：BD. 8．双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，双曲线右焦点，由，可得，又是等腰直角三角形，即，进而建立齐次方程，化简整理，即可求解. 【详解】由题意，点为双曲线的右焦点，所以， 将代入双曲线的方程，得， 又，所以， 又是等腰直角三角形，所以，所以，即， 又，即，所以，化简得， 解得或（舍），即双曲线C的离心率为. 故答案为： 9．设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为 . 【答案】 【分析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率. 【详解】椭圆的左､右焦点为，不妨设点P， 由为等腰直角三角形知，，即， 可化为，故或（舍）. 故答案为： 10．已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】结合双曲线定义与余弦定理可得、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得，， 由为等腰三角形，则， 则， 则有， 即，整理得， 故，故， 又，故. 故答案为：. 题型三、利用几何性质点带入求解离心率 1．椭圆中，为右焦点，为上顶点，为坐标原点，直线交椭圆于点（点位于第一象限），若，则该椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，联立椭圆与直线方程，求解出点，根据点到直线距离公式求得点到直线的距离，结合和椭圆离心率公式，即可求得答案. 【详解】根据题意画出图象，如图： 由如图可知点． 联立椭圆与直线方程 ，解得或 可得点的坐标为：． ， 根据直线截距式方程可得：直线的方程为， 即， 点到直线的距离为． ， 由，可得 化简得：， 即或（显然不可能，舍去）， ， 该椭圆的离心率． 故选：A． 【点睛】本题主要考查椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算，解题关键是掌握椭圆离心率计算公式. 2．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）、两点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据条件求得点坐标，利用点在圆上，满足圆的方程得到关系式，进一步计算即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在第一象限，又, 则点的纵坐标为，又点在直线上， 则点横坐标为，所以. 又以为直径的圆的方程为，即， 把点代入并化简，可得， 又，所以， 所以离心率.    故选：A. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得出，求出点的坐标，结合平面向量的坐标运算得出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由，可得，故，且， 不妨设点在第二象限，将代入椭圆方程得，解得，即点， 设点，由得， 即，解得，即点， 将点的坐标代入椭圆方程得， 因为，故有，解得. 故选：D. 4．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，，求椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量关系建立点的坐标联系，代入椭圆方程并结合共线条件，推导出与的关系，从而求得离心率. 【详解】由且，得. 设，，则，，即，. 因、在椭圆上，故，. 将，代入第一个方程， 得，即. 由，代入得，整理得. 又、、共线，故，结合， 得，将代入，化简得. 则离心率. 故选：A    5．如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C. 6．给定椭圆（其中）和直线交于点､（其中点的横纵坐标分别满足），点､分别为椭圆的右焦点和右顶点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线和椭圆方程依次求出坐标和中点坐标，再利用中点和在一条线上，结合两点间斜率建立等量关系，化简即可求解. 【详解】由题，联立得或， 所以， 所以中点为， 直线平分线段，所以直线过以中点， 所以，即， 整理得，即， 因为，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 7（多选）．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 【答案】ABD 【分析】利用三角形全等来计算点坐标，从而可判断A；通过点坐标代入双曲线方程求离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可判断D. 【详解】对于A，记双曲线的焦距为，则，， 由，，根据勾股定理得， 如图过点作轴的垂线，垂足为， 由，可得， 因此，，，即， 所以，选项A正确； 对于B，将代入双曲线方程可得，即， 再将代入得，即， 解得，所以的离心率为，选项B正确； 对于C，由可知，且双曲线的渐近线方程为， 则点到双曲线的渐近线的距离为， 所以点到上最近点的距离大于，选项C错误； 对于D，由得， 且双曲线的方程可转化为， 由，得， 将与联立并消去得：， 记，则，解得， 所以，选项D正确. 故选：ABD. 8．如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    【答案】/ 【分析】求出过右焦点垂直于渐近线的直线方程为，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出离心率. 【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 又直线过点，可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程， 解得，则，所以点的坐标为. 在直线的方程中，令，可得， 所以点的坐标为. 因为，所以为的中点， 设点的坐标为， 可得，解得. 因为点在另一条渐近线上， 所以将代入可得：. 化简可得，即， 又因为，所以，则. 所以. 故答案为：. 9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 【答案】 【分析】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 10．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转得到．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据知识背景确定的渐近线，设两渐近线夹角为并得到，结合二倍角正切公式列方程求得，进而求得渐近线的斜率，再求离心率. 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴， 设两渐近线夹角为，则，解得， 又，整理得， 由，解得， 所以旋转之前双曲线的一条渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 故答案为： 题型四、解三角形与离心率综合 1．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合余弦定理求出离心率. 【详解】设椭圆半焦距为，如图所示，，    设关于原点对称的点为，则为平行四边形， 由，得三点共线，且，设，则， 在中，，解得，而， 在中，由余弦定理得，，解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：C 2．已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接，由题意可证得与相似，可得，结合已知可求双曲线的离心率. 【详解】设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 3．设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设则,在中，利用余弦定理得到的方程，再利用得到的方程，两个方程联立，结合即可求解. 【详解】如图所示：      设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 4．如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交椭圆于另一点，根据给定条件，利用椭圆对称性及定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】如图，延长交椭圆于另一点，连接，由，得， 由椭圆对称性得，设，则，， 在中，由余弦定理得，解得， 即，令椭圆的半焦距为c， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，所以的离心率. 故选：D 5．已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立联系，进而求得离心率. 【详解】 过作垂直于轴，垂足为， 易得，得， 则. 在中，由，得， 得. 故选：C. 6．（多选）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与椭圆切于点的切线方程为 D．若直线的斜率存在，则 【答案】ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、求椭圆的切线方程、根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并现椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D. 【详解】令椭圆的半焦距为，则， 对于A，在中，由正弦定理，得， 因此，A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得 ，则， ，B错误； 对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为， 由消去得：， ， 整理得，而， 则，即，解得， 因此切线方程为，整理得，C正确； 对于D，设直线的方程为，点，由 消去得，，， ，D正确. 故选：ACD 7．已知分别为椭圆的左､右焦点，下列说法正确的是（    ） A．若点的坐标为是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为 B．若椭圆上恰有4个不同的点，使得为直角，则椭圆的离心率取值范围是 C．若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若点，椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，设出，，且，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值；对B，问题转化为当点为短轴顶点时，即可，运算得解；对C，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；对D，设，，，且，表达出，问题转化为在上有解，数形结合得到，求出离心率的取值范围. 【详解】对于A，设，，且， ， 当时，，则，此时当时，取得最小值，最小值为，线段PT长度的最小值为； 当时，此时，则，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为. 综上，故A错误； 对于B，要使得椭圆上恰有4个不同的点，使得为直角，即当点为短轴顶点时，即可， 此时，即椭圆的离心率，故B正确； 对于C，若，此时与椭圆有公共点，故存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得， 此时，即； 若，即时，如图， 连接，，显然，，则， 因为在上单调递增，要想最大，只需最大， 故当最小时，满足要求，故点与上顶点或下顶点重合时，最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以，解得，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是，故C正确； 对于D，设，，，且， 则 ， 椭圆上存在点使得，即在上有解， 即在上有解， 令，注意，， 故只需，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 8．“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】双曲线与反光镜的设计问题、正弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 9．设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据题干条件和椭圆定义，求出，在三角形中利用余弦定理得到，将上述等式联立，化简，即可求出的离心率. 【详解】由椭圆定义可知：， 故， 令， 根据可得：， 故（①），在三角形中， 由余弦定理得：， 化简得：，将①代入化简得：， 两侧同时除以得：，解得：， 故答案为：. 10．已知为双曲线的两个焦点，过的直线与双曲线交于两点，双曲线在点处的切线与轴交于，且，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设双曲线上一点处的切线为，联立后利用以及点在双曲线上化简求得切线方程，进而得到点坐标，利用可求得，结合双曲线方程和两点间距离公式可求得，结合双曲线定义和向量数乘关系可分别表示出，在中分别利用余弦定理求得，由此可构造齐次式求得离心率. 【详解】不妨令为下焦点，为上焦点， 设，在点处的切线为，则， 由得：， 且， 又， 整理可得：，，则点处的切线为，； ，，解得：， ， ， 由双曲线定义得：， ，，， 在中，， 在中，， ，即，离心率. 故答案为：. 11．如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】延长交于另一点，连接，设，再根据椭圆定义得到其他长度，利用余弦定理得，最后再次使用余弦定理即可得到关于的齐次方程，解出即可. 【详解】如图，延长交于另一点，连接，由椭圆的对称性，得． 设，则． 在中，利用余弦定理得 ，即，解得， 所以． 在中，利用余弦定理得， 即，化简得， 所以的离心率． 故答案为：． 12．已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意设，结合椭圆的性质和余弦定理以及二倍角的余弦公式计算出，再由离心率的公式计算可得. 【详解】由题意设， 由椭圆定义， 所以， 设， 对应用余弦定理可得，可得， 对应用余弦定理可得，可得， 又，代入并化简可得， 所以，， 所以离心率. 故答案为：. 题型五、共焦点圆锥曲线离心率问题 1．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由椭圆、双曲线离心率的计算公式列出等式，求解即可. 【详解】， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 2．椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 交点到两焦点的距离分别为，焦距为， 则， 又，，故，， 所以， 化简得， 即 . 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的实半轴长为a，由题意可得椭圆的长半轴为3a，设曲线在第一象限的交点P，焦半径为x, y，由椭圆及双曲线的定义可得x, y的值，再由勾股定理可得a, c的关系，进而求出双曲线的离心率． 【详解】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得， 由题意P在以为直径的圆上，所以， 所以可得，即离心率， 故选：C 4．已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】双曲线的实轴长为，设，根据椭圆以及双曲线的定义推出，利用余弦定理可得，再利用两角差的正切公式结合的最大值推出，两式联立即可求得答案. 【详解】由题意设，设双曲线的实轴长为， 双曲线与椭圆在一象限的交点为， 设，则， 故， 由，得， 即； 动点在直线上运动，设l与x轴交点为E，设， 在中，， 在中，， 由题意知为锐角，且, 即， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为，而当与相等时，取得最大值， 可知，即，结合， 得，则， 故双曲线的离心率， 故选：C 5．设，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ， 设， 则在中，由余弦定理得： ， 即 化简得：， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以双曲线的离心率为， 故选：B. 6．已知分别是双曲线的左､右焦点，是圆与的渐近线的一个交点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】由已知可得，再结合可求得，则可得为等边三角形，从而可得，则有，进而可求出离心率. 【详解】由题意设与双曲线的一条渐近线交于点，则， 所以， 因为，所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故答案为：2    7．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 ． 【答案】 【详解】试题分析：由题意，得抛物线的准线为，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为，所以，即，所以，整理，得，解得或．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系． 【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式． 8．点是抛物线：与双曲线：的一条渐近线的交点（异于原点），若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】先根据条件求出点的坐标，再结合点到抛物线的准线距离为，得到，再代入离心率计算公式即可得到答案 【详解】解：抛物线：的准线方程为， 取双曲线：的一条渐近线：， 与抛物线联立，解得或，故， 点到抛物线的准线的距离为， ，化为， 双曲线的离心率， 故答案为： 9．已知，分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】由题意，根据直线倾斜角为得直线的方程为，联立得点坐标，代入双曲线方程即可得离心率. 【详解】    因为为双曲线与抛物线的公共焦点， 所以，故， 因直线倾斜角为，故直线的斜率为，直线的方程为， 联立，得，即， 得或， 当时，，代入得， 又因，，得， 解得，又因，得 当时，，代入得， 又因，，得， 解得，又因，得 故答案为：或. 10．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解. 【详解】解：设的半焦距为c（），则，又， 所以，又直线与的一条渐近线平行， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为． 故答案为： 11．已知抛物线与双曲线共焦点，设的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】先确定抛物线方程，进而得到其准线方程，过向准线做垂线垂足为，结合，结合，得到，代入数据即可求解. 【详解】 设的半焦距为，因为抛物线与双曲线共焦点，所以的方程为， 故的准线的方程为，过作于，则由抛物线的定义可知， 易知，所以， 又，所以，即， 即，解得（负值舍去）． 故答案为： 12．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则， 所以，即， 故，当且仅当时取等， 所以， 故答案为：. 13．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 题型六、离心率范围问题 1．已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的离心率求出，再结合双曲线性质求出的范围. 【详解】由，得，则双曲线的渐近线方程为， 当直线在双曲线的两条渐近线所夹含轴的区域内（包含两条渐近线）时， 直线与双曲线没有公共点，所以实数的取值范围为. 故选：B 2．已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解. 【详解】因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 3．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【详解】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 4．设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 5．已知椭圆的左､右焦点分别为､，离心率为.若椭圆上存在点，使得，该离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设椭圆上存在点，使得，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】假设椭圆上存在点，使得， 由椭圆的定义得：， 解得， 因为， 所以， 两边同除以a得， 解得 ， 因为 ， 所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题利用是解决问题的关键. 6．已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线定理可得，进而可得，结合条件即得. 【详解】连接，延长交轴于，则 ，又，， 所以， 故，即， 又， 所以，即. 故选：D. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由等面积法得到，再由，得到，再结合，转化为关于的不等式，即可求出的范围. 【详解】设，则的面积为． 因为的内切圆半径为，又， 所以的面积可表示为， 所以，则． 又因为，所以． 两边平方得，而，所以， 整理得，两边同时除以，得， 解得，又，故，即椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A 8．已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 9．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 10（多选）．双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 【答案】AC 【分析】根据题意 ，利用双曲线的几何性质，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确； 对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误． 故选：AC 11．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，进而得出，再求出离心率范围即得. 【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点， 因此，又点在椭圆上，则，即，整理得， 即，而，因此， 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 12．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且. (1)求的长（用a，b表示）； (2)若双曲线的离心率，求证：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）两点都在双曲线右支上，设，结合双曲线定义表达出其他边长，利用和余弦定理得到方程，求出，得到； （2）在中，由正弦定理得到，结合（1）中和，得到，在求出，为锐角，故. 【详解】（1），故两点都在双曲线右支上， 设，则， 由双曲线定义知，， 因为，所以， 由余弦定理得， 化简得，所以； （2）在中，由正弦定理得， 所以， 由（1）知，，故， 又，故， 且，所以， 所以为锐角，故. 1．椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得圆心为左焦点与右顶点的中点，半径，再由即可得到关于、的方程，同除得到关于的方程，解得即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则右顶点为，上顶点为，下顶点为， 因为左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则圆心为左焦点与右顶点的中点，半径， 所以，则，即， 又， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 2．小诺同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点.已知太阳光线与地面的夹角为，如图，AB为球的一条直径，为A，B在地面的影子，点在线段上，小诺经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆中的关系求离心率. 【详解】设椭圆的长轴长，短轴长为， 因为， 所以. 故选：A 3．已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交双曲线于点P．若所得的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义和切线长定理可推得内切圆圆心的坐标 ，再利用点到直线的距离公式即可建立的方程，计算即得离心率. 【详解】 如图，设的内切圆M与的三边，，相切的切点分别记为A，B，C， 则， 所以点为双曲线的右顶点．所以内切圆的圆心坐标为， 则有，即．所以，解得或（舍去）． 故选：C． 5．已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，由直线，的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率. 【详解】由题可知，，设， 则， 所以， 即．由， 得，所以， 所以． 故选：B． 6．已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 7．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：D． 8．已知圆过双曲线的左、右焦点，，曲线与曲线在第一象限的交点为M，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可求得双曲线的焦点坐标，结合圆的几何性质推出，由双曲线定义结合题设可得，由余弦定理可得，即可求得a，则可得答案. 【详解】由，令 ，则 ，即， 故，，即有 ， 圆心为,半径为， 由于,故, 因为M为双曲线右支上一点，， 设，则 ， 故 ， 在中， , 即，即， 故， 故双曲线离心率为， 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设条件可求得双故曲线的焦半距，因此要求离心率，就要求出a的值，因此关键点就在于要利用圆的几何性质推得，设,从而由余弦定理推出，再结合双曲线定义推得，即可求得a，则问题即可求解. 9（多选）．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，且的一条渐近线的斜率大于，则（    ） A． B．可能等于 C．可能等于 D．可能等于 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的几何性质直接计算可得. 【详解】由题意得，则，A正确. 的渐近线方程为，则， 所以，，，， 所以B，D均正确，C错误. 故选：ABD. 10．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】利用垂直关系而得出，利用内角平分线定理.利用面积比值得出结论。 【详解】由题意知，，，，当时，. 由，得，. 又的角平分线与直线交于点，可知，所以. ，解得，椭圆的离心率是. 故答案为：. 11．已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】设椭圆，，则． 设椭圆，，则． 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，此时为． 故答案为：． 12．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $