西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考数学试卷

2025~2026学年第一学期拉萨市高一高二期未联考·高二数学试题 参考答案 1.C因为3，a,27成等差数列，所以2a=3+27=30,解得a=15.故选C 2.B由题意知p=3,所以焦点到准线的距离为3.故选B. 3.D由球的表面积为4π，得球半径R满足4πR2=4π，解得R=1,因此正方体的体对角线√3a =2R=2,所以a=2 g.故选D 4.A对于A,若aCa,bLB,a∥B,则b⊥a,aCa,可得b⊥a,故A正确： 对于B,若a⊥a,b⊥B,a∥B,则a∥b,故B错误； 对于C,若a⊥a,a⊥B,则a∥B,或aCB,又b∥B,则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不 平行，故C错误； 对于D,若aCa,b∥B,a⊥3，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误.故 选A. 5.C由题意知C(0,3),C2(4,0),两圆的半径分别为5，W6,所以|CC2|=√4+32=5>5 十√6，故两圆外离.故选C 6.D如图，以D为坐标原点，直线DA,DC,DD,分别为x,y,x轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则C1(0,2,2),M(1,0,0), D1(0,0,2),N(0,1,0),所以DM=(1,0,-2),NC=(0,1,2),设 D 异面直线DM与NC1所成的角为0，则cos0=|cosD,M,NC)| IDM·NC ID·NC5X后-行·故选D 4 7.A由题意，蒲第一天长高3尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，所以蒲每天生长的高构成 首项为3，公比为的等比数列，其前n项和S 31-(] 1-司 =6- ，又由莞第一天长高 6 一尺，以后每天长高为前一天的两倍，所以莞每天生长的高构成首项为1，公比为2的等比数 列，其前n项和T,-1X,22-2-1,令2”-1>6-，解得2<1或2>6，因为n是正 1-2 整数，所以n≥3.故选A. 8B斜率为4的直线与双曲线C号一 =1(a>0,b>0)相交于A,B两点，设A(x1y), y十+》，则=二业=号.十2，“弦AB中点坐标为(1,1)x十=2， b2 x1-x2 a2 y+y2 +2=2,.直线1的斜率为4，.b2=4a2,c2=a2+b2=5a2,.e2=5,则e=√5.故选B. 9.BC 由题知7一m=2,解得m=-1或15.故选BC. /12十4 10AB由题意知a=5,6=4,c=V-F=3,所以1FF=6,C的离心率为e=号-号，放 高二数学试题参考名 A,B正确；对于C,因为AB引<2a=10,而4π>10，所以弦AB的长不可能等于4π，故C错 误；对于D,△ABF2的周长为4a=20,故D错误.故选AB. 1.BCD由题知，圆锥的侧面积1=4x,所以1=4，圆锥高=√-T-5,体积V-号x ×1X5=压，A错误：侧面展开图弧长/-2x×1=2x,圆心 3 角a=号-年-号，B正确：当CLABI时，三棱锥S-ABC的体积 最大，为号×号×2X1×5=正，C正确：由B选项知，侧面展 3 开图扇形圆心角a=受，M在SB上且BM=1,则SM=SB-BM=3,展开后的扇形中，B'与 B(对应底面同一点)的圆心角为乏，最短路径为线段BM,B'M=√SM+SB=√+3 =5,D正确.故选BCD. 12.-23由a⊥b,得(-3)×(-2)十2×3+2√3m=0,解得m=-25. 13.25圆C:(x一1)2+(y十3)2=25的圆心C(1,-3),半径r=5,圆心C到直线1的距离d -1-2×(-3)+3=25,所以|AB|=2VP-d=25. /12+(-2)2 14.9由a6十a13<0,得ag十a1o<0,又S>Sg,所以ag十a1o十a1>0,即3a10>0,a10>0,所以 ag<0,当Sm取得最小值时，n=9. 15.解：(1)由题意知F在y轴的正半轴上，故设所求抛物线方程为x2=2py(p>0),…2分 所以F(o,)准线方程为y=一， 2 …4分 卫 -9 因为F关于直线y=一号的对称点为(0，-9)，所以 6分 2 解得p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=12y. 7分 (2)设所求双曲线的方程为号-号-（≠0），。 62 9分 将点(3E,2)代人上述方程，得32) （25)2 6 2 10分 所以入一3所以答一 2 12分 故所求双线的方程为号。-1. 13分 16.解：(1)联立两直线l1:3x+4y-2=0和l2:x+2y-2=0, 解得x=一2，y=2,即交点坐标为（一2,2），… 2分 直线3x+y+1=0的斜率为一3， 3分 所以直线1的斜率为3， …4分 所以直线1的方程为)一2=号（x+2),即x-3y+8=0. ……………………… 6分 (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=一2，圆心(3,1)到直线的距离d=5=r, 符合题意；… …9分 案 第1页共2页 26-L-295B 当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y一2=k(x十2)，即kx一y十2k十2=0，…11分 根据题意得：圆，心到直线的距离d56+1-5,. 12分 /R2+1 解得长一号 ,, 13分 所以直线l的方程为12x一5y十34=0.… 14分 综上，直线1的方程为x=-2或12.x-5y+34=0. 15分 17.(1)证明：因为a+1- 十a=,所以-+1，即，11=1， …3分 4n+1, 所以数列品 是公差为1的等差数列.… ………6分 (2)解：因为数列公是公差为1的等差数列，-2，所以士=2+(-1)X1=+1, …………………………………9分 所以a,-n十1b。=a,a1= 1 (n+1)(n+2)n+1n+2 …12分 设数列{bn}的前n项和为Tm, 则工.=2-3+号+…+ -1=1-1 n Fn+1n+22n+22n+4 15分 18.(1)证明：以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标 系，如图所示，则A(0,0,0).B(1,0w5),C15,0),E0,5）,G(号53)月 设平面B1AC的一个法向量为n=(x,y,2),又AB1=(1,0,5), A衣=150，所以n·1+30令=5，解得y= B n·AC=x+3y=0, =一1，所以平面B1AC的一个法向量为n=(3,-1,-1), 2分 又花-（号，，0，所以.n=5-5=0. 22 …4分 又EG寸平面B1AC,所以EG∥平面B1AC.…6分 (2)解：由1知A正=(1,03).aC-(1g0).正-(0,55) m·AC=a+3b=0, 设平面EAC的一个法向量为m=(a,b,c),所以 m…应-+c=0 令b=-2,解得a =25,c=1,所以平面EAC的一个法向量为m=(2√3，-2,1)， …8分 所以点B到平面EAC的距离d=m·AB 25+5 3√51 m √(23)2+(-2)2+12 17 即点B,到平面EAC的距离为3Y回 17 ……12分 (3)解：由(1)知平面B1AC的一个法向量为n=(5,一1，一1)，由(2)知平面EAC的一个法 向量为m=(23,-2,1),设二面角E-AC-B1的大小为0， 高二数学试题 参考名 又|cos0l=|cos(m,n)l= m·n |6+2-1 785 ,…15分 m·|n√/3+1+I×√/12+4+I 85 所以sn0=个一s0-6,即二面角E-AC-B,的正弦值为5图 85 85 17分 19.解：(1)由|AB=42,得2a=42,解得a=2√2， 1分 又过点P2E).所以管+ b -=1,解得b=2. 2分 所以E的方程为管+学-1. 4分 (2)①由题意，得A(-22,0),B(2√2,0)， 设M),由M(n)在椭圆E上，得g+4=1,即听=4一兰， …6分 4 所以kAM·kM= yi 2 x1+22 0-2√2x-8x-8 即直线AM,BM的斜率之积为- 8分 ②设N(x2y2）, 若直线MN的斜率为O,则M,N关于y轴对称，所以N十kM=O, 又直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，所以kAN=3kM,即kAN=kM=O, 由M,N不在x轴上，得kAN≠0，kM≠0，与kAN=kM=0矛盾，所以直线MN的斜率不为0. …9分 设直线MN的方程为x=my十n(n≠士2√2)，由 +=1得m+2+2m+ x=my十n, 8=0, 所以△=4m2n2-4(m2+2)(n2-8)=8(4m2+8-n2)>0,且1+y2=- 2mn m2+2M2-= n2-8 m2+2' …11分 由①知kM·kaM=一豆，又kAN=3kN,所以kw·kv=kw·3kM= 2… 12分 所以 yiy2 yiy2 3 1+22)(x2+22)- '(my+十n+2/2)(m2+n+2√2) 2 化简，得 yiy2 3 14分 2y2+m(n+2√2)(M+y2)+(n+2√2) 将y1+y2= 罕2代人上式并化简得 2mn n2-8 3 15分 m2(n2-8)-2m2n2-4√2m2n+(n+2√2)2(m2+2) 即n2+3√2n十4=0，解得n=-2√2（舍）或n=-√2，此时△=8(4m2+8-n2)= 8(4n2十6)>0，…16分 所以直线MN:x=my-√2恒过点（一√2,0）. 17分 案 第2页共2页 26-L-295B绝密★启用前 20252026学年第一学期拉萨市高中期末联考 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息写在答题卡相应的位置上。 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。作答非选择题 时，请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡相应位置上。写在本试卷上 无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.若3，a,27成等差数列，则a= () A.9 B.±9 C.15 D.±15 2.抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为 () A是 B.3 C.4 D.6 3.如果一个棱长为a的正方体的外接球的表面积为4π，则a= () A.√3 B.√2 c号 D26 3 4.设a,b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列选项中能得出aLb 的是 () A.aCa,b⊥B,a∥g B.a⊥a,bLB,a∥B C.a⊥a,b∥B,a⊥β D.aCa&,b∥B,a⊥β 5.圆C1:x2+(y-3)2=5与圆C2:x2+y2一8x+10=0的位置关系为 () A相交 B.外切 C.外离 D.内切 6.在正方体ABCD-A1BCD1中，M是AD的中点，N是CD的中点，则异面直线 DM与NC1所成角的余弦值为 () A2② B 2 3 D号 第1页共4页 7.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半， 莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天 长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度 (蒲与莞原先的长度忽略不计)，需要经过的时间最少为 () A.3天 B.5天 C.7天 D.9天 8,已知双曲线C若-芳=1(a>0,b>0),斜率为4的直线与双曲线C相交于点A, B,且弦AB的中点坐标为(1,1)，则双曲线C的离心率为 () A.2 B.√5 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l1:2√5x一2y十m=0与直线l2:2√3x一2y十7=0之间的距离为2，则 m的值可以是 () A.10 B.15 C.-1 D.-3 10,设椭圆C:荒+若-1的左，右焦点分别为R,R,过A的直线与C交于A,B 两点（不同于左、右顶点），则 () A.|F1F2|=6 BC的离心率为号 C.弦AB的长可能等于4元 D.△ABF2的周长为16 11.如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A,B的动点， 点M是母线SB上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则下列说法正 确的是 () A.该圆锥的体积为√15π B该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为受 C.三棱锥S-ABC的体积的最大值为√⑤ 3 D.若BM=1,则从点B出发绕圆锥侧面一周到达点M的最短长度为5 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(-3,2,m),b=（一2,3,2√5)，若a⊥b,则m= 13.已知直线1：x一2y+3=0与圆C:x2+y2一2x十6y-15=0相交于A,B两点， 则|AB= 14.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且a6十a13<0,S1>S8,则Sn取得最小值 时，n= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) (1)求焦点F关于准线的对称点为(0，一9)的抛物线的标准方程； (②)求与双商线号-苦-1有相同的南近线，且过点（3V2,25)的双出线的标准 方程， 16.(本小题满分15分) 直线1经过两直线11：3x十4y一2=0和2：x十2y一2=0的交点， (1)若直线1与直线3x+y+1=0垂直，求直线1的方程； (2)若直线1与圆(x一3)2+(y一1)2=25相切，求直线1的方程， 17.(本小题满分15分) 在数列a.中，a=分at1=,n∈N)。 (1少证明：是等差数列， (2)设bn=aam+1,求数列{bn}的前n项和. 第3页共4页 18.(本小题满分17分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1BCD1中，四边形ABCD是矩形，AB=1,AD= AA1=√3，点E,G分别为A1D1,CD1的中点. (1)求证：EG∥平面B1AC; (2)求点B1到平面EAC的距离； (3)求二面角E-AC-B1的正弦值. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆E:等+苦-1o>>0)的左，右顶点分别为A,B,且AB=42,点 P(2,W2)是E上的一点. (1)求E的方程； (2)已知点M,N(M,N不在x轴上)是椭圆E上不同的两点. ①求直线AM,BM的斜率之积； ②若直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，试判断直线MN是否过定 点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 第4页共4页