专题07 抛物线小题汇总（期末压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题07抛物线小题汇总 目录 专题07 抛物线的小题汇总 类型一、抛物线定义的理解 类型二、抛物线标准方程 类型三、和差最值问题 类型四、抛物线中的弦长问题 类型五、面积问题 类型六、抛物线与圆结合 类型七、抛物线与双曲线结合 类型八、抛物线与椭圆结合 压轴专练 类型一、抛物线定义的理解 抛物线是平面上所有满足特定条件的点构成的曲线。这个条件可表述为:任意点到某个固定点(称为焦点)的距离，等于该点到某条固定直线(称为准线)的距离。这种等距关系是抛物线的本质特征。 例1．(24-25高二上·山西名校·期末)已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值. 【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则. 令，则， 当，即时，取到最大值，此时. 不妨设，因为双曲线的焦点坐标为， 所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得. 设该双曲线的离心率为，则，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力. 变式1-1．(24-25高二上·广东部分学校·期末)已知为抛物线的焦点，为第一象限内位于上的两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】合理作出图形，找到直线的倾斜角，在直角三角形内求解其正切值即可. 【详解】设抛物线准线为，过两点分别作，垂足分别为， 作于点，如图所示： 由抛物线定义得， 故，而在直角三角形中，， 由题意得直线的倾斜角为，且设斜率为， 由斜率的几何意义得， 即直线的斜率为，故A正确. 故选：A 变式1-2．(24-25高二上·贵州毕节织金县·期末)过抛物线的焦点F作直线l与抛物线在第一象限交于点A，与抛物线的准线在第三象限交于点B，过点A作准线的垂线，垂足为H，若，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线第一定义得为等腰三角形，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，，结合比值与正切二倍角公式化简即可. 【详解】 如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知， 所以，则, ，， ， 所以. 故选：D. 变式1-3．(24-25高二上·安徽十联考·期末)已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义结合直角三角形的性质求解即可. 【详解】如图，过向准线做垂线，垂足为，作， 由题意得四边形是矩形，故，， 因为，所以， 得到，由抛物线定义得， 而，解得，故B正确. 故选：B 类型二、抛物线标准方程 1.求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p. 2.抛物线性质的应用技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 例2．(24-25高二上·江苏南通·期末)已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 变式2-1．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 变式2-2．(24-25高二下·河南鹤壁·调研)设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示：    因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 变式2-3．(24-25高二上·广东茂名高州·期末)如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得，所以， 在中，，又因为， 解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，即到抛物线的准线的距离为4. 故选：B. 类型三、和差最值问题 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．　 例3．(24-25高二上·福建龙岩·期末)已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 变式3-1．(24-25高二上·安徽耀正优·期末)已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义、余弦定理得，再应用基本不等式求最值. 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 变式3-2．(24-25高二下·广西南宁部分学校·期末)已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 变式3-3．(24-25高二上·河南焦作·期末)已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 类型四、抛物线中的弦长问题 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝| |＋||＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 例4．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【详解】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A 变式4-1．(24-25高二上·北京师范大学附属中学·期末)经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 （    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】先求点的坐标，再利用求出直线的方程，最后利用设而不求的思想及抛物线的定义即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，把代入抛物线方程得，即点的坐标为， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线联立消去得：， 因为直线是抛物线的切线，所以， 所以直线的方程为， 设点的坐标为，则点的坐标为，所以. 故选：B 变式4-2．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 变式4-3．(24-25高二上·广东广州三校·期末)设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示：   为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 类型五、面积问题 例5．(24-25高二下·陕西咸阳·期末)（多选）已知抛物线的焦点为，顶点为，过点作直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．直线是抛物线的准线 B．若直线的斜率为2，则 C．面积的最小值为4 D．的最小值为18 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的定义、性质、直线与抛物线的关系、韦达定理、基本不等式的性质等知识对选项逐一判断即可. 【详解】因为抛物线方程为，所以其准线方程为，所以A正确； 因为 ，那么直线的方程为. 将该直线方程与抛物线方程联立方程组化简为. 设， 所以根据韦达定理得. 所以，B正确； 设直线的方程为，联立， 消去得. 根据韦达定理有， 所以， 所以，所以最小值为8，所以C错误； 由抛物线的定义可知， 所以. 因为 ， 所以， 当且仅当时等号成立，此时的最小值为18，所以D正确. 故选：ABD. 变式5-1．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】设位于第一象限，由焦半径公式得到方程，求出，得到，从而求出三角形面积. 【详解】不妨设位于第一象限，则，解得， 故，所以的面积为. 故答案为：8 变式5-2．(24-25高二下·云南昆明·期末) （多选）若点，在抛物线上，为坐标原点，直线，，的斜率分别为，，，且，设直线与轴交于点，过作直线的平行线交直线于点，则（    ） A． B．面积的最大值为4 C．､､､四点共圆 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，假设坐标，将，求出，由，可得，求出直线AB方程，令可得的横坐标；对于D，由A带入化简即可；对于C，求出过 且与 的平行线的方程，与直线联立求出的坐标，由三角形面积公式及基本不等式即可求解；对于C，举反例证明不共线即可判断C. 【详解】对于A，设，则，由得， 直线 AB 的斜率，故直线AB 的方程为， 令，解得 ，故 ，所以 ，选项A正确； 对于D，，选项D正确； 对于B，过 作 的平行线，该方程为 ，与 联立， 解得：，故的面积， 因为，故将 代入上式并化简得 ， 不妨设，则，当且仅当时等号成立，此时， 故面积的最大值为 4 ，选项B正确； 对于C，取 ，则 ，故 ， ， 则确定的圆方程为 ， 因为，故､､､四点不共圆，选项C错误， 故选：ABD 变式5-3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，由此即可得解. 【详解】 如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 类型六、抛物线与圆结合 例6．(24-25高二下·河南驻马店·期末) （多选）已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当点P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【分析】通过圆心到准线的距离来判断A；联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式求解判断B；求出P的坐标，进而得出切线长判断C；设出点P的坐标，建立方程并确定其解的情况判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为， 的圆心到直线的距离为1，大于圆的半径， 因此准线和相离，故A错误； 对于B，由，，则直线的方程为，即， 联立，得， 设直线与抛物线相交于点， 则，所以过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为，故B正确； 对于C，当三点共线时，即，则的纵坐标，横坐标， 即，此时切线长，故C正确； 对于D，设，由可得，又，， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，故D正确. 故选：BCD. 变式6-1．(24-25高二上·山西·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 ． 【答案】或 【分析】先计算抛物线方程，再设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率. 【详解】 因为抛物线经过点，所以，所以， 圆的圆心为，半径为， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入可得， 设、，则， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，即得 解得. 故答案为：或. 变式6-2．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)如图所示，已知拋物线过点，圆．过圆心的直线与抛物线和圆分别交于、、、，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在抛物线上求出，分析可知，直线不与轴，设、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，结合焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题设，，则，故抛物线的标准方程，则焦点， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 若直线与轴垂直，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设点、，设直线的方程为， 联立可得，， 由韦达定理可得，，则， 结合图象可知，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：由韦达定理得出为解题的关键，结合基本不等式求最值. 变式6-3．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第101中学·期末) （多选）抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．l与有两个不同的交点 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BD 【分析】圆心到准线的距离来判断A；求出的坐标，进而得出切线长判断B；求出的坐标，验证是否成立判断C；设出点的坐标，建立方程并确定其解的情况判断D. 【详解】对于A，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离等于圆的半径， 因此准线和相切，A错误； 对于B，三点共线时，即，则的纵坐标，横坐标，即， 此时切线长，B正确； 对于C，当时，，此时，点或， 取，，，，，不成立，C错误； 对于D，设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D正确. 故选：BD 类型七、抛物线与双曲线结合 例7．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 变式7-1．(24-25高二上·四川成都·期末)已知抛物线和双曲线的公切线（是与抛物线的切点），与抛物线的准线交于，为抛物线的焦点，若，则抛物线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作抛物线的准线于，结合抛物线的定义可得直线的斜率为1，求得的方程，两次利用判别式为零列方程可求得抛物线的方程. 【详解】如图过作抛物线的准线于，根据抛物线的定义可知，， ，在中，，， 即直线的斜率为1，故设的方程为：， 由，消去得， 则，解得，即， 由得，，得， 则抛物线的方程是， 故选：A． 变式7-2．(24-25高二上·浙江杭州第二中学·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点恰为，曲线与在第一象限的交点为．若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，在直角中，通过抛物线和双曲线的定义，利用勾股定理构建等式关系，计算求解. 【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接；设，抛物线方程为， 则通过抛物线定义可得，通过双曲线定义可得,. 直角中，，,. 根据抛物线方程， ，即，，故解方程得. 故答案为： 变式7-3．（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的方程求出离心率可判断A；求出双曲线的渐近线方程可判断B；由有相同的焦点求出可判断C；点坐标代入方程可判断D． 【详解】双曲线的焦点为，，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确； 对于D，抛物线的焦点为，点在上， 则，故或， 所以点到的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 类型八、抛物线与椭圆结合 例8．(24-25高二上·河南驻马店·期末)抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，过点作一条与轴平行的直线与直线交于点（其中为坐标原点），若点的轨迹与椭圆：交于、两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点D的轨迹是抛物线的准线，再由直线与椭圆的弦长进行求解即可． 【详解】解：， 如图所示：    设：代入，， 得，设，， 则，， 设，则， ， 因为， 不妨令，代入椭圆： 得， 所以椭圆的离心率， 故选：D 变式8-1．(22-23高二上·浙江绍兴诸暨·期末)圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，若两条平行光线间隔，则 . 【答案】 【分析】首先联立直线与抛物线方程求得点坐标,进而求得点坐标，然后再联立直线与椭圆方程求得点坐标，可得向量的坐标，最后求得. 【详解】由题意得： 可得抛物线方程，直线 :, 联立，可得； 因为两条平行光线间隔，所以，即. 直线：，联立椭圆方程，得，解得或（舍），所以； 则，所以 . 故答案为：. 变式8-2．(24-25高二上·广东佛山·期末) （多选）已知抛物线和椭圆有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与交于P，Q两点，则（   ） A．存在，使为等边三角形 B．存在，使四边形PQNM为正方形 C．任意，点M总在圆外 D．任意，椭圆上任一点总在圆外 【答案】ACD 【分析】根据题意,焦点，则抛物线，准线方程为，若为等边三角形，即，可求出，判断A；根据椭圆、抛物线的对称性，则，发生矛盾，可判断B；利用抛物线定义判断C；利用椭圆定义和性质判断D. 【详解】根据题意，椭圆， ，所以焦点， 则抛物线，准线方程为， 设椭圆左焦点为，准线过点， 若为等边三角形，即， 即，解得，故A正确； 根据椭圆、抛物线的对称性，若四边形PQNM为正方形， 则，所以直线方程为， 代入抛物线方程，得，此时，矛盾，B错误； 根据题意，又由抛物线定义，， 所以任意，点M总在圆外，C正确； 设椭圆上任意一点，根据椭圆定义， 则，而， 所以，所以点在圆外，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C、D中，分别利用抛物线和椭圆定义进行判断是解题关键 变式8-3．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨松雷中学校·期末) （多选）已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．，直线的倾斜角为或 C．若为抛物线上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 【答案】AD 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 压轴专练 1．(24-25高二下·河北邯郸涉县第一中学·期末)已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化成抛物线上的点到焦点的距离与到定直线的距离之和的最小值问题，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图： 根据题意，的几何意义为点与点之间的距离， 分析可得点在抛物线上，点在直线上， 抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点. 所以的几何意义为. 由. 过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点. 则 （当与点重合，与点重合时取等号） 故选：B 2．(24-25高二下·广东深圳罗湖区·期末)在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 3．(24-25高二下·广东深圳人大附中深圳学校·期末)（多选）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【答案】ACD 【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， 所以， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以， 所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以， 同理， 令，则，因为，则，所以， 所以， 所以，其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 4．(24-25高二下·河北邯郸涉县第一中学·期末) （多选）已知半圆（），半圆与半圆关于轴对称，焦点为的抛物线的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形，点，在的抛物线部分上，点在半圆或半圆上，则下列说法正确的是（    ） A．若在半圆上，则到直线的距离最大值为 B．若在半圆上，则的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若在半圆上，是的中点，则的最大值为. 【答案】ABD 【分析】利用点到直线距离判断A；利用抛物线定义将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求最值判断B；根据图形的对称性以及直线过定点设设直线（），利用圆心到直线距离确定到直线的距离，直曲联立得，构造函数利用导数判断函数的单调性求得最值判断C；利用点差法求出直线方程，直曲联立利用弦长公式求出，再利用极化恒等式即可判断D. 【详解】 根据题意，因为半圆（） 表示以为圆心，为半径的圆的上半部分， 又因为半圆与半圆关于轴对称， 可得半圆（）， 表示以为圆心，为半径的圆的上半部分. 对于选项A，直线的方程为， 到直线的距离为， 所以到直线的距离最大值为，故选项A正确； 对于选项B，抛物线的准线为， 过点作，垂足为， 则，则， 故选项B正确； 对于选项C，根据对称性，不妨设直线（）， 显然离距离最远的点在上， 设到直线的距离为，则， 联立消去，整理得，， 则，， 所以， 所以 ， 设，易得在上单调递增， 所以的最大值为，故选项C错误； 对于选项D，因为，， 所以， 所以， 所以直线的方程为， 联立消去，整理得， 则，， 所以， ，故选项D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高二下·安徽宣城·期末) （多选）已知点是抛物线的焦点，是过点的弦且，直线的斜率为，，且两点在第一象限，则（   ） A． B．四边形面积的最小值为64 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，直线的方程为，然后与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量数量积的坐标公式即可求出的值；对于选项B，分别联立直线与抛物线方程和与抛物线方程，根据韦达定理即可将用表示出来，然后求四边形的面积即可；对于选项C，将求出的的表达式代入即可求出答案；对于选项D，利用两点距离公式和韦达定理可求出的值，进而求出直线的斜率. 【详解】对于A：设直线的方程为，， 联立直线和抛物线方程得， 根据韦达定理得. 所以. 所以，所以A正确； 对于B：. 直线的方程为，与抛物线联立方程组化简得. 根据韦达定理. 所以， 因为，所以，所以， 所以四边形的面积为 当且仅当时等号成立，此时四边形面积的最小值为128，所以B错误； 对于C：因为， 所以，所以C正确； 对于D：， 同理. 所以所以，因为，所以. 所以直线的斜率为，所以D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末) （多选）已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．抛物线的焦点到准线的距离为 C．若，则的面积为 D．若，点在轴上，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程可得到焦点坐标以及准线方程，即可判断A，根据焦点到准线的距离为可求得B，根据抛物线的定义可求得点的横坐标，即可得到纵坐标，即可求得C，根据抛物线的定义以及中位线定理可求得D. 【详解】已知抛物线，求得， 则焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确； 对于B，抛物线的焦点到准线的距离为，故B错误； 对于C，若，则到准线的距离为， 所以即为点的横坐标，如图所示： 根据，解得， 所以，故C正确； 对于D，，点在轴上，如图所示： 根据抛物线的定义可得，则， 即点是的中点，所以， 则，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义与性质，对于抛物线中三角形的面积，得到三角形的高是点的纵坐标是关键. 7．(24-25高二上·云南文山·期末) （多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】分别求出过点与抛物线相切以及斜率为0的直线，可得A正确，根据抛物线定义和梯形中位线性质求得，得出B错误，由抛物线定义可知，利用三点共线求距离之和最小值，可得C正确，设的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解可得D正确. 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为， 由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知，所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为， 联立整理可得，可得，因此； 可得，因此， 又可得，解得； 易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线定义，将焦半径与到准线距离互相转化，再由三点共线求得距离最值问题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07抛物线小题汇总 目录 专题07抛物线的小题汇总 抛物线定义的理解 类型二、抛物线标准方程 类型三、和差最值问题 类型四、抛物线中的弦长问题 类型五、面积问题 类型六、抛物线与圆结合 类型七、抛物线与双曲线结合 类型八、抛物线与椭圆结合 压轴专练 典例详解 今类型一、抛物线定义的理解 抛物线是平面上所有满足特定条件的点构成的曲线。这个条件可表述为：任意点到某个固定点（称为焦点） 的距离，等于该点到某条固定直线（称为准线）的距离。这种等距关系是抛物线的本质特征。 例1.(24-25高二上山西名校期末)己知抛物线C:y2=12x的准线与坐标轴的交点为H,F为抛物线C的焦 点，点P在抛物线C上，且PH=kPF,当k最大时，点P恰好在以H,F为焦点的双曲线上，则该双 曲线的离心率为() A.3-V2 B.2+1 c.3+2W2 D.22-1 变式1-1.(24-25高二上广东部分学校期末)已知F为抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点，AB为第一象 限内位于T上的两点，且FB|=2FA=4,|AB|=3,则直线AB的斜率为() A与 B.号 C.1 D.2 变式1-2.(24-25高二上，贵州毕节织金县·期末)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线1与抛物线在 第一象限交于点A,与抛物线的准线在第三象限交于点B,过点A作准线的垂线，垂足为H,若 A可 tan∠AFH=3,则=() A. B.2 C.3 D.4 变式1-3.(24-25高二上·安微十联考·期末)已知抛物线C:y2=2pXp>0)的焦点为F,若抛物线上一点M 满足|MF=4,∠0FM=120°，则p=() A.1 B.2 C.3 D.4 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、抛物线标准方程 1.求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p. 2.抛物线性质的应用技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程： ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算， 例2.(24-25高二上江苏南通·期末)已知点M(2,m)(m>0)在抛物线C:y2=2px上，F为C的焦点， MF=4,则mp=() A.-16 B.-8V2 c.8V2 D.16 变式2-1.(24-25高二下江苏南京六校联合体期末)抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=3 交C于M,N两点，C的准线交x轴于点P,若PM⊥PN,则C的方程为() A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=12x 变式2-2.(24-25高二下·河南鹤壁调研)设M是抛物线y2=2Px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，若 ∠xFM=号，IMF=4,则p=() A.2 B. C.4 D.1 变式2-3.(24-25高二上·广东茂名高州期末)如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线！（斜率为 正)交抛物线于点M,N两点（其中点M在第一象限，交其准线于点P,若器=3，MF=6,则P到抛 物线的准线的距离为() A.2 B.4 C.6 D.8 类型三、和差最值问题 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦 点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算： 例3.(24-25高二上福建龙岩期末)已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,过点A(7,1)作直线1； x+ay-2y-7a+4=0的垂线，垂足为B,点P是抛物线C上的动点，则PF+PB的最小值为() A.145 B.9 C.14 D.2535 变式3-1.(24-25高二上安徽耀正优期末)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，A,B是抛物线C 2/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 d+dz 上不同的两点，且满足∠AFB=弯，设A,B到抛物线C的准线的距离分别为d1,d2,则A可的最大值 为() A.9 B.3 c D. 变式3-2.(24-25高二下广西南宁部分学校期末)已知抛物线y2=20x的焦点为F,点P在该抛物线上，点 Q在圆C:(x-8)2+(y-3)2=9上，则PQ1+|PF的最小值为() A.13 B.9 C.11 D.10 变式3-3.(24-25高二上河南焦作期末)已知P是抛物线y2=4x上一动点，若点P到y轴的距离为d1,到圆 C:(x+2)2+(y-2)2=1上的动点Q的距离为d2,则d1+d的最小值为() A.V13-1 8.25-1 c.V13-2 D. 25-2 类型四、 抛物线中的弦长问题 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系， (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公 式AB=x1|十x2十p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代 入”等解法 [注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解 例4.(24-25高二上河南南阳六校期末)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线1交C于AB两点，其中点A在 第一象限，且AF|=4,则川AB|=() A.9 B.6 c.9 D.8 变式4-1.(24-25高二上·北京师范大学附属中学.期末)经过抛物线E:y2=2pxp>0)的焦点F且垂直于x 轴的直线交抛物线E于点A,1是E在点A处的切线.点B是E上异于A的任意一点，过B且垂直于x轴的直线 交x轴于点M,交1于点C,则丽 =() A. B.1 c. D.不确定 变式4-2.(24-25高二上.甘肃白银靖远县第四中学.期末)直线2mx-y+2m2=0(m<0)过抛物线 C:y2=2Px的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点，则AB|的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.8 变式4-3.(24-25高二上·广东广州三校期末)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线， 设垂足为Q,若∠PQF=30°，则PQ=() A.号 8.9 C. o. 3/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型五、面积问题 例5.(24-25高二下陕西咸阳期末)（多选）已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,顶点为0，过点F作直线1 ,交抛物线E于A,B两点，点A在x轴上方，分别过点A,B作直线l2:X=-2的垂线，垂足分别为A1,B1 ,则下列说法正确的是() A.直线l2是抛物线E的准线 B.若直线l1的斜率为2，则|AB=10 C.△AB0面积的最小值为4 D.AA+4BB1的最小值为18 变式5-1.(24-25高二下，福建厦门期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，过M作y轴的垂 线，垂足为N.若|MF=5,则△MNF的面积为一 变式5-2.(24-25高二下，云南昆明期末)（多选）若点A,B在抛物线y2=4x上，0为坐标原点，直线0A ，OB,AB的斜率分别为k1,k2,k,且k1·k2=-1,设直线AB与x轴交于点D,过D作直线OB的平行 线交直线OA于点H,则() A.OD=4 B.△ODH面积的最大值为4 C.O、B、D、H四点共圆 D.(k1十k2)·k=-1 变式5-3.(24-25高二下.黑龙江大庆大庆中学.期末)设O为坐标原点，直线：y=kx+1与抛物线 C:x2=4y交于A,B两点，与C的准线交于点M.若MA=2A,点F为C的焦点，则△OAF与 △OBF的面积之比为() A. B.号 C. D.吉 么类型六、抛物线与圆结合 例6.(24-25高二下河南驻马店期末)（多选）已知抛物线C:y2=4x的准线为1，焦点为F,P为抛物线 C上的动点，过点P作⊙A:x2+(y-2)2=的一条切线，Q为切点，过P作1的垂线，垂足为B,则 () A.准线1与圆A相切 B.过点F,A的直线与抛物线相交的弦长为5 C.当点P,4,B三点共线时，1PQ1=号 D.满足PA=|PB的点P有且仅有2个 变式6-1.(24-25高二上山西期末)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线E:x2=2py经过点(4,2)， 圆F:x2+(y-2)2=1,过圆F的圆心的直线1与抛物线E交于点AD,与圆F交于点B,C,其中AB在 第一象限，若面+面=，则直线的斜率为 变式6-2.(54-25高二上陕西西安铁一中学.期末)如图所示，已知拋物线C1:y2=2px过点(2,4)，圆 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C2:x2+y2-4x+3=0.过圆心C2的直线1与抛物线C1和圆C2分别交于P、Q、M、N,则 |PM+9QN的最小值为() A.22 B.24 C.21 D.23 变式6-3.(24-25高二上新疆乌鲁木齐第101中学.期末)（多选)抛物线C:y2=4x的准线为1，P为C上 的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作1的垂线，垂足为B,则() A.1与⊙A有两个不同的交点 B.当P,A,B三点共线时，PQ=V15 C.当|PB|=2时，PALAB D.满足|PA=|PB的点P有且仅有2个 类型七、抛物线与双曲线结合 例7.(24-25高二下.江西乐平中学.期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F是双曲线等-y2=1 (a>0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为A,过A作抛物线准线的垂线，垂足为B,若△FAB是正 三角形，则p的值为() A.26 3 B.号 c. 0.25 3 变式7-1.(24-25高二上四川成都期末)已知抛物线x2=2py(p>0)和双曲线号-y2=1的公切线PQ (P是PQ与抛物线的切点)，与抛物线的准线交于Q,F为抛物线的焦点，若PQ=V2|PF,则抛物线 的方程是() A.x2=4y B.x2=6y C.x2=2v2y D.x2=2V3y 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式7-2.24-25高二上浙江杭州第二中学期末)已知双曲线C1:等器=1(a>b>0)的左，右焦点分 别为F1,F2,抛物线C2:y2=2px的焦点恰为F2,曲线C1与C2在第一象限的交点为P.若 PF1=|F1F2,则双曲线C1的离心率为 变式7-3.（多选）已知抛物线C1:y2=mx(m>0)与双曲线C2:x2.号=1有相同的焦点，点P(2,yo)在 抛物线C1上，则下列结论正确的有（) A.双曲线C的离心率为2 8.双曲线C,的渐近线方程为y=士号x C. m=8 D.点P到抛物线C1的焦点的距离为4 类型八、抛物线与椭圆结合 例8.(24-25高二上河南驻马店期末)抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C交于A,B 两点，过点A作一条与y轴平行的直线与直线BO交于点D(其中O为坐标原点)，若点D的轨迹与椭圆G: 器+詈=1交于BH两点，且EH=号，则椭圆G的离心率为(） A. c D.寺 变式8-1.(22-23高二上·浙江绍兴诸暨期末)圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点 有关如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的 焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面 由抛物线的一部分C1和一个“双孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆 C2:+号=1，RF2为C2的焦点，B为下顶点，F2也为C1的焦点，若由F1发出一条光线经过点B反射后 穿过一个小孔再经抛物线上的点D反射后平行于x轴射出，由F1发出的另一条光线经由椭圆C2上的点P反射 后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔√3，则 CoS∠BF1P= 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 变式8-2.(24-25高二上广东佛山期末)（多选）已知抛物线C:y2=2px(p>0)和椭圆 T:等+器=1(a>1)有相同的焦点F,且交于M,N两点，C的准线与r咬于P,Q两点，则() A.存在a<2,使△FPQ为等边三角形 B.存在a>1,使四边形PQMM为正方形 C.任意a>1,点M总在圆F:(x-1)2+y2=1外 D.任意a>2,椭圆上任一点总在圆F:(x-1)2+y2=1外 变式83.(24-25高二上黑龙江哈尔滨松雷中学校期末)（多选）已知椭圆C:+号=1的右焦点为F, 抛物线r以F为焦点，过F的直线！交抛物线r于A(xy)B(X2y2)两点，下列说法正确的是() A.若X1十X2=8,则AB=10 B.B下=4FA,直线1的倾斜角为45或135 C.若M(4,2),P为抛物线T上一点，则1PM|+|PF的最小值为y13 D.4|AF+BF的最小值为9 压轴专练 1.(24-25高二下河北邯郸涉县第一中学期末)已知实数a,b,则y(a-b)2+(号-b+2)了+等的最小值 为() A婴-专 9 c9+为 0.9+ 2.(24-25高二下广东深圳罗湖区·期末)在平面直角坐标系x0y中，点F为抛物线C:y2=2p(p>0)的焦 点，点M在C上，若cos∠OFM=寻，则M的横坐标为() A.号 B.号 c. 0.始 3.(24-25高二下，广东深圳人大附中深圳学校期末)（多选）设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线 m交C于A、B,过F且垂直于m的直线交l:x=-号于B,过点A作1的垂线，垂足为D,过点B作的垂线， 垂足为P,则正确的结论是() A.DE=PE B.AE=AB 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.存在直线m,使得AE·BE到=18D.对任意直线m,京+十京=守 4.(24-25高二下河北邯郸涉县第一中学期末)（多选)已知半圆01：(x-2)2+(y-4)2=4(y≥4)， 半圆O2与半圆O1关于y轴对称，焦点为F的抛物线C:x2=4y的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图 形Q,点M,N在Q的抛物线C部分上，点P在半圆O1或半圆O2上，则下列说法正确的是() A。若P在半圆01上，则P到直线0，P的距离设大值为2要+2 B.若P在半圆O2上，则PN+|FN的最小值为5 C.若MN=MF,则△PMN的面积的最大值为7 D.若P在半圆O1上，Q(1,1)是MN的中点，则P.P的最大值为4y10+号. 5.(24-25高二下安徽宣城期末)（多选）已知点F是抛物线y2=8x的焦点，AC,BD是过点F的弦且 AC⊥BD,直线AC的斜率为k,k>0,且AB两点在第一象限，则() A.0B.0i=-12 B.四边形ABCD面积的最小值为64 C.à+品=青 D.若AF·|CF到=64，则直线BD的斜率为-V 6.(24-25高二上·甘肃临夏州高中期末)（多选)己知抛物线C:y2=4y2x,点F是抛物线C的焦点，点P 是抛物线C上的一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.抛物线C的准线方程为x=V2 B.抛物线C的焦点到准线的距离为4V2 c.若PF列=4W2,则△P0F的面积为2V3 D.若=P,点N在y轴上，则FN|=3V2 7.(24-25高二上云南文山期末)（多选）己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，过点F的直线与 抛物线交于P(xy),Q(x2y2)两点点P在1上的射影为P1,点0为坐标原点，则下列说法正确的是() A.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B.以PQ为直径的圆与x=0相切 C.设M(0,1),则PM|+1PP1≥V2 D.若PQ1=8,则△0PQ的面积为2y2 8/8