18.2 分式的乘法与除法（第1课时）教案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式的乘法与除法法则，通过回顾分式“概念—性质—运算”的研究路径，先引导学生复习分数乘除法法则，再类比迁移得出分式法则，搭建从具体到抽象的学习支架。 亮点在于以类比思想驱动法则探究（数学眼光的抽象能力），分层例题（从单项式到多项式、整式与分式）提升运算能力（数学思维的运算能力），结合小麦产量实际问题培养模型意识（数学语言），助力学生掌握运算并发展应用能力，教师教学逻辑清晰易操作。

18.2　分式的乘法与除法（第1课时） 教学目标 1．类比分数的乘除法法则，经历分式乘除法法则的获得过程，理解分式乘除法运算的算理，感悟类比和化归思想． 2．能运用分式的乘除法法则准确进行分式的乘法和除法运算，提升运算能力． 教学重点 运用分式的乘除法法则进行运算． 教学难点 分子或分母为多项式的分式的乘除运算． 教学过程 新课导入 在前面的课程中，我们学习了分式的概念和基本性质，对分式有了初步的了解．根据学习整式的经验，大家觉得，接下来应该研究分式的哪些知识呢？ 【师生活动】教师请学生集体口答，共同明确分式的研究路径：概念—性质—运算—应用，以及接下来的学习内容——分式的运算（法则）． 【思考】请你完成下面的计算题，并回顾分数的乘除法法则． （1）×； （2）÷． 【师生活动】教师请学生代表口答，与学生一起回顾和“分数的乘除法法则”有关的知识． 【答案】解：（1）×＝＝； （2）÷＝×＝＝． 分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分数的除法法则：一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数． 【设计意图】明确分式的研究路径，通过回顾分数的乘除法法则，为接下来学习分式的乘除法法则作铺垫． 新知探究 【问题】类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？ 【师生活动】学生小组讨论，师生共同根据分数与分式的联系，类比分数的乘除法法则，猜想并归纳出分式的乘除法法则． 【新知】类似于分数，分式有如下运算法则． 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 【追问】你能用数学式子把这两个法则简洁地表示出来吗？ 【师生活动】师生共同用数学符号语言表达法则：，． 【设计意图】让学生经历分式的乘除法法则的获得过程，在从分数到分式的推广中，加强对数式通性的认识，并通过文字形式和符号形式两种表述方式，加深对法则的认识和理解． 例题精讲 【例1】计算： （1）·； （2）÷． 【师生活动】学生尝试在学习任务单上进行解答，教师板书示范，强调运算结果要化成最简分式． 【答案】解：（1）·＝＝； （2）÷＝·＝－＝－． 【提醒】对于分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式． 【例2】计算： （1）·； （2）÷． 【师生活动】师生共同完成第（1）题，教师强调分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．学生独立在学习任务单上完成第（2）题，教师组织全班交流，强调分式的除法运算要先转化为乘法运算． 【答案】解：（1）· ＝· ＝ ＝； （2）÷ ＝－·(m2－7m) ＝－ ＝－． 【例3】计算： （1）x·； （2）3a÷． 【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）x·＝·＝； （2）3a÷＝·＝a(a＋1)(a－1) ． 【提醒】整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”． 【归纳】分式的乘除法运算，归根结底是乘法运算． （1）分子、分母是单项式时，先将分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，化为最简分式； （2）若分子、分母中有多项式，则先把多项式分解因式，再将分子、分母分别相乘，这样便于约分，从而简化运算． 【设计意图】从分子、分母都是单项式的分式，到分子、分母出现多项式的分式，通过有层次的例题讲解，循序渐进地帮助学生理解运算法则，提升运算能力． 【例4】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长 为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【师生活动】本题的第一个难点在于理清数量关系．教师可通过提问“小麦的单位面积产量指的是什么？它由什么决定？如何用关系式表示出来？”引导学生弄清题意，列出算式，将实际问题转化为数学问题． 本题的第二个难点在于分别表示出了两块试验田的单位面积产量后，对两个分式进行比较大小．教师可引导学生关注两个分式的分子都是相同的正数，分母也是正数，所以可以转化为比较分母的大小，比较大小的时候可以借助图形进行直观比较，也可以利用整式的知识进行严格证明．学生独立思考后小组交流，小组代表分享思路，教师点评完善． 【答案】解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，它的单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2 m2，它的单位面积产量是 kg/m2． 方法一 借助图形直观比较 因为a＞1， 所以(a－1)2＞0，a2－1＞0. 由图可得(a－1)2＜a2－1． 所以＜． 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． 方法二 利用整式的知识严格证明 因为a＞1， 所以(a－1)2－(a2－1)＝(a2－2a＋1) －(a2－1)＝－2(a－1)＜0， 即(a－1)2＜a2－1． 所以＜． 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2）÷＝·＝＝． 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍． 【设计意图】通过运用分式的乘除法运算解决带有实际背景的问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提升应用意识和模型意识． 课堂练习 1．计算： （1）；　　　 （2）； （3）；　 （4）． 【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝＝＝； （3）原式＝＝－＝－； （4）原式＝－＝－1． 2．计算： （1）；　　　 （2）． 【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）原式＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝－ ＝－． 3．一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？ 【师生活动】学生先独立思考，教师引导学生找出本题中的数量关系：水面的高度＝容器内水的容积÷容器底面的面积．容器内水的容积为V·，容器底面的面积为ab，所以水面的高度为V·÷ab． 【答案】水面的高度为． 4．大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？ 【师生活动】学生先独立思考，教师引导学生了解到“工作效率”即 “耕地速度”，那么大拖拉机的工作效率为hm2/天，小拖拉机的工作效率为hm2/天，所以大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（÷）倍． 【答案】大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍． 【设计意图】通过有层次性的练习题，巩固学生对分式的乘除法运算的理解，强化学生的运算能力，以及运用数学知识解决问题的能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．我们是如何探究并得到分式的乘除法法则的？ 2．你能说出分式的乘除法法则吗？ 3．对分式进行乘除法运算时，有哪些注意事项？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第150～151页习题18.2第1、2、6、7、8、9题． 学科网（北京）股份有限公司 $