专题01 椭圆的方程及其几何性质八大题型（专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题01 椭圆的方程及其几何性质八大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆中概念变量的基本关系 1 题型二、椭圆的标准方程求解 4 题型三、椭圆的第二与第三定义 9 题型四、椭圆的几何性质 13 题型五、椭圆中的长度和差最值问题 22 题型六、椭圆中焦点三角形的相关问题 26 题型七、椭圆的离心率问题 32 题型八、椭圆中的参数问题 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆中概念变量的基本关系 一、单选题 1．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由椭圆的定义求解. 【详解】因为椭圆方程为，所以，解得， 由椭圆的定义可得，又，所以， 故选：B. 2．已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的长轴长、顶点、焦距、离心率的定义逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确； 对于B，椭圆的顶点为或，故B错误； 对于C，椭圆的焦距为8，故C正确； 对于D，椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD. 3（多选）．已知曲线C：，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C的焦点为和 D．若，则C的长半轴长为 【答案】ABD 【分析】根据圆、椭圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，若，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线C：，所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则C：，为焦点在轴上的椭圆，焦点为和，故C错误； 对于D，若，则C：，所以C的长半轴长为，故D正确. 故选：ABD. 4（多选）．关于，的方程，下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得该方程表示两条直线 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 【答案】AC 【分析】根据不同的取值范围，结合直线、圆、椭圆的方程特征来逐一分析选项. 【详解】对于A，当，，方程表示两条直线，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则，方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当时，，则，方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故D错误. 故选：AC. 5．已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由方程表示椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 11．若椭圆的离心率为，则 . 【答案】 【分析】根据离心率的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故答案为：. 6．椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数 的值为 . 【答案】4 【分析】根据椭圆中基本参数的关系即可求解. 【详解】由题意椭圆的焦点在轴上，所以，，， 因为，所以. 故答案为：4 题型二、椭圆的标准方程求解 1．方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程 【详解】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 2．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3．方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合距离公式，得出其轨迹符合椭圆定义，求出椭圆标准方程即可. 【详解】设，则， 且， 点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 则， 其标准方程为. 故选：D. 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【详解】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A 5．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义可得P点轨迹为椭圆，进而求出轨迹方程. 【详解】圆和的圆心、半径分别为， 由，得点在圆内，设动圆半径为， 依题意，，，则， 因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，即， 而圆内切于，切点在P点的轨迹上，此点可视为极限位置的点， 所以椭圆方程为. 故选：D 6（多选）．两个焦点分别为的椭圆的标准方程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，逐项确定椭圆焦点位置及坐标判断即可． 【详解】对于A：的焦点在轴上，A错误； 对于B：的两个焦点分别为，B正确； 对于C：的两个焦点分别为， C错误； 对于D：的两个焦点分别为，D正确. 故选：BD． 7．已知，，焦点在轴上，则椭圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，且焦点在轴上，即可得椭圆方程. 【详解】因为，，则， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是. 故答案为：. 8．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出焦点坐标，根据椭圆的定义求出，即可求解； （2）根据已知椭圆方程写出所求椭圆的焦点坐标，再由椭圆的定义求得解； （3）设所求的椭圆方程为，代入点的坐标求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得， 可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为， 所求椭圆过点， ， ，， 椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为. 把，两点代入， 得：，解得，， 椭圆方程为. 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型三、椭圆的第二与第三定义 1．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 2．有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】选项A：已知点轨迹是椭圆，由条件求出椭圆方程即可判断；选项B：联立直线与椭圆方程，得到交点坐标，判断它是“最远距离直线”；选项C：利用，当与纵坐标相等且在右侧时，取最小值；选项D：根据直线与椭圆相切及平行关系，通过两平行切线距离求距离最大值. 【详解】由题意可知点的轨迹是椭圆，其中，，则. 所以点的轨迹方程为，故A错误. 由得，，则直线是“最远距离直线”，故B正确. 由可知，，当点与点纵坐标相等且点在点右侧时，取得最小值，为，C正确. 由可知，直线与椭圆相切，直线与直线平行， 由椭圆的对称性易知与直线平行的另一条椭圆的切线方程为， 故直线与直线之间的距离即所求距离的最大值，为，故D正确. 故选：BCD. 3．某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线C为：平面内动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点P的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．点在曲线C的内部 C．若点在C上，则 D．曲线C上到直线和到点F的距离相等的点有无穷多个 【答案】ACD 【详解】根据题意列等式，去根号和绝对值，即可求解曲线C的轨迹方程，从而对各选项逐一判断. 【解答】设点， 因为点P到定点的距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得， 两边平方得， 当时，得， 两边平方得， 对于A，由图易知，两段抛物线弧均关于y轴对称， 故曲线C关于y轴对称，故A正确； 对于B，如图，曲线C由两段抛物线弧组成， 在中， 令，得，故点不在曲线C的内部，故B错误； 对于C，若点在上， 得，所以， 若点在上， 同理得，故C正确； 对于D，曲线，即， 令，则的焦点坐标为，准线方程为， 则由向上平移6个单位长度可得， 所以焦点坐标为，准线方程为，所以F为焦点，为准线， 所以上的点到直线和到点F的距离都相等， 即曲线C上到直线和到点F的距离相等的点有无穷多个，故D正确. 故选：ACD 4．在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)且，曲线是不含长轴端点的椭圆 (2)或 【分析】（1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. 【详解】（1）设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． （2）由题意，得解得或 若则直线的方程为①，直线的方程为②． 由①②可得即． 若则直线的方程为③，直线的方程为④． 由③④可得即． 综上，点的坐标为或． 题型四、椭圆的几何性质 1．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得的最大值. 【详解】设， ， 在三角形中，由余弦定理得： . 由于，所以的最大值为. 故选：A 2（多选）．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 3（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 4（多选）．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（   ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【分析】设椭圆的左焦点为，则，结合椭圆的定义可判断A；由得的范围，而的周长为，即可判断B；联立方程组，解得的坐标，得，则为钝角，即可判断C；联立方程组，解得坐标，求得，则，计算三角形面积可判断D． 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，    根据椭圆的对称性知， 所以，故A正确； 由椭圆，可得，，，， 因为，所以，即的取值范围是， 所以的周长为，其取值范围是，故B正确； 联立方程组，解得， 又由，所以， 所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误； 联立方程组，解得， ，可得， 所以，又由， 可得，故D正确． 故选：ABD． 4（多选）．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在使得 B．当时， C．，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的方程，结合使用向量工具和不等式的基本性质得到矛盾，从而否定A；根据已知条件，通过解方程组求解，判断B；利用椭圆的定义，结合余弦定理，三角形的面积公式计算，可以判定C正确；利用直线的斜率公式，结合椭圆的方程计算验证D正确. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，. 焦点 ，；顶点 ，. 设点 在椭圆上运动，满足椭圆方程. 选项 A： 设 ，则向量 ，. 若 ，可得，即 显然此时圆都在椭圆 内部，因此不存在满足条件的 ，选项 A 错误； 选项 B： 由 可知 与 同横坐标，即. 代入椭圆方程，解得即， 因此 ，所以选项 B 正确； 选项 C： 设 ，，则 ，. 在 中，由余弦定理得 整理可得 ，所以 因此，即选项 C 正确； 选项 D：斜率 ，， 所以 由椭圆方程，得 代入 因此斜率乘积恒为 ，选项 D 正确. 故选： BCD. 5（多选）．椭圆左右焦点分别为是上任意一点，则正确的有（    ） A．的周长为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义、三角换元法、基本不等式、向量运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于椭圆，， 根据椭圆的定义可知，的周长为，A选项错误. 设，， ， 所以当时，取得最小值为，所以B选项正确. ，当且仅当时等号成立， 所以C选项正确. ， 所以当或时，取得最大值为， 所以D选项正确. 故选：BCD 6（多选）．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．线段的中垂线不可能经过的顶点 【答案】AC 【分析】根据曲线表示椭圆可得范围，分别讨论和的情况，根据长轴长为离心率的两倍可构造方程求得A正确；设，，，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识可确定BC正误；将椭圆顶点坐标代入线段中垂线方程中，发现方程可以成立，则D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程得：，，解得：且， 当时，，椭圆焦点在轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，解得：； 当时，，椭圆焦点在轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，整理可得：， 当时，，无解； 综上所述：，A正确； 对于B，由A知：椭圆， 设，，， （其中，）， 则当时，取得最小值，B错误； 对于C，， 则当或时，取得最大值，C正确； 对于D，，中点， 若不是椭圆顶点，则， 中垂线方程为：，即， 将代入方程得：，化简得：， 解得：或，又，， 中垂线可能经过椭圆顶点，D错误. 故选：AC. 7（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为e，直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的周长为4a B．若，则的最小值为3c C．若AB的中点为M，则 D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据椭圆的定义计算易判断；对于B，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算，结合函数的单调性可得即可判断；对于C，利用点差法易判断；对于D，通过计算推得，结合，消元求得，根据椭圆上点的横坐标的范围建立，求解即得. 【详解】 对于A，因点是椭圆上的两点，则， 而的周长为，故A正确； 对于B，因，则，由消去， 整理得，因直线恒过点，则， 设，则有， 则， 设，则，且，于是， 因，易得，则有，故B错误； 对于C，同B项，设，则，则，即得， 又，两式相减，可得，整理得，故有，即C正确； 对于D，依题意，， 则，则（*）， 由可得，代入（*），可得，解得， 因，则，化简得， 因，则，即得，解得，故D正确. 故选：ACD. 题型五、椭圆中的长度和差最值问题 1．已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 2．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 3．已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】若为椭圆左焦点且，由椭圆定义有，结合，即可求最小值. 【详解】若为椭圆左焦点且，则，故， 所以， 而，所以，仅当共线时取等号， 综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间. 故选：B 4．若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．10 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件. 【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，，   周长为，且， 所以，而， 故，当且仅当共线且在两侧时等号成立， 所以周长的最大值为10. 故选：D 5．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案. 【详解】解：由已知可得，得，    根据椭圆定义：， ∴取得最大值时，即 最大， 取得最小值时，即 最小， 根据三角形的两边之差小于第三边有 当三点共线，且点P不在线段上时， ， 即 如图所示：， 当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值． 当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值． ∴的最大值和最小值分别为 ；. 故选：A. 6．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 题型六、椭圆中焦点三角形的相关问题 1．已知直线与椭圆交于两点，若（是椭圆的两个焦点），则四边形的面积为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】结合矩形性质与椭圆的定义及面积公式计算即可得． 【详解】由椭圆的定义可知， 则， 直线过原点，则关于坐标原点对称， 又，关于坐标原点对称，故四边形为矩形． 则有，故， 故四边形的面积． 故选：C． 2．椭圆 的上下两焦点为，椭圆C上有一点P满足，则面积＝ （    ） A．32 B．25 C． D．8 【答案】C 【分析】由椭圆定义可得，再根据条件结合余弦定理及三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 又，， 则， 即， 故， 则. 故选：C. 3．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 4．椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程，求得椭圆的焦距，结合的面积为1，，求得点A的坐标，将点A坐标代入椭圆方程，可求得，进而得到的周长为. 【详解】椭圆的焦点在轴上，令半焦距为，则， 所以该椭圆的焦距为； 设点，而，则的面积， 解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知， 因此，解得，又，则， 整理得，而，于是，解得， 所以的周长为. 故答案为：. 5．已知椭圆方程短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合（为坐标原点）的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． （2）由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 6．已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据椭圆的定义，解得即可； （2）首先求出，从而得到，结合（1）、，利用余弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）椭圆，则， 所以，又， 所以. （2）由，得，所以. 如下图所示： 由（1）可知，， 所以. 则， 故的面积为. 题型七、椭圆的离心率问题 1．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 3．已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】讨论焦点所在坐标轴求出，进而确定求出离心率. 【详解】因为椭圆的焦距等于，所以， 若椭圆焦点在轴，则，解得，所以； 若椭圆焦点在轴，则，解得，所以. 所以其离心率为或， 故选：A. 4．已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值. 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得. 故选：D. 5．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 6．已知分别是椭圆的左､右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立的联系，进而求得离心率. 【详解】过作垂直于轴，垂足为. 由于，所以， ， 则. 在中，由，得， . 故选：C 7．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义可得，由余弦定理可得，即可联立求解，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，即， 由，结合余弦定理可得 ，即可， 故， 可得， 由，可得,进而，则，解得. 故选：B 题型八、椭圆中的参数问题 1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】由可得， 则有，解得. 故答案为：. 2．已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出点的轨迹方程，再利用三角换元，即可求解. 【详解】因为，由题有， 整理得到， 令， 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 3．已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 54．已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； （2）设点，将为钝角转化为且、、三点不共线，然后结合点在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为.因为动圆与圆外切，且与圆内切， 所以，所以， 所以曲线是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 设椭圆方程为，所以，，即，， 所以，又， 所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； （2）设点，，， 所以，， 若为钝角，且、、三点不共线， 所以，------①         又由椭圆的方程得，------②         联合①②得，解得 所以点的横坐标的取值范围是. 一、选择题 1．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再在中利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质结合题设条件得到的取值范围，再利用和结合三角恒等变换公式弦切互化分析即可求解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 2．已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作直线的垂线，垂足分别为，，切点为，得，再根据椭圆定义可得答案． 【详解】如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， 因为，所以是的中点， 所以是梯形的中位线，所以． 又因为圆的方程为，所以，所以， 即，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为 ， 则，所以， 所以动点的轨迹方程为＝1． 故选：B. 3．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    4（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若，则的面积为 C．记的上顶点为，若轴，则直线AP与AQ的斜率之积为 D．若是的上顶点，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】当点为椭圆的上顶点时，研究的大小，可判断A的真假；当轴时，计算可判断C的真假；当时，结合余弦定理和椭圆的定义，可求的面积，判断B的真假；当是的上顶点，利用圆与椭圆有公共点，可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】当椭圆：中，，，. 如图： 当为的上顶点时，因为，即，所以, 所以椭圆上存在点，使得，故A正确； 若轴，设，则，且. 所以，故C正确； 对B：如图， 当时，不妨设在第一象限，则， 所以，所以，故B错误； 对D：当为椭圆的上顶点时，则以为圆心，为半径的圆的方程为， 代入得，， 整理得：. 由. 即的最大值为.故D正确. 故选：ACD 5（多选）．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ）    A．椭圆的离心率为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是2 D．的周长为 【答案】ABD 【分析】由题意易知，上半椭圆的方程为，下半圆的方程为，由此即可求出椭圆的离心率为；由椭圆的性质易知，结合，即可求得线段长度的取值范围是；当直线斜率不存在时，三点共线，由此可判断出面积无最小值；由椭圆的定义易知，结合的周长为即可判断D. 【详解】设上半椭圆的方程为 ， 因为半圆的圆心在原点，且过椭圆的焦点 ， 所以半圆的半径，即椭圆的短轴长 ，故。 因为椭圆的焦点为，所以， 又，. 因此上半椭圆的方程为，下半圆的方程为. 所以椭圆的离心率 ，A正确； 设，则 则 ， 所以，故， 又因为, 所以，B正确； 很明显，当直线斜率不存在时，三点共线， 所以面积无最小值.C错误. 由题意知，,即点也是椭圆的焦点， 由椭圆的定义可知:， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 二、填空题 6．已知为椭圆上一点，为圆：上一点，且的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径，利用圆的几何性质确定最大值条件，再利用两点间距离公式，借助一次函数性质求出最大值，进而求出离心率的最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得的最大值为6等价于的最大值为4， 设，由，得，又，则， 整理得在上恒成立， 当时，显然不等式在时恒成立； 当，由在上， 因此，即在上恒成立， 令，由，得函数在上单调递减， 于是，解得，则， 综上，，解得， 所以椭圆的离心率的最大值为. 故答案为： 三、解答题 7．已知，，动点满足，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线上一点，连接与曲线交于点，连接与曲线交于点， ①求的值并证明直线过定点； ②令与轴交于点，用表示（其中表示三角形的面积） 【答案】(1) (2)（2）①；直线过定点为； ②当在轴下方时，， 当在轴上方时， 【分析】（1）设，可得，化简即可求解； （2）①设直线的方程为：，则，与椭圆联立方程可得点的坐标，同理可得点坐标，分别表示出，化简即可求解，根据，可得，设与椭圆联立，由韦达定理可得：，，代入化简即可求解.②由题可得点到直线的距离，点到直线的距离，即可得到，由点在上代入化简可得，解方程即可得到，代入面积关系化简即可. 【详解】（1）设，则， 化简可得： （2）设，，显然直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，则， 联立，化简得：，解得：，    设直线的方程为：，则， 联立，化简得：，解得：，， 所以，所以， 所以，即 设， 联立，化简可得：， ，即 所以， 。 由，可得， 化简可得：，解得：或 当时，表示直线，不满足条件； 所以，即， 所以直线过定点为 ② 由①可得，，直线的方程为，， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以， 由于点在直线上； 所以，化简可得：， 由于，则的解为：， 所以， 当在轴下方时，则，， 当在轴上方时，则，， 综上，当在轴下方时，， 当在轴上方时， 8．已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. (1)求的方程； (2)求证：的值为定值； (3)设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. （2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. （3）由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 椭圆的方程及其几何性质八大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆中概念变量的基本关系 1 题型二、椭圆的标准方程求解 4 题型三、椭圆的第二与第三定义 9 题型四、椭圆的几何性质 13 题型五、椭圆中的长度和差最值问题 22 题型六、椭圆中焦点三角形的相关问题 26 题型七、椭圆的离心率问题 32 题型八、椭圆中的参数问题 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆中概念变量的基本关系 一、单选题 1．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 3（多选）．已知曲线C：，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C的焦点为和 D．若，则C的长半轴长为 4（多选）．关于，的方程，下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得该方程表示两条直线 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 5．已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ． 6．若椭圆的离心率为，则 . 7．椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数 的值为 . 题型二、椭圆的标准方程求解 1．方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 3．方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6（多选）．两个焦点分别为的椭圆的标准方程可能为（　　） A． B． C． D． 7．已知，，焦点在轴上，则椭圆的标准方程是 . 8．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 题型三、椭圆的第二与第三定义 1．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 2．有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点到直线的距离的最大值为 3．某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线C为：平面内动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点P的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．点在曲线C的内部 C．若点在C上，则 D．曲线C上到直线和到点F的距离相等的点有无穷多个 4．在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； (2)若，求点的坐标． 题型四、椭圆的几何性质 1．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2（多选）．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 3（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 4（多选）．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（   ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 5（多选）．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在使得 B．当时， C．，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 6（多选）．椭圆左右焦点分别为是上任意一点，则正确的有（    ） A．的周长为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．的最大值为12 7（多选）．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．线段的中垂线不可能经过的顶点 8（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为e，直线与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的周长为4a B．若，则的最小值为3c C．若AB的中点为M，则 D．若，则的取值范围为 题型五、椭圆中的长度和差最值问题 1．已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 2．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 3．已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 4．若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．10 5．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 6．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、椭圆中焦点三角形的相关问题 1．已知直线与椭圆交于两点，若（是椭圆的两个焦点），则四边形的面积为（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．椭圆 的上下两焦点为，椭圆C上有一点P满足，则面积＝ （    ） A．32 B．25 C． D．8 3．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为 . 5．已知椭圆方程短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 6．已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 题型七、椭圆的离心率问题 1．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（   ） A．或 B． C． D．或 4．已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知分别是椭圆的左､右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、椭圆中的参数问题 1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 . 2．已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为 . 3．已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 4．已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 一、选择题 1．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 4（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若，则的面积为 C．记的上顶点为，若轴，则直线AP与AQ的斜率之积为 D．若是的上顶点，则的最大值为 5（多选）．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ）    A．椭圆的离心率为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是2 D．的周长为 二、填空题 6．已知为椭圆上一点，为圆：上一点，且的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为 . 三、解答题 7．已知，，动点满足，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线上一点，连接与曲线交于点，连接与曲线交于点， ①求的值并证明直线过定点； ②令与轴交于点，用表示（其中表示三角形的面积） 8．已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. (1)求的方程； (2)求证：的值为定值； (3)设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $