专题08 双曲线、抛物线解答题汇总（期末压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08双曲线、抛物线解答题汇总 目录 专题08双曲线、抛物线解答题汇总 双曲线弦长问题 类型二、双曲线面积问题 类型三、双曲线定点问题 类型四、双曲线定值问题 类型五、双曲线轨迹方程问题 类型六、双曲线角度问题 类型七、双曲线三点共线问题 类型八、双曲线斜率问题 类型九、抛物线中的弦长问题 类型十、抛物线中的面积问题 类型十一、抛物线过定点问题 类型十二、抛物线定值问题 压轴专练 典例详解 类型一、双曲线弦长问题 设直线y=:+m交双曲线云一疗 >,b>)于点(x)x两点，则 P0=Vx-x)'+(0y-y2) V6-6PI+(= x-x2 =+1x-x 同理可得卡+京男-%*0 这里x的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： x-x2卢Vx+,)}-4x y+y:)2-4y2 例1.24-25高二下广东深圳大学附属中学期未已知曲线C:孚号=1b≠0). (1)若b=4,求曲线C的离心率； (2)若曲线C的左，右顶点为AA2,P是C上第一象限上动点，kP4,·kpA,=-吉， (i)若tan∠A1PA2=-3,求点P的坐标； (iⅱ)设直线A1P与定直线1：x=6的交点为M,直线MA2与曲线C的另一个交点为Q,求PQ的最小值. 变式11.2425高二上安徽鼎尖名校期末已知曲线C1:等+器=1(a>b>0)的离心率为方，FF2分 别为C1的左、右焦点，过点F1的直线1与C1交于M,N两点，△MF1F2面积的最大值为V5,点A为C1的左 1/14 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 顶点 (1)求曲线C1的方程： (2)证明：k4Mk4w为定值； (3)已知双曲线C2:等-写-=1，若AM,AN所在直线与双曲线C2的左支分别交于P点，Q点（均异于A点）， 过点A作PQ的垂线，垂足为G,证明：存在点H使得引GH为定值 变式1-2.2425商二上河南焦作期末已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),右 A 顶点为A,直线：x=1与x轴交于点B,且园=a. (1)求C的方程： (2)若G为1上不同于点E的动点，直线GF交y轴于点H,过点G作C的两条切线GP,GQ,分别交y轴于点P ,Q,交x轴于点M,N, ①证明：PH=QH|: =(5表示面积》： ②证明：SSGHF 变式1-3.(24-25高二上广东深圳罗湖区期末)在直角坐标系x0y中，已知点C1(-2,0),C2(2,0),平 面上的动点P满足|PC1=|PC2+2,记P的轨迹为E. (1)求E的方程： (2)设直线PC2与E的另一个交点为Q (i)证明：c+Ga为定值： (ii)求△PC1Q面积的最小值. 方类型二、双曲线面积问题 例2.(24-25高二下潮南郴州期末)已知双曲线等器=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,且右焦 点F到这条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程： (2)O为坐标原点，过点F的直线1与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x 轴的上方，B与D在x轴的下方.设S1、S2分别为△A0C的面积和△BOD的面积，求S1十S2的最大值， 变式2-1.24-25商二下安徽期末已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为PP2,且 |FF2=4. (1)求C的实轴长与虚轴长之积的最大值 (2)若过点F的直线与C的右支交于P,Q两点，直线PF1与y轴交于点A△PAF的内切圆与边AF2相切于 点B,且AB=1 (i)求C的方程； 2/14 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (ii)记△PF1F2的内切圆面积为S1△QF1F2的内切圆面积为S2,求S1+S2的取值范围 变式22.(2425高二下广东深圳罗满区期末已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)经过(4,0)， (0,3),(4W2,-3)三个点中的两个，若0为原点，点A在C上，点B在直线x=-号上，且0A10B (1)求C的渐近线方程： (2)求△A0B面积S的最小值： (3)证明：直线AB与定圆相切，并求出该定圆的方程， 变式2-3.24-25高二下云南红河州、文山州已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的左焦点为F,C的 条渐近线方程为2x+y=0,其顶点到渐近线的距离为2. (1)求C的方程； (2过F的直线与C交于A,B两点，0为坐标原点若△0AB的面积为20，求直线的方程， 3 方类型三、双曲线定点问题 例3.24-25高二下河南南阳六校期未)已知F,F2分别是双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左右焦 点，A是C的右顶点，AF1=3,且C与椭圆等+y2=1有相同的焦点. (1)求C的方程： (2)若直线：y=kx+1与C的公共点个数为1，求k的值： (3)己知M,N是C上不同的两点，直线AM,AN的斜率分别为k1k2A不在直线MN上，且k1k2=3,证明： 直线MN过定点， 变式31.(24-25高二下湖北七州期末)已知双曲线C:等后=1(a>0,b>0)的离心率为2，且过点 (2,3) (1)求双曲线C的方程； (2)设直线：y=kx+m与双曲线C交于P,Q两点，若以PQ为直径的圆经过双曲线C的左顶点A(P,Q均 不与点A重合).求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； (3)在(2)的条件下，若直线1分别与两渐近线交于M,N两点，问是否存在实数k使得P,Q是线段MN的两 个三等分点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由。 变式3-2.24-25高二下云南部分校期末已知双曲线C:号-器=1(b>0)的离心率为2,0为坐标原点， 过点O的直线交C于P,Q两点，其中点P在第一象限. (1)求C的标准方程 (2)设|0P|=5. ①求直线的方程 ②过点P作斜率分别为k1yk2的两条直线l112,且直线1与C交于另一点A,直线l2与C交于另一点B.若 k1十k2=3,证明直线AB过定点，并求该定点坐标， 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式33.(24-25高二上安徽蚌埠固镇县毛钼厂实验中学期末已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的 右焦点为F(c,0),离心率为2，直线x=二与双曲线C的一条渐近线交于点P, 且IPF=5 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A为双曲线C的左顶点，M,N是C右支上的两动点，设直线AM,AW的斜率分别为k1,k2,若 k1·k2=-2,试问：直线MW是否经过定点？证明你的结论 类型四、双曲线定值问题 例4.已知双曲线C:等斧=1(a>0,b>0)过点2,3)，一条渐近线方程为5x-y=0, (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点P为双曲线左支上一点，A(t,0)(t>0),求PA的最小值： 3)过点F2,0)的直线与双曲线C的右支交于M,N两点，求证：M十忘为定值 变式4-1.2425高=二下贵州黔南州期末已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=V3x,实轴长为4. (1)求双曲线C的标准方程 (2)若直线：y=kx+m与双曲线C交于不同的两点A,B(点A,B均在第一象限，且点A在点B上方)， 直线与直线y=x交于点N,O为坐标原点，且∠AON=∠BON,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2 ()判断k1·k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 (ii)若m=-1,求k的值 变式42.(24-25高二下·云南长水教育集团)已知两条平行直线11,12分别与双曲线 C:等器=1a>0,b>0)的左、右两支相切，且4交C的两条海近线于A,B两点，2交C的两条渐近线 于D,E两点，点A,D都在x轴上方，当且仅当l1与x轴垂直时，|AD|=V2AB1=4, (1)求双曲线C的方程； (2)证明：四边形ADEB的面积为定值82， 变式43.24-25高二上甘肃甘南藏族合作第一中学期末)已知双曲线B:等-器=(a>0,b>0)的左顶 点A(2,0),一条奇近线方程为y=号x (1)求双曲线E的标准方程； (2)设双曲线E的右顶点为B,P为直线x=-1上的动点，连接PA,PB交双曲线于M,N两点（异于A,B), 记直线MN与x轴的交点为Q, ①求证：Q为定点： ②直线MN交直线x=-1于点D,记QD=QM,Qi=uQ衣，求证：+u为定值. 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三类型五、双曲线轨迹方程问题 1.定义法求轨迹方程 2.直接法 3.代入法（相关点法） 4.点差法 例5.(2425商二下渐江杭州上城区等5地期未)已知双曲线C:器器=1(a>0,b>0)的两条渐近线为 y=±x,且经过点(2，V3) (1)求双曲线C的方程； (2)FF2分别是双曲线C的左右焦点，过双曲线C上一点P(xoy,)作双曲线的切线1(1的方程为 等.=1)y轴于点Q: (i)证明：FF2P,Q四点共圆； (i)当x>0时，过点P作的垂线与∠PFF2的角平分线交于点M,求点M的轨迹方程. 变式51.(24-25高二上潮南株洲第二中学期末)已知双曲线号号=1与直线： y=kx+m(k≠士V2)有唯一的公共点M,过点M且与1垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x0), B(0,y)两点. (1)求直线AB的方程（用k,m表示）； (2)当点M运动时，求点P(x,y)（P的横坐标为A的横坐标，P的纵坐标为B的纵坐标)的轨迹E的方程； (3)已知点Q(32,0),若直线ST不过点Q且与曲线E相交于S,T两点，并且有.Q7=0,问是否存在 直线ST使得△QST的面积为72？若存在，求出此时直线ST的方程；若不存在，请说明理由， 变式5-2.(24-25高二上海南)已知点A在圆心为C的圆x2+y2+4x=0上运动，点B(2,0). (1)求AB|的取值范围. (2)若动点M在线段CA的延长线上，且满足|MA=|MB|,点M的轨迹为E. (i)求E的方程： (i)过点D(-1,0)作两条相互垂直的直线！1l2,分别与E交于点P,Q,证明：直线PQ过定点. 变式5-3.(24-25高二上湖南长沙第一中学期末)在平面直角坐标系x0y中，F(V3,0)为双曲线C1: 等-器=1(a>0,b>0)的右焦点，以F为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求C1的方程： (2)记C1的左、右顶点为A,B,弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M,其轨迹为曲线C2 (i)求C2的方程； (ⅱ)直线l1,2是曲线C2的任意两条切线，且l1//12,试探究在x轴上是否存在定点G,满足点G到1，l2的 距离之积恒为1？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 类型入、双曲线角度问题 例6.(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学期末)椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在 椭圆C1:+y2=1上有一点P(x0yg),F1F2分别为其左、右焦点，过P作直线！与C1切于P,则直线 PF1、PF2与的夹角大小相等. 4求证：的方程为：警+yy。=1, (2如图2：在(1)的基础上，双曲线C2的离心率为且与C1有相同焦点，P不与C1、C2的交点重合，1与 C2交于A、B两点，过A、B分别作C2的切线交于Q 求证：(i)AQ⊥BQ (i)∠PFQ=∠PQF2 图1 图2 变式6-1.(23-24高二上江西部分重点中学期末)在平面直角坐标系x0y中，双曲线C: 器等=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为2x±5y=0,焦距为2V万， (1)求C的方程： (2)如图，点A为C的下顶点，点P在y轴上（位于原点与上顶点之间），过P作x轴的平行线1，过P的另一条 直线交C于G,H两点，直线AG,AH分别交！于M,N两点，若∠ANM+∠AOM=π，求P的坐标. N 变式6-2.24-25高二上四川绵阳三台中学期末)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点为 6/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F1、F2,虚轴长为4y2,离心率为y2,过C的左焦点F1作直线1交C的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程： (2)若|AF1=4V2,求∠F1AF2的余弦值； (3)若M(-2,0),试问：是否存在直线1，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由， 变式63.(23-24高二上陕西西安高新第一中学已知双曲线C:等·=1(a,b>0)的左、右焦点分别为 F1F2,左顶点为A-2,0),点M为双曲线上一动点，且MF1+|MF2的最小值为18,0为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程： (2)如图，已知直线1：x=m(0<m<2与x轴交于点T,过点T的直线交双曲线C右支于点B,D,直线AB ,AD分别交直线1于点P,Q,若tan∠APQ=tan∠QOT,求实数m的值 类型七、双曲线三点共线问题 例7.24-25高二上辽宁实验中学等五校期末)双曲线H:号-号=1中垂直于实轴的动弦MN,A1,A2为 双曲线的两个顶点，直线NA1与MA2交点的轨迹为椭圆C (1)求椭圆C的方程； (2)P(xoy。)且(xo≠0，y。≠O)为椭圆C上一点，E,F为椭圆C两个动点，直线PE的斜率和直线PF的 斜率互为相反数，P点关于x轴的对称点为P1,Q为EF中点，O为坐标原点证明：O,Q,P1三点共线. V VA P 变式7-1.(2-23高二下甘肃白银靖远县第二中学期末)已知双曲线C:等三=1(a>0,b>0)经过点 P(4,2),双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为2. (1)求双曲线C的方程； (2)已知Q(0,-2,D为PQ的中点，作PQ的平行线1与双曲线C交于不同的两点AB,直线AQ与双曲线C交于 7/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 另一点M,直线BQ与双曲线C交于另一点N,证明：M,N,D三点共线. 变式7-2.(24-25高二上海南定安县定安中学期未)已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的一条渐近 线的斜率为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1， (1)求双曲线C的方程： (2)已知直线！（斜率存在且不为0）与双曲线C交于M,N两点，点M关于x轴的对称点为M,若M,F, N三点共线，证明：直线经过x轴上的一个定点， 变式7-3.2223高二上福建龙岩期末已知F(4,0)为双曲线C:等=1(a>0,b>0)的右焦点，点 A(4,6),P(xy1)Q(x2y2)在C上. (1)若直线AP,AQ的斜率之和为0，求直线PQ的斜率； (2)若x1>x2>0,y,>0,过F的直线划与C的两条渐近线分别交于M,N两点，PQ/MN,过P且斜率为 V3的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点G,若|GM=|GN,求证：G,M,N三点共线。 左类型八、双曲线斜率问题 例8.(25-26高二上陕西西安交通大学附属中学期中)已知双曲线x2-y2=1与直线 1:y=kx+m(k≠士1)有唯一的公共点P(x0yo),过点P且与直线！垂直的直线分别交x轴、y轴于 M(x,0)、N(0,y)两点.当点P运动时，点Q(x,y)的轨迹为曲线Γ (1)当k=V2时，求点P的坐标： (2)求曲线r的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线x2-y2=1推广到双曲线x2-y2=n(n>0),你 能得到什么相应的结论？（只需写出推广的结论，不需要证明）· (3)设点T(-2,0),若过点(6,0)的直线与曲线r的右支交于A、B两点，证明：直线TA和直线TB的斜率乘 积为定值 变式81.(24-25高二上山东东营期未)已知双曲线C:器-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R1, F2,且FF2=2V5,点(V2,2)在双曲线c上. (1)求双曲线C的方程； (2)设双曲线C的左右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线1交双曲线C于点M,N(M在第一象限)，记 直线AM,B的斜率分别为k1,k2,判断安是否是定值，若是定值，请求出此定值；若不是定值，请说明理 由. 变式82.(24-25高二上江苏南京第一中学期末)已知双曲线C:￥-器=1(a>0,b>0)的一条渐近线方 程为y=3x,且过点(2,3)设A,B分别是C的左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的两点。 (1)求C的方程； (2)若直线MN过点P(3,0),且MN的斜率为2，求MP-PN的值； 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若3k1+k2=0,求证：直线MN恒过定点 变式83.23-24高二上山东日照期末已知双曲线C:器等=1(a>0,b>0的实轴长为4，焦距为 4y5. (1)求双曲线C的方程； (2)记C的上、下顶点分别为A1,A2,过点H(0,-4)的直线与C的下支交于M,N两点，M在第四象限， 直线NA与MA2交于点Q,设直线QM,QN, QH的斜率分别为k1,k2,k,证明：言+忘=云， 类型九、抛物线中的弦长问题 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公 式AB=x1|十x2十p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代 入”等解法 [注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 例9.(24-25高二下.河南安阳滑县部分学校期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线 交C于A,B两点，过F且垂直于AB的直线交抛物线C的准线I于点E,A,B在直线！上的射影点分别为P, Q,AB的最小值为6 (1)求抛物线C的标准方程； (2①求证：|PE=EQ: ②求|ABE|·|BE|的最小值 变式9-1.(24-25高二上浙江杭州期末)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,直线 I:x=my+3交抛物线E于A,B两点 (1)求抛物线E的方程； (2)若|AB=4y15,求m的值； (3)若抛物线E上存在两点C,D关于直线1对称，求m的取值范围 变式9-2.(2425高二上山东滨州期末)已知抛物线C:x2-2py(P>0)的准线与精圆x2+号=-1相交 所得弦长为5 (1)求抛物线C的方程； (2)若圆M过点A(O,2),且圆心M在抛物线C上运动，BD是圆M在x轴上截得的弦.求证：弦BD的长为定 值； (3)过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点G,H和点R,S,求四边形GRHS面积的 最小值 变式9-3.(24-25高二上河北张家口期末)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点P(0,t)(t>0)的直 线1与抛物线C交于AB两点，抛物线C在点AB处的切线分别为l112,其斜率分别为k1k2,交点为Q, 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当直线1过焦点F时，证明：112互相垂直. (2)当t=2时，设弦AB的中点为M, ①点Q是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 、Nq ②求局的最大值。 类型十、抛物线中的面积问题 例10.(24-25高二下.河南南阳期末)已知抛物线M:y2=2Px(p>0)上一点(1，y0)到抛物线M的焦点 的距离为2，圆E:(x-a)2+y2=r2(a>0,r>0),如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次 交于A,B,C,D四点，T(-1,0). (1)求抛物线M的方程； (2)当a=1,r=1,作D关于轴的对称点N,求证：T,A,N三点共线： 3)设0为坐标原点，当a=4,r=2W3时，直线0B,0C分别交抛物线M于P,Q(点P,Q不与0重合)， 91 记△0BC面积为S1,△OPQ面积为S2,求3的最大值。 变式10-1.(24-25高二下，贵州六盘水期末)如图，抛物线C:2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的 距离为3，点P(s,t),Ao(xoy)是C上的两点，且s-xo=4. (1)求C的方程； (2)过线段PAo的中点M1作x轴的垂线交C于点A1,过线段PM1的中点M2作x轴的垂线交C于点A2,过线段 PM2的中点M作x轴的垂线交C于点A3,,依此操作n次，记△PAn1A的面积为Sm ①求△PAA1的面积： ②证明： <9 M M 变式10-2.(24-25高二上江西上饶期末)已知抛物线T:x2=2py(P>0)的焦点为F,点M(2,号)在抛 10/14 专题08双曲线、抛物线解答题汇总 目录 专题08 双曲线、抛物线解答题汇总 类型一、双曲线弦长问题 类型二、双曲线面积问题 类型三、双曲线定点问题 类型四、双曲线定值问题 类型五、双曲线轨迹方程问题 类型六、双曲线角度问题 类型七、双曲线三点共线问题 类型八、双曲线斜率问题 类型九、抛物线中的弦长问题 类型十、抛物线中的面积问题 类型十一、抛物线过定点问题 类型十二、抛物线定值问题 压轴专练 类型一、双曲线弦长问题 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 例1．(24-25高二下·广东深圳大学附属中学·期末)已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 变式1-1．(24-25高二上·安徽鼎尖名校·期末)已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证. （3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证. 【详解】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得， 由的最大值为，得，而，解得，，， 所以曲线的方程为. （2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，， 由消去得，则，， 则 ， 所以为定值； （3）    设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得， 由消去得， ，且，，， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点使得为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 变式1-2．(24-25高二上·河南焦作·期末)已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. (1)求的方程； (2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由题意建立方程求得，进而求得，即可得解. （2）①设，设出切线方程并与双曲线联立，根据判别式及韦达定理得，求出直线的方程及的坐标，进而求出点P，Q坐标，通过计算中点坐标证明即可； ②根据三角形面积公式，将所证等式化为线段长度的比例关系，通过①中的坐标，计算相关线段长度，即可证明. 【详解】（1）由题可知，由直线与轴交于点，且， 可得，若，则，即，无解， 若，则，即， 则，故的方程为. （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线的斜率存在且不等于0和， 设切线的方程为， 与的方程联立，消去，整理得， 由， 整理得， 设切线，的斜率分别为，，则， ①由题可知直线的方程为， 令，得， 因为，的方程为，，所以，， 所以， 故是的中点，即. ②因为，，，的高相等， 所以，即. 由上述过程可知，，，. 所以，，，. 又，所以， ， 所以，即. 【点睛】思路点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 变式1-3．(24-25高二上·广东深圳罗湖区·期末)在直角坐标系中，已知点，平面上的动点满足，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点为． （i）证明：为定值； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）12 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定E的方程； （2）（i）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和焦半径公式表示，化简计算即可证明； （ii）由三角形面积公式可得 ，利用换元法（令）可得，结合导数的应用求出的最小值即可. 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以的方程为； （2）设直线方程为， ，消去得， 则，，， 又， 由焦半径公式，得， 所以 ，即证； （ii） ， 结合（2）知， 令，则， 得， 设，则该函数在上单调递减，则， 故，即面积的最小值为12. 类型二、双曲线面积问题 例2．(24-25高二下·湖南郴州·期末)已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 变式2-1．(24-25高二下·安徽·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，且. (1)求的实轴长与虚轴长之积的最大值. (2)若过点的直线与的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且. （i）求的方程； （ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2)（i）（ii） 【分析】（1）先计算出，再利用基本不等式即可求解； （2）（i）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出，再计算出，即可求出双曲线方程； （ii）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出切点是的右顶点，进而得出的横坐标为，设直线PQ的倾斜角为，把用的函数表示，最后再利用双勾函数的单调性求出范围. 【详解】（1）设的半焦距为. 因为，所以， 由题可知的实轴长为2a，虚轴长为2b， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的实轴长与虚轴长之积的最大值为8. （2）（i）设的内切圆分别与相切于点M，N，如图. 由切线长定理可知， 因为， 所以 ， 即 所以， 则的方程为； （ii）如图，设两内切圆圆心分别为，半径分别为与圆分别相切于点. 由切线长定理可得 ， 因为，所以， 所以是的右顶点. 因为轴，所以点的横坐标为1， 同理可求得点的横坐标也为1， 设直线PQ的倾斜角为，则. 在Rt，Rt中，有. 易知， 设，则，则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为， 所以在区间上的值域是. 故的取值范围是. 变式2-2．(24-25高二下·广东深圳罗湖区·期末)已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 【答案】(1) (2)16 (3)证明见解析， 【分析】（1）先判断出不经过点，将，代入双曲线方程，得到方程组，求出双曲线方程，进而求出渐近线方程； （2）设，，根据，得到，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）表达出直线，变形得到，求出点到直线的距离为，故直线与定圆相切. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点， 将，代入得：，解得， ，的渐近线方程为； （2）设，，则， 由于，则， 显然，可得，且，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为16； （3）显然，直线， 即， 其中，， 即，， 故点到直线的距离为 ， 存在定圆与直线相切. 变式2-3．(24-25高二下·云南红河州、文山州·)已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. 【详解】（1）因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以，解得， 所以的方程为. （2）由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 类型三、双曲线定点问题 例3．(24-25高二下·河南南阳六校·期末)已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 变式3-1．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； (3)在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，答案见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的离心率及关系式，结合题意即可求解； （2）设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得出，由题意得，利用向量数量积的坐标运算结合列式，用表示，再根据直线的点斜式方程即可证明并求解； （3）由（2）知：，设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出，若是线段的两个三等分点，则，列式解方程即可判断. 【详解】（1）由题知：，得， ∴双曲线的标准方程为：. （2）设，点， 由，得：， 则 ∴， 由于以为直径的圆过点，∴， 即， 又， ∴， 则， 整理得：，即， ∴或， 当时 ，过定点，与重合，故舍去， 当时，恒过定点； （3）由（2）知：，设， 由得：， ∴， ∴， ∴， 若是线段的两个三等分点，则， 即，整理得：，方程无实数解， ∴不存在实数，使得是线段的两个三等分点. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 变式3-2．(24-25高二下·云南部分校·期末)已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得结果. （2）①根据条件可知点在以为圆心，5为半径的圆上，联立圆方程与双曲线方程可得结果. ②设直线，与双曲线方程联立，借助韦达定理得到的关系式可得结果. 【详解】（1）因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. （2） ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 变式3-3．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论. 【答案】(1) (2)直线MN恒过定点，证明见解析 【分析】（1）由和，可得，再求出点的坐标，再结合勾股定理即可求解； （2）直线MN的方程为，与双曲线联立，求得的值，再结合，整理化简后得到，再利用，求得，即可确定直线MN经过定点. 【详解】（1） 由离心率可得，即①， 利用得②， 根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为. 联立，得， 由可得，③， 由①②③解得，，. 所以双曲线的标准方程为. （2） 由题意可知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN的方程为， ，，由，得， 由，得， 所以，，易知，所以，， 因为，所以， 所以，所以， 化简得， 所以， 所以， 化简得，解得或， 因为M，N是C右支上的两动点，所以，所以， 所以直线MN的方程为，所以直线MN恒过定点. 【点睛】方法点睛：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如 直线的水平位置、竖直位置，即或不存在时．找出定点，再证明该点符合题意(运用斜率相等或者 三点共线)或证明与变量无关 类型四、双曲线定值问题 例4．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，，表示出，结合二次函数性质可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 变式4-1．(24-25高二下·贵州黔南州·期末)已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）是定值，1；（ii） 【分析】（1）由题设条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（i）设，可得，，利用和角公式即可推得；（ii）直线与双曲线联立，消元后得韦达定理，求出和的表达式，利用（i）已得建立方程，求解即得. 【详解】（1）根据题意，得，， 解得，， 则双曲线的标准方程为. （2）（i）判断：为定值. 如图设， 则， 所以 所以的定值为1. （ii）联立直线与双曲线，得. 由题可知解得，且， 设，则 所以. 由（i）得，即，即， 所以，解得，可得. 因为两点均在第一象限， 所以，故， 综上，当时，. 变式4-2．(24-25高二下·云南长水教育集团·)已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由 及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 变式4-3．(24-25高二上·甘肃甘南藏族合作第一中学·期末)已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程； （2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证. 【详解】（1）由题设，，则双曲线方程为． （2）①设，且， 的直线方程为，的直线方程为． 设，，联立直线与双曲线方程有， 化简得，由韦达定理知， 有，代入直线有．则 联立直线与双曲线方程，化简有， 由韦达定理知，有，代入直线有 设，，， 由得， 化简得，可得，则 ． ②设直线方程为，则有 联立方程组，化简得，则， 由知，由知， ． 类型五、双曲线轨迹方程问题 1.定义法求轨迹方程 2.直接法 3.代入法(相关点法) 4.点差法 例5．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意，得到，再由双曲线经过点，列出方程，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，得到过点的切线方程为，即，得到过三点的圆的圆心为，根据，求得，即可证得四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程，得到切线交轴于点的角平分线交切线于点，由角平分线定理，求得，进而得到的角平分线方程，设点，联立方程组，求得，即可求得点的轨迹方程； 方法二：设切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，设圆与延长线，点，求得，再由切线的垂线方程，代入求得，进而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即， 又由双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即， 又由，则过三点的圆的圆心为， 因为，即， 所以， 又， 即，所以四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程为， 令切线交轴于点的角平分线交切线于点， 由角平分线定理得：， 所以，代入坐标得， 故的角平分线方程为， 设点，联立方程组 ，可得， 所以点的轨迹方程为． 方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心， 设圆与延长线、延长线的切点分别为，点， 则 ，即， 又由切线的垂线方程为， 代入得，所以，所以点的轨迹方程为． 变式5-1．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点. (1)求直线的方程（用，表示）； (2)当点运动时，求点（的横坐标为的横坐标，的纵坐标为的纵坐标）的轨迹的方程； (3)已知点，若直线不过点且与曲线相交于两点，并且有，问是否存在直线使得的面积为72？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或 【分析】（1）由题意，可知直线与双曲线相切于点，利用推得，将直线与双曲线方程联立求得点坐标，即可写出直线的方程； （2）由（1）结论，易求得，取，（），结合，消去，即得点的轨迹方程； （3）设直线的方程为，，将直线与双曲线方程联立，写出韦达定理，由推出，即得直线经过定点，由的面积求得或，即得直线的方程. 【详解】（1）将代入，整理得， 因为，是双曲线与直线的唯一公共点， 所以，即（*）， 解得，代入，解得：， 即，将（*）代入，即得，其中， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为， 即. （2）由（1）已得直线的方程为，分别令即得：， 令即得：，所以， 即，（），又， 故有. 即点的轨迹的方程，其中. （3）易知直线的斜率不为0（若直线的斜率为0，易知，与题设条件矛盾）， 如图，设直线的方程为，，， 则由得，其中， 则，， 由，，可得， 即，也即， 故， 整理得：， 将，代入上式化简得：， 解得，（因直线不过点，故舍去）， 则直线的方程为，故经过定点， 此时， ， 则可得的面积： ， 化简得：，解得或， 故所求直线的方程为或或. 【点睛】方法点睛：本题主要考查探求动点的轨迹方程和直线过定点问题，属于难题. 对于求动点的轨迹的方法，主要有： （1）直接法：利用题设等式化简或满足圆锥曲线的定义条件时常用； （2）相关点法：利用动点与相关点（在固定的曲线上）的数量关系求解； （3）消参法：利用动点的横纵坐标满足的关系式，通过消去参数求得. 变式5-2．(24-25高二上·海南·)已知点在圆心为的圆上运动，点． (1)求的取值范围． (2)若动点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为． （i）求的方程： （ii）过点作两条相互垂直的直线，分别与交于点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据点和圆的位置关系结合半径得出距离的范围； （2）（i）应用双曲线定义得出双曲线方程；（ii）方法一：设的方程联立方程组结合对称性得出定点；方法二：设直线应用向量转化垂直关系结合韦达定理计算得出即可得出定点. 【详解】（1）由题知圆的圆心为，半径． ，点在圆外， 由，得， 即的取值范围是． （2）（i）在线段的延长线上，， ， 点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 的方程为． （ii）方法一：由题意，设的方程分别为， 的渐近线方程为，可得． 由得 解得 用替换，得 由对称性，知直线过的定点一定在轴上， 当或时，可得直线的方程为，过点． 当时，， 直线过点． 综上，直线过定点． 方法二：当直线的斜率存在时，设直线 由得 则  ① ，即， 整理得或． 经检验，不满足①，满足①． 直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，若其过点，则方程为， 由得，则，满足题意 综上，直线过定点． 【点睛】关键点点睛:求解定点的关键是应用双曲线的对称性确定直线过的定点一定在轴上或应用向量关系转化垂直进而得出减少未知量求解. 变式5-3．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)在平面直角坐标系中，为双曲线：（，）的右焦点，以为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切. (1)求的方程； (2)记的左、右顶点为，，弦轴，记直线与直线交点为，其轨迹为曲线. （ⅰ）求的方程； （ⅱ）直线，是曲线的任意两条切线，且，试探究在轴上是否存在定点，满足点到，的距离之积恒为1？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）存在；或. 【分析】（1）取的一条渐近线，设以为圆心1为半径的圆与相切于，即可求出，，从而求出双曲线方程； （2）（ⅰ）设，则，设点，表示出直线与直线的方程，两式相乘即可得解； （ⅱ）设：，：（），联立直线与椭圆方程，根据得到，同理，再设，利用距离公式计算可得. 【详解】（1）由题知，取的一条渐近线， 设以为圆心1为半径的圆与相切于， 则中，，且， 故有，， 故所求双曲线的方程为.    （2）（ⅰ）设，则，设点， 又，， 所以直线的方程为①， 直线的方程为②. ①②等式相乘可得， 又在双曲线上，故，可得， ∴，化简可得，， 即曲线的方程为，.    （ⅱ）由不包括椭圆左，右顶点知，的斜率存在， 设：，：（）， ， 由，同理， 故. 设存在，， 又， 则或（不恒成立，舍去）， 所以，点. 综上，存在；或.    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题（定点问题）常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 类型六、双曲线角度问题 例6．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期末)椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等. (1)求证：的方程为：； (2)如图2：在（1）的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于. 求证：（ⅰ）   （ⅱ） 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用联立方程组应用判别式计算得出椭圆上在点处的切线方程得证； （2）（ⅰ）先联立方程组得出得出韦达定理再结合即可证明；（ⅱ）先联立方程求出，进而得出，最后结合光学性质得出，再根据相似证明结论即可. 【详解】（1）当切线斜率存在时，设直线与相切于点， 联立直线和椭圆方程可得， 所以，整理可得； 又易知，即，所以可得； 整理可得； 又因为切点在椭圆上，即，整理可得 联立①②可得，即，可得； 所以切线方程为，化简可得； 经检验，切线斜率不存在时也符合上式， 即椭圆上在点处的切线方程为. （2）（ⅰ）因为，所以双曲线， 得出的方程为：， 设，再用与联立， ， 得到， 所以， ， 同（1）写出的方程， ,， 得到其斜率之积，又因为所以，即可得出； （ⅱ）联立，得到， 因为,于是，用两点之间距离公式计算 ，，， 由此可得：，再由光学性质得到直线与的夹角大小相等， 所以，又因为，所以与相似，从而. 【点睛】关键点点睛：解题第二问的关键点是对（1）的结论即椭圆上在点处的切线方程为的应用求解. 变式6-1．(23-24高二上·江西部分重点中学·期末)在平面直角坐标系中，双曲线C：的渐近线的方程为，焦距为． (1)求的方程； (2)如图，点为的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交于两点，直线分别交于两点，若，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解出a、b的值即可求解； （2）易知，得（＊）.设，，，，求出直线AG、AH的方程，由可得，结合代入（＊）得①.易知GH斜率存在，设GH：，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，代入①化简计算可得，解之即可. 【详解】（1）由题意有，又，解得，， 故C的方程为：； （2）由题意，， 所以，故， 即，亦即（＊）， 设，，，， 由题意有，则直线AG、AH的方程分别为，， 因为，故，代入AG方程，得，所以， 又，代入（＊）式有，得. 当GH斜率不存在时，显然不符合题意， 故设GH：，代入， 得，所以，， 则 ， 所以， 即，由，解得， 所以的坐标为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式6-2．(24-25高二上·四川绵阳三台中学·期末)已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的余弦值； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以, 所以的余弦值为. （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 变式6-3．(23-24高二上·陕西西安高新第一中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．   (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，已知直线与x轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的方程可得，根据题意结合双曲线的定义，运算求解即可得结果； （2）设直线，根据题意求的坐标，由题意可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设， 不妨设M为双曲线右支上一动点，则， 则，即， 可得， 注意到，则， 由题意可得：，即， 则， 因为的对称轴为，则在上单调递增， 故， 则，解得或（舍去）， 可得，故双曲线C的标准方程为． （2）由题意可得，设直线， 联立方程，消去y得， 则， 直线，令，则，即点， 同理可得点， 由，则可得， ， 注意到，且点P，Q位于同一象限， 即，可得， 故， 整理得， 则， 整理得，解得或（舍去）， 故实数m的值为． 【点睛】方法定睛：解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． 类型七、双曲线三点共线问题 例7．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)双曲线中垂直于实轴的动弦，，为双曲线的两个顶点，直线与交点的轨迹为椭圆.   (1)求椭圆的方程； (2)且为椭圆上一点，，为椭圆两个动点，直线的斜率和直线的斜率互为相反数，点关于轴的对称点为，为中点，为坐标原点.证明：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，写出直线和的方程，再相乘得，结合点在双曲线上即可得到椭圆方程； （2）设，直线的斜率为，写出相关直线方程，再联立椭圆方程，解出，计算相关斜率得，再利用点差法得，则，即证明三点共线. 【详解】（1），设， 设为曲线上任意一点，则，， 则直线的方程：① 直线的方程：② 由①②得， 在双曲线上，， ， 椭圆的方程为. （2）设，直线的斜率为， 则直线，直线， 联立，得，其中， ，同理， ， ， 设， ，两式作差得， ，， 三点共线. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过设点法，得到相关直线方程，再联立椭圆方程得到相关点横坐标，再计算证明得即可. 变式7-1．(22-23高二下·甘肃白银靖远县第二中学·期末)已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解； （2）利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为. 因为双曲线经过点，所以，解得. 故双曲线的方程为. （2）证明：因为为的中点，所以. 设直线的方程为， 所以， 直线的方程为， 直线的方程为. 联立, 可得， 所以 又因为，所以， 则. 同理可得. , ， 所以. 故三点共线. 变式7-2．(24-25高二上·海南定安县定安中学·期末)已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，得到，，再由三点共线得到，代入即可得解. 【详解】（1）∵双曲线的方程为：， ∴双曲线的渐近线方程为，设右焦点的坐标为， 则，解得，， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的右焦点， 设直线与轴交于点，直线的方程为，，，则， 联立，消去得， 显然有且， 化简得且， 则，， 故，， ∵，，三点共线， ∴，则， ∴， 又，∴， ∴， ∴，化简得，经检验符合题意， ∴直线的方程为：， ∴直线经过轴上的一个定点， 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式7-3．(22-23高二上·福建龙岩·期末)已知为双曲线的右焦点，点在上． (1)若直线，的斜率之和为，求直线的斜率； (2)若，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线过点及，求出，即可得到双曲线方程，设，，：，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据，求出或，即可得解； （2）设直线方程为，设，，，联立直线与，消元、列出韦达定理，由，可得，从而得到，再由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，从而表示出直线的方程，代入双曲线方程中求出的横坐标，同理得到，即可得到，从而得解. 【详解】（1）解：因为点在双曲线：上， 所以，解得，或， 又，则，所以双曲线：． 设，，易知直线的斜率存在，设：， 联立可得， 所以，，， 化简得，且． 由得， 即， 即， 所以， 化简得，即， 所以或． 当时，直线：过点，与题意不符，舍去， 故． （2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，，故直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，设，，， 两渐近线的方程合并为，联立， 消去并化简整理得，则，． 因为，所以， 移项并利用平方差公式整理得：， ， 即，即. 由题意知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，， 可得， 因此直线的斜率， 直线：，即， 代入双曲线方程即中， 得， 解得的横坐标， 同理， 可得，， 所以， 因为，解得，， 所以，即， 则点在直线上，所以，，三点共线. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 类型八、双曲线斜率问题 例8．(25-26高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中)已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1)或 (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）联立得，再根据有唯一公共点，解得，再代入方程求点坐标即可； （2）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程； （3）设，，联立得到，再计算即可判断． 【详解】（1）根据题意， 则，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； （2），， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （3）证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值．    变式8-1．(24-25高二上·山东东营·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得. 【详解】（1）依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 （2）设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 【点睛】方法点睛：双曲线的定值问题，设直线l的方程为，交点坐标，，直线方程代入双曲线方程应用韦达定理，再用点的坐标表示所求定值的量（本题是斜率之商），代入韦达定理的结论化简可得． 变式8-2．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线所过的点求双曲线参数，即可得方程； （2）由题意为，设，，联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式求； （3）法一：设为，，，法二：讨论斜率的存在性，设为，，，或为，，，再联立双曲线，应用韦达定理及已知条件列方程求参数关系，即可得定点；法三：，分别为，，联立双曲线，结合用表示出的坐标，进而写出直线，即可证结论. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为. （2）由题意，为，设，， 由，得，所以. 因为M，N在P点的两侧，所以与异号， 所以 . （3） （方法一）由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以 ， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. （方法二）①若的斜率不存在，设为，，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以的方程为，此时过点. ②若的斜率存在，设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以 ， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，为，此时过点，不合题意， 当时，为，此时过点，符合题意. 综上，恒过定点. （方法三）因为，，，的斜率分别为，， 所以，分别为，. 由，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ①若的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以为，此时过点. ②若的斜率存在，则， 所以为，即， 化简得，即，此时过点. 综上，恒过定点. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线的方程或直线，的方程，联立双曲线并应用韦达定理及已知得到相关参数的数量关系为关键. 变式8-3．(23-24高二上·山东日照·期末)已知双曲线：的实轴长为4，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可得出结果； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，，再通过联立直线和的方程，求得，从而得出点在定直线上运动，即可证明结果； 【详解】（1）因为：的实轴长为4， 所以，由焦距可知，又， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可得，，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为， 因为双曲线的两渐近线为，直线与双曲线的下支交于，两点，所以， 由，消得，且， 则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，得到， ， 据此可得点在定直线上运动， ， ， ． 所以 . （法2）联立直线与直线的方程可得： 所以可得，即， 据此可得点在定直线上运动． 则．    【点睛】关键点点晴：本题第（2）的关键在于，由直线的方程和双曲线方程得，从而得出，，联立直线和的方程，得到交点坐标，再利用，化简得到，从而解决问题. 类型九、抛物线中的弦长问题 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝| |＋||＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 例9．(24-25高二下·河南安阳滑县部分学校·期末)设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. (1)求抛物线的标准方程； (2)①求证：； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用， 解出未知数，得到方程； （2）①验证轴时成立，再求解当不垂直于轴时，直线的方程，令，得，直接判断； ②方法一，连接，，证明，再证明得到，设直线的倾斜角为，表示为，求解即可； 方法二，同方法一证得，利用相似得到，，表示出以及，带入求解即可. 【详解】（1）因为抛物线：，所以焦点为，准线为， 如图，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立，得， 易知，则，， 又，， 所以，当且仅当时取等号， 因为的最小值为6，所以，， 所以抛物线的标准方程为. （2）①当轴时，，. 当不垂直于轴时，设直线的方程为，， 则直线的方程为， 令，得，即为的中点，所以. 综上可得，. ②方法一  如图，连接，，因为，， 所以，则. 由①知，为的中点，故. 设直线的倾斜角为，，可得，则， 因为， 所以. 所以， 因为，所以，同理， 则， 所以， 所以的最小值为18. 方法二  同方法一证得. 在与中，， 所以，则，即， 同理可得. 又 ， ， 所以， 则，所以的最小值为18. 变式9-1．(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由准线方程求出，即可得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可； （3）设，，当时显然不成立，当时，由得到，从而得到中点的纵坐标，即可求出中点的横坐标，即可得到，即可得到关于的方程有实根，由求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，抛物线的方程为； （2）由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； （3）设，， 若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式9-2．(24-25高二上·山东滨州·期末)已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)32. 【分析】（1）由抛物线准线与椭圆的相交弦长易得椭圆上的点，代入即可求得的值； （2）设圆心的坐标为，利用圆的弦长公式计算即可证得； （3）设直线，的方程分别为，，点、，由直线与抛物线方程联立，利用抛物线焦半径公式求出和，再求得四边形的面积表达式，利用基本不等式即可求得面积的最小值. 【详解】（1）由已知，抛物线的准线方程为. 因为直线与椭圆相交所得弦长为. 结合椭圆的对称性， 可得直线与椭圆相交弦的一个端点坐标是， 将代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线的方程为. （2） 如图，设圆心的坐标为， 由在抛物线上，可知到轴距离为，， 则， ， 故圆心在抛物线上运动时，弦的长为定值4. （3） 由（1）知. 易知，直线，的斜率存在且不为零， 如图，设直线，的方程分别为，， 点、， 由得， ，， 则， 同理可得， 所以四边形的面积为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为32. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与抛物线有关的四边形面积最值问题，属于较难题. 考虑到过焦点的两条弦互相垂直，将直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，利用焦半径公式求出弦长后，可直接写出，最后对于四边形的面积表达式，通过基本不等式求其最值. 变式9-3．(24-25高二上·河北张家口·期末)已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①是，；② 【分析】（1）联立方程组，利用分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； ②由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。 则，解得，同理， ，所以互相垂直． （2）①当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 类型十、抛物线中的面积问题 例10．(24-25高二下·河南南阳·期末)已知抛物线：上一点到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，. (1)求抛物线M的方程； (2)当，，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N三点共线； (3)设O为坐标原点，当，时，直线，分别交抛物线M于P，Q（点P，Q不与O重合），记面积为，面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线定义列出方程，求出值，即得抛物线方程； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，求得，的坐标，计算推出即得证； （3）设直线：，，，，，依题分别求出的表达式，代入的解析式，整理成二次函数型，求其最值即得. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， 所以抛物线的方程为：. （2）设点，，则， 因，直线斜率不可能为0，可设的方程为， 联立抛物线方程得：，故，. 又，， 由 所以， 故T，A，N三点共线. （3） 如图，当，时，由，可设直线：， ，，，， 由得， 由圆的对称性可知，且， 因直线的方程为，代入抛物线方程得，或， 所以，同理. ， 当时，取得最大值为. 变式10-1．(24-25高二下·贵州六盘水·期末)如图，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且. (1)求的方程； (2)过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为. ①求的面积； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据抛物线定义直接可得解； （2）①根据点的坐标及三角形面积公式直接计算；②根据三角形面积计算可得，结合等比数列求和公式可得证. 【详解】（1）由已知抛物线，准线为， 由抛物线定义可知抛物线上的点到焦点的距离为， 即，解得， 即抛物线方程为； （2）①由（1）得抛物线方程为，即， 即，， 则， 即点的横坐标为，纵坐标为， 即，则， 则三角形面积； ②设，与线段的交点为， 则，， 即，， 又，即，， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 则， 则， 又， 则. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 变式10-2．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 【点睛】思路点睛：本题第二问考查抛物线中弦长的计算问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解. 变式10-3．(24-25高二上·广东佛山·期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，直线，其中，直线l与C有且只有一个公共点P，直线PF交C于另一个点Q. (1)当时，求的值； (2)求面积的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）通过联立方程组得到一个关于的方程，利用判别式求出与的关系，进而确定、的值，得到相关点的坐标，再根据点的位置关系求出弦长. （2）法一：通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到相关量的关系，再结合已知条件推导三角形面积的表达式，由函数单调性可求面积范围；法二：联立直线与抛物线方程，求出点坐标，设直线，与抛物线方程联立，求出点坐标，即得三角形面积公式，由函数单调性可求面积范围. 【详解】（1）由，得，由，得， 所以，此时点P坐标为， 注意到点F坐标为，有轴，由抛物线对称性，点Q坐标为，故弦长； （2）方法一：直线PF过点，且斜率不为0，不妨设直线PF方程为， 联立，消去得：， 设，，由，知且，且， 则的面积为， 由（1）中，得，所以，可求得点P坐标为， 点在直线PF上，可得，即， 而 所以， 由，且，知，则， 当时，，根据对勾函数单调递增，其值域为， 所以，则， 所以，故面积的取值范围是. 法二：联立，可得，依题意可得，则. 且，得，故，即点. 设直线，联立，得，则， 结合，得，于是，即点. 从而， 因为，且，故，根据对勾函数单调性，可得. 因此面积的取值范围是.    【点睛】难点点睛：本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线位置关系中的范围问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程，联立方程组，利用根与系数的关系式化简，难点在于计算过程较为复杂，计算量大，要十分细心. 类型十一、 抛物线过定点问题 例11．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 变式11-1．(24-25高二下·山西名校联考·期末)已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)，的方程为 (2)6. (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程，写出焦点，根据焦点坐标和椭圆上一点，求出椭圆标准方程即可； （2）根据圆锥曲线和直线的位置关系，设出坐标，联立方程组，根据韦达定理，表示出线段的长度，根据方程组有解情况下判别式的范围，求出参数范围，求得线段最小值； （3）根据圆锥曲线和直线的位置关系，解决直线过定点的方法，联立方程组，根据韦达定理，证明直线过定点. 【详解】（1）因为，且，所以，解得， 所以抛物线，， 设的半焦距为，则由题意得解得 所以的方程为. （2） 设，，， 因为A，R，P三点共线，所以， 又，，所以， 所以，同理， 所以. 因为点在，所以，所以， 所以， 令，则， 代入并整理，得， 所以， 解得，所以，即的最小值为6. （3） 设，， 联立消去并整理，得， 所以，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 此时，即， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以直线过定点. 变式11-2．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得，即可得焦点坐标，进而可得结果； （2）设直线，，联立方程，根据垂直关系结合韦达定理可得，即可知直线过定点. 【详解】（1）因为为抛物线：上一点， 则，即， 可知抛物线：的焦点为，准线为， 所以点到的焦点之间的距离. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 由题意可知：，则， 则，整理可得， 则，即， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 变式11-3．(24-25高二上·广东肇庆·期末)已知抛物线，焦点为．斜率存在的直线与抛物线交于两点． (1)若直线的倾斜角为，且．求直线的方程； (2)给定一个正实数，分别过点作的切线，设交于点． （i）证明：点在定直线上的充要条件是直线过定点； （ii）已知直线与轴交于点，且．证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据倾斜角为，可设直线联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，从而解出的值； （2）（i）分别得到在点处的的切线的方程，从而得到点的坐标，先证明充分性，设过定点的直线，与抛物线的方程联立可得点的横坐标为，在直线，再证必要性，可以设直线过定点，根据点在上，即横坐标为求得. （ii）由抛物线定义得，由得，从而是的垂直平分线，可以证明与全等，与全等，所以，从而. 【详解】（1）设直线，联立得． 设，则． 则，解得． 经检验，时，．所以直线的方程为． （2）（i）设过点，的切线方程为， 联立得，即． 则由相切得，整理得，解得． 所以过点的切线方程为． 同理过点的切线方程为． 两方程联立得，所以点． 充分性：设过定点的直线． 联立得，由韦达定理得． 点的横坐标为，所以点在定直线上． 必要性：点在定直线上，则． 设过点的直线． 联立得．由韦达定理得． 解得，则直线过点. 综上，点在定直线上的充要条件是直线过定点. （ii）如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为． 连接．与交于点．由抛物线定义得． ．则． 则，所以． 由知，所以．因此与全等，所以． 同理可得，与全等，所以． 则，所以． 所以． 所以． 【点睛】思路点睛：平面几何知识的恰当运用 在（2）（ii）中，结合，可以得到是的垂直平分线，从而证得与全等，，同理可得与全等，，再结合得，利用即可证明. 类型十二、抛物线定值问题 例12．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)1 (3)为定值4，证明见解析. 【分析】（1）设，由题意建立关于a的等量关系求出a即可得解； （2）联立圆与抛物线方程，求出交点横坐标，由抛物线与圆有且只有一个交点得关于a的不等式即可求解； （3）设和过点M的圆E的切线方程为，由圆心到切线距离为半径1结合点到直线距离公式整理得方程，进而得两切线斜率满足，接着设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和，再由计算即可得证. 【详解】（1）由题可设，则，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）联立或， 因为抛物线与圆有且只有一个交点， 所以， 所以的最小值为1. （3）证明：由（2）得，由题可设， 设过点M的圆E的切线方程为，即， 由圆心到切线距离为半径1得，整理得， 两边平方得，展开化简得， 进一步整理得， 设两切线斜率分别为，则是上述方程的两根，故， 设，由消去x得， 则，即；同理得. 所以 ， ， 又， 所以. 所以是一个定值. 【点睛】关键点睛：解决本题第（3）问的关键1是理解两切线斜率是方程的两根，进而得，关键2是设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和. 变式12-1．(23-24高二上·浙江舟山·期末)拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点． (1)求抛物线方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由焦半径公式和点的坐标列方程组求得得抛物线方程； （2）设直线方程为：，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，求出面积，由直线方程求得点坐标得面积，计算两面积的乘积并代入韦达定理的结论化简即得． 【详解】（1）由题可得或(舍去)， 所以； （2）设直线方程为：， 联立， 则， 所以， 直线，可得，同理， 所以 ， 所以．    【点睛】方法点睛：抛物线中定值问题，一般设交点为坐标为，设直线方程，直线方程代 入抛物线方程后应用韦达定理得（或），再利用交点坐标求得需要确定定值的量 ，代入（或）化简后即可得 变式12-2．(23-24高二上·四川成都玉林中学·期末)已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，. (1)求C的标准方程. (2)记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合即可. （2）设直线：，设，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用表示，计算即可. 【详解】（1）依题的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内， 则抛物线的焦点在轴上， 设抛物线方程为：， 当时，，则， 则抛物线方程为：. （2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线：， 设， 由，得， ，则， 则， ， 因为三点共线，则，， 当时，重心G不会落在x轴上， 所以，解得：， 同理可得：，又 ， 则 ， 则该定值为， 变式12-3．(22-23高二下·广东广州荔湾区·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【分析】 （1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 压轴专练 1．(24-25高二上·吉林长春吉大附中实验学校·期末)曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线C是和组成的封闭图形.曲线C与x轴交于M、N两点（N位于M右侧）. (1)设曲线与曲线具有相同的焦点，F为椭圆的右焦点，求线段AF的方程； (2)在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得，请说明理由. (3)设过原点O的直线l与曲线C在第一象限交于P、Q两点，若对任意直线l恒成立，其中T为直线l与以为圆心的圆相切的切点，求的值. 【答案】(1)； (2)2，理由见解析； (3). 【分析】（1）求出曲线的焦点，及点的坐标，进而求出线段的方程. （2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数. （3）设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值. 【详解】（1）由两个曲线有相同的焦点，得，解得， 则双曲线方程是，椭圆方程是，焦点， 由，解得，，则， 直线的斜率，方程为， 所以线段的方程 （2）由（1）知，，，设 若点在曲线上，则， 在上单调递增， 因此，点不可能在曲线上； 若点在曲线上，，则由， 得，因此， 所以曲线C上存在2个点S，使得. （3）设直线的方程，圆方程为，点， 由直线与圆相切，得，， 由，得，则， ，得，则， ， 由，得，而，解得， 所以的值是. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题. 2．(24-25高二上·广东深圳高级中学·期末)现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点， （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义结合三角形三边关系，可构造函数以及其定义域，利用反比例函数单调性可求的最值，结合题意，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，利用斜率公式以及弦长公式，整理可得答案. 【详解】（1）设，那么，， 根据，可得． 因为在上单调递减， 所以时，取最大值3，所以，解得． 所以． 因此根据题意可得的标准方程为． （2） （i）设，直线为， 联立直线方程和双曲线方程可得，化简得， 根的判别式， 所以根据韦达定理可得， ， ， . （ii）是定值，理由如下，设， 直线为，联立直线方程和双曲线方程可得 化简得， 根的判别式， 所以根据韦达定理可得， 所以， 所以 ． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 3．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为． (1)求双曲的标准方程； (2)过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为． ①证明：为定值； ②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值． 【答案】(1)； (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）根据条件计算双曲线的，利用可求双曲线方程. （2）①联立直线与双曲线方程，借助韦达定理计算的值. ②联立直线与椭圆方程，借助韦达定理表示弦长，进而计算两弦长乘积的最大值. 【详解】（1）由题意得，. 设双曲线的标准方程为，半焦距为，则， ∴， 故双曲线的标准方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线方程为，， 由得，， ∴， ∴ ， 当直线斜率不存在时，，. 综上得，为定值，定值为. ②由题意得，直线方程为，设， 由得，， ∴， ∴，同理得，， ∴ ， 设，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴的最大值为，当且仅当取最大值. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理表示直线斜率或弦长，由此计算结果. 4．(24-25高二上·浙江温州·期末)已知，分别是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线左支于，两点，过的直线交双曲线右支于，两点（点，在轴上方），且，直线，交于点. (1)当轴时，求的坐标； (2)若，求直线的斜率； (3)设为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出焦点坐标，由求出点坐标，即可得到点坐标，再求出直线、的方程，从而求出交点坐标； （2）依题意可得，设直线：，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据求出的值，即可得解； （3）由（2）知，即可求出直线、的方程，从而求出点坐标，再求出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的焦点，， 当时，由，解得或，所以， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，解得，所以； （2）由，知，所以， 连接，根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，所以， 设直线：，，，则， 由，可得，则，， 所以，， 则，解得（负值已舍去），所以直线的斜率为； （3）由（2）知， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，解得， 所以， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．(24-25高二上·贵州毕节织金县·期末)已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【详解】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以 ，又 . 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以 . 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由 . 设，， 则，， 所以 , 由，所以 ， 即， 所以 ， 所以 或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）； （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式； （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“（为常数）”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 6．(24-25高二上·河南洛阳·期末)已知圆C：，定点，N为圆C上一动点，线段的中垂线与直线交于点P. (1)证明为定值，并求出点P的轨迹E的方程； (2)若曲线E上存在一点Q，点A，B分别为直线：在第一象限上的点与直线：在第四象限上的点，，，求（O为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由中垂线得到，再根据双曲线的定义求解即可； （2）利用表示出，，再结合点在双曲线上可得，从而表示出，再根据双勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）易得圆C：的圆心为，半径为2. 因为在线段的中垂线上，所以， 所以为定值. 又. 由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以C，M为焦点，实轴长为2的双曲线. 设双曲线E的方程为（，），则，又， 所以，所以双曲线E的方程为； （2） 由题意知，为双曲线的渐近线. 根据题意设，，，， 因为，所以，， 所以，. 因为Q点在双曲线上，所以， 所以，所以， 易得，. 易知， 则 ， 即， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 面积的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据向量共线表示出Q点的横纵坐标，利用Q在双曲线上得到，后转化为函数求值域. 7．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3)直线过定点 【分析】（1）利用点在抛物线上，直接代入即可得解； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程求得，同理求得，再利用两点斜率公式即可得解； （3）根据题意，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，进而求得，，再利用向量垂直的坐标表示求得的关系式，从而利用直线过定点的求法即可得解. 【详解】（1）因为点是抛物线上的一点， 所以，解得，所以的方程为； （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得， 则， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为； （3）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设，， 由，得， 所以，，， 所以， ， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以或，即或， 若，则，， 则，过定点，与点重合，不符合题意； 若，则，， 则，过定点， 综上，直线过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $