专题03 抛物线的方程及其几何性质五大题型（专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题03 抛物线的方程及其几何性质五大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线的定义与标准方程 1 题型二、抛物线的焦点与准线几何性质 2 题型三、抛物线的焦半径公式 4 题型四、抛物线中的距离最值问题 5 题型五、抛物线中的参数及相关范围问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、抛物线的定义与标准方程 1．已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 2．已知为拋物线上一点，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点到抛物线的准线的距离为，则 . 6．已知M是抛物线C：上一点，若点M到C的准线的距离为4，到C的对称轴的距离为，则C的焦点坐标为 ． 7．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 8．在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 9．已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为5，求的值，并写出此抛物线的方程. 题型二、抛物线的焦点与准线几何性质 1．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 2．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 3．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 6．（多选）已知为坐标原点，是抛物线的焦点， 是抛物线上的点，直线的斜率为1且满足 ，则（    ） A． B．若 ，则 C． D． 7．已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 8．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 9．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 10．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 11．抛物线的准线方程是，则实数 . 12．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为 . 题型三、抛物线的焦半径公式 1．若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 5．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 6．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 8．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 9．已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 10．已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 题型四、抛物线中的距离最值问题 1．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 2．在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 4．已知点M在抛物线C：上，且点M到准线的距离与到直线l：的距离之和的最小值为，则C的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 6（多选）．已知抛物线方程为，点为抛物线上任意一点，则下列命题正确的为（    ） A．抛物线的准线方程为 B．点到点距离的最小值为 C．经过坐标原点与抛物线相切的两条切线互相垂直 D．点到直线的距离最小值为 7（多选）．设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 8（多选）．已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ） A． B．当时， C．可以为 D．周长的最小值是11 9（多选）．已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 10．已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 11．已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 题型五、抛物线中的参数及相关范围问题 1（多选）．已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．在上存在点，使得为正三角形 2（多选）．已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若方程C表示椭圆，则 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 3（多选）．已知直线与抛物线交于不同的两点为抛物线的焦点，点是抛物线上异于的一点，弦的中点为，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，点在抛物线上 C．若，则m的取值范围为 D．若，则△ABC 面积的最大值为 4．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与在第一象限内相交于点，过点作于点，连接交于点，若，则的值为 ． 5．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． (1)求的方程； (2)设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 6．已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 7．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 8．已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值. 1．已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（   ） A．21 B．13 C．10 D．9 5（多选）．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，则（   ） A． B．直线与抛物线相切 C． D． 6（多选）．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 7（多选）．已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线E的方程为 B．直线BC与圆M相切 C．的最大值为1 D．过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 8（多选）．设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 9．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 抛物线的方程及其几何性质五大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线的定义与标准方程 1 题型二、抛物线的焦点与准线几何性质 6 题型三、抛物线的焦半径公式 14 题型四、抛物线中的距离最值问题 20 题型五、抛物线中的参数及相关范围问题 30 B综合攻坚・能力跃升 题型一、抛物线的定义与标准方程 1．已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据抛物线的方程，求出焦点，即可得出焦点到轴的距离. 【详解】因为抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以焦点到轴的距离为. 故选：C 2．已知为拋物线上一点，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入求出抛物线方程，进而可得准线方程. 【详解】依题可得，则，所以的准线方程为. 故选：B. 3．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 4．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 5．已知点到抛物线的准线的距离为，则 . 【答案】 【分析】由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 6．已知M是抛物线C：上一点，若点M到C的准线的距离为4，到C的对称轴的距离为，则C的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】设，由题意知，， 代入抛物线方程，得，整理得， 解得（舍去），所以C的焦点坐标为. 故答案为：. 7．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 8．在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 【答案】 【分析】根据给定条件，借助几何关系及抛物线定义求出点的轨迹方程，再按是否在点的轨迹内分类求解. 【详解】延长到使，由，得四边形为平行四边形， 又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线， 则，又，，于是的轨迹为抛物线：， ①在内部，过作轴交于点，而轴， ，为定值，则当共线时，有最小值， 设，，而，整理得； ②在及外部，当共线时，有最小值3，即， 设，则，而，整理得 所以曲线的方程为：． 故答案为： 9．已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为5，求的值，并写出此抛物线的方程. 【答案】答案见解析 【分析】对抛物线的开口方向分四种情况进行讨论，并设出抛物线方程的标准形式，利用抛物线的定义可求得的值，即可得答案； 【详解】①若抛物线开口方向向下， 设抛物线方程为， 这时准线方程为， 由抛物线定义知，解得， ∴抛物线方程为， 这时将点代入方程，得. ②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为，从知准线方程可统一成的形式，于是由题设有， 解此方程组可得四组解 ，，，. ∴，；，；，； ，. 综上所述：所求结果为：，； ，；，； ，；，. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 题型二、抛物线的焦点与准线几何性质 1．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 2．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 3．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D 【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论. 4．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【详解】方程，得或， 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 5．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 6．（多选）已知为坐标原点，是抛物线的焦点， 是抛物线上的点，直线的斜率为1且满足 ，则（    ） A． B．若 ，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线的斜率求得，再结合抛物线定义逐项判断得解. 【详解】依题意，，直线的斜率， 解得，数列是以2为首项，4为公差的等差数列， 则， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，，直线：与轴交于点， 因此的面积，C正确； 对于D，由对称性知，要证， 即证， 即证， 而， 同理， 由数列是等差数列知， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的对称性，把转化为是求证的关键. 7．已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据曲线联立求根判断①，直线和曲线联立结合判别式判断④，根据点代入得出曲线的对称性判断②③即可. 【详解】因为曲线：，：， 对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，①正确； 对于②：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，②错误； 对于③：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误； 对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④正确． 故答案为：①④. 8．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 9．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【答案】或 【分析】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 10．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【答案】 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，，所以，则， 所以，则都是等腰直角三角形. 因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故答案为： 11．抛物线的准线方程是，则实数 . 【答案】/ 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数. 【详解】抛物线化为标准方程：， 其准线方程是，而 所以 ，即 ， 故答案为： 12．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 题型三、抛物线的焦半径公式 1．若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义可得解. 【详解】由抛物线方程为， 则其准线， 又在抛物线上，则，且到直线的距离， 由抛物线定义可知， 故选：C. 2．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线定义可知，，，由题意可得，再把点代入求参即可得出抛物线方程. 【详解】由抛物线定义可知，，， 因为，所以，解得，即， 因为在上，所以，解得. 故选：B 3．已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 4．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】D 【分析】先由直线的方程求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点，从而求出，再由焦半径公式即可得解. 【详解】由，令，得，所以，所以，所以抛物线方程为，准线方程为：， 由，令，得，所以， 设，所以， 所以， 故选：D.    5．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 6．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 7．某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    8．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 【答案】 【分析】先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 9．已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 10．已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵ 同理，联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴ 又∵，∴ 又∵ ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 题型四、抛物线中的距离最值问题 1．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 2．在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆上点的距离最值问题，结合图象，可得答案. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上，此时圆心为，半径． 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为． 故选：B． 3．已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】C 【分析】首先根据中点求出点的横坐标的关系，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将的表达式写出来，最后根据基本不等式的性质可求出 最大值. 【详解】因为点在抛物线上， 所以设，可得，， 因为线段的中点到轴的距离为2， 所以. 因为焦点，准线方程为，所以 由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得 ，所以 因为的横坐标均大于0，所以， 所以的最大值为4. 所以当时，即时，取最大值为9. 故选：C. 4．已知点M在抛物线C：上，且点M到准线的距离与到直线l：的距离之和的最小值为，则C的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，结合抛物线定义可得点M到准线的距离与到直线l的距离之和的最小值等于点F到直线l的距离，结合点到直线的距离公式列方程求得的值即可得解. 【详解】设抛物线C的焦点为． 如图，点M到准线的距离为，点M到直线l的距离为． 由抛物线的定义得，则， 故点M到准线的距离与到直线l的距离之和的最小值等于点F到直线l的距离， 所以，解得，所以C的焦点坐标为． 故选：A. 5．已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 6（多选）．已知抛物线方程为，点为抛物线上任意一点，则下列命题正确的为（    ） A．抛物线的准线方程为 B．点到点距离的最小值为 C．经过坐标原点与抛物线相切的两条切线互相垂直 D．点到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【分析】由抛物线的性质结合曲线平移可得A正确；由抛物线的性质可得B正确；由导数的意义结合两直线垂直斜率关系可得C错误；由导数的意义结合点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】 对于A，，抛物线方程可化为， 所以此抛物线由向右平移两个单位，向上平移三个单位得到， 又的准线为，所以新抛物线的准线方程为，故A正确； 对于B，由A可得抛物线的焦点坐标为， 因为点为抛物线上任意一点，由抛物线的性质可得当点为抛物线顶点时，距离最小，最小距离为，故B正确； 对于C，，设切点为， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 代入原点可得，解得或， 所以两条切线的斜率分别为，故斜率之积为，故C错误； 对于D，当过点的直线和直线平行时，点到直线的距离最小， 设，由导数的意义可得，此时， 最小距离为，故D正确； 故选：ABD. 7（多选）．设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出的中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为． B（√）如图所示，过作准线于点，则， 故， 当且仅当，，共线时（即图中），最小， 最小值为到准线的距离4.    C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为． D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切． 故选：ABD 8（多选）．已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ） A． B．当时， C．可以为 D．周长的最小值是11 【答案】ABD 【分析】对于A项，设直线AB的解析式为，联立，由抛物线的定义及韦达定理求解；对于B项，设点到直线AB的距离为，则，，进行求解；对于C项，由进行判断；对于D项，由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，进行求解． 【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去得， ． 对于A，由抛物线定义知，，， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，设点到直线AB的距离为，则，，即， 解得或（负值舍去）， 则．故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6， 又周长的最小值是11，故D正确． 故选：ABD. 9（多选）．已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D． 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：定点到圆上点的距离的最值利用定点到圆心的距离加减半径可得，抛物线上的动点定点的距离与到焦点的距离之和的最小值可根据抛物线的定义转化为定点到准线的距离． 10．已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意，设点，根据两点间距离公式将所求式化成关于的二次函数，利用其配方法即可求得最小值. 【详解】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 11．已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意，由抛物线的定义可得； (2)由抛物线的性质，当三点共线时，即最小； (3)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理与弦长公式即可得. 【详解】（1）（1）由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． （2）设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）易得的斜率不为0，设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为．    题型五、抛物线中的参数及相关范围问题 1（多选）．已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．在上存在点，使得为正三角形 【答案】BC 【分析】由抛物线的定义，结合题意先求得，判断选项A；由抛物线的方程求得焦点的坐标，判断选项B；将代入抛物线方程，求得，判断选项C；假设在上存在点，使得为正三角形，求出点的坐标，求得的长度，判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为，准线为. 对于AB，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以，解得. 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对于C，因为，所以抛物线. 因为点在抛物线上，所以，所以，所以选项C正确； 对于D，由C知，假设在上存在点，使得为正三角形，则. 设，则，所以，所以. 因为点异于点，所以点. 此时，，不等于，所以不是正三角形. 所以假设错误，在上不存在点，使得为正三角形，所以选项D错误. 故选：BC. 2（多选）．已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若方程C表示椭圆，则 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据直线、椭圆、双曲线和抛物线的方程特征和要求列出关于的不等式，求解后逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若方程C表示椭圆，则由可得， 需使，解得且，故A错误； 对于B，当时，由可得， 则，，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于CD，由上分析，对于方程， 当时，表示焦点在y轴上的双曲线，当时表示椭圆， 当时，表示一个圆，当时，表示轴，当时，表示y轴， 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 3（多选）．已知直线与抛物线交于不同的两点为抛物线的焦点，点是抛物线上异于的一点，弦的中点为，则（    ） A．点的坐标为 B．当时，点在抛物线上 C．若，则m的取值范围为 D．若，则△ABC 面积的最大值为 【答案】BD 【分析】利用抛物线的方程可判断；联立直线与抛物线的方程，得到一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式得到的坐标，进而可判断；由可求出点的坐标，根据点在抛物线上得到，再结合根的判别式可求出的取值范围，进而可判断；由得，利用弦长公式、点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式得到面积的表达式，构造函数，利用导数求解函数的最大值，进而得到的最大值，即可判断. 【详解】对于：由得，故点的坐标为，故错误； 对于：设， 由，得， 所以，， 则， 故， 当时，，显然在抛物线上，故正确； 对于：设，由得， 故，又， 所以，故，则， 由，得， 又因为点是抛物线上异于的一点， 当时，点与点或点重合，所以， 所以，故错误； 对于：由易得不重合， 连接，则， ， 令， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故面积的最大值为，故正确. 故选：. 4．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与在第一象限内相交于点，过点作于点，连接交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线的倾斜角为，则，求出，再结合可求得结果. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，    则，轴． 因为，所以． 设直线的倾斜角为，则， 所以， 解得或（舍去）， 所以，所以， 所以，即． 故答案为： 5．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． (1)求的方程； (2)设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 【答案】(1) (2)①2   ②证明见解析 【分析】（1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）①根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；②利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. 【详解】（1）当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ②记直线与轴的交点为，由①可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分. 6．已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据准线方程求出，即可求出抛物线的方程. （2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）设，用表示，再借助二次函数的性质求出. 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关.    （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 7．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为.    8．已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由抛物线C上的点到准线的最小距离为2，所以，即可求得抛物线的方程； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，得到直线的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得， 故抛物线的方程为. （2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0. 设直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，联立方程组消去，整理得.设点.，则. 因为为弦的中点，所以.由，得，故点.同理可得. 故，. 所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为32.    1．已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 2．一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论． 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 抛物线焦点到顶点的距离为． 故选：D． 3．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线方程结合已知条件设点B，C，得出向量，利用等腰直角的斜边为，得出两向量垂直，且向量模长相等，进而列方程组求解． 【详解】抛物线的参数方程为， 设点（，不与重合），点（）， ， 等腰直角的斜边为，，， ， ，， ， 转化为， ，， 等式化简为，即，解得或（舍去）， ，故点的横坐标为3，故B正确． 故选：B． 4．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（   ） A．21 B．13 C．10 D．9 【答案】A 【分析】分别设直线的方程为，直线的方程为，通过联立方程求解出，点的坐标，利用抛物线的定义表示出待求式，并利用均值不等式求解最小值. 【详解】由于A、B是抛物线上异于原点O的两点，且， 设直线的方程为，直线的方程为， 则，得：，解得：或. 由此可得：. 同理，得：，解得：或. 由此可得：. 根据抛物线的定义可得： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 5（多选）．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，则（   ） A． B．直线与抛物线相切 C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，将点代入，即可求解；对于B，利用直线与抛物线位置关系的判断方法，即可求解；对于C，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，根据条件得，由根据系数的关系有且，，再求出，即可求解；对于D，利用选项C中结果得，即可求解. 【详解】对于选项A，因为点在抛物线上， 所以，解得，所以选项A错误； 对于选项B，因为抛物线，直线的方程为， 联立方程，消得，则，即与只有一个交点， 所以直线与抛物线相切，故选项B正确； 对于选项C，由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，消去得，则，即，且，， 由题意可知，，， 则， 又因为，则，所以，故选项C错误； 对于选项D，因为 由选项C知，， 则， 因为，所以，故选项D正确，    故选：BD. 6（多选）．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据抛物线定义判断即可；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，所以，正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 因为（证明见后）， 所以，即， 因为抛物线的焦点弦中通径最短，且直线的斜率不存在时取得最小值， 所以直线的斜率不存在时，的面积最小， 又，所以此时取得最小值， 所以，正确； 对于D，当直线的斜率不存在时，， 满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以，所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， ，，所以， 所以， 因为，，所以， 因为，所以， ，所以， 同理， 令，则， 因为，所以， 所以， 所以， 其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 7（多选）．已知直线交抛物线于P，Q两点，且，A，B，C是抛物线E上三点，直线AB，AC与圆相切于D，G两点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线E的方程为 B．直线BC与圆M相切 C．的最大值为1 D．过点A的直线与圆M交于T，H两点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A项，利用，所以求解；对于B项，设，则，所以直线．同理可得，直线，直线．再由直线与圆相切求解；对于C，设，则进行求解；对于D项，由切割线定理，得进行求解． 【详解】对于A：在中，当时，， 因为，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B：设，则， 所以直线． 同理可得，直线， 直线． 因为直线AB，AC与圆M相切， 所以圆心M与AB，AC的距离， 所以， 所以为方程的两根， 所以， 所以圆心M与BC的距离， 所以直线BC与圆M相切，故B正确； 对于C：设，则． 又因为，所以． 又因为， 当且仅当时取等号，所以，故C错误； 对于D：由切割线定理，得， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选ABD． 8（多选）．设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 【答案】AD 【分析】由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D. 【详解】如图，由题意得焦点为，准线为， 设的坐标为，由为的中点得，，即. 由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确； 由选项A知抛物线方程为，，则，故，， 所以点的坐标为或.故选项B错误； 的面积为.故选项C不正确； 由，或知， 直线的方程为，即.故选项D正确. 故选：AD 9．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求得，根据，结合抛物线的定义，求得，即可求解； （2）设，设直线，直线，联立方程组，求得和，化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：当直线垂直于轴时，由点点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. （3）解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即.    1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $